FUNÇOES REAIS DE VARIAVEIS REAIS

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Programa de Apoio à Produção de Material Didático
Eliete Maria Gonçalves 
Vanilda Miziara Mello Chueiri
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
São Paulo
2008
 
 © P r ó - R e i t o r i a d e G r a d u a ç ã o , U n i v e r s i d a d e E s t a d u a l P a u l i s t a , 2 0 0 8 .
 G o n ç a l v e s , E l i e t e M a r i a
 G 6 3 5 f F u n ç õ e s r e a i s d e u m a v a r i á v e l r e a l / E l i e t e M a r i a 
 G o n ç a l v e s [ e ] V a n i l d a M i z i a r a M e l l o C h u e i r i . – S ã o P a u l o :
 C u l t u r a A c a d ê m i c a : U n i v e r s i d a d e E s t a d u a l P a u l i s t a , P r ó -
 R e i t o r i a d e G r a d u a ç ã o , 2 0 0 8
 2 3 3 p .
 I S B N 9 7 8 - 8 5 - 9 8 6 0 5 - 6 2 - 3
 1 . F u n ç õ e s d e v a r i á v e i s r e a i s . I . T í t u l o . I I . C h u e i r i ,
 V a n i l d a M i z i a r a M e l l o .
 
 C D D 5 1 5 . 8 3
F i c h a c a t a l o g r á fi c a e l a b o r a d a p e l a C o o r d e n a d o r i a G e r a l d e B i b l i o t e c a s d a U n e s p
 
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Considerando a importância da produção de material didático-
pedagógico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, 
a Reitoria da UNESP, por meio da Pró–Reitoria de Graduação 
(PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), 
mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de 
Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material 
audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, 
sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, dis-
ponibilizando aos alunos material didático de qualidade com baixo 
custo e editado sob demanda.
Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comu-
nidade acadêmica mais esta obra, “Funções Reais De Uma Variável 
Real”, de autoria das Professoras Dra. Eliete Maria Gonçalves e 
Dra. Vanilda Miziara Mello Chueiri, da Faculdade de Ciências do 
Campus de Bauru, esperando que ela traga contribuição não apenas 
para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no 
assunto abordado.
SUMÁRIO
Apres entação.......................................................................
1 Definições e terminologia..........................................................
2 Função do 1o grau.......................................................................
3 Inequação do 1o grau..................................................................
4 E quação do 2o grau.....................................................................
5 Função do 2o grau.......................................................................
6 Inequação do 2o grau..................................................................
7 Função polinomial.......................................................................
8 Função potência...........................................................................
9 Função racional..........................................................................
10 Módulo de um número real...................................................
11 Função modular.......................................................................
12 E quação modular.....................................................................
13 Inequação modular..................................................................
14 Função exponencial................................................................
15 E quação exponencial.............................................................
16 Inequação exponencial..........................................................
17 L ogaritmo...................................................................................
18 Função logarítmica.................................................................
19 E quação logarítmica...............................................................
20 Inequação logarítmica............................................................
21 Funções hiperbólicas.............................................................
22 R eferências B ibliográficas....................................................
S obre as Autoras................................................................
09
11
35
47
53
57
73
79
97
111
119
123
135
139
147
153
155
165
175
193
201
207
231
233
 
APRESENTAÇÃO 
Ao longo dos últimos anos, vem-se constatando que muitos alunos 
ingressantes nos cursos superiores da área de Ciências Exatas têm 
apresentado falhas de formação matemática, tanto conceituais, quan-
to de raciocínio lógico ou de traquejo algébrico. Assim, o processo 
de ensino e aprendizagem fica prejudicado, especialmente nas disci-
plinas do primeiro ano desses cursos. Nestas, as deficiências apre-
sentadas pelos alunos quanto aos conteúdos matemáticos fundamen-
tais têm causado sérios problemas. Tem-se constatado que grande 
parte dos calouros tem falhas ou desconhece esses conceitos funda-
mentais e, por conseqüência, outros relacionados. Com o objetivo de 
auxiliar os alunos no estudo das principais funções elementares, as 
quais são abordadas, predominantemente, no Ensino Médio, desen-
volveu-se esse texto, apresentando conceitos básicos sobre tais fun-
ções (com exceção das funções trigonométricas, que são tratadas em 
outro texto), com exemplos comentados e representação geométrica. 
Com a apresentação de exercícios detalhadamente resolvidos, obje-
tivou-se mostrar ao estudante estratégias de resolução e encaminha-
mento, chamando a atenção para os erros mais freqüentes, usando 
todo o mecanicismo necessário para que ele atente a todas as “pas-
sagens”, ou seja, todo o “algebrismo” utilizado que ele, muitas ve-
zes, desconhece. Em suma, pretende-se que o aluno, revendo objeti-
vamente esses conteúdos já tratados anteriormente no Ensino Médio, 
“revisite” os conceitos e domine as técnicas de que necessita para 
bem acompanhar o que é discutido nas disciplinas de seu curso de 
graduação. 
A decisão de reunir em um único texto todas as principais funções 
elementares (com exceção, como já se disse, das funções trigonomé-
tricas) deve-se ao fato de que nos livros utilizados no Ensino Médio 
elas são apresentadas em três ou mais volumes. Isso faz com que o 
aluno, muitas vezes, não se anime a consultar vários livros diferen-
tes para tirar suas dúvidas. Embora a apresentação em um único tex-
to o torne extenso, com uma grande quantidade de conteúdo e in-
formações, também é verdade que o torna mais práticopara a con-
sulta do estudante, que tem todas as informações de que necessita 
em um único volume. 
Assim, este é um texto de acompanhamento para as disciplinas dos 
cursos da área de Ciências Exatas que utilizem os conceitos aqui a-
bordados, que pode ser consultado pelo aluno sempre que necessitar.�
1 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Mate-
mática e fora dela. A função pode expressar uma relação de interde-
pendência, uma relação de causa e efeito ou uma correspondência 
bem definida. 
As leis de Engenharia, de Economia e de outras Ciências se expri-
mem, freqüentemente, através de funções, o que as torna instrumen-
to de trabalho permanente. Independentemente do ramo considera-
do, quase sempre se verifica que os objetos principais de investiga-
ção são funções. Portanto, dominar este assunto é condição primária 
para um desenvolvimento científico sério e eficaz. 
Apresentam-se, aqui, as principais definições sobre funções, com 
exemplos e gráficos, quando possível. Não há, aqui, a pretensão de 
se apresentar um texto completo sobre o assunto, mas sim, um texto 
objetivo, que estimule o estudante estudar os conceitos fundamen-
tais. 
Esses conceitos são apresentados por itens. Os exemplos resolvidos 
e comentados têm o objetivo de proporcionar ao estudante uma as-
similação segura dos conceitos apresentados. Não se trata, portanto, 
de problemas de adestramento mecânico, mas sim de exercícios que 
levem o aluno a trabalhar corretamente, dando todos os passos in-
dispensáveis e fundamentando todas as operações, de acordo com a 
teoria que foi exposta. 
O conceito de função oferece a perspectiva de compreender e rela-
cionar fenômenos naturais por meio de um instrumental matemático 
de grande poder. É tão importante que é preciso deixá-lo claro, sem 
qualquer possibilidade de confusão. Há exemplos de função que ex-
primem fatos puramente matemáticos, outros que exprimem fenô-
menos físicos ou, ainda, de outra natureza. 
Exemplos: 
1) A área de um círculo de raio r é dada por A = pi.r2. Assim, A é um 
número que depende do valor atribuído a r. Diz-se, então, que A é 
função de r. 
Este exemplo exprime um fato puramente matemático. 
2) Considerando a aceleração da gravidade constante e igual a 
g = 9,8 m/s2, tem-se que o peso p de um corpo depende de sua mas-
sa m, ou seja, p é função de m: p = f(m). 
 
 
 
12
Este exemplo mostra uma função que representa um fenômeno físi-
co. 
3) De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue percor-
rendo o eixo central de uma artéria do corpo humano de raio r é da-
da por 2rCv ⋅= , onde C é uma constante. Logo, a velocidade v do 
sangue é função do raio r da artéria. 
A função deste exemplo exprime um fenômeno biológico. 
4) Se P reais forem investidos com uma taxa de juros anual j e os ju-
ros forem capitalizados anualmente, o saldo S, após t anos, será da-
do por: ( )tj1PS +⋅= reais. Vê-se, assim, que S é função de t. 
Neste exemplo tem-se uma função que representa um fato econômi-
co. 
Definição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, considere-se o 
produto cartesiano de A por B, denotado por A x B: 
( ){ }BbeAa/b,aBA ∈∈=× . 
Todo subconjunto R de A x B é denominado uma relação de A em 
B. 
Notação. Se o par (a, b) é um elemento de R, ou seja, se a está na re-
lação R com b, denota-se por aRb. 
Definição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, a relação f de A 
em B é uma função (ou aplicação) de A em B se, para todo elemen-
to x de A, existe um único elemento y de B tal que (x, y) ∈ f. 
 
FIGURA 1 
 
 
13
Define-se, em geral, uma função f de A em B mediante uma lei que 
associa a cada elemento de A um único elemento de B, através da 
seguinte notação: 
f(x)y x 
B A:f
=
→
�
. 
A representação gráfica é apresentada na Figura 1. 
Exemplo: Se { }3,1,0,1,2A −−= e { }4,3,2,1,0B = , a correspondência 
f que associa a cada elemento x de A o elemento y de B tal que 
22 yx = tem a representação gráfica mostrada na Figura 2. 
 
FIGURA 2 
A relação f é uma função de A em B, pois, para cada elemento x de 
A, existe um único elemento y de B tal que 22 yx = . 
Nomenclatura e notações 
O conjunto A é chamado domínio de f . Notação: D(f). 
Então, ( ) { }xemdefinidaéf/AxfD ∈= , ou seja: 
( ) ( ){ }Rxf/AxfD ∈∈= . 
O conjunto B é o contra-domínio de f . Notação: ( )fCD . 
As variáveis x e y são, respectivamente, a variável independente e a 
variável dependente. Então, diz-se que y é função da variável x ou 
que y depende de x. 
O conjunto imagem de f é dado por: 
 
 
14
( ) ( ){ }xfycom,Ax/ByfIm =∈∃∈= . 
Uma vez que a função f é uma relação, tem-se que f pode ser re-
presentada por um conjunto de pares ordenados, isto é: 
( ) ( ){ }xfyeAx/y,xf =∈= . 
Na Figura 1, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ){ }s,d,r,c,q,b,q,af = . 
Então: 
( ) { }d,c,b,afD = ; ( ) { }t,s,r,q,pfCD = ; ( ) { }s,r,qfIm = . 
Na Figura 2, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,3,1,1,0,0,1,1,2,2f −−= . 
Assim: 
( ) { }3,1,0,1,2fD −−= ; ( ) { }4,3,2,1,0fCD = ; ( ) { }3,2,1,0fIm = . 
Em geral, tem-se ( ) ( )fCDfIm ⊂ . 
Usualmente, trabalha-se com funções em que os conjuntos domínio 
e contra-domínio são subconjuntos de R , isto é: 
)x(fyx
RB RA:f
=
⊆→⊆
�
 . 
Nesse caso, f é uma função real de uma variável real. 
Quando a variável dependente y está isolada, diz-se que a função é 
dada na forma explícita: ( )xfy = . 
Se a variável y não está isolada, a função está dada na forma implíci-
ta: F(x, y) = 0. 
Observação: dada uma função na forma implícita, nem sempre é 
possível colocá-la na forma explícita, como, por exemplo, no caso 
da função dada por ( ) 0yxyxsen =−+⋅ . 
Igualdade de funções 
Dadas duas funções f e g , diz-se que f = g se, e somente se, são sa-
tisfeitas as condições: ( ) ( ) AgDfD == e ( ) ( )xgxf = f(x) = g(x), pa-
ra todo x do domínio. 
Exemplo: a função ( ) 2xxf += tem domínio RA = . Considerando 
a função ( ) 2xxg += , com a restrição de que 2x −> , conclui-se 
que as duas funções, embora definidas pela mesma expressão analí-
tica, são diferentes, já que seus domínios são diferentes. 
 
