CARTOGRAFIA PARTE I

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PARTE I
A FORMA DA TERRA (histórico)
ELIPSÍODES LOCAIS E GLOBAIS
GEOMETRIA DA ELIPSE
ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
COORDENADAS GEODÉSICAS
COORDENADAS GEOCÊNTRICAS
ARCO DE MERIDIANO
ARCO DE PARALELO
A FORMA DA TERRA
BREVE HISTÓRICO
Rebuscando na História das sociedades humanas, verificamos que a forma admitida para a Terra evoluiu com o acúmulo dos conhecimentos. Nos poemas de Homero, encontramos uma descrição segundo a qual a Terra apresenta-se sob a forma de um gigantesco disco que flutuava no oceano, enquanto o Sol era o coche, no qual os deuses efetuavam o seu passeio diário.
Uma outra descrição, também apresenta a Terra como sendo um disco, apoiado no dorso de um gigantesco elefante, e este, por sua vez, apoiado sobre tartarugas gigantescas, empilhadas umas sobre as outras infinitamente.
O medo de um mar tenebroso, povoado por monstros devoradores de barcos e de homens, e de limites finais para os mares, com correntes capazes de arrastar as embarcações para o centro de abismos infernais insondáveis, esteve presente na mente fantasiosa dos marinheiros nos séculos anteriores ao século XVI, conhecido como o século das grandes navegações.
A idéia de uma Terra esférica aparece com o desenvolvimento da cultura grega e os seus filósofos.
Ao que tudo indica, a esfericidade da Terra teve suas defesas efetuadas inicialmente por PITÁGORAS de Samos (580 a 500 a.C.), e por TALES de Mileto (século VI a.C.), que também defendia a existência dos movimentos de rotação e de translação.
No século seguinte, ANAXÁGORAS de Clazômenes (500-428 a.C.), foi condenado à prisão acusado de impiedade, por ter ferido os conceitos religiosos da época, com suas afirmativas de que “o Sol é uma pedra incandescente, maior que o Peloponeso, e que a Lua é feita de Terra e não tem Luz própria”.
Foi com ARISTÓTELES (384 a 322 a.C.), que se firmou o modelo segundo o qual a Terra era esférica, imóvel e ocupava o centro do universo, tendo este modelo permanecido intocável por quase 2.000 anos.
ARISTARCO de Samos (século II a.C.) assume a defesa, não somente da esfericidade da Terra, mas também do Heliocentrismo, admitindo os movimentos de rotação e de translação, havendo estabelecido uma relação entre os diâmetros da Terra do Sol (DS = 300 DT), uma relação entre o volume da Terra e o volume da Lua (VT = 23 VL), bem como uma relação entre as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol (TS = 19 TL), tendo tomando por base suas observações do ângulo de inclinação da sombra da Lua no quarto crescente e sombra da Terra na Lua por ocasião de um eclipse anelar. 
As idéias de Aristarco eram, sem sombra de dúvida, a explicação mais adequada para os fenômenos astronômicos observados. No entanto, como os paradigmas aristotélicos encontravam-se muito arraigados e sendo suas idéias muito avançadas para a época, foi o mesmo acusado de molestar os deuses.
ARQUIMEDES de Siracusa (298 a 212 a.C.) acrescentou ao modelo aristotélico, a idéia de que o Universo seria também uma gigantesca esfera, de raio igual à distância da Terra ao Sol, e que a Terra estaria localizada no seu centro.
Dos sábios antigos, ERATÓSTENES (276 a 194 a.C.) foi, sem dúvida, quem apresentou maior contribuição ao modelo esférico da Terra ao calcular o seu diâmetro.
Sabemos hoje que o valor por ele determinado apresenta um erro inferior a 2%, quando comparado com as reais dimensões da Terra, devendo-se este muito mais à precisão dos instrumentos de observação e medição existentes à época, do que ao raciocino e ao método empregado. No currículo deste pensador, consta ter sido matemático, astrônomo, geógrafo, e ainda ter sido diretor da famosa Biblioteca de Alexandria.
Finalmente as idéias aristotélicas tiveram seu coroamento, com Cláudio PTOLOMEU (100 a 170 d.C), tido como o último grande astrônomo grego da Antiguidade. Sua proposta era de um modelo planetário geocêntrico, no qual os planetas descreveriam órbitas circulares em torno de pontos imaginários, e estes pontos, por sua vez, descreveriam órbitas circulares em torno da Terra.
