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APOSTILA TEORIA ELETROMAGNÉTICA TAVARES. A. ALVACIR ENGENHARIA ELETRÔNICA UFPEL
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TEM_Cap9-Apend-jul15.doc � PAGE �4� Teoria Eletromagnética Apêndices - � PAGE �3� Universidade Federal de Pelotas / Teoria Eletromagnética Apêndices Apêndice 1 - Áreas das figuras geométricas Quadrado A = l2 Retângulo A = b.h Triângulo A = b.h /2 Trapézio A = (B+b).h / 2 Círculo A = (.r2 Coroa circular A = (.(R2-r2) Apêndice 2 - Produtos notáveis 1. (a ( b)2 = a2 ( 2ab + b2 2. (a+b).(a-b) = a2 - b2 3. (a2 + ab + b2).( a- b) = a3 - b3 4. (a2 - ab + b2).( a + b) = a3 + b3 Apêndice 3 - Propriedades dos Logaritmos 1. 2. 3. 4. Apêndice 4 - Identidades Trigonométricas 1. 2. 3. 4. 5. sen x = cos (90 – x) 6. sen2 x + cos2 x = 1 7. 1 + tan2 x = sec2 x 8. 1 + cot2 x = csc2 x 9. 10. 11. 12. sen 2x =2.sen x.cos x 13. cos 2x = cos2 x - sen2 x 14. cos 2x = 1 – 2. sen2 x 15. cos 2x = 2. cos2 x – 1 16. 17. 18. 19. 20. cos2 x = ½ (1+ cos2x) 21. sen x. cos y = ½ [sen(x-y) + sen(x+y)] 22. sen x. sen y = ½ [cos(x-y) - cos(x+y)] 23. sen2 x = ½ (1- cos2x) 24. cos x. cos y = ½[ cos(x-y) + cos(x+y)] Apêndice 5 - Limites Propriedades: Limites fundamentais (para levantamento de indeterminação) Apêndice 6 - Formulário do Cálculo Vetorial Álgebra vetorial Produto escalar Produto vetorial �� EMBED Equation.3 (Propr. distributiva ) Produtos triplos (Propr. associativa não se aplica a produto vetorial ) Apêndice 7 – Tabela de Derivadas Nesta tabela, u e v são funções deriváveis de x, e a, c, n são constantes. 1. y = x ( y´ = 0; 2. y = x ( y´ = 1; 3. y = c.u ( y´ = c.u´; 4. y = u + v ( y´ = u´+v´; 5. y = u . v ( y´ = u.v´ + v.u´; 6. 7. y = un ( n ( -1) ( y´ = n. un-1.u´ 8. y = au ( a> 0, a ( 1) ( y´ = au.ln a.u´ 9. y = eu ( y´ = eu . u´ 10. 11. 12. y = uv ( y´= v.uv-1.u´+ uv.ln u.v´(u > 0) 13. y = sen u ( y´ = cos u.u´ 14. y = cos u ( y´ = - sen u.u´ 15. y = tan u ( y´ = sec2 u. u´ 16. y = cot u ( y´ = - csc2 u. u´ 17. y = sec u ( y´ = sec u. tan u . u´ 18. y = csc u ( y´ = - csc u. cot u.u´ 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. y = senh u ( y´= cosh u.u´ 26. y = cosh u ( y´= senh u.u´ 27. y = tanh u ( y´= sech2 u.u´ 28. y = coth u ( y´= - csch2 u.u´ 29. y = sech u ( y´ = - sech u.tanh u.u´ 30. y = csch u ( y´ = - csch u.coth u.u´ 31. 32. 33. 34. 35. 36. Apêndice 8 – Tabela de Integrais 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� _1278764825.unknown _1278826505.unknown _1278847113.unknown _1278850088.unknown _1278850599.unknown _1494315079.unknown _1497883605.unknown _1497883677.unknown _1497883531.unknown _1494314842.unknown _1278850404.unknown _1278850496.unknown _1278850218.unknown _1278847854.unknown _1278848258.unknown _1278848351.unknown _1278848390.unknown _1278848161.unknown _1278847655.unknown _1278847699.unknown _1278847306.unknown _1278828119.unknown _1278845090.unknown _1278845394.unknown _1278847017.unknown _1278847073.unknown _1278845641.unknown _1278846457.unknown _1278845505.unknown _1278845237.unknown _1278845320.unknown _1278845178.unknown _1278844650.unknown _1278844967.unknown _1278845018.unknown _1278844759.unknown _1278828221.unknown _1278844525.unknown _1278828173.unknown _1278827751.unknown _1278827950.unknown _1278828089.unknown _1278827811.unknown _1278827938.unknown _1278827495.unknown _1278827520.unknown _1278827487.unknown _1278827449.unknown _1278825627.unknown _1278825875.unknown _1278826303.unknown _1278826325.unknown _1278825956.unknown _1278825810.unknown _1278825843.unknown _1278825701.unknown _1278824624.unknown _1278824657.unknown _1278824976.unknown _1278824630.unknown _1278771135.unknown _1278823821.unknown _1278824612.unknown _1278770633.unknown _1278761261.unknown _1278763424.unknown _1278764218.unknown _1278764631.unknown _1278764717.unknown _1278764581.unknown _1278763636.unknown _1278763895.unknown _1278763597.unknown _1278762893.unknown _1278763105.unknown _1278763229.unknown _1278762946.unknown _1278761980.unknown _1278762570.unknown _1278761595.unknown _1278759304.unknown _1278759823.unknown _1278760277.unknown _1278761230.unknown _1278759895.unknown _1278759481.unknown _1278759615.unknown _1278759439.unknown _1278758471.unknown _1278758987.unknown _1278759094.unknown _1278758934.unknown _1278758394.unknown _1278758438.unknown _1278758352.unknown Curva_B-H_Fe+Si_Hayt.xls Plan1 Centro Federal de Educação Tecnológica Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações Teoria Eletromagnética Propriedades dos materiais ferro-magnéticos H(Ae/m) B(T) 0 0.00 50 0.12 65 0.20 80 0.40 100 0.60 140 0.80 200 1.00 300 1.13 400 1.20 500 1.24 600 1.26 700 1.27 800 1.28 900 1.29 1000 1.30 Plan1 H ( Ae/m ) B ( T ) Curva B-H - Ferro-Silício Plan2 Plan3 TEM_Cap6_jun15.doc VI – � PAGE �22� Teoria Eletromagnética Campo Magnético Estacionário VI - � PAGE �21� ________________________________________________________________________________ Unidade 6 - Campo magnético estacionário 6.1 - Introdução aos fenômenos magnéticos Começa aqui o estudo de outra importante forma de campo vetorial: o campo magnético. Na sua concepção mais primitiva, o campo magnético era a região do espaço no redor de um ímã onde se manifestavam forças de atração sobre partículas de ferro. As partículas de ferro eram atraídas para dois pontos específicos que foram chamados de pólos e que estes eram diferentes entre si. A partir da observação foi criada a primeira regra sobre a interação entre os pólos de ímãs: “Pólos de mesmo nome se repelem e de nomes contrários se atraem.” Os pólos Norte e Sul dos ímãs foram definidos a partir do campo magnético da Terra. Desde remotos tempos, navegadores se orientavam pelo uso da bússola que é uma agulha imantada suspensa pelo centro de gravidade. Uma das pontas sempre apontava para o pólo norte geográfico da Terra e, por isto, chamou-se aquela ponta da bússola de pólo norte e a outra de pólo sul. Com o avanço do conhecimento percebeu-se, então, que o pólo norte geográfico da Terra se comportava como um poderoso pólo Sul magnético e o pólo sul geográfico como um pólo Norte magnético. Através de limalhas de ferro pode-se “ver” o espectro do campo magnético e suas linhas de linhas de força. As figuras abaixo mostram as linhas de força de ímãs em forma de barra e de ferradura. � Convencionou-se que as linhas de força originavam-se no Pólo Norte e dirigiam-se para o Pólo Sul pela parte externa dos ímãs havendo o fechamento das mesmas pelo interior do ímã. No princípio pensava-se que a eletricidade e o magnetismo eram fenômenos físicos completamente independentes entre si. Somente, por volta de 1820, foi que Hans Christian Oersted, Biot, Savart e André Marie Ampère descobriram que a fonte primeira do campo magnético é a corrente elétrica dando início a parte da física chamada de Eletromagnetismo. A relação mais simples entre a corrente elétrica e o campo magnético é obtida com um fio retilíneo percorrido por corrente como mostra a figura abaixo. As linhas de força são círculos que pertencem a um plano perpendicular ao condutor. O sentido destas linhas de força magnéticas é obtido pela regra da mão direita onde polegar é colocado no sentido da corrente e os quatro dedos restantes, agarrando o condutor, indicam o sentido das linhas de força. As linhas de força originalmente eram apenas a linhas que se viam num espectro magnético ao espargir limalha de