solução - Atividades em sala 08 09

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72 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1.7.10 Aplicação 10 Exercício avaliativo : Determinação do Torque Um mancal de escora esférico é mostrado. A folga entre membro esférico e seu aloja- mento tem largura constante h. Obtenha e faça gráfico de uma expressão algébrica para torque adimensional no membro esférico como uma função do ângulo α. Calculo do Torque 3 h R a Película de óleo (viscosidade, Figura 25 Esquema de mancal esférico Solução: 1. Considerações: A espessura da camada de fluido permanece constante h; 2. Propriedades: A viscosidade absoluta do óleo é constante e é dada como sendo ; 3. Análise:: O gradiente de velocidade em qualquer parte da espessura h do filme de óleo v/t (perfil linear) onde v = wr é a velocidade tangencial; 4. A tensão de cisalhamento na parede lateral da semi esfera , a uma distância r do eixo de rotação, pode ser expressa como: Engenharia Química João Carlos Gonçalves
1.7. APLICAÇÕES DIVERSAS 73 5. A força de cisalhamento que atua sobre uma área diferencial dA na superfície esférica, gera um torque associado ao eixo pode ser expressa como: 6. a expressão para torque no diferencial de área é: O torque é: (1.65) A 7. Determinando O diferencial de área: 3 h R a Película de óleo (viscosidade, µ) com base na figura tem-se: (1.66) (1.67) wr (1.68) = (1.69) h João Carlos Gonçalves Engenharia Química
74 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS elemento diferencial de área a partir da figura é : dA = 2πrdr = 2πr = 2π (1.70) 8. substiduindo a área diferencial e raio (r) como função de Θ na equação do torque: dA A A r³dr 0 T 0 9. resolvendo a integral como função do ângulo que varia de 0 a α: T 0 T (1.71) 10. O gráfico normalizado seria polatar: Engenharia Química João Carlos Gonçalves
1.7. APLICAÇÕES DIVERSAS 75 1.7.11 Aplicação 11 Exercício avaliativo do FOX : Determinação do Torque Uma seção reta de um mancal giratório é mostrada. O membro esférico gira com veloci- dade angular w, a uma pequena distância,a, acima da superfície plana. A folga estreita é preenchida com óleo viscoso de viscosidade = = 1250 Obtenha uma expressão algébrica para a tensão de cisalhamento que atua no membro esférico. Avalie a tensão máxima de cisalhamento que atua sobre membro esférico para as condições mostradas. (A tensão máxima está necessariamente localizada no raio máximo?) Desenvolva uma expressão algébrica (na forma de uma integral) para torque de cisalhamento viscoso total que age no membro esférico. Calcule torque utilizando as dimensões mostradas. Calculo do Torque R = 75 mm w = 70 rpm a = 0,5 mm Óleo na folga R₀ = 20 mm Figura 26 Esquema de mancal esférico Solução: 1. escoamento em regime laminar; 2. Considerações: A espessura da camada de fluido não permanece constante, é função de Θ; 3. Propriedades: A viscosidade absoluta do óleo é constante e é dada como sendo µ ; João Carlos Gonçalves Engenharia Química
76 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 4. Análise:: O gradiente de velocidade em qualquer parte da espessura h do filme de óleo v/t (perfil linear) onde a velocidade tangencial; 5. A tensão de cisalhamento na parede lateral da semi esfera , a uma distância r do eixo de rotação, pode ser expressa como: 6. A força de cisalhamento que atua sobre uma área diferencial dA na superfície esférica, gera um torque associado ao eixo pode ser expressa como: 7. a expressão para torque no diferencial de área é: O torque é: (1.72) 8. Determinando O diferencial de área: R = 75 mm a = 0,5 mm Óleo na folga R₀ = 20 mm Engenharia Química João Carlos Gonçalves
1.7. APLICAÇÕES DIVERSAS 77 com base na figura tem-se: (1.73) (1.74) (1.75) wr (1.76) (1.77) elemento diferencial de área a partir da figura é : (1.78) 9. substiduindo a área diferencial, O raio (r) e (h) como função de Θ na equação do torque: A = T 0 João Carlos Gonçalves Engenharia Química
78 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 10. resolvendo a integral numericamente como função do ângulo que varia de 0 a (1.79) 11. determinando quando a tensão for máxima: Como a tensão de cisalhamento T é: a tensão terá um valor máximo quando a derida de T com Θ for zero: dΘ dΘ Derivando: = 0 Logo: = Logo valor máximo do torque: (1.80) Engenharia Química João Carlos Gonçalves
1.7. APLICAÇÕES DIVERSAS 79 12. Determinando O torque máximo: 13. Calculando numericamente O Torque teria: T = = João Carlos Gonçalves Engenharia Química