MODELAGEM

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Aplicações das Equações Diferenciais 
 
 Queda Livre com Resistência do Ar. 
 
Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos 
cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a 
queda de corpos considerando a resistência do ar. 
Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da 
gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que 
tanto a gravidade como a massa deste corpo, permaneçam constantes durante a queda. 
Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um 
sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido 
para baixo como sendo sentido positivo. 
Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa 
de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa 
constante. 
 
 
 
Onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade do corpo, consideradas 
no instante t. 
Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da 
gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg: 
 
 
 
A segunda força é devida à resistência do ar, dada por: 
 
 
é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar 
atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido 
para cima. 
 
 [Figura 1] 
 
A força resultante será: 
 
 
Se substituirmos (4) em (1), obteremos: 
 
 
 
 
 
Agora, (5) é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica 
de fator integrante dado por: 
 
 
Multiplicando (6) por (5), obtemos: 
 
 
Observe que o lado esquerdo de (7) é derivada da função: 
 
Pois: 
 
 
Assim, comparando (7) com (9), segue que: 
 
 
Ou seja, 
 
 
Usando o fato que v(0) = v0, segue que 
 
 
 
que é a velocidade em cada instante. 
 
Vejam que, se k = 0, temos que a resistência do ar é desprezível e a equação (5) se reduz a: 
 
 
 
Se k > 0, a velocidade limite v1 é obtida fazendo dv / dt = 0, pois na há um equilíbrio da força 
da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim: 
 
 
 
Uma observação importante é que as equações (5) e (11) são válidas somente se as condições 
dadas forem satisfeitas. Se a resistência do ar não for proporcional à velocidade e sim ao 
quadrado da velocidade. 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade 
inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine: 
 
a) A expressão da velocidade do corpo no instante t; 
b) A expressão da posição do corpo no instante t; 
c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo. 
 
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o 
sentido para baixo. 
 
[Figura 2] 
 
Como não há resistência do ar, usamos a equação (10): 
 
 
Esta é uma equação linear separável. Assim: 
 
 
 
 
 
 
a) Como v(0) = 0, segue que v(t) = gt 
 
b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo x(0) = 0, segue que: 
 
 
 
c) Para x(t) = 100, temos: 
 
 
 
Se adotarmos g = 10m / s
2
, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma partícula é lançada de altura de 4000 metros, com velocidade de 10m/s. G= 9,8 
m/s. Determine a posição no tempo 15 segundos, determine a velocidade no tempo 15 
segundos. 
 
Dados: V = 10 m/s 
T(0) = 0s 
 
A= DV/DT = 9,8 
V= 9,8T + “P” 
E quando V = 10m/s, trocamos “P” por “10” 
V = 9,8T + 10 
Velocidade é a taxa de variação de posição. 
V= DS/DT 
DS= (9,8T + 10) DT 
Integrando fica: 
 
 ∫ ∫ 
 
S = 4,9T^2 + 20T + “W” 
“Se” T = 0, então S = 0, então o “W” some. 
S= 4,9T^2 + 10T 
 
Quando T = 15, temos: 
 
S= 4,9(15)^2 + 10*15 = 1252,5 
 
Posição no tempo 15 segundos, fica quando diminuímos a posição inicial pela da equação. 
Sfinal = 4000-1252,5 = 2747,5 metros 
 
Velocidade no tempo 15 segundos ficará: 
V = 9,8T +10 
V = 9,8*15 + 10 
V = 157 m/s 
 
 Circuito RC. 
 
Em um circuito RC o capacitor C tem como função acumular cargas, e para dissipar a energia 
em forma de calor temos o resistor R, sendo esta utilizada para outros fins, exemplo clássico o 
chuveiro. 
Na Figura abaixo encontram-se os mapas conceituais que visam correlacionar os elementos de 
um circuito RC. 
 