 
15
Tomando-se, agora, a função 
2x
4x)x(h
2
−
−
= , seu domínio é o con-
junto ( ) { }2x/RxhD ≠∈= . 
Para todo x ≠ 2, pode-se escrever: 
2x)x(h
2x
)2x)(2x()x(h
2x
4x)x(h
2
+=⇔
−
+−
=⇔
−
−
= . 
Importante: ( )xh é equivalente à função 2x + somente para os va-
lores de x ≠ 2. 
Conclusão: as funções ( ) 2xxf += , ( ) 2xxg += e 
2x
4x)x(h
2
−
−
= , 
embora tenham expressões analíticas equivalentes, são diferentes 
entre si, pois têm domínios diferentes: 
( ) 2xxf += : ( ) RfhD = 
( ) 2xxg += : ( ) { }2x/RxgD −>∈= 
2x
4x)x(h
2
−
−
= : ( ) { }2x/RxhD ≠∈= 
Essas funções assumem o mesmo valor, para todo x > -2 e x ≠ 2, já 
que têm expressões equivalentes. Por exemplo, se x = 3, tem-se que 
f(3) = g(3) = h(3) = 5. 
As funções f e h assumem o mesmo valor, para todo x ≠ 2. Por 
exemplo, se x = -4, tem-se que f(-4) = h(-4) = -2. 
Conseqüências da definição de função 
Com freqüência, as funções surgem de relações algébricas entre va-
riáveis. Uma equação envolvendo x e y determina y como função de 
x se tal equação for equivalente a uma fórmula que exprima univo-
camente y em termos de x. 
Exemplo: a equação 6.x + 2.y = -3 pode ser resolvida para y, isto é, 
pode ser escrita na forma 
2
3
x3
2
3x6y −⋅−=−⋅−= , que define y 
como função de x. 
Nesse caso, pode-se exprimir também x em função de y: 
2
1y
3
1
6
3y2
x −⋅−=
−⋅−
= , que define x em função de y. 
 
 
16
Também se podem ter outras variáveis envolvidas numa equação, 
sendo que cada uma delas pode ser explicitada em relação à outra. 
Exemplo: considere-se a fórmula de conversãoda temperatura da es-
cala Fahrenheit à escala Celsius: 
9
32F
5
C −
= . Pode-se escrever: 
• C como função de F: 
9
)32F(5C −⋅= ; 
• F como função de C: 32
5
C9F +⋅= . 
Assim, para saber, por exemplo, quantos graus Celsius correspon-
dem a 212 graus Fahrenheit, faz-se: C100
9
)32212(5C o=−⋅= . 
Para saber quantos graus Fahrenheit correspondem à temperatura de 
25oC, faz-se: F7732
5
259F o=+⋅= . 
Em muitos casos, o processo de resolução para y leva a mais de um 
valor de y. 
Exemplo: se xy2 = , então: �= xy2 �= xy xy = ou 
xy −= . 
 
FIGURA 3 
Assim, a equação xy2 = não determina y como função de x. Sepa-
 
 
17
radamente, cada uma das fórmulas xy = e xy −= define y co-
mo função de x, de modo que, de uma equação, obtêm-se duas fun-
ções. As Figuras 3 e 4 mostram os gráficos de xy2 = e das funções 
xy = e xy −= . 
 
FIGURA 4 
Cuidados com a definição de uma função: é preciso compreender a 
fórmula, ou a lei que define uma função. 
Exemplos: 
1) Considere-se ( ) 1xxf 2 += ; quer-se calcular ( )hxf + . 
Um erro muito comum que se observa é escrever: 
( ) 1hxhxf 2 ++=+ , ou, ainda, ( ) 1hxhxf 22 ++=+ . O erro está 
na interpretação do símbolo ( ) 1xxf 2 += . Quando se escreve, por 
exemplo, ( )3f , o número 3 está no lugar de x; então: 
( ) 10133f 2 =+= . 
Quando se escreve ( )hxf + , a expressão ( )hx + está no lugar de x; 
então: 
( ) ( ) 1hhx2x1hxhxf 222 ++⋅⋅+=++=+ . 
Assim: 
 
 
18
• ( ) ( ) 11x1xf 222 ++=+ ; 
• ( ) 11x
11
1x
1
1x
1f 2
2
+
+
=+�
�
�
�
�
�
+
=�
�
�
�
�
�
+
, para x ≠ -1; 
• ( ) 1##f 2 += . 
2) Considere-se 
x
1)x(f = (x ≠ 0); então: 
•
a1
1)a1(f
−
=− , com a ≠ 1; 
•
hx
1)hx(f
+
=+ , x ≠ -h; 
• 1x
1x
1
1
1x
1f +=
+
=�
�
�
�
�
�
+
, com x ≠ -1; 
• )hx(x
1
h
)hx(x
h
h
)hx(x
)hx(x
h
x
1
hx
1
h
)x(f)hx(f
+⋅
−=
+⋅
−
=
+⋅
+−
=
−
+
=
−+
 
sendo h ≠ 0 e x ≠ -h. 
Definições e Gráficos 
A imagem geométrica de R é uma reta orientada, como mostra a 
Figura 5. 
 
FIGURA 5 
Há uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pon-
tos da reta, isto é, a cada número real x, corresponde um ponto P da 
reta orientada e a cada ponto P da reta, corresponde um número real 
x. 
Denota-se por 2R (ou seja, R x R ) o conjunto dos pares ordenados 
de números reais: 
( ){ }RyeRx/y,xR 2 ∈∈= . 
 
 
19
A imagem geométrica do 2R é um plano de coordenadas cartesia-
nas ortogonais. Existe uma correspondência biunívoca entre pares 
ordenados de números reais e pontos do plano (Figura 6). 
 
FIGURA 6 
O eixo Ox é chamado eixo das abscissas e o eixo Oy, eixo das or-
denadas. O plano, munido do sistema aqui descrito é, usualmente, 
chamado plano coordenado ou, simplesmente, plano Oxy. 
São dadas, nos sub-itens seguintes, algumas definições importantes 
sobre funções reais de uma variável real, isto é, funções do tipo: 
)x(fyx
RB RA:f
=
⊆→⊆
�
, 
com representações geométricas no plano coordenado. 
Gráfico de uma função f. Uma vez que a função f pode ser repre-
sentada por um conjunto de pares ordenados, seu gráfico é um sub-
conjunto de 2R , isto é, 
( ) ( ) ( ) ( ){ }xfyefDx/y,xfGr =∈= , 
ou, equivalentemente, 
( ) ( )( ) ( ){ }fDx/xf,xfGr ∈= . 
O conjunto domínio da função está situado no eixo das abscissas do 
plano coordenado (Ox) e o contradomínio, no eixo das ordenadas 
(Oy). A cada x em D(f), corresponde um único número real 
( )xfy = , o qual é um elemento do conjunto Im(f) (Figura 7). 
 
 
20
 
FIGURA 7 
Lembrando que uma relação f é uma função se, e somente se, a ca-
da elemento x de seu domínio corresponde um único y, conclui-se 
que para que um gráfico represente uma função, somente um ponto 
( )y,x do gráfico pode ter abscissa x (Figura 7). Logo, cada reta ver-
tical intercepta o gráfico de f em apenas um ponto. 
Alguns exemplos de gráficos que não representam funções: circun-
ferências, elipses e parábolas com eixo de simetria horizontal (Figu-
ra 8). 
 
FIGURA 8 
 
 
21
Zeros e sinais de funções 
Quando se tem a representação gráfica de uma função ( )xfy = , de-
termina-se facilmente o seu sinal: 
• se o ponto ( )( )xf,x do gráfico situa-se acima do eixo Ox, o valor 
de f em x é positivo; 
• se o ponto está abaixo do eixo Ox, o valor da função é negativo em 
x; 
• se o ponto está sobre o eixo Ox, o valor da função em x é zero. 
Os pontos do gráfico da função que interceptam o eixo Ox são do ti-
po ( )0,x , ou seja, ( ) 0xfy == , e, portanto, são as soluções da equa-
ção ( ) 0xf = . 
Os valores de x tais que ( ) 0xf = são as raízes da equação, também 
chamados de zeros da função f . 
Mostram-se, a seguir, gráficos de uma função ( )xfy = interceptan-
do o eixo Ox em três pontos distintos, ou seja, a função f tem três 
zeros x1, x2 e x3 (Figura 9), em dois pontos coincidentes (Figura 10) 
e em ponto algum (Figura 11). 
 
FIGURA 9 
Observe, na Figura 9, que, quando o gráfico da função atravessa o 
eixo Ox, ela muda de sinal, isto é, passa do negativo para o positivo 
e vice-versa. Têm-se os seguintes sinais para f : 
• negativa, nos intervalos ( )1x,∞− e ( )32 x,x ; 
 
 
22
• positiva, nos intervalos ( )21 x,x e ( )∞,x 3 . 
No gráfico da Figura 9, mostra-se uma função com três zeros distin-
tos; há, entretanto, funções que possuem zero duplo e funções que 
não têm zeros, como nos gráficos das Figuras 10 e 11, respectiva-
mente. 
 
FIGURA 10 
O gráfico da função f da Figura 10 mostra que ( ) 0xf ≥ , ∀ x ∈ R ; 
no caso da função da Figura 11, tem-se que ( ) 0xf > , ∀ x ∈ R . 
 
FIGURA 11 
Exemplo: seja ( )1xx)x(f 2 −⋅= . Para algum a < 0, determine o sinal 
de ( )3,0f)a1(f ⋅+− . Em seguida, verifique se existe algum zero de 
f no intervalo [ ]3,0;a1 +− . 
Tem-se: 
 
 
23
( ) ( )=−+⋅−⋅+−=−+−⋅+−=+− 1aa21)a1(1)a1()a1()a1(f 22 
( )2a)1a(a −⋅−⋅= ; 
por outro lado: ( ) ( )109,03,013,03,0)3,0(f 2 −⋅=−⋅= . 
Assim, vem: 
( ) � � ( )�����������
00000
109,03,0)2a()1a(a3,0f)a1(f
<><<<
−⋅⋅−⋅−⋅=⋅+− , 
ou seja, ( ) 03,0f)a1(f >⋅+− . 
Observou-se, acima, que 0)a1(f <+− e que ( ) 03,0f < , ou seja, a 
função f não muda de sinal no intervalo [ ]3,0;a1 +− . Assim, a fun-
ção pode não ter zeros neste intervalo ou, se tiver, terá um número 
par de zeros no intervalo, isto é, dois zeros, no caso da função estu-
dada. É fácil ver, neste exemplo, que os zeros de f são os números 
reais -1, 0 e 1 e que os dois primeiros pertencem ao intervalo 
[ ]3,0;a1+− . 
Função composta 
Dados os conjuntos não vazios A, B e C e as funções 
)x(fyx
B A:f
=
→
�
 e )y(gzy
C B:g
=
→
�
, 
chama-se função composta de g com f a função C A:fg →� , 
definida por: ( )( ) ( )( )xfgxfg =� . 
A representação gráfica da definição é mostrada nas Figuras 12 e 13. 
 
FIGURA 12 
 
 
24
Observações: a composição de g com f , denotada por fg � , é lida 
g composta com f ou, então, g bola f . Não se trata, evidentemen-
te, do produto de g por f , denotado por fg ⋅ . Além disso, como se 
mostrará no Exemplo 2, tem-se, em geral, que ( )( ) ( )( )xgfxfg �� ≠ , 
ou seja, g composta com f é diferente, em geral, de f composta 
com g . 
 
