AULA 005 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – DADOS AGRUPADOS

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14/03/2016 
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Estatística 
Medidas de Tendência Central (Dados 
Agrupados) 
Média Aritmética ou Média 
 Tabela Agrupada Simples 
 
◦ Quando os dados estão resumidos em 
uma tabela de frequências, podemos 
calcular a média aritmética ponderando 
os valores da tabela pela frequência de 
cada um deles. 
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Média Aritmética ou Média 
 
 𝑋 =
 𝑥.𝑓
 𝑓
, onde: 
 
 
◦ 𝑋 = média; 
◦ x = valor de “x”; 
◦ f = frequência absoluta do valor “x” 
correspondente; 
◦ 𝑓 = n (número total de observações). 
Média Aritmética ou Média 
 
 A média ponderada é considerada 
“ponderada” quando os valores dos 
conjuntos tiverem pesos / frequências 
diferentes. 
 
 Numa distribuição utilizando os 
valores discretos, calcula-se: 
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Média Aritmética ou Média 
Erros por Página Nro. de Páginas 
0 25 
1 20 
2 3 
3 1 
4 1 
𝑋 =
 𝑥. 𝑓
 𝑓
=
 𝑥. 𝑓
𝑛
 
 
𝑋 =
0.25 + 1.20 + 2.3 + 3.1 + 4.1
25 + 20 + 3 + 1 + 1
=
33
50
 
 
𝑋 =0,66 
Média Aritmética ou Média 
 Tabela Agrupada em Classes 
 
◦ Quando tivermos uma distribuição com dados 
agrupados por classes de valores, calculamos 
considerando o valor de cada classe como o 
ponto médio respectivo da classe: 
 
◦ 𝑃𝑀 = 
𝐿𝑖𝑛𝑓+𝐿𝑠𝑢𝑝
2
 , onde: 
 
 Linf é o limite inferior da classe; e 
 Lsup é o limite superior da classe. 
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Média Aritmética ou Média 
 
 Numa distribuição utilizando uma 
tabela agrupada em classes, calcula-
se uma coluna com o ponto médio de 
cada classe para que se possa 
processar os cálculos, que devem ser 
feitos conforme a seguir: 
Média Aritmética ou Média 
Altura (m) Frequência Ponto Médio (xi) xi.fi 
1,59 |- 1,65 1 1,62 1,62 
1,65 |- 1,71 1 1,68 1,68 
1,71 |- 1,77 10 1,74 17,4 
1,77 |- 1,83 4 1,80 7,20 
1,83 |- 1,89 2 1,86 3,72 
Total 18 -x-x-x-x-x-x-x-x-x- 31,62 
𝑋 =
 𝑥. 𝑓
 𝑓
=
 𝑥. 𝑓
𝑛
 
 
𝑋 =
1,62.1 + 1,68.1 + 1,74.10 + 1,80.4 + 1,86.2
1 + 1 + 10 + 4 + 2
=
31,62
18
 
 
𝑋 = 1,757 m 
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Cálculo da Moda para dados 
Agrupados 
 Caso 1: Tabela Agrupada Simples 
 
◦ Para dados agrupados por valores discretos  a moda é o 
valor com maior frequência 
 
 Caso 2: Tabela Agrupada em Classes 
 
◦ Moda Bruta 
◦ Método de King 
◦ Método de Czuber 
◦ Método de Pearson 
Cálculo da Moda para dados 
Agrupados 
 Moda Bruta 
 
◦ Tome a classe que apresenta a maior 
frequência  classe modal 
 
◦ A moda será o ponto médio da classe 
modal: (Linf + Lsup)/2. 
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Cálculo da Moda para dados 
Agrupados 
 Método de King: 
 
 
 