 Fonte: Nascimento & Santos, 2013 
 
O circuito possui uma corrente elétrica, que consiste na variação da carga em função do 
tempo ; a diferença de potencial no resistor é igual a corrente multiplicada pela resistência R; 
a diferença de potencial no capacitor é igual a razão da carga em função da capacitância C. 
Todos eles impulsionados por uma força eletromotriz gerada pela fonte. Se a Lei das Malhas 
ou princípio da conservação de energia é representado pela equação: 
 
Ao substituir as varáveis, chega-se a equação diferencial que caracteriza o carregamento do 
circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando um Circuito RC, formado um Resistor R e um Capacitor C, no qual, o capacitor 
torna a corrente do circuito variável em função do tempo. Liberando a carga no circuito 
surgem correntes que acumulam a carga nas placas do capacitor até que a diferença de 
potencial no capacitor seja igual a diferença de potencial nos terminais da fonte, momento de 
carga total no capacitor. Para resolver a equação diferencial do carregamento do capacitor no 
circuito RC, inicialmente tem-se que dividir a equação anterior por R, para isolar 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para se resolver essa equação diferencial linear, não homogênea utilizamos o método de 
Bernoulli. 
 
Exercícios: 
 
1. Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a 
resistência é de 200 ohms e a capacitância é farads. Ache a carga q(t) no capacitor se 
q(0) = 0. Ache a corrente i(t). 
 
2. Uma força eletromotriz de 200 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a 
resistência é de 1000 ohms e a capacitância é farads. Ache a carga q(t) no capacitor 
se i(0) = 0,4. Determine a carga e a corrente em t = 0,005 s. Determine a carga quando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Circuito RL. 
 
A modelagem matemática de circuitos elétricos é baseada nas leis de Kirchhoff. As Leis de 
Kirchhoff são empregadas em circuitos elétricos mais complexos, como por exemplo circuitos 
com mais de uma fonte de resistores estando em série ou em paralelo. Para estuda-las vamos 
definir o que são Nós e Malhas: 
Nó: é um ponto onde três (ou mais) condutores são ligados. 
Malha: é qualquer caminho condutor fechado. 
 
 
 
A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de 
Kirchhoff: a Lei dos Nós e/ou a Lei das Malhas. 
 
Aplica-se a Lei dos Malhas a cada malha do circuito elétrico: 
A soma das quedas de voltagem em uma malha de um circuito elétrico é igual à soma das 
voltagens que são introduzidas na mesma malha 
 
As equações de uns circuitos elétricos obedecem a lei de Kirchhoff, que estabelece: 
Lei da corrente de Kirchhoff:a soma algébrica das correntes que fluem para qualquer ponto 
de junção deverá ser zero. 
 
Lei da tensão de Kirchhoff: a soma algébrica das mudanças instantâneas no potencial 
( quedas de voltagem) em torno de qualquer laço fechado deverá ser zero. 
 
A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando- se as leis de 
Kirchhoff: a lei dos Nós e das Malhas. 
 
Método de Nós: Aplica-se a lei dos nós a cada método dos nós, a soma das correntes que 
entram em um nó de um circuito elétrico é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. 
 
Modelagem matemática pelo método de Malhas: 
 
Aplica-se a lei das malhas a cada malha do circuito elétrico, a soma das quedas de vantagem 
em uma malha de um circuito elétrico é igual à soma das voltagens que são introduzidas na 
mesma malha. 
 
Associação em série de um resistor e um indutor: 
 
Indutor está conduzindo uma corrente I0 em t = 0. Energia em t = 0: aplicando a Lei de 
Kirchhoff de tensões t ≥ 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Supõe-se que o indutor da figura abaixo está sendo percorrido por uma corrente 
elétrica inicial. Como a corrente no indutor não pode variar abruptamente, então: 
 
i(0) = i(0+ ) = i(0- ) = I0 
 
 
 
Aplicando LTK ao circuito. 
 
Aplicando Lei de Kirchhoff de tensões quando t ≥ 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arranjando os termos: Solução da equação diferencial de 1ª ordem por separação de variáveis: 
 
 
 
Integrando dos dois lados: 
 
∫
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 - 
- 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão no indutor é: 
 
 
 
O valor da excreção é: 
 
 
 
2. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série RL no qual a indutância é 
de ⁄ henry e a resistência é de 510 ohms. Ache a corrente i(t) se i(0) = 0. Determine a 
corrente quando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
 
 ⁄
 
 
 
∫ 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando “t” tende ao infinito o denominador tende a um número muito grande, fazendo com o 
que o número tenda a zero. Assim, a corrente tenderá à 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
<http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/08/edo-queda-dos-corpos-com-resistencia-
do.html>