FIGURA 13 
Exemplos: 
1) Considerem-se os conjuntos { }3,2A = , { }3,2,1B = e { }6,4,2C = 
e as funções definidas por: 
1xyx
B A:f
−=
→
�
 e 
y2zy
C B:g
⋅=
→
�
. 
 
FIGURA 14 
Então, as funções f e g são dadas pelos seguintes conjuntos de pa-
res ordenados: ( ) ( ){ }2,3,1,2f = e ( ) ( ) ( ){ }6,3,4,2,2,1g = . 
 
 
25
A representação gráfica dessas funções é mostrada na Figura 14.Note que a função composta de g e f é a função: 
C A:fgh →= � , definida por: 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2x21x21xgxfgxfgxh −⋅=−⋅=−=== � 
( )( ) 2x2xfg −⋅=∴ � . 
Assim, tem-se, por exemplo, que ( )( ) 22222fg =−⋅=� . Conforme 
se pode observar na Figura 14, o elemento x = 2 ∈ A é levado, pela 
f , no elemento y = 1 ∈ B, que, por sua vez, é levado, pela g , no e-
lemento z = 2 ∈ C. Ou seja: 
 
FIGURA 15 
A função composta fgh �= leva o elemento x = 2 ∈ A diretamen-
te ao elemento z = 2 ∈ C. Analogamente, ( )( ) 42323fg =−⋅=� . 
2) Considerem-se as funções 
( ) 1xxfx
R R:f
+=
→
�
 e ( ) 3xxgx
R R:g
=
→
�
. 
Tomando, por exemplo, x = 1, tem-se: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2111f1f1gf1gf 3 =+====� . 
Equivalentemente, pode-se fazer: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1xxgf1xxfxgfxgf 333 +=∴+=== �� 
e, portanto, vem: 
( )( ) 2111gf 3 =+=� , 
valor esse obtido através da composição de f e g . 
Por outro lado, considerando-se, novamente, x = 1, tem-se: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 822g11g1fg1fg 3 ===+==� . 
Observe que a composição de g com f é dada por: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )33 1xxfg1x1xgxfgxfg +=∴+=+== �� , 
 
 
26
ou seja, 
( )( ) ( ) 82111fg 33 ==+=� . 
Esse exemplo deixa claro que, em geral, tem-se 
( )( ) ( )( )xgfxfg �� ≠ . 
Função par e função ímpar 
A função f é dita par se satisfaz a relação ( ) ( )xfxf −= , para todo 
ponto x de seu domínio. Se for satisfeita a relação ( ) ( )xfxf −−= , 
diz-se que f é ímpar. É claro que, para que seja possível determinar 
se f é par ou ímpar, deve-se ter –x pertencente ao domínio da fun-
ção, para todo x de seu domínio. 
Graficamente, as funções pares e ímpares apresentam a seguinte 
propriedade: 
• se f é par, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy; 
• se f é ímpar, seu gráfico apresenta simetria em relação à origem 
do plano cartesiano. 
Os gráficos das Figuras 16 e 17 ilustram essas definições. 
Para se determinar analiticamente se a função é par ou ímpar, toma-
se a expressão da função e substitui-se x por –x, se possível. 
 
FIGURA 16 
Exemplos: 
1) Se ( ) 3x2xf 2 +⋅= , então: 
 
 
27
( ) ( ) ( )xf3x23x2xf 22 =+⋅=+−⋅=− ∴ f é par. 
 
FIGURA 17 
2) Se ( ) 35 x2x3xg ⋅−⋅= , então: 
( ) ( ) ( ) ( )xgx2x3x2x3xg 3535 =⋅+⋅−=−⋅−−⋅=− ∴ g é ímpar. 
3) Se ( ) 1x5x3xh 4 +⋅−⋅= , então: 
( ) ( ) ( ) 1x5x31x5x3xh 44 +⋅+⋅=+−⋅−−⋅=− ∴ h não é par, 
nem ímpar, já que não satisfaz nenhuma das duas definições. 
Observação: como se disse acima, para que seja possível estudar a 
paridade de uma função f , é preciso que –x pertença ao domínio da 
função, para todo x de seu domínio. Isso indica que nem sempre se 
pode efetuar esse estudo da paridade. Além disso, mesmo que se 
possa, é freqüente que se conclua que a função não é par, nem ím-
par. 
Função crescente e decrescente 
Se existe uma dependência funcional entre as variáveis x e ( )xfy = 
e sendo essas variáveis ordenadas, é possível que y cresça com x ou 
 
 
28
decresça, conforme x cresce. Assim, tem-se: 
• ( )xfy = é crescente se 21 xx ≤ � ( ) ( )21 xfxf ≤ 
• ( )xfy = é decrescente se 21 xx ≤ � ( ) ( )21 xfxf ≥ 
As representações gráficas dessas definições são mostradas nas Fi-
guras 18 e 19. 
 
FIGURA 18 
 
FIGURA 19 
Função bijetora 
Conceitos importantes no estudo de funções são os de função injeto-
ra e função sobrejetora. Para uma dada função f , define-se: 
• ( )xfy = é injetora se: 
( ) ( ) 2121 xxxfxf =�= , ou seja, 2121 xxyy =�= . 
Isto significa que cada y pertencente ao conjunto Im(f) é imagem de 
um único x do domínio de f . Equivalentemente, tem-se: 
 
 
29
( ) ( )2121 xfxfxx ≠�≠ . Assim, elementos distintos do domínio de 
f têm imagens diferentes. 
Por outro lado, tem-se: 
• ( )xfy = é sobrejetora se ( )fCDy∈∀ , ( ) ( )xfy/fDx =∈∃ , isto 
é: ( ) ( )fCDfIm = . 
Isto significa que todo elemento do contra-domínio de f é imagem 
de pelo menos um x do domínio de f . 
Se f é uma função de R em R , tem-se, graficamente, que: 
• se f é injetora, toda reta horizontal que intercepta o gráfico de f 
o faz em um único ponto; 
• se f é sobrejetora, toda reta horizontal intercepta o gráfico de f 
em pelo menos um ponto. 
Assim, para que f seja ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, toda 
reta horizontal deve interceptar o gráfico de f em um único ponto 
(Figura 20). 
 
FIGURA 20 
É fácil ver que uma função que é sempre crescente ou sempre de-
crescente em seu domínio é injetora. A Figura 21 mostra uma fun-
ção que não é injetora, nem sobrejetora. 
Quando a função é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, diz-se 
que ela é bijetora. Assim, uma função é bijetora quando cada ele-
mento do contra-domínio é imagem de um único elemento de seu 
domínio. 
 
 
30
 
FIGURA 21 
Função inversa 
Se uma função f é bijetora, ela admite inversa, ou seja, é inversível. 
Isto acontece porque se cada ( )fCDy∈ é imagem de um único 
( )fDx ∈ , então entre os valores de x e de y se estabelece uma rela-
ção biunívoca. Assim, interpretando os valores de y como valores da 
variável independente e os valores de x como valores da função, ob-
tém-se x como função de y: ( )ygx = . Esta função chama-se inversa 
da função ( )xfy = . 
Notação: ( )yfxf 11 −− =∴ . 
 
FIGURA 22 
 
 
31
Logo, como conseqüência imediata, tem-se que o domínio de f 
passa a ser a imagem de 1f − e a imagem de f torna-se o domínio de 
1f − : ( ) ( )fImfD 1 =− e ( ) ( )fDfIm 1 =− (Figura 22). 
Para se determinar analiticamente a inversa de uma função dada f , 
utiliza-se o seguinte procedimento: 
• isola-se a variável x na expressão dada de f ; 
• troca-se y por x e x por y. 
Os gráficos de f e de 1f − são simétricos em relação à reta y = x. 
Exemplos: 
1) A função dada pela expressão analítica ( ) 1x2xfy +⋅== tem 
D(f) = R e CD(f) = R . Além disso, f é crescente em R e, portan-
to, é injetora. Como todo y de R é imagem de algum x do domínio, 
isto é, Im(f) = CD(f) = R ; conclui-se que f é sobrejetora e, portan-
to, bijetora. Assim, é possível determinar sua inversa. 
Utilizando-se o procedimento indicado, tem-se: 
• isola-se x: y = 2.x + 1 � 
2
1y
x
−
= ; 
• trocam-se as variáveis x e y: 
2
1xy −= . 
 
FIGURA 23 
 
 
32
Logo, a função inversa da função dada é: 
2
1x)x(fy 1 −== − . Os 
gráficos de f e de 1f − são indicados na Figura 23. 
2) Seja a função dada por: 
2x x 
R R :f
=
→
y�
. 
Com o objetivo de obter a função inversa de f , é necessário verifi-
car se ela é injetora e sobrejetora. Observe que: 
• f não é sobrejetora, pois, por exemplo, ( )fCD2y ∈−= e não é a 
imagem de nenhum ( )fDx ∈ . Genericamente: todo y < 0 não é i-
magem de nenhum elemento ( )fDx ∈ . Para que f seja sobrejetora, 
é necessário fazer: ( ) ( ) +== RfImfCD . Logo, redefine-se a função, 
escrevendo-a da seguinte maneira: 
2x x 
R R :f
=
→ +
y�
. 
Essa função é, agora, sobrejetora. 
• f não é injetora, pois cada +∈ Ry é imagem de x e de –x ∈ R . 
Logo, é necessário também fazer uma restrição no domínio de f . 
Por exemplo, pode-se fazer ( ) += RfD , isto é, pode-se redefinir a 
função mais uma vez: 
2x x 
R R :f
=
→ ++
y�
. 
Dessa forma, f é, agora, injetora e sobrejetora, isto é, f é bijetora; 
pode-se, finalmente, determinar sua inversa: yxxy 2 =�= ∴ 
xy = é a função desejada. 
A Figura 24 mostra os gráficos de f (depois de feitas as restrições 
no domínio e no contra-domínio) e de 1f − . 
Outra forma: pode-se obter uma outra função inversa da função dada 
inicialmente fazendo ( ) −= RfD e ( ) ( ) +== RfImfCD . Ou seja, re-
definindo a função da seguinte maneira: 
 
 
33
2x x 
R R :f
=
→ +−
y�
, 
o que torna a funçãof , como anteriormente, bijetora. Então: 
yxxy 2 −=�= ∴ xy −= . 
 
FIGURA 24 
Os gráficos de f (com a nova restrição do domínio) e de 1f − são 
mostrados na Figura 25. 
 