 
 Onde: 
◦ Linf* = limite inferior da classe modal; 
◦ fant = frequência da classe modal anterior; 
◦ fpos = frequência da classe modal superior; 
◦ h = amplitude da classe modal. 
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 ∗ + 
𝑓𝑝𝑜𝑠
𝑓𝑎𝑛𝑡 + 𝑓𝑝𝑜𝑠
. ℎ 
Cálculo da Moda para dados 
Agrupados 
 Método de Czuber (mais preciso): 
 
 
 
 Onde: 
◦ Linf* = limite inferior da classe modal; 
◦ fmo = frequência da classe modal; 
◦ fant = frequência da classe modal anterior; 
◦ fpos = frequência da classe modal posterior; 
◦ h = amplitude da classe modal. 
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 ∗ + 
𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑎𝑛𝑡
2. 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑎𝑛𝑡 + 𝑓𝑝𝑜𝑠
. ℎ 
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Cálculo da Moda para dados 
Agrupados 
 Método de Pearson: 
 
 
 
 Onde: 
 
◦ Md = Mediana; e 
 
◦ 𝑋 = Média. 
𝑀𝑜 = 3.𝑀𝑑 − 2. 𝑋 
Cálculo da Mediana(𝑥 ) para 
dados Agrupados 
 
 Caso 1: Tabela Agrupada Simples 
 
◦ Faz-se da mesma maneira que dados 
brutos / rol ou lista. 
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Cálculo da Mediana(𝑥 ) para 
dados Agrupados 
 
 Caso 2: Tabela Agrupada em Classes 
 
◦ A mediana encontra-se localizada na 
classe em que Lx = n/2. 
 
◦ Após o cálculo de Lx, determina-se o 
valor da mediana através da seguinte 
fórmula: 
Cálculo da Mediana(𝑥 ) para 
dados Agrupados 
 
 
 
 Onde: 
◦ Linf* = limite inferior da classe da mediana; 
◦ Lx = localização (posição) da mediana; 
◦ facant = frequência acumulada crescente da 
classe anterior à da classe da mediana; 
◦ fi = frequência absoluta da classe da mediana; 
◦ h = amplitude da classe da mediana. 
𝑋 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 ∗ + 
𝐿𝑥 − 𝑓𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑖
. ℎ 
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Cálculo dos Percentis para dados 
Agrupados em classes 
 
◦ O Percentil encontra-se localizado na 
classe em que Lpx = (k/100)*n. 
 
◦ Após o cálculo de Lpx, determina-se o 
valor da mediana através da seguinte 
fórmula: 
Cálculo dos Percentis para dados 
Agrupados em classes 
 
 
 
 Onde: 
◦ Linf* = limite inferior da classe do percentil; 
◦ Lpx = localização (posição) do percentil; 
◦ facant = frequência acumulada crescente da 
classe anterior à da classe do percentil; 
◦ fi = frequência absoluta da classe do percentil; 
◦ h = amplitude da classe do percentil. 
𝑃𝑥 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 ∗ + 
𝐿𝑝𝑥 − 𝑓𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑖
. ℎ 
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Cálculo dos Percentis para dados 
Agrupados em classes 
 
 Exemplo: 
 
◦ Considere a tabela agrupada em classea a 
seguir e calcule: 
 
 Mediana; 
 Quartil 1; 
 Decil 3; 
 Percentil 86. 
Cálculo dos Percentis para dados 
Agrupados em classes 
Classe de Salários Frequência Ponto Médio (xi) xi.fi fr(%) 
4,00 |- 8,00 10 6 60 27,78% 
8,00 |- 12,00 12 10 120 33,33% 
12,00 |- 16,00 8 14 112 22,22% 
16,00 |- 20,00 5 18,00 90,00 13,89% 
20,00 |- 24,00 1 22 22 2,78% 
Total 36 -x-x-x-x-x-x-x-x-x- 404 100,00% 
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Cálculo dos Percentis para dados 
Agrupados em classes 
 Respostas: 
 
◦ Mediana = 10,667 
◦ Quartil 1 = 7,600 
◦ Decil 3 = 8,267 
◦ Percentil 86 = 16,768