ferro. Hoje, porém, além de representarem o mapeamento do campo magnético, dão origem ao conceito de fluxo magnético ((), análogo ao fluxo elétrico ((), porém tendo como unidade o Weber. Temos, no magnetismo, dois vetores análogos aos que tínhamos na eletrostática. Ao dividirmos o fluxo magnético pela área em que ele se distribui encontramos uma nova grandeza: A densidade de fluxo magnético ou indução magnética (B) expressa em Weber/m2. O vetor densidade de fluxo magnético(B) é análogo ao vetor densidade de fluxo elétrico (D). A Intensidade de campo Magnético H (em A/m) é a grandeza vetorial análoga à Intensidade de Campo Elétrico E (em V/m). A intensidade de campo elétrico E é gerada, em geral, por cargas estáticas distribuídas de diversas maneiras no espaço. A intensidade de campo magnético H é criada por cargas em movimento, ou seja, por correntes elétricas e dá origem às linhas de força. A direção e sentido do vetor Intensidade de Campo Magnético são os mesmos das linhas de força ou vice-versa. O módulo deste vetor mede o esforço causado pelas correntes para magnetizar um dado circuito, ou seja, gerar as linhas de força ao longo deste caminho. Numa dada época da história a grandeza intensidade de campo magnético era chamada de força magnetizante o que expressava bem o seu significado físico. O seu módulo é, então, definido como igual à concentração da corrente magnetizadora ao longo do caminho fechado a ser magnetizado. Por exemplo, a intensidade de campo magnético H criada por um condutor percorrido por corrente é maior próximo ao condutor do que longe deste, pois o caminho circular a ser magnetizado é mais curto e a corrente é a mesma. Assim tem-se mais Amperes, por metro linear de caminho, na linha de força curta do que numa linha de força mais comprida. Comparemos duas bobinas cilíndricas com mesmo número de espiras, mesma corrente porém uma mais curta do que a outra. Em ambas a corrente magnetizadora é igual, no entanto, o comprimento do caminho a ser magnetizado é menor numa delas e aí a intensidade de campo resulta maior. � O resultado final da ação da Intensidade do Campo Magnético H, que é indução magnética B, vai depender ainda da permeabilidade magnética do meio ( ( que é análoga à permissividade elétrica (), resultando em: ( 6.1 ) Este capítulo vai se dedicar quase que exclusivamente a estabelecer as relações entre a corrente magnetizadora ( I ) e a intensidade de campo magnético ( H ) produzida por ela. Estas relações, nem sempre simples, estão expressas na lei de Biot-Savart e na lei de Ampère. � 6.2 - Lei de Biot–Savart Este capítulo se dedica a mostrar a relação entre a Intensidade de Campo Magnético H e a sua fonte. As leis a serem abordadas são experimentais sendo de difícil dedução portanto só serão enunciadas e usadas em alguns casos clássicos. São elas a lei de Biot-Savart e a lei de Ampère. A fonte de um campo magnético estacionário pode ser uma corrente elétrica contínua, um campo elétrico variante no tempo ou um ímã permanente. Deter-nos-emos no caso de campo criado por corrente elétrica contínua. Pensemos num elemento diferencial de corrente como um pequeno condutor dL de seção infinitamente pequena por onde passa uma corrente I. A lei de Biot-Savart estabelece que, em qualquer ponto P do espaço, a intensidade de campo magnético produzido por um elemento diferencial de corrente é proporcional ao produto da corrente pelo comprimento do elemento condutor e pelo seno do ângulo entre o condutor e a linha que liga o filamento ao ponto P. A intensidade de campo será inversamente proporcional ao quadrado da distância do filamento diferencial até o ponto P. A constante de proporcionalidade no sistema MKS é 1/4(. Em notação