FIGURA 25 
 
 
34
3) Para uma dada função inversível y = f(x), explicar o que signifi-
cam as notações: ( )xf 1− , ( )1xf − e ( )[ ] 1xf − . É verdadeira a afirma-
ção: ( ) ( ) ( )[ ] 111 xfxfxf −−− == ? 
Os significados das notações são: 
• ( )xf 1− denota a função inversa da função ( )xf ; 
• ( )1xf − denota a imagem, pela função f , do inverso de x. Ou seja, 
é a função f calculada no ponto 
x
1
x 1 =− : ( ) �
�
�
�
�
�
=
−
x
1fxf 1 ; 
• ( )[ ] 1xf − denota o inverso da imagem de x através da função f , isto 
é, é o inverso do valor que a função f assume no ponto x: 
( )[ ] ( )xf
1
xf 1 =− . 
Pelos significados explicados acima, fica evidente que a afirmação 
de que ( ) ( ) ( )[ ] 111 xfxfxf −−− == é falsa. Para exemplificar, considere-
se a função do Exemplo 1: ( ) 1x2xf +⋅= . Tem-se: 
• a inversa dessa função é 
2
1x)x(fy 1 −== − ; 
• pela definição de função, tem-se, para um número real não nulo x: 
( ) 1
x
21
x
12
x
1fxf 1 +=+�
�
�
�
�
�
⋅=�
�
�
�
�
�
=
− ; 
• pelos conceitos de função e de inverso de um número real não nu-
lo, tem-se: 
( )[ ] ( ) 1x2
1
xf
1
xf 1
+⋅
==
−
, 
que está definido para todo número real x tal que 2.x + 1 ≠ 0. 
Assim, é evidente que ( ) ( ) ( )[ ] 111 xfxfxf −−− ≠≠ . 
Apenas a título de exemplificação, considere-se x = 2. Então: 
( ) ( )
2
1
2
122fxf 11 =−== −− 
( ) ( ) 21
2
12
2
1f2fxf 11 =+⋅=�
�
�
�
�
�
==
−−
 
( )[ ] ( )[ ] ( ) 5
1
122
1
2f
12fxf 11 =
+⋅
===
−−
. 
2 FUNÇÃO DO 1o GRAU 
Definição. Dados os números reais a � 0 e b, chama-se função do 1o 
grau (ou função afim) a função de R em R que a cada número real 
x associa o valor a.x + b. 
Notação: 
bxa x 
R R :f
+⋅=
→
y� . 
Tem-se, assim: ( ) RfD = e ( ) RfIm = . 
Exemplos: são funções do 1o grau: 
3
5
x7,0 x 
R R :f
+⋅=
→
y�
 ; 
x2 x 
R R :f
⋅−=
→
y� ; 1x2 x 
R R :f
−⋅=
→
y�
. 
Observações: 
1) Quando b = 0, tem-se ( ) xaxf ⋅= , que é chamada função linear. 
2) Quando a = 0, tem-se ( ) bxf = , que associa a cada valor da variá-
vel x a mesma imagem b. Essa função é chamada função constante. 
Gráfico da função do 1o grau 
O gráfico de uma função do 1o grau é uma reta não paralela nem ao 
eixo Ox e nem ao eixo Oy. 
Exemplos: 
1) Considere-se a função definida pela lei ( ) 3x2xfy +⋅== . Pro-
curam-se, em particular, os pontos em que a reta intercepta os eixos 
Ox e Oy. Tem-se: 
• o ponto no qual a reta intercepta o eixo Ox tem ordenada y = 0. 
Então, faz-se: 
�
�
�
�
�
�
−∴−=�=+⋅�= 0,
2
3P
2
3
x03x20y 
• o ponto no qual a reta intercepta o eixo Oy tem abscissa x = 0. En-
tão: 
( )3,0Q3y302y0x ∴=�+⋅=�= 
O gráfico dessa função é mostrado na Figura 1. 
 
36
 
FIGURA 1 
 
FIGURA 2 
2) No caso da função constante ( ) bxf = , o gráfico é uma reta para-
lela ao eixo Ox, situada acima ou abaixo desse eixo, dependendo do 
sinal de b, ou coincidente com ele, quando b = 0, conforme se vê 
nos gráficos da Figura 2. 
De um modo geral, dada a função ( ) bxaxfy +⋅== , tem-se: 
• quando a reta intercepta o eixo Ox, tem-se que ( ) 0xfy == . Logo, 
 
37
vem: 
�
�
�
�
�
�
−∴−=�=+⋅�= 0,
a
bP
a
b
x0bxa0y ; 
• quando a reta intercepta o eixo Oy tem abscissa x = 0. Então: 
( )b,0Qbyb0ay0x ∴=�+⋅=�= 
Significado dos coeficientes 
Analisar-se-á o significado dos números reais a e b da função do 1o 
grau ( ) bxaxfy +⋅== , cujo gráfico é uma reta r. 
(a) coeficiente b: como se viu anteriormente, o gráfico da função f 
intercepta o eixo Oy no ponto ( )b,0 . Portanto, b é o valor algébrico 
do segmento determinado pela origem do sistema da coordenadas 
cartesianas e pelo ponto ( )b,0 . O coeficiente b é, por esse motivo, 
chamado de coeficiente linear da reta. 
 
FIGURA 3 
(b) coeficiente a: considerem-se os pontos ( )111 y,xP e ( )222 y,xP 
pertencentes ao gráfico de f , ou seja, pertencente à reta r. Tem-se: 
( )
( )�	
+⋅==�∈
+⋅==�∈
bxaxfyrP
bxaxfyrP
2222
1111 ; 
então: 
 
38
( )
12
12
1212
xx
yy
axxayy
−
−
=�−⋅=− . 
Na Figura 3 tem-se a representação gráfica desse quociente. No tri-
ângulo QPP 21 , α é o ângulo formado entre a reta r e o semi-eixo 
positivo do eixo Ox. Desse triângulo, vem: 
α=�
−
−
==α tga
xx
yy
QP
QP
tg
12
12
1
2
. 
Por esse motivo, α= ��� recebe o nome de coeficiente angular da 
reta r ou inclinação da reta r. 
Observação: se a > 0, tem-se que 0tg >α , ou seja, o ângulo α é tal 
que 
2
0 pi<α< . Assim, a função ( ) bxaxf +⋅= é crescente (Figuras 
4-(a) e 4-(b)). 
 
FIGURA 4-(a) 
Se a < 0, então 0tg <α , ou seja, o ângulo α é tal que pi<α<pi
2
 e a 
função ( ) bxaxf +⋅= é decrescente (Figuras 5-(a) e 5-(b)). 
Exemplo: a reta y = x é denominada bissetriz do 1o e 3o quadrantes, 
já que se tem: 
o451tg1a =α�=α�= ; 
por outro lado, tem-se b = 0, ou seja, a reta intercepta o eixo Oy no 
 
39
ponto (0, 0) e, portanto, passa pela origem do sistema de coordena-
das cartesianas ortogonais. Seu gráfico é mostrado na Figura 6. 
 
FIGURA 4-(b) 
 
FIGURA 5-(a) 
 
40
 
FIGURA 5-(b) 
 
FIGURA 6 
Sinal da função do 1o grau 
Estudar o sinal da função do 1o grau ( ) bxaxfy +⋅== é determi-
nar quais são os valores da variável x para os quais se tenha 
( )xfy = positivo ou negativo. Para tal estudo, deve-se determinar, 
primeiramente, o zero da função f , ou seja, a raiz da equação 
( ) 0xf = . Tem-se: 
a
b
x0bxa −=�=+⋅ . 
 
41
Assim, 
a
b
x −= é o zero da função f e é a abscissa do ponto de in-
terseção do gráfico de f com o eixo Ox, como se viu anteriormente. 
Analisam-se, a seguir, os sinais que a função f assume. Conforme 
mostra a Figura 4, se 0a > , a função é crescente e tem-se: 
�
�
�
��
	
>�−>
<�−<
0y
a
b
x
0y
a
b
x
, 
independentemente do sinal de b. 
Como se pode ver na Figura 5, se 0a < , a função é decrescente e 
tem-se: 
�
�
�
��
	
<�−>
>�−<
0y
a
b
x
0y
a
b
x
, 
independentemente do sinal de b. 
Observações: 
1) Analisando-se os gráficos apresentados na Figura 4, em que se 
tem 0a > , ou seja, função crescente, observa-se que, tomando-se 
valores de x maiores do que o zero da função 
a
b
x −= , tem-se 
0y > , isto é, os valores de y têm o mesmo sinal do coeficiente a. 
Por outro lado, tomando-se valores de x menores do que 
a
b
x −= , 
tem-se 0y < , isto é, os valores de y têm o sinal contrário ao do coe-
ficiente a. Essas conclusões podem ser representadas através do dia-
grama da Figura 7. 
 
FIGURA 7 
 
42
2) Analisando-se, agora, os gráficos apresentados na Figura 5, em 
que se tem 0a < , ou seja, função decrescente, observa-se que, to-
mando-se valores de x maiores do que o zero da função 
a
b
x −= , 
tem-se 0y < , isto é, os valores de y têm o mesmo sinal do coefici-
ente a. Por outro lado, tomando-se valores de x menores do que 
a
b
x −= , tem-se 0y > , isto é, os valores de y têm o sinal contrário 
ao do coeficiente a. O diagrama da Figura 8 mostra essas conclu-
sões. 
 
FIGURA 8 
Vê-se, assim, que as conclusões sobre os sinais da função são as 
mesmas, independentemente do sinal do coeficiente a: 
• 
a
b
x −< � y tem o sinal contrário ao sinal de a; 
• 
a
b
x −> � y tem o mesmo sinal de a. 
O diagrama da Figura 9 mostra essas conclusões. 
 
FIGURA 9 
Exemplos: 
1) Estudaros sinais da função ( ) 3x2xfy +⋅== . 
Fazendo ( ) 0xf = , vem: 
2
3
x03x2 −=�=+⋅ , 
ou seja, 
2
3
x −= é o zero da função f , ou seja, seu gráfico intercep-
 
43
ta o eixo Ox no ponto �
�
�
�
�
�
− 0,
2
3P . A função f tem coeficiente 
a = 2 > 0. Então: 
• 
2
3
x −< � y tem o sinal contrário ao sinal de a, ou seja, 0y < ; 
• 
2
3
x −> � y tem o mesmo sinal de a, ou seja, 0y > . 
Assim, a função f é negativa no intervalo �
�
�
�
�
�
−∞−
2
3
, e positiva no 
intervalo �
�
�
�
�
�
+∞− ,
2
3
. O diagrama da Figura 10 mostra essas conclu-
sões. 
 
FIGURA 10 
 
FIGURA 11 
Além disso, como se viu anteriormente, a reta intercepta o eixo Oy 
no ponto ( )3,0Q . O gráfico da Figura 11, já mostrado na Figura 1, 
ilustra o que se acabou de concluir. Como se vê, para os valores de x 
 
44
menores do que 
2
3
− , o segmento de reta se situa abaixo do eixo Ox, 
ou seja, os valores de ( )xfy = são negativos. Para os valores de x 
maiores do que 
2
3
− , o segmento de reta se situa acima do eixo Ox, 
ou seja, os valores de ( )xfy = são positivos. 
2) Estudar os sinais da função ( ) 1x3xfy −⋅−== . 
Fazendo ( ) 0xf = , vem: 
3
1
x01x3 −=�=−⋅− , 
ou seja, 
3
1
x −= é o zero da função f e, portanto, seu gráfico inter-
cepta o eixo Ox no ponto �
�
�
�
�
�
− 0,
3
1P . 
A função f tem coeficiente a = -3 < 0. Então: 
• 
3
1
x −< � y tem o sinal contrário ao sinal de a, ou seja, 0y > ; 
• 
3
1
x −> � y tem o mesmo sinal de a, ou seja, 0y < . 
Isto é, a função f é positiva no intervalo �
�
�
�
�
�
−∞−
3
1
, e negativa no 
intervalo �
�
�
�
�
�
+∞− ,
3
1
. 
O diagrama de sinais mostrado na Figura 12 ilustra essas conclu-
sões. 
 
FIGURA 12 
No caso da função dada, seu gráfico intercepta o eixo Oy no ponto 
( )1,0Q − , conforme se pode ver na Figura 13. 
 
45
 
FIGURA 13 
 
FIGURA 14 
Observações: 
1) Uma reta r paralela ao eixo das ordenadas é tal que todos os seus 
pontos ( )y,x têm a mesma abscissa x = k e, portanto, esta é sua e-
 
46
quação. Essa reta pode estar à direita ou à esquerda do eixo Oy, de-
pendendo de k ser positivo ou negativo, ou pode ser coincidente 
com este eixo, se k = 0, conforme mostra a Figura 14. É importante 
destacar que a equação x = k não representa uma função do 1o grau. 
Na verdade, não representa sequer uma função, pois, para um mes-
mo valor de x, há infinitos valores de y, como se vê nos gráficos da 
Figura 14. 
2) A função ( )
x
1
xfy == não representa uma função do 1o grau, 
pois pode ser escrita na forma ( ) 1xxfy −== , o que mostra que o 
expoente da variável x é –1. Portanto, seu gráfico não é uma reta, 
como mostra a Figura 15. 
 