Com a decadência do mundo grego e ascensão do Império Romano, as questões relativas às ciências naturais foram relegadas a planos secundários, voltando-se o intelecto humano muito mais para a política, o direito, o desenvolvimento bélico e a engenharia da construção civil.
Posteriormente, com o esfacelamento do Império Romano, a Igreja Católica assumiu o papel do estado, além de continuar exercendo seu domínio espiritual, no chamado período Medieval. Foi adequado para esta aceitar o modelo aristotélico, uma vez que, tendo este a Terra no centro do Universo, havia de certa forma uma corroboração com as interpretações bíblicas, nas quais o ato da criação divina era coroado com a criação do homem e, portanto, este deveria estar no centro do Universo. Além do mais, se acrescentarmos a isto as idéias das esferas de Arquimedes, teremos fora dos limites da última esfera, espaço suficiente para a colocação de tantos céus quantos o engenho imaginativo dos teólogos da época concluísse existir.
Parece paradoxal, mas foi durante a idade média, que foram criadas as primeiras universidades, tendo estas funcionado como incubadora para as sementes do renascimento.
Também, durante o período medieval, notadamente a partir do século X, houve um crescimento do Império Otomano, que apesar de lastreado nos fundamento do ensino religioso do Islã, preservou muito do conhecimento grego, que havia sido perdido pelos europeus.
O Renascimento se caracterizou por uma revalorização dos valores gregos e romanos, e sem dúvida, entre estes valores encontravam-se as ditas filosofias naturais, havendo uma retomada das discussões a respeito da origem, forma e constituição do universo.
Foi Nicolau COPÉRNICO (1473 a 1543 d.C.) o primeiro a apresentar um modelo no qual o Sol e não a Terra ocupava o centro do sistema planetário (modelo heliocêntrico), sendo que as formas das órbitas ainda eram consideradas circulares.
Devido às crenças religiosas de sua época, o seu trabalho “Sobre a revolução dos corpos celestes” somente foi publicado no ano da sua morte.
As idéias de Copérnico constituíam-se em uma verdadeira revolução na forma de pensar da sociedade humana cristã da época. Teriam certamente caído em ostracismo, não fosse a forte defesa efetuada pelo astrônomo italiano GALILEU GALILEI (1564 a 1642 d.C.), que tendo aperfeiçoado os instrumentos de observação como a luneta, passou a observar os astros utilizando-se de metodologia científica, uma grande inovação para a época, e baseado nos dados assim coletados concluiu que a única explicação possível para o comportamento dos astros era através da aceitação do modelo proposto por Copérnico.
Finalmente o sistema planetário geocêntrico foi aperfeiçoado pelo astrônomo alemão Johannes KEPLER (1571 a 1630), que estabeleceu a forma definitiva das órbitas dos planetas em torno do Sol. 
Baseou-se ele em uma análise criteriosa dos dados sistematicamente coletados por seu mestre, o astrônomo dinamarquês Tycho BRAHE (1546 a 1601), do qual herdou as anotações, e através de cálculos cuidadosos, estabeleceu a forma elíptica para as órbitas dos planetas em torno do Sol.
Até então, a forma esférica da terra não tinha ainda sido questionada. Mesmo o astrônomo francês João PICARD (1620 a 1727), que em 1671 publicou “As medidas da Terra” com base em medições por ele, efetuadas no arco de meridiano situado de Paris a Amiens, medido ao longo do meridiano de Paris, apresenta a Terra como esférica.
Baseado nos resultados obtidos por Picard, o inglês Isaac NEWTON (1642 a 1727), efetuou seus famosos estudos sobre a gravidade.
No entanto, a constatação de que a intensidade do campo gravitacional decrescia dos pólos para o equador, levou Newton a considerar em seus cálculos a existência de um achatamento nos pólos.
Tais considerações foram, posteriormente, constatadas através de medições efetuadas em duas expedições científicas organizadaspela Academia de Ciências de Paris, em 1735. A primeira, sob o comando de Bouger, La Condamine e Godin efetuou medições na região onde hoje se localizam o Peru e o Equador.
