Aula matriz inversa

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
Álgebra Vetorial e Matricial - Profª Ms. Marjúnia Edita Zimmer Klein (marjunia.klein@gmail.com) 
Matriz Inversa 
 Considere a matriz . Se existir uma matriz tal que , onde é a matriz identidade de 
ordem n. Então a matriz A é dita não-singular ou inversível. B é a matriz inversa de A. 
 Propriedades da inversa: 
I) 
 
 
II) 
III) 
 
 
 
 
 
Método I) Obtendo a inversa, se existir,a partir da matriz adjunta 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: Obter, se existir, a inversa de: 
 
a) 
 
 
 
 
1) Calcular o determinante da matriz: det A = 10 - 8 = 2. Logo, existe a inversa. 
 
2) Calcular a matriz dos cofatores de A. 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
3) Calcular a matriz inversa de A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
1) Calcular o determinante da matriz B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular a matriz dos cofatores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Seja A uma matriz nxn. Se , então 
 
 
 . 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = adj B 
 
 
3) Calcular a inversa de B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método II) Método das operações em linha 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine, se existir, a inversa de: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realize operações de linha em até seja 
obtida. Isso significa que A é não-singular. 
 
Aplique simultaneamente as mesmas operações 
de linha em , obtendo assim 
 
Teorema: Se uma matriz puder ser transformada em uma identidade utilizando de 
uma sequência de operações elementares de linha, então A é não-singular . A mesma 
sequência de operações que transforma na identidade também transforma em . 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como aparece à esquerda da linha vertical, concluímos que a matriz à direita da linha é 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Verifique se B é a inversa da matriz A, em cada caso: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
2) Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1) a) B é inversa de A, pois 
 b) B não é inversa de A, pois . 
2) a) 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 d)