FIGURA 15 
3 INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
É toda sentença matemática que exprime uma relação de desigual-
dade do tipo 0bxa ≤+⋅ ou 0bxa ≥+⋅ . Também se podem ter as 
desigualdades 0bxa <+⋅ ou 0bxa <+⋅ que são desigualdades es-
tritas. Nessas desigualdades, a e b são números reais, com 0a ≠ . 
Resolver uma inequação, a exemplo da resolução de uma equação, é 
determinar os valores da variável que tornam verdadeira a sentença 
matemática. Entretanto, no caso de uma equação do 1º grau, obtém-
se apenas um valor da variável que satisfaz a equação e, no caso de 
uma inequação do 1º grau, podem-se obter infinitos valores da vari-
ável que a satisfaçam. 
Exemplos: 
1) Resolver a inequação x + 1 ≥ 0. 
Resolver essa inequação significa determinar quais são os valores de 
x para os quais se tem x + 1 ≥ 0. Isso equivale a estudar o sinal da 
função y = x + 1, isto é, equivale a determinar quais os valores de x 
tornam a função maior ou igual a zero. Lembrando que uma função 
somente pode mudar de sinal quando seu gráfico intercepta o eixo 
Ox, determina-se, primeiramente, o zero dessa função, para, em se-
guida, determinar os sinais que ela assume, como segue: 
1x01x −=�−+ . 
Então, a função 1xy += pode mudar de sinal apenas no ponto 
1x −= . Tomando-se qualquer valor de x menor do que –1, observa-
se que a função tem sinal negativo. Por exemplo, para 2x −= , tem-
se 0112y <−=+−= . Da mesma forma, tomando-se qualquer valor 
de x maior do que –1, observa-se que a função tem sinal positivo. 
Por exemplo, para x = 1, tem-se 0211y >=+= . Tem-se, assim, o 
diagrama de sinais para a função 1xy += da Figura 1. 
 
FIGURA 1 
Verifica-se, na Figura 1, que a função assume valores maiores do 
que zero para valores de x maiores do que -1 e que se anula para es-
se valor: 1x −≥ � 0y ≥ . Logo, os valores de x que tornam verda-
deira a sentença 01x ≥+ são aqueles que são maiores ou iguais a 
 
48
1− , ou seja, o conjunto solução da inequação dada é: 
{ }1x/RxS −≥∈= , ou seja, [ )+∞−= ,1S . 
2) Resolver a inequação 0x23 <⋅− . 
Como se viu no exemplo anterior, é preciso estudar o sinal da fun-
ção x23y ⋅−= ; primeiramente, determina-se o zero da função, ou 
seja, a raiz da equação 0x23 =⋅− . Tem-se: 
2
3
x0x23 =�=⋅− . 
Logo, a função pode mudar de sinal apenas no valor 
2
3
x = . To-
mando-se um valor qualquer de x menor do que 
2
3
, por exemplo, 
0x = , vê-se que a função assume valores positivos. Por outro lado, 
tomando um valor qualquer de x maior do que 
2
3
, por exemplo, 
3x = , vê-se que a função assume valores negativos. Os sinais da 
função são os mostrados na Figura 2. 
 
FIGURA 2 
Assim, o conjunto solução da inequação dada é: 
�
�
�
�
�
�
+∞=
�
	
�
�
>∈= ,
2
3
2
3
x/RxS . 
3) Resolver a inequação 0
x3
1x2 ≤
−
+⋅
. 
É importante observar que não se trata, aqui, de resolver separada-
mente inequações com o numerador e o denominador da fração. O 
que se procuram são os valores da variável x que tornem a fração 
menor ou igual a zero. Levando-se em conta que o sinal de uma fra-
ção depende dos sinais de seu numerador e de seu denominador, é 
preciso estudar, separadamente, os sinais das funções que compõem 
a fração, para depois estudar o sinal do quociente dessas duas fun-
ções. Assim, tem-se: 
 
49
• função do numerador: 1x2y +⋅= . Repetindo o procedimento dos 
exemplos anteriores, vem: 
2
1
x01x2 −=�=+⋅ ; 
logo, os sinais dessa função são os que se vêem na Figura 3. 
 
FIGURA 3 
• função do denominador: x3y −= . Repetindo o procedimento dos 
exemplos anteriores, vem: 
3x0x3 =�=− ; 
a Figura 4 mostra os sinais dessa função. 
 
FIGURA 4 
É preciso, agora, determinar os valores de x que tornam a fração 
menor ou igual a zero. A maneira mais prática de se fazer isso é co-
locar os dois diagramas apresentados nas Figuras 3 e 4, respeitando 
a relação de ordem das raízes das duas funções, e “dividir” os valo-
res de x do numerador pelos do denominador em cada intervalo en-
tre as raízes. Tem-se, então, a Figura 5. 
 
FIGURA 5 
Nesta figura, vê-se que: 
• tomando valores de x menores do que 
2
1
− , os valores da função 
do numerador são negativos, enquanto que os da função do denomi-
 
50
nador são positivos. Assim, o quociente entre esses valores é negati-
vo; 
• tomando valores de x entre 
2
1
− e 3, os valores das duas funções 
são positivos. Logo, o quociente entre esses valores é positivo; 
• tomando valores de x maiores do que 3, os valores da função do 
numerador são positivos, enquanto que os da função do denomina-
dor são negativos. Portanto, o quociente entre esses valores é nega-
tivo. 
Em 
2
1
x −= a fração se anula, pois esse valor anula o numerador da 
fração. O valor 3x = deve ser descartado, pois ele anula o denomi-
nador da fração, tornando-a sem sentido. Então, os valores de x que 
tornam a fração menor ou igual a zero são aqueles que são menoresou iguais a 
2
1
− ou maiores do que 3, isto é: 
( )+∞∪�
�
�
�
�
�
−∞−=
�
	
�
�
>−≤∈= ,3
2
1
,3xou
2
1
x/RxS . 
Apenas a título de verificação, considere-se um valor de x que seja 
menor que 
2
1
− , por exemplo, 2x −= . Tem-se: 
( )
( ) 05
3
23
122
x3
1x2
<−=
−−
+−⋅
=
−
+⋅
, 
ou seja, esse valor de x satisfaz a inequação proposta. Isso ocorrerá 
com todos os valores de x menores do que 
2
1
− . 
Tomando-se, agora, um valor de x maior do que 3, por exemplo, 
5x = , vem: 
0
2
11
53
152
x3
1x2
<−=
−
+⋅
=
−
+⋅
, 
confirmando que a fração terá valor negativo sempre que se toma-
rem valores de x maiores do que 3. 
Por outro lado, tomando-se um valor entre 
2
1
− e 3, por exemplo, 
1x = , tem-se: 
0
2
3
13
112
x3
1x2
>=
−
+⋅
=
−
+⋅
, 
isto é, a fração será positiva sempre que se tomar x nessa condição. 
 
51
É claro que o único valor de x que torna a fração nula é 
2
1
x −= . 
4) A inequação bxa ≥≥ tem solução para quaisquer valores de a e 
b? 
A expressão bxa ≥≥ é equivalente a duas desigualdades simultâ-
neas, ou seja, que devem acontecer ao mesmo tempo: ax ≤ e bx ≥ . 
Assim, a única situação em que a expressão bxa ≥≥ está correta é 
quando ba ≥ . Por exemplo, se a = 4 e b = 2, os valores de x que sa-
tisfazem as desigualdades 2x4 ≥≥ são aqueles que são maiores ou 
iguais a 2 e menores ou iguais a 4, ou seja, são os valores de x que 
pertencem ao intervalo [2, 4]. 
Se ba < , por exemplo, se a = 2 e b = 4, escrever bxa ≥≥ , ou seja, 
escrever 4x2 ≥≥ , significa encontrar valores de x que satisfaçam, 
ao mesmo tempo, as desigualdades 2x ≤ e 4x ≥ . É claro que não 
existem valores de x que sejam, ao mesmo tempo, menores ou iguais 
a 2 e maiores ou iguais a 4 e, portanto, a inequação bxa ≥≥ não 
tem solução neste caso. 
É claro que tudo o que disse acima também é válido para desigual-
dades estritas, ou seja, para inequações da forma bxa >≥ , ou 
bxa ≥> , ou bxa >> . 
4 EQUAÇÃO DO 2O GRAU 
É uma equação da forma 0cxbxa 2 =+⋅+⋅ , onde, obrigatoriamen-
te, se tem 0a ≠ . Para se resolver essa equação, escreve-se: 
0
a
c
x
a
b
x0
a
c
x
a
b
xa 22 =+⋅+�=�
�
�
�
�
�
+⋅+⋅ . 
Com a finalidade de se obter o quadrado de uma soma no primeiro 
membro da expressão, faz-se: 
�=+
⋅
−�
�
�
�
�
�
⋅
+�
�=+�
�
�
�
�
�
⋅
−�
�
�
�
�
�
⋅
+⋅
⋅
⋅+
0
a
c
a4
b
a2
b
x
0
a
c
a2
b
a2
b
x
a2
b2x
2
22
22
2
2
22
2
22
a4
ca4b
a2
b
x0
a4
ca4b
a2
b
x
⋅
⋅⋅−
=�
�
�
�
�
�
⋅
+�=
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅
⋅⋅−
−�
�
�
�
�
�
⋅
+� 
Fazendo ca4b2 ⋅⋅−=∆ , vem: 
2
2
a4a2
b
x
⋅
∆
=�
�
�
�
�
�
⋅
+ . 
Analisa-se, agora, o sinal de ∆: 
• se ∆ > 0, vem: 
a2
b
x
a2a2
b
x
a4a2
b
x 2
⋅
∆±−
=�
⋅
∆±
⋅
−=�
⋅
∆±=
⋅
+ , 
isto é, a equação tem duas raízes reais distintas: 
a2
b
xe
a2
b
x 21
⋅
∆−−
=
⋅
∆+−
= ; 
• se ∆ = 0, vem: 
a2
b
x0
a2
b
x
⋅
−=�=
⋅
+ , isto é, há duas raízes reais 
iguais, isto é, a equação tem uma raiz real de multiplicidade 2, ou ra-
iz dupla; 
• se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Quando se considera a função quadrática cxbxa 2 +⋅+⋅=y , pode-
se fazer sua representação gráfica no plano Oxy, que é uma parábo-
la. Para isso, utilizam-se, quando há, os zeros da função (isto é, as 
raízes reais da equação 0cxbxa 2 =+⋅+⋅ ) e as coordenadas do 
vértice V, as quais podem ser obtidas a partir dos zeros da função, 
utilizando o fato de que esse ponto pertence ao eixo de simetria da 
parábola e, portanto, sua abscissa deve ser igual ao ponto médio en-
 
54
tre eles. Analisam-se duas situações: 
• ∆ ≥ 0, quando se têm os zeros: 
a2
b
xe
a2
b
x 21
⋅
∆−−
=
⋅
∆+−
= . En-
tão, vem: 
a2
b
2
a2
b2
2
a2
b
a2
b
2
xx
x 21V
⋅
−=
⋅
⋅
−
=
⋅
∆−−
+
⋅
∆+−
=
+
= . 
Para se obter a ordenada do vértice, substitui-se o valor encontrado 
de Vx na função cxbxay
2 +⋅+⋅= : 
a4a4
ca4b
a4
ca4b
a4
ca4b2b
c
a2
b
a4
b
ac
a2
bb
a2
b
ay
2222
2
2
22
V
⋅
∆
−=
⋅
⋅⋅−
−=
⋅
⋅⋅+−
=
⋅
⋅⋅+⋅−
=
=+
⋅
−
⋅
⋅=+�
�
�
�
�
�
⋅
−⋅+�
�
�
�
�
�
⋅
−⋅=
 
Assim, tem-se que �
�
�
�
�
�
⋅
∆
−
⋅
−
a4
,
a2
bV . 
• ∆ < 0, quando as raízes da equação 0cxbxa 2 =+⋅+⋅ são com-
plexas: 
a2
ib
xe
a2
ib
x 21
⋅
∆⋅−−
=
⋅
∆⋅+−
= , onde 1i −= é a unidade ima-
ginária. Mesmo nessa situação, tem-se: 
a2
b
2
a2
b2
2
a2
ib
a2
ib
2
xx
x 21V
⋅
−=
⋅
⋅
−
=
⋅
∆⋅−−
+
⋅
∆⋅+−
=
+
= , 
o que acarreta que 
a4
yV
⋅
∆
−= . 
Conclui-se, assim, que as coordenadas do vértice da parábola são 
�
�
�
�
�
�
⋅
∆
−
⋅
−
a4
,
a2
bV , independentemente da existência ou não de zeros 
reais, isto é, qualquer que seja o sinal do discriminante ∆. 
Exemplos: 
1) Dada a equação 05x3x2 2 =−⋅+⋅ , tem-se: 
2
5
xou1x
4
73
x49409 −==�±−=�=+=∆ . 
 