Lá, foram efetuadas medições sobre um arco de meridiano de 3o, cortado pela linha do equador.
A segunda expedição também contou com cientistas de renome tais com: Clairaut, Maupertuis, Camus e outros. Sua região de trabalho foi a Lapônia onde foram realizadas medições de um arco de meridiano de 1o de amplitude, cortado pelo círculo polar ártico.
A partir de então se adotou a forma da Terra como sendo a de um elipsóide de revolução, no qual o eixo de revolução coincidia com o eixo de rotação.
Todos os trabalhos subseqüentes visaram a determinação dos parâmetros de definição do elipsóide ideal.
Por ocasião da Assembléia Geral da União Geofísica e Geodésica Internacional, realizada em Madri no ano de 1924, ficou estabelecido o elipsóide Heyford como elipsóide de referência internacional.
No caso específico da América do Sul, o elipsóide de referência foi estabelecido pela Assembléia Geral da UGGI, realizada em Lucerne no ano de 1967, ficando definido que o Sistema Geodésico Sul-americano adotaria o elipsóide UGGI-67 (SAD-69).
ELIPSÓIDES GLOBAIS E LOCAIS
Ao longo do tempo, foram testados vários elipsóides de revolução para melhor definir a forma da Terra. Como os instrumentos de mensuração tornaram-se cada vez mais precisos, a cada reunião da UGGI – União Geodésica e Geofísica Internacional, novos valores de elipsóides são propostos, visando aprimorar as representações do planeta, a fim de que sejam atendidas as necessidades de quem às utiliza, seja de forma localiza, seja de forma global.
Como a forma da Terra apresenta particularidades inerentes a cada região, existe a necessidade de definições de elipsóides capazes de atender a estas particularidades, bem como daqueles que atendam as necessidades de descrição global.
Coordenadas ajustadas a elipsóides globais são menos ajustadas a determinados locais da Terra, que as coordenadas definidas em elipsóides locais. No entanto, coordenadas definidas em elipsóides locais produzem grandes distorções quando aplicadas a regiões distantes daquelas para as quais as coordenada foram definidas.
Os elipsóides são definidos por suas características geométricas, a saber:
semi-eixo maior	(a);
semi-eixo menor	(b);
achatamento	(f);
excentricidade	(e).
DATUM
Defini-se como DATUM HORIZONTAL o conjunto de coordenadas terrestres referenciadas a um determinado elipsóide, podendo ser este LOCAL ou GLOBAL, lembrando que tais coordenadas podem ser geodésicas (latitude e longitude), cartesianas geocêntricas (X, Y e Z) ou planas (UTM, LTM, etc.).
Os DATUNS GLOBAIS utilizam elipsóides globais, apresentam como amarração à superfície terrestre, apenas, os pontos definidores do sistema. Não apresentando o ponto de origem denominado ponto datum horizontal, e seu centro coincide com o centro de massa terrestre.
Os DATUNS LOCAIS utilizam elipsóides locais, e apresentam ponto datum horizontal ou seja, um ponto no qual a ondulação geoidal seja nula, isto é, a vertical do lugar e a normal ao elipsóide coincidem. Seu centro apresenta um afastamento do geocentro representado pelas componentes vetoriais desse afastamento (x, y e z), que são ao parâmetros diferencias, utilizados nas transformações de datuns. Apresentam, ainda, um fator de escala ( S ) com relação ao DATUM GLOBAL, e em muitos casos três ângulos de rotação de seus eixos, em relação aos eixos do sistema global (,  e ).
São, portanto, sete os parâmetros de transformação de Um datum local para um datum global:
x, y e z 	( componente do vetor diferença entre o centro do elipsóide e o centro de massa terrestre;
,  e  		( ângulos de rotação dos eixos do elipsóide local, em relação aos eixos do elipsóide global;
S 			( fator de escala.
A ELIPSE E SUAS EQUAÇÕES
ELEMENTOS DA ELIPSE
F1 e F2( focos da elipse
a	( semi-eixo maior.
b	( semi-eixo menor.
c	( distância focal.
P	( ponto qualquer pertencente à elipse.
xP	( abscissa de um ponto P qualquer pertencente à elipse.
yP	( ordenada de um ponto P qualquer pertencente à elipse.
	Pode-se demonstrar que 
 