vetorial, resumindo o texto acima, a lei de Biot-Savart fica assim: ( 6.2 ) A lei de Biot-Savart lembra a lei de Coulomb aplicada a um elemento diferencial de carga: Ambas mostram a relação linear entre a fonte e o campo e também a lei do inverso do quadrado das distâncias. Uma diferença importante é o sentido do campo que é dado pela regra do produto vetorial ou pela regra da mão direita. É impossível testar experimentalmente a lei de Biot-Savart na forma infinitesimal porque o elemento diferencial de corrente não pode existir isoladamente. Como estamos restringindo nosso estudo a correntes constantes, para as quais não há variação de densidade volumétrica de carga no tempo, pela equação da continuidade temos: Aplicando-se o teorema da divergência chegamos a: Esta última condição só pode ser satisfeita se o circuito for fechado logo a forma diferencial de Biot-Savart não pode ser experimentada, só a forma integral descrita a seguir. ( 6.3 ) A lei de Biot – Savart pode ser expressa também em termos de fontes distribuídas com densidade de corrente J e como densidade superficial de corrente K. Quando a corrente é superficial a espessura da camada é infinitesimal logo a densidade de corrente J (em A/m2) tornar-se-ia infinita. A densidade de corrente superficial K é medida em A/m e é finita. Se a densidade superficial for uniforme temos: I = Kb Onde: b = largura da tira de corrente, medida perpendicularmente à direção da corrente. Se a densidade superficial K não for uniforme temos: ( 6.4 ) O elemento diferencial de corrente pode ser expresso em função de K e de J. I.dL = K.dS = J.dv ( 6.5 ) Em termos dimensionais resulta em (A/m).m2 = (A/m2). m3 = A.m. Assim a lei de Biot-Savart fica com as seguintes alternativas: (6.6) (6.7) Consideremos um condutor retilíneo colocado no eixo z cujo retorno se dá por um fio mais afastado a ponto de não influenciar na simetria do campo magnético do primeiro. Neste caso o campo não varia com z e nem com (. Por simplicidade de dedução será colocado o ponto P no plano z = 0 assim o vetor posição dado por: R12 = (.a( - z.az Logo o vetor unitário aR12 será: Em coordenadas cilíndricas dL vale: dL = d(.a( + (.d(.a( + dz.az Porém neste caso a corrente flui por d( = 0 e d( = 0 logo dL = dz.az. ( 6.8 ) A última equação mostra que o campo é circular, que não depende de z e nem de ( porém depende inversamente de da distância ( do ponto P ao fio. No caso de arranjos de trechos finitos de condutor tem-se: Exercício 6.1: Determine a contribuição incremental (H para o campo magnético na origem, causada por um elemento de corrente I.(L (no vácuo) igual a: 3 (az (A.m localizado em (3, -4, 0); 3 (az (A.m localizado em (3, 2, -4); ((ax – 2 ay + 2 az) (A.m localizado em (5, 0, 0); Resp: H = -24ax – 18 ay; H = 9,60 ax – 14,41 ay; H = -20 ax – 20 az; [nA/m] Exercício 6.2: Uma corrente de 0,4 A está fluindo na direção az em um filamento ( situado no vácuo) que é paralelo ao eixo z e que passa pelos ponto ( 2,-4, 0 ). Encontre H no ponto (0,1,0) se o filamento se estende no intervalo: - ( ( z ( + (; b) - 3 ( z ( + 3; c) 0 ( z ( + ( Resp: H = -10,98ax – 4,39 ay; H = - 5,34 ax – 2,14ay; H = -5,49 ax – 2,20 ay; [mA/m] 6.3 - Lei circuital de Ampère Assim como a lei de Gauss resolvia problemas de eletrostática com simetria a lei de Ampère facilita a resolução de situações de eletromagnetismo em que haja simetria. Esta lei até pode ser deduzida através da lei de Biot-Savart ( HAYT- Eletromagnetismo p.216 ) porém o trabalho é muito grande. Aceitá-la-emos como uma lei passível de comprovação experimental. Enunciado: A integral de linha da intensidade de campo H ao longo de qualquer percurso fechado L é igual à corrente total envolvida pelo