55
Assim, o conjunto solução da equação, em R, é: 
�
	
�
�
−= 1,
2
5S . Em N, 
o conjunto solução da equação é { }1S = . 
2) No caso da equação 01xx 2 =−+− , tem-se: 
2
31
x34101xx01xx 22 −±=�−=−=∆=+−�=−+− . 
Lembrando que o número complexo i é, por definição, 1i −= , 
vem: 
( )
2
3i1
xou
2
3i1
x
2
3i1
2
311
x
⋅+
=
⋅−
=�
⋅±
=
⋅−±
= . 
Vê-se, assim, que a equação somente tem solução no conjunto C dos 
números complexos: 
��
�
	
��
�
�
⋅⋅+⋅⋅−
=
2
3i1
,
2
3i1
S . Em R, o conjun-
to solução é vazio: Φ=S . 
Observação: pode-se fazer estudo semelhante para determinar os ze-
ros de uma função quadrática com a forma cybya 2 +⋅+⋅=x , on-
de a ≠ 0. Fazendo-se x = 0, obtém-se a equação 0cybya 2 =+⋅+⋅ 
que é exatamente o mesmo tipo de equação estudado até agora. A-
penas tem-se a variável y ao invés da variável x. Assim, têm-se as 
mesmas conclusões: 
• se ∆ > 0, há duas raízes reais distintas: 
a2
bye
a2
by 21
⋅
∆−−
=
⋅
∆+−
= ; 
• se ∆ = 0, há duas raízes reais iguais: 
a2
by
⋅
−= ; 
• se ∆ < 0, não há raízes reais. 
Nesse caso, as coordenadas do vértice V são tais que a ordenada yv é 
o ponto médio entre y1 e y2, ou seja, 
a2
byV
⋅
−= e, por conseqüên-
cia, a abscissa é o valor de x que se obtém substituindo esse valor de 
y na função cybyax 2 +⋅+⋅= : 
 
56
a4
xV
⋅
∆
−= , ou seja, o vértice é �
�
�
�
�
�
⋅
−
⋅
∆
−
a2
b
,
a4
V . 
5 FUNÇÃO DO 2O GRAU 
É uma função definida por: 
( ) cxbxaxf x 
R R :f
2 +⋅+⋅==
→
y�
, 
onde, obrigatoriamente, se tem 0a ≠ . 
Sendo a não nulo, pode-se ter a > 0 ou a < 0. Todos os resultados 
provenientes do estudo que será feito a seguir com os coeficientes b 
e c para a > 0, são válidos para a situação em que a < 0. O sinal de a 
influi no sentido de concavidade do gráfico da função 
cxbxa 2 +⋅+⋅=y , que é uma parábola. Se a > 0, a concavidade es-
tá voltada para cima; se a < 0, a concavidade está voltada para bai-
xo. Assim, considerar-se-á, no que se segue, apenas a situação em 
que a > 0. 
Para se estudar a função quadrática, deve-se verificar se ela possui 
ou não zeros reais, ou seja, deve-se verificar se a equação do 20 grau 
0cxbxa 2 =+⋅+⋅ tem ou não raízes reais. Como se viu anterior-
mente, a resolução dessa equação se faz de maneira simples com a 
utilizaçãoda conhecida fórmula de Baskara: 
a2
b
x
⋅
∆±−
= , 
onde ca4b2 ⋅⋅−=∆ é o discriminante. 
A parábola tem um eixo de simetria, no qual se localiza seu vértice 
V, cujas coordenadas são �
�
�
�
�
�
⋅
∆
−
⋅
−
a4
,
a2
bV . 
No caso da função quadrática como a que se está estudando, o eixo 
de simetria é vertical, isto é, coincidente ou paralelo ao eixo Oy. 
Têm-se as possibilidades seguintes: 
(1) b = c = 0. Nesse caso, a função dada fica: 2xay ⋅= . Então, sen-
do b = 0, tem-se 0x V = , o que acarreta 0yV = . Logo, ( )0,0V , o 
que significa que o eixo de simetria da parábola coincide com o eixo 
Oy, cuja equação é 0x = . Um gráfico genérico de f é apresentado 
na Figura 1. 
A "abertura" da parábola depende do valor de a. Considerem-se al-
guns exemplos: 
• 1a = : para 1x −= ou 1x = , tem-se 1y = . Logo, os pontos ( )1,1− 
e ( )1,1 pertencem ao gráfico; 
 
 
58
• 
2
1
a = : para 1x −= ou 1x = , tem-se 
2
1y = . Logo, os pontos 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−
2
1
,1e
2
1
,1 pertencem ao gráfico; 
• 2a = : para 1x −= ou 1x = , tem-se 2y = . Logo, os pontos (-1, 2) 
e (1, 2) pertencem ao gráfico. 
 
FIGURA 1 
Os gráficos das funções 2xy = , 2x
2
1y ⋅= e 2x2y ⋅= são mostra-
dos na Figura 2. Observa-se que quanto maior for o valor de a, mais 
"fechada" é a parábola e quanto mais próximo de zero for o valor de 
a, mais "aberto" será o gráfico de f . 
Pode-se verificar facilmente que a função ( ) 2xa ⋅=xf é par, pois: 
( ) ( ) ( )xfx-f =⋅=−⋅= 22 xaxa . 
Uma interpretação geométrica interessante que há para a função 
( ) 2xa ⋅=xf é que esta pode ser vista como a área de um quadrado 
de lado xa ⋅=� , pois a área seria ( ) 22 xaxaA ⋅=⋅= . 
 
 
59
 
FIGURA 2 
(2) b = 0 e c ≠ 0. Nesse caso, a função dada fica: cxa 2 +⋅=y . No-
vamente, sendo b = 0, tem-se 0x V = , o que acarreta cyV = . Logo, 
( )c,0V , e o eixo de simetria da parábola coincide com o eixo Oy. 
 
FIGURA 3 
Como ca4ca40ca4b2 ⋅⋅−=⋅⋅−=⋅⋅−=∆ e lembrando que se es-
tá considerando a > 0, conclui-se que: 
 
 
60
• se c > 0 � ∆ < 0 � a função f não tem zeros, isto é, seu gráfico 
não intercepta o eixo Ox; 
• se c < 0 � ∆ > 0 � a função f tem dois zeros reais, isto é, seu 
gráfico intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos. Para determi-
nar esses pontos, faz-se: 
a
c
xcxa0cxa0y 22 −±=�−=⋅�=+⋅�= . 
Observe que o número dentro do radical é positivo, já que a e c têm 
sinais contrários. Os gráficos que representam as duas situações 
consideradas são mostrados nas Figuras 3 e 4. 
 
FIGURA 4 
Em qualquer dessas situações, verifica-se que a função 
( ) cxax 2 +⋅=f é par, pois: 
( ) ( ) ( )xcxacxax 22 ff =+⋅=+−⋅=− . 
(3) b ≠ 0 e c = 0. Nesse caso, a função dada fica: ( ) xbxaxf 2 ⋅+⋅= . 
Então, tem-se: 
• 
a2
b
xV
⋅
−= e 
a4
b
a4
0a4b
a4
y
22
V
⋅
−=
⋅
⋅⋅−
−=
⋅
∆
−= , ou seja, 
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅
−
⋅
−
a4
b
,
a2
bV
2
 
 
 
61
• 0b2 >=∆ , o que indica que a função tem dois zeros distintos, ou 
seja, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos. Para 
determinar esses dois pontos, faz-se: 
( )
a
b
xou0x0bxax0xbxa0y 2 −==�=+⋅⋅�=⋅+⋅�= . 
Assim, os pontos de interseção do gráfico com o eixo Ox são: 
( ) �
�
�
�
�
�
− 0,
a
bPe0,0P 21 . 
Observe que o eixo de simetria da parábola coincide com a reta 
a2
b
x
⋅
−= , já que essa é a abscissa do vértice. Assim, esse valor 
deve ser o ponto médio entre os valores x = 0 e 
a
b
x −= , que são os 
dois zeros da função. De fato, tem-se: 
a2
b
2
a
b
2
a
b0
⋅
−=
−
=
�
�
�
�
�
�
−+
. 
 
FIGURA 5 
Há dois gráficos possíveis para a função ( ) xbxaxf 2 ⋅+⋅= , depen-
 
 
62
dendo do sinal de b: 
• se b > 0, então 0
a
b
x <−= 
• se b < 0, então 0
a
b
x >−= . 
Os gráficos são mostrados nas Figuras 5 e 6. 
 
FIGURA 6 
A função ( ) xbxaxf 2 ⋅+⋅= não é par, nem ímpar, pois: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xfxfexfxf
xbxaxbxaxf 22
−≠−≠−�
�⋅−⋅=−⋅+−⋅=−
 
(4) b ≠ 0 e c ≠ 0. Nesse caso, a função dada fica: 
( ) cxbxaxf 2 +⋅+⋅==y . 
Então, tem-se 
a2
b
xV
⋅
−= e 
a4
ca4b
a4
y
2
V
⋅
⋅⋅−
−=
⋅
∆
−= . Usando a 
fórmula de Baskara para encontrar os zeros da função, vem: 
a2
ca4bb
a2
b
x0cxbxa0y
2
2
⋅
⋅⋅−±−
=
⋅
∆±−
=�=+⋅+⋅�= . 
 
 
 
63
Nesse ponto, é preciso estudar as possibilidades para o discriminan-
te: 
• se ∆ > 0, a função tem dois zeros distintos, ou seja, a parábola in-
tercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: 
a2
ca4bb
xe
a2
ca4bb
x
2
2
2
1
⋅
⋅⋅−−−
=
⋅
⋅⋅−+−
= ; 
• se ∆ = 0, a função tem dois zeros iguais, ou seja, a parábola tan-
gencia o eixo Ox no ponto 
a2
b
x
⋅
−= ; 
• se ∆ < 0, a função não tem zeros reais, ou seja, a parábola não in-
tercepta o eixo Ox. 
Em qualquer das situações, o eixo de simetria da parábola coincide 
com a reta 
a2
b
x
⋅
−= . Têm-se, assim, os gráficos das Figuras 7, 8 e 
9. 
 