GRANDE E PEQUENA NORMAL
r	( reta tangente à elipse no ponto P.
s	( reta perpendicular à r no ponto P.
	( latitude do ponto P.
PN	( grande normal (N) da elipse no ponto P.
PM	( pequena normal (N’) da elipse no ponto P.
xP 	( abscissa do ponto P.
zP ( ordenada do ponto P.
EQUAÇÃO DA ELIPSE.
Caso consideremos uma elipse cujo cento coincida com o centro do sistema de coordenadas, e o eixo maior pertença ao eixo das ordenadas, de acordo com a geometria analítica ela obedecerá a seguinte equação:
	
CARACTERIZAÇÃO DAS ELIPSES.
	De um modo geral, os elementos caracterizam uma elipse são:
Achatamento (f) - O achatamento relaciona a diferença entre os semi-eixos com o semi-eixo maior da elipse, na forma como se segue:
Primeira Excentricidade (e) - Relaciona a distância focal com o semi-eixo maior, na forma como se segue:
 
Esta, no entanto, pode ser representada em função dos semi-eixos, tal como o achatamento, para tanto, lançamos mão de alguns artifícios matemáticos.
Se elevarmos ao quadrado teremos:
Porém anteriormente verificamos que 
, logo 
, e finalmente promovendo as devidas simplificações obteremos: 
Segunda Excentricidade (e’) - Relaciona a distância focal com o semi-eixo menor na forma como se segue:
Tal como no caso da primeira excentricidade, esta também pode ser expressa em função dos dois semi-eixos a e b.
. Substituindo b2 teremos: 
RELAÇÃO ENTRE A PRIMEIRA EXCENTRICIDADE (E) E O ACHATAMENTO (F)
Da equação do achatamento temos:
Da equação da excentricidade temos: 
. Combinando as duas expressões, com a eliminação de 
 teremos:
Caso a diferença entre os semi-eixos seja consideravelmente pequena, o termo f2 poderá ser desprezado, e teremos o resultado seguinte:
CÁLCULO DAS COORDENADAS RETANGULARES(x;z) DE UM PONTO, EM FUNÇÃO DA LATITUDE()
CÁLCULO DA ABSCISSA (xP)
Do cálculo diferencial sabemos que o coeficiente angular da reta tangente à elipse em um ponto é igual à derivada da função no ponto. Sabemos ainda que este valor é igual à tangente do ângulo formado entre a reta tangente e o eixo das abscissas. Temos então que:
 ou 
 (Eq. I)
Derivando a equação da elipse teremos:
E finalmente:
 (Eq. II)
Combinando as equações I e II, de forma a eliminar 
 teremos:
, que elevado ao quadrado dará: 
substituindo a expressão de z2 na equação da elipse teremos: 
da equação da 1a excentricidade temos: 
. Substituindo, na equação anterior, b2 por esta expressão teremos:
multiplicado a equação por cos2, teremos:
E finalmente teremos:
 
	
CÁLCULO DA ORDENADA (zP)
No item anterior constatamos que 
 e da equação da excentricidade temos que 
. Fazendo a devida substituição teremos: 
. Se agora substituirmos x pela expressão de x encontrada no item anterior teremos: 
E finalmente teremos:
 
CÁLCULO DA GRANDE NORMAL (N)
Sendo a Grande Normal igual ao segmento PN, observamos que: 
Resolvendo a equação para N, e substituindo x pela expressão de x teremos:
E finalmente:
 
CÁLCULO DA PEQUENA NORMAL (N’)
Sendo a pequena normal igual ao segmento PM, observamos que : 
Resolvendo a equação para N’, e substituindo z pela expressão de z, teremos:
.
E finalmente:
 
RELAÇÃO ENTRE A PEQUENA E A GRANDE NORMAL
RAIO DE CURVATURA (R)
A dedução da expressão do raio de curvatura da elipse relativo a um ponto da elipse foge ao interesse deste curso, por este motivo nos limitamos simplesmente apresenta-la aqui:
COMPRIMENTO DE UM ARCO DEFINIDO DE ELIPSE ( S )
Considere dois pontosP1 e P2 pertencentes à uma elipse qualquer, que apresentam os valores de latitude 1 e 2, respectivamente. A região da elipse limitada pelos dois pontos é igual ao comprimento do arco (S) da elipse. Sendo R o raio de curvatura da elipse, conforme indicado no item 1.6, a diferença  suficientemente pequena para que possa ser considerado um diferencial de o comprimento do arco também suficientemente pequeno, de forma que possamos considera-lo um elemento de arco dS, o elemento de arco será dado por:
Sendo 1 e 2 as latitudes dos pontos extremos, é possível determinar o comprimento do arco pela integração a equação acima descrita.
Inicialmente deveremos desenvolver a fórmula pelo binômio, e termos então:
Integrando a expressão teremos:
para d ( 
para sen2 .d ( 
para sen4.d ( 
=
para sen6.d
= 
-
Teremos então que:
Fazendo:
Teremos finalmente que:
ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
DEFINIÇÃO
Define-se como elipsóide de revolução, o sólido formado a partir da rotação completa de uma elipse, em torno de eixo menor.
Caso o centro do elipsóide coincida com a origem do sistema de planos cartesianos, o resultado obtido é o representado pela figura ao lado. O plano  é definido como sendo o plano equatorial e sua interseção com a superfície do elipsóide constitui uma circunferência de raio igual ao semi-eixo maior(a) da elipse que foi revolucionada, sendo denominada de linha do equador.
Os planos diedros  e  são planos meridianos ortogonais principais, e a linha de interseção entre qualquer um deles com a superfície do elipsóide constitui uma elipse de dimensões idênticas as da elipse que foi revolucionada, sendo denominadas de linhas meridianas.
EQUAÇÃO DO ELIPSÓIDE
Da geometria analítica temos que, sendo P um ponto qualquer pertencente à superfície de um elipsóide de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, com cento na origem e eixo de rotação coincidindo com o eixo z, o ponto terá coordenadas xP, yP e zP, e será guardada a seguinte relação matemática:
				