percurso (Ienv). ( 6.10 ) Considera-se positiva a corrente que flui no sentido de avanço de um parafuso quando o mesmo é girado no sentido de percurso do caminho (Ver regra da mão direita para bobinas). Na figura ao lado, aplicação da lei de Ampere aos caminhos a e b resultará no valor de I enquanto que no caminho c resultará numa fração de I correspondente à parte envolvida pela linha amperiana. Apesar dos resultados dos casos a e b serem os mesmos os integrandos serão diferentes sendo que geralmente só um dos casos tem simetria suficiente para ser possível resolver o problema. A parte mais difícil da aplicação da lei de Ampere é a determinação de quais as componentes de campo estão presentes e em que direção elas variam. Campo magnético de fio retilíneo infinito percorrido por corrente Suponhamos que temos um fio infinito colocado no eixo z percorrido por corrente no sentido az. Percebemos que o valor do campo H não varia com z e que, pela regra da mão direita, temos apenas a componente H( e que esta só é função de (. Devemos escolher uma amperiana de modo que o vetor H seja constante ao longo do trecho ou seja perpendicular ao mesmo. Escolheremos como amperiana ( percurso fechado ) uma circunferência centrada no condutor e pertencente a um plano perpendicular ao fio. Por inspeção, verifica-se que H( é constante em torno do fio, ou seja, ao longo da amperiana. E finalmente chega-se a equação do campo magnético H em torno do condutor: que é igual a equação ( 6.8 ) já vista. Campo magnético de cabo coaxial percorrido por corrente Consideremos um cabo coaxial onde há uma corrente I uniformemente distribuída que flui na direção az no condutor central e uma corrente contrária – I no condutor externo. Facilmente verifica-se que o campo H não varia com z. Tomando-se o cabo central como sendo um conjunto de filamentos paralelos percorridos por corrente podemos pensar que haja componentes na direção radial. Tal não acontece pois um condutor localizado em ( cancela a componente localizada em - ( conforme mostra a figura. Assim fica mostrado que o campo magnético H só tem componente tangencial e varia apenas com ( na região limitada por a < ( < b. Usando-se uma amperiana circular entre os dois condutores chegaremos a um resultado igual ao verificado num condutor retilíneo, ou seja: �� EMBED Equation.3 Se tomássemos uma amperiana dentro do condutor interno teríamos como corrente envolvida a fração da corrente dada por Ienv = I. (2/a2 e o valor do campo interno seria: �� EMBED Equation.3 Se o percurso passar por fora do condutor externo a corrente total envolvida será nula logo: H( = 0 ( ( > c ) Finalmente, se a amperiana passar pelo interior do condutor externo teremos: �� EMBED Equation.3 A figura ao lado, onde b = 3a e c = 4a, nos mostra, como exemplo, a variação do campo H em função do raio. Nota-se que a intensidade de campo magnético tangencial à fronteira é contínua, pois um pequeno acréscimo no raio do percurso fechado não implica numa grande variação de enlaçamento de corrente. O campo externo é zero mostrando que para quaisquer valores de corrente não haverá produção de nenhum efeito nas adjacências do cabo, ou seja, o condutor externo atua como uma blindagem magnética. Campo magnético produzido por placa infinita com corrente Suponhamos uma placa infinita localizada no plano z = 0 percorrida por uma corrente superficial na direção positiva de y. Podemos pensar que o retorno da corrente dá-se por duas superfícies distantes, uma de cada lado da que está sendo analisada. A densidade de corrente é uniforme e vale K = Ky.ay. O campo H não pode variar nem na direção x nem na direção y pela simetria do problema. Se imaginarmos a placa composta por filamentos percebe-se que eles não poderão criar componentes de campo Hy. Aplicando-se a lei de Biot-Savart a dois filamentos simétricos verifica-se que eles cancelarão as componentes Hz. Sobra somente a componente Hx. Escolheremos o percurso 1-1´-2´-2-1 e aplicaremos a lei de Ampere ao mesmo obtendo: Hx1.L + Hx2.