FIGURA 7 
Como no caso (3), a função ( ) cxbxaxf 2 +⋅+⋅= não é par, nem 
ímpar, pois: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xfxfexfxf
cxbxacxbxaxf 22
−≠≠�
�+⋅−⋅=+−⋅+−⋅=−
 . 
 
 
64
 
FIGURA 8 
 
FIGURA 9 
Observação: conforme se afirmou anteriormente, pode-se repetir to-
do o estudo feito para o caso em que o coeficiente a é menor do que 
zero. Excetuando-se o fato de que a parábola terá, nesse caso, con-
cavidade voltada para baixo, todas as conclusões serão as mesmas. 
Exemplo: esboçar o gráfico da função ( )22xky −⋅= , para 1k > , 
 
 
65
1k = , 1k0 << , 1k −< , 1k −= e 0k1 <<− . 
Conforme se pode ver na Figura 10, para valores positivos de k, a 
concavidade das parábolas é voltada para cima e para valores de k 
menores do que zero, as parábolas são côncavas para baixo. Obser-
va-se, ainda, que, se |k| > 1, a “abertura” da parábola é menor do que 
para k = 1, isto é, é “mais fechada”. Se |k| < 1, a parábola é “mais 
aberta”. 
 
FIGURA 10 
Sinal da função do 2o grau 
Estudar o sinal da função do 2o grau ( ) cxbxaxf 2 +⋅+⋅==y é de-
terminar quais são os valores da variável x para os quais se tenha 
( )xfy = positivo ou negativo. Para tal estudo, devem-se determinar, 
se existirem, os zeros reais da função f , ou seja, as raízes reais da 
equação ( ) 0xf = . Tem-se, como se viu anteriormente, as possibili-
dades que se discutem a seguir. 
(1) Se ∆ > 0, a função tem dois zeros distintos, ou seja, a parábola 
intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos x1 e x2, conforme mos-
tra a Figura 7. Vê-se, nesta figura, que para valores de x menores do 
 
 
66
que x1 ou maiores do que x2, a função tem sinal positivo, que é o 
mesmo sinal do coeficiente a da função. Se a variável x assume um 
valor entre as duas raízes, a função tem sinal negativo, que é contrá-
rio ao sinal de a. O diagrama de sinais da Figura 11 resume essas 
conclusões. 
 
FIGURA 11 
É importante observar que, se a < 0, essas mesmas conclusões são 
verdadeiras, já que o gráfico da função ( ) cxbxaxf 2 +⋅+⋅==y é 
como mostra a Figura 12. 
 
FIGURA 12 
Observa-se, no gráfico, que para valores de x menores do que x1 ou 
maiores do que x2, a função tem sinal negativo, que é o mesmo sinal 
do coeficiente a. Se a variável x assume um valor entre as duas raí-
zes, a função tem sinal positivo, que é contrário ao sinal de a. Têm-
se, assim, as mesmas conclusões apresentadas na Figura 11. 
(2) Se ∆ = 0, a função tem dois zeros iguais, ou seja, a parábola tan-
gencia o eixo Ox no ponto x1 = x2. Como se vê na Figura 8, a função 
tem sinal positivo para todo x diferenteda raiz dupla, ou seja, f tem 
 
 
67
o mesmo sinal do coeficiente a. Essa conclusão também é verdadei-
ra se a < 0, conforme mostra o gráfico da Figura 13. A função é ne-
gativa para todo x diferente da raiz dupla, ou seja, f tem o mesmo 
sinal do coeficiente a. A Figura 14 mostra o diagrama de sinais para 
o caso em que a função ( ) cxbxaxf 2 +⋅+⋅==y tem raiz dupla. 
 
FIGURA 13 
 
FIGURA 14 
(3) Se ∆ < 0, a função não tem zeros reais, ou seja, a parábola não 
intercepta o eixo Ox. O gráfico da Figura 9 mostra que, nesta situa-
ção, a função é positiva, para todo número real x, ou seja, a função 
tem o mesmo sinal do coeficiente a, para todo x. Isso também ocorre 
se a < 0, como mostra o gráfico da Figura 15. 
Vê-se que a função é negativa, ou seja, tem o mesmo sinal de a, para 
todo número real x. Tem-se, assim, o diagrama de sinais da Figura 
16. 
Observação: pode-se fazer estudo semelhante para uma função qua-
drática com a forma cybya 2 +⋅+⋅=x , onde a ≠ 0. 
 
 
68
Nesse caso, a parábola tem eixo de simetria horizontal, ou seja, co-
incidente ou paralelo ao eixo Ox. Assim, para a construção do gráfi-
co no plano Oxy, procuram-se, além do vértice, os pontos onde o 
gráfico da função intercepta o eixo Oy, isto é, os valores de y para 
os quais se tem x = 0, ou seja, resolve-se a equação do 2o grau 
0cybya 2 =+⋅+⋅ . 
 
FIGURA 15 
 
FIGURA 16 
Novamente, utiliza-se a fórmula de Baskara para obter as possíveis 
raízes da equação que, se existirem, serão da forma: 
a2
by
⋅
∆±−
= . 
A parábola tem um eixo de simetria, no qual se localiza seu vértice 
V, cujas coordenadas são �
�
�
�
�
�
⋅
−
⋅
∆
−
a2
b
,
a4
V . Quando ∆ > 0, há duas 
raízes reais distintas e, portanto, o gráfico da função intercepta o ei-
xo Oy em dois pontos. Quando ∆ = 0, há duas raízes reais iguais e, 
 
 
69
assim, a parábola tangencia o eixo Oy no ponto 
a2
by
⋅
∆±−
= . Caso 
se tenha ∆ < 0, conclui-se que a parábola não intercepta o eixo Oy. 
Em qualquer uma dessas situações, têm-se: 
• se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para o sentido positi-
vo do eixo Ox, isto é para a direita; 
• se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para o sentido nega-
tivo do eixo Ox, isto é para a esquerda. 
Conclusões análogas às tiradas anteriormente para os coeficientes a, 
b e c são verdadeiras também para a função cybya 2 +⋅+⋅=x . 
Exemplos: 
1) Representar graficamente, no 2R , a função: 
( ) 3y5y2 2 −⋅+⋅== yfx . 
O gráfico de uma função como esta, que tem a variável x em função 
de y2, é uma parábola com eixo de simetria horizontal. Uma vez que 
02a >= , a concavidade está voltada para a direita. Devem-se de-
terminar as coordenadas do vértice e, se existirem, os pontos onde o 
gráfico intercepta o eixo Oy, isto é, as raízes da equação 
03y5y2 2 =−⋅+⋅ . Tem-se: 
( ) 49324503y5y2 22 =−⋅⋅−=∆�=−⋅+⋅ ; 
assim, as raízes reais da equação são: 3y1 −= e 2
1y2 = , ou seja, a 
parábola intercepta o eixo Oy nos pontos ( )3,0 − e �
�
�
�
�
�
2
1
,0 . A orde-
nada do vértice é: 
a2
by
⋅
∆±−
= ; 
observe que esse valor de y é o ponto médio entre os valores das raí-
zes da equação: 
( )
4
5
2
2
5
2
3
2
1
−=
−
=
−+
. 
Para determinar a abscissa do vértice, pode-se substituir esse valor 
 
 
70
de y na função ou usar a expressão �
�
�
�
�
�
⋅
−
⋅
∆
−
a2
b
,
a4
V : 
• 
8
493
4
55
4
52x
4
5y
2
VV −=−�
�
�
�
�
�
−⋅+�
�
�
�
�
�
−⋅=�−= ; 
• 
8
49
24
49
x
a4
x VV −=
⋅
−=�
⋅
∆
−= . 
Assim, tem-se o ponto �
�
�
�
�
�
−−
4
5
,
8
49V . A Figura 17 apresenta o grá-
fico da função ( )yfx = . 
 
FIGURA 17 
2) Representar graficamente, no 2R , a função: 
 ( ) 3y4y3 2 −⋅+⋅−== yfx . 
Novamente, tem-se uma parábola com eixo de simetria horizontal, 
com a concavidade está voltada para a esquerda, já que 03a <−= . 
Devem-se determinar as coordenadas do vértice e, se existirem, os 
pontos onde o gráfico intercepta o eixo Oy, isto é, as raízes da equa-
ção 03y4y3 2 =−⋅+⋅− . Tem-se: 
( ) ( ) 020334403y4y3 22 <−=−⋅−⋅−=∆�=−⋅+⋅− ; 
 
 
71
assim, a equação não possui raízes reais, ou seja, a parábola não in-
tercepta o eixo Oy. As coordenadas do vértice são: 
• ( ) 3
2
32
4yV =
−⋅
−= ; 
• 
( )
( ) 3
5
34
20
x V −=
−⋅
−
−= . 
Assim, tem-se o ponto �
�
�
�
�
�
−
3
2
,
3
5V . O gráfico da função ( )yfx = 
dada é a parábola da Figura 18. 
 
FIGURA 18 
6 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
É toda sentença matemática que exprime uma relação de desigual-
dade do tipo 0cxbxa 2 ≤+⋅+⋅ ou 0cxbxa 2 ≥+⋅+⋅ . Também se 
podem ter as desigualdades 0cxbxa 2 <+⋅+⋅ ou 
0cxbxa 2 >+⋅+⋅ , que são desigualdades estritas. Nessas desi-
gualdades, a, b e c são números reais, com a ≠ 0. 
Resolver uma inequação, a exemplo da resolução de uma equação, é 
determinar os valores da variável que tornam verdadeira a sentença 
matemática. Entretanto, no caso de uma equação do 2º grau, é pos-
sível obterem-se dois valores reais (distintos ou não) que satisfazem 
a equação ou nenhum valor real que a satisfaça. No caso de uma i-
nequação do 2º grau, podem-se obter infinitos valores da variável 
que a satisfaçam, ou nenhum. 
Exemplos: 
1) Resolver a inequação 012x8x2 <+⋅− . 
Resolver essa inequação significa determinar quais são os valores de 
x para os quais se tem 012x8x 2 <+⋅− . Isso equivale a estudar o 
sinal da função 12x8xy 2 +⋅−= , isto é, equivale a determinar 
quais os valores de x tornam a função menor do que zero. Lembran-
do que uma função somente pode mudar de sinal quando seu gráfico 
intercepta o eixo Ox, determinam-se, primeiramente, se existirem, 
os zeros dessa função, para, em seguida, determinar os sinais que ela 
assume, como segue: 
( ) 01612148012x8x 22 >=⋅⋅−−=∆�=+⋅− , 
ou seja, essa equação do 2º grau tem duas raízes reais distintas: 
2x1 = e 6x 2 = . 
Então, a função 12x8xy 2 +⋅−= muda de sinal apenas em x = 2 e 
em x = 6. Conforme se viu anteriormente, tem-se o diagrama de si-
nais para a função 12x8xy 2 +⋅−= , cujo coeficiente de x2 é 
a = 1 > 0, mostrado na Figura 1. 
 
FIGURA 1 
 
74
Logo, os valores de x que tornam verdadeira a sentença 
012x8x2 <+⋅− são aqueles que estão entre x = 2 e x = 6, ou seja, 
o conjunto solução da inequação dada é: 
{ } ( )6,26x2/RxS =<<∈= . 
2) Resolver a inequação 04x11x3 2 ≤+⋅−⋅− . 
Devem-se determinar os valores de x que tornam verdadeira a sen-
tença 04x11x3 2 ≤+⋅−⋅− , ou seja, deve-se estudar o sinal da fun-
ção 4x11x3y 2 +⋅−⋅−= , com o objetivo de determinar os valores 
de x para os quais a função é menor ou igual a zero. Determinam-se, 
assim, se existirem, os zeros dessa função, para, em seguida, deter-
minar os sinais que ela assume. Tem-se: 
( ) ( ) 1694341104x11x3 22 =⋅−⋅−−=∆�=+⋅−⋅− , 
ou seja, essa equação do 2º grau tem duas raízes reais distintas: 
4x1 −= e 3
1
x 2 = . Então, a função 4x11x3y
2 +⋅−⋅−= muda de 
sinal apenas nesses valores da variável x. Uma vez que o coeficiente 
de x2 é a = -3 < 0, tem-se que a função será negativa para qualquer 
valor de x menor do que -4 ou maior do que 
3
1
 e será positiva para 
qualquer valor de x entre -4 e 
3
1
. Tem-se, então, o diagrama da Fi-
gura 2. 
 