CORDENADAS GEODÉSICA (GEOGRÁFICAS)
As coordenadas que definem um ponto através dos eixos ortogonais x, y e z, conforme visto anteriormente, são denominadas de coordenadas espaciais ou cartesianas. No entanto o ponto pertencente à superfície do elipsóide pode ainda ser definido por coordenadas geográficas, sendo esta definidas como grandezas angulares denominadas latitude e longitude de um ponto.
LATITUDE ()
Defini-se como latitude de um ponto, o ângulo formado entre a direção normal ao elipsóide no ponto, e o plano equatorial do elipsóide.
O valor deste ângulo cresse a partir do equador em direção aos pólos, variando de 0o a 90o. Para sua total identificação deve-se acrescentar a identificação do hemisfério no qual encontra-se situado o ponto (Norte ou Sul), ou atribuir um sinal ( + ) ou um sinal ( - ), para pontos situados ao Norte e ao Sul do equador, respectivamente.
Observe que todos os pontos pertencentes ao elipsóide e que apresentem a mesma latitude formam uma circunferência pertencente a um plano paralelo ao plano xy (plano equatorial), sendo por isso denominada de linha paralela ou simplesmente paralelo. 
O raio(r) da circunferência paralela, também denominado de raio de rotação do ponto, pode ser obtido multiplicando-se a grande normal (N) pelo co-seno da latitude , conforme podemos observar.
 r = N.cos  ou, substituindo N pela equação de N teremos : 
LONGITUDE ( )
Defini-se como longitude de um ponto, o ângulo diedro formado entre o plano do meridiano que contém o ponto e o plano meridiano adotado como referência (MR). 
No caso do elipsóide terrestre, adotou-se como meridiano de referência o que passa pelo observatório de Greenwich na Inglaterra, sendo a contagem iniciada a partir dele, tanto no sentido oriental como no sentido ocidental, variando de 0o a 180o. Ao valor angular, é acrescentado a indicação do hemisfério no qual se encontra o ponto, Ocidental ou Oriental, dependendo do ponto estar situado à leste ou à oeste do meridiano de referência.
COORDENADAS CARTEZIANAS GEOCÊNTRICAS
Observe que a distância CP’ é igual ao raio de rotação ( r ) do ponto P.
COORDENADA Xp
XP = r.cos(
O valor de XP será positivo, caso a longitude (  ) seja menor que 90o, e negativo, caso seja maior.
COORDENADA YP
YP = r.sen ( 
O valor de YP será positivo caso a longitude (  ) seja oriental, e negativo caso seja ocidental.
COORDENADA ZP
ZP = N’.sen ( 
O valor de ZP será positivo, caso a latitude (  ) seja norte, e negativo caso seja sul.
COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO (SP)
O comprimento de um arco de paralelo é na verdade o comprimento de um arco de circunferência, de raio igual ao raio de rotação, e abertura angular igual à diferença angular entre as longitudes dos extremos do arco.
a ( semi-eixo maior do elipsóide.
r ( raio de rotação de um ponto no paralelo de latitude .
PN ( Pólo Norte.
1 e 2 ( longitudes das extremidades do arco.
SP ( Arco de paralelo.
 ( ângulo central do arco. 
SP = r .(
Elaborada pelo prof. Marcelo L. Macedo.
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Elaborada pelo prof. Marcelo L. Macedo.
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