FIGURA 2 
Logo, os valores de x que tornam verdadeira a sentença 
04x11x3 2 ≤+⋅−⋅− são os que são menores ou iguais a -4 ou 
maiores ou iguais a 
3
1
, ou seja, o conjunto solução da inequação da-
da é: 
( ] �
�
�
�
�
�
+∞∪−∞−=
�
	
�
�
 ≥−≤∈= ,
3
14,
3
1
xou4x/RxS . 
 
75
3) Resolver a inequação 05x3x2 2 ≥+⋅+⋅ . 
Analogamente aos exemplos anteriores, estuda-se osinal da função 
5x3x2y 2 +⋅+⋅= , para determinar os valores de x para os quais a 
função é maior ou igual a zero. Então, determinam-se, se existirem, 
os zeros dessa função, para, em seguida, determinar os sinais que ela 
assume. Tem-se: 
031524305x3x2 22 <−=⋅⋅−=∆�=+⋅+⋅ , 
ou seja, essa equação do 2º grau não tem raízes reais, o que significa 
que a função 5x3x2y 2 +⋅+⋅= não muda de sinal. Sendo 
a = 2 > 0, conclui-se que a função é positiva, para todos os valores 
da variável x. Então, o diagrama de sinais é como mostra a Figura 3. 
 
FIGURA 3 
Assim, todos os valores de x tornam verdadeira a sentença 
05x3x2 2 ≥+⋅+⋅ , sendo que não há nenhum valor de x que satis-
faça a igualdade, já que a equação não tem raízes reais. O conjunto 
solução da inequação dada é: 
( )+∞∞−= ,S ou RS = . 
4) Resolver a inequação 08x2x 2 >−⋅+− . 
Estuda-se o sinal da função 8x2xy 2 −⋅+−= , para determinar os 
valores de x para os quais a função é maior do que zero. Para isso, 
determinam-se, se existirem, os zeros dessa função; tem-se: 
( ) ( ) 028814208x2x 22 <−=−⋅−⋅−=∆�=−⋅+− , 
ou seja, essa equação do 2º grau não tem raízes reais, e, portanto, a 
função 8x2xy 2 −⋅+−= não muda de sinal. Aqui, tem-se 
01a <−= e, portanto, a função é negativa, para todos os valores da 
variável x. A Figura 4 mostra o diagrama de sinais. 
 
FIGURA 4 
Assim, nenhum valor de x torna verdadeira a sentença 
 
76
08x2x 2 >−⋅+− , ou seja, não existe número real x tal que 
08x2x 2 >−⋅+− . O conjunto solução da inequação dada é, por-
tanto, vazio, isto é: S = Φ. 
5) Resolver a inequação 04x20x25 2 >+⋅−⋅ . 
Resolve-se a equação 04x20x25 2 =+⋅−⋅ para verificar se exis-
tem raízes reais, pois a função 4x20x25y 2 +⋅−⋅= pode mudar de 
sinal somente em seus zeros. Tem-se: 
( ) 042542004x20x25 22 =⋅⋅−−=∆�=+⋅−⋅ , 
ou seja, essa equação do 2º grau tem duas raízes reais iguais: 
5
2
xx 21 == . 
Assim, como se sabe, a função tem sempre o mesmo sinal, para todo 
5
2
x ≠ ; como a = 25 > 0, conclui-se que a função é positiva, para to-
do 
5
2
x ≠ . Tem-se, assim, para a função 4x20x25y 2 +⋅−⋅= , o 
diagrama de sinais apresentado na Figura 5. 
 
FIGURA 5 
Logo, com exceção do valor 
5
2
x = , todos os valores reais de x tor-
nam verdadeira a sentença 04x20x25 2 >+⋅−⋅ . Portanto, o con-
junto solução da inequação dada é: 
�
	
�
�
−=�
�
�
�
�
�
+∞�
�
�
�
�
�
∞−=
�
	
�
�
 ≠∈=
5
2R,
5
2
5
2
,
5
2
x/RxS � . 
6) São corretas as implicações 1x1x0x1 22 ±≤�≤�≥− ? 
O resultado 1x ±≤ , que não é correto, resume-se, na verdade, à de-
sigualdade 1x −≤ , pois, se x deve ser, ao mesmo tempo, menor ou 
igual a 1 e menor ou igual a –1, então é apenas menor ou igual a –1. 
Entretanto, como se afirmou, o resultado obtido 1x −≤ não é corre-
to, pois, tomando, por exemplo, x = -2, tem-se: 
 
77
( ) 034121 2 <−=−=−− , 
ou seja, esse valor de x não satisfaz a desigualdade 0x1 2 ≥− . A 
seguir, efetua-se o procedimento correto para a resolução deste ine-
quação, como se fez nos exemplos anteriores. 
Quer-se determinar os valores de x para que se tenha 0x1 2 ≥− , ou 
seja, quer-se estudar o sinal da função 2x1y −= . Então, determi-
nam-se, se existirem, os zeros dessa função, para, em seguida, de-
terminar os sinais que ela assume. Tem-se: 
1xou1x0x1 2 =−=�=− . 
Uma vez que a função 2x1y −= tem dois zeros distintos e 
01a <−= , segue-se que a função é negativa para qualquer valor de 
x menor do que -1 ou maior do que 1 e positiva para qualquer valor 
de x entre -1 e 1. Tem-se, então, o diagrama de sinais da Figura 6. 
 
FIGURA 6 
Assim, os valores de x para os quais se tem 0x1 2 ≥− pertencem ao 
intervalo [ ]1,1− . Observe que o resultado correto dessa inequação é 
muito diferente do resultado errado 1x ±≤ . 
7 FUNÇÃO POLINOMIAL 
Dada a seqüência de números complexos { }n210 a,,a,a,a � , a fun-
ção C C:f → , dada por: 
( ) 012n2n1n1nnn axaxaxaxaxf +⋅++⋅+⋅+⋅= −−−− � , 
é denominada função polinomial ou polinômio associado à seqüên-
cia dada. Alternativamente, pode-se escrever o polinômio utilizando 
somatório: 
( ) �
=
⋅=
n
0i
i
i xaxf . 
Os números n210 a,,a,a,a � são chamados coeficientes do polinô-
mio e as parcelas 0a , xa1 ⋅ , 
2
2 xa ⋅ , ..., 
1n
1n xa
−
−
⋅ , 
n
n xa ⋅ são os 
termos do polinômio. 
Estudar-se-ão, em particular, as funções polinomiais cujos coeficien-
tes são números reais, ou seja, trabalhar-se-á com funções 
R R:f → . 
Denomina-se grau do polinômio f , e denota-se por ( )��� ou �∂ , o 
número natural p tal que 0ap ≠ e 0a i = , para todo i > p. 
Exemplo: sejam a, b, c e d números reais. Então: 
(a) ( ) axp = é um polinômio constante, cujo grau é zero; 
(b) ( ) )0a(bxaxp ≠+⋅= é um polinômio linear, ou polinômio de 
grau 1, ou, ainda, polinômio de 1o grau; 
(c) ( ) )0a(cxbxaxp 2 ≠+⋅+⋅= é um polinômio de grau 2, ou po-
linômio do 2o grau, ou, ainda, polinômio quadrático; 
(d) ( ) )0a(dxcxbxaxp 23 ≠+⋅+⋅+⋅= é um polinômio de grau 3, 
ou polinômio do 3o grau, ou, ainda, polinômio cúbico. 
Polinômio nulo. Um polinômio f é nulo se, e somente se, todos os 
seus coeficientes forem nulos. Ou seja: 
0aaaa0f n210 =====⇔= � . 
 
80
Igualdade de polinômios. Dois polinômios f e g são iguais se, e 
somente se, seus coeficientes forem ordenadamente iguais. É claro, 
então, que f e g têm mesmo grau. Ou seja, dados 
( ) 012n2n1n1nnn axaxaxaxaxf +⋅++⋅+⋅+⋅= −−−− � 
e 
( ) 012n2n1n1nnn bxbxbxbxbxg +⋅++⋅+⋅+⋅= −−−− � , 
tem-se: 
ni1todopara,bagf ii ≤≤=⇔= . 
Exemplo: dados os polinômios 
( ) 1x3x5xf 23 −⋅+⋅= e ( ) 012233 axaxaxaxg +⋅+⋅+⋅= , 
então: 
�
�
�
�
�
�
�
−=
=
=
=
⇔=
1a
0a
3a
5a
gf
0
1
2
3
. 
Operações com polinômios. 
1) Adição. Dados os polinômios f e g , chama-se soma de f e g o 
polinômio ( )gf + obtido somando-se os termos semelhantes dos po-
linômios, isto é, somando-se os coeficientes das potências iguais de 
x. 
Exemplo: somar os polinômios: 
( ) 5x3x2xf 3 +⋅−⋅= e ( ) xx3xxg 24 +⋅−= . 
Observe que os polinômios podem ser escritos na forma: 
( ) 5x3x0x2x0xf 234 +⋅−⋅+⋅+⋅= e 
( ) 0xx3x0xxg 234 ++⋅−⋅+= . 
Assim, somam-se os termos correspondentes dos dois polinômios: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )05x13x30x02x10xgf 234 ++⋅+−+⋅−+⋅++⋅+=+ , 
ou seja, 
( )( ) 5x2x3x2xxgf 234 +⋅−⋅−⋅+=+ . 
 
81
2) Subtração. Dados os polinômios f e g , chama-se subtração de f 
e g o polinômio ( )gf − obtido subtraindo-se os termos semelhantes 
dos polinômios, isto é, subtraindo-se os coeficientes das potências 
iguais de x. 
3) Multiplicação. Dados os polinômios f e g , chama-se produto de 
f e g o polinômio ( )gf ⋅ obtido multiplicando-se cada termo de f 
por cada termo de g e, em seguida, somando-se os termos seme-
lhantes. 
Exemplo: dados ( ) 3x2xxf 3 +⋅−= e ( ) 2xx3xg 2 ++⋅−= , tem-se: 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6xx11x8xx3
6x3x9x4x2x6x2xx3
2xx332xx3x22xx3x
2xx33x2xxgf
2345
223345
2223
23
+−⋅−⋅++⋅−=
=+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅+⋅++⋅−=
=++⋅−⋅+++⋅−⋅⋅−++⋅−⋅=
=++⋅−⋅+⋅−=⋅
 
Alternativamente, pode-se utilizar o dispositivo seguinte, onde se 
coloca um polinômio sob o outro e multiplica-se cada termo do po-
linômio que está embaixo por cada termo do polinômio que está em 
cima, a exemplo do que se faz com multiplicação de números reais 
com dois ou mais algarismos. Ou seja: 
6xx11x8xx3
6x4x2
x3x2x
x9x6x3
2xx3
3x2x
2345
3
24
235
2
3
+−⋅−⋅++⋅−
+⋅−⋅+
⋅+⋅−+
⋅−⋅+⋅−
++⋅−
+⋅−
 
4) Divisão. Dados dois polinômios f e g , sendo g não nulo, divi-
dir f por g significa determinar dois outros polinômios q e r , de 
modo que se verifiquem as duas condições seguintes: 
(1) frgq =+⋅ 
(2) ( ) ( )ggrrgr < , ou 0r