(-L) = KyL ou Hx1 - Hx2 = Ky Se escolhermos agora a amperiana como 3-3´-2´-2-3 a corrente enlaçada é a mesma logo temos: Hx3 - Hx2 = Ky e portanto: Hx3 = Hx1. Assim sendo o valor de Hx é o mesmo para qualquer valor positivo de z e, de modo similar, para valores negativos de z, o valor de Hx será o simétrico da parte positiva. Hx3 – Hx2 = Ky Hx3 – (- Hx3 ) = Ky 2.Hx3 = Ky Hx3 = Ky/2 Assim temos para z > 0 Hx = Ky/2 e para z < 0 Hx = - Ky/2 Tomando an com um vetor normal à superfície podemos escrever: H = K/2 x an ( 6.11 ) Campo criado por duas placas paralelas infinitas percorridas por corrente Supondo uma segunda superfície paralela a anterior percorrida por uma corrente -K = Ky.ay e localizada a uma altura z = h. Por uma rápida inspeção do problema vemos que entre as placas há uma soma de campos e fora dos mesmos há uma anulação. H = K x an ( 0 < z < h ) ( 6. 12 ) H = 0 ( z < 0 ; z > h ) ( 6. 13 ) Campo criado por solenóide percorrido por corrente Suponhamos uma bobina em forma de hélice (chamada de solenóide), com seu comprimento muito maior do que o seu diâmetro, centrada no eixo z sendo percorrida por corrente elétrica filamentar no sentido a(. Na figura b é mostrado o solenóide em corte longitudinal. Aplicando-se a regra da mão direita para condutores a cada trecho das espiras percebe-se que, entre dois trechos com mesmo sentido de corrente, há a anulação do campo magnético. Por semelhante raciocínio vê-se que, no interior do solenóide, todas as espiras produzem seu campo magnético no mesmo sentido somando-se entre si e produzindo um campo intenso. No lado externo do solenóide os campos das diversas espiras também se somam, no entanto, devido ao retorno das linhas de força ocorrer por um caminho extremamente largo, estas ficam muito espalhadas resultando num campo magnético muito fraco sendo considerado desprezível. � Observando-se a figura c pode-se descrever a bem conhecida regra da mão direita para bobinas. Agarrando-se a bobina com os quatro dedos da mão direita no sentido da corrente, o polegar fornece o sentido do campo no interior da bobina. Para determinar a intensidade do campo magnético H no interior da bobina será tomada uma amperiana com partes paralelas e perpendiculares ao eixo z conforma a figura c sendo que uma parte da mesma passa por ( < a e por ( > a. O trecho vertical da amperiana terá um comprimento genérico h e será considerada que a bobina tem uma densidade linear de espiras n expressa em espiras por metro. A direção das linhas é perpendicular à direção da amperiana em dois trechos internos resultando num integrando nulo. No trecho externo toma-se H com nulo logo restando apenas, como não nulo, o produto Hint. l do trecho interno paralelo à amperiana. Assim temos: ( ( < a ) ( 6.14a ) Na parte externa, temos: Hext = 0 ( ( > a ) ( 6.14b ) Supondo um solenóide de comprimento finito l, com comprimento bem maior que o seu diâmetro, enrolado com N espiras bem juntas, tem-se que n = N/ l e portanto: [A/m ou Ae/m] ( 6.15 ) Para solenóides finitos esta aproximação continua válida para pontos afastados de um diâmetro das extremidades e de duas separações entre espiras da superfície cilíndrica. Campos magnéticos produzidos por toróides A forma toroidal é obtida pela rotação de uma figura geométrica em torno de um ponto. O enrolamento do toróide possui espiras uniformemente distribuídas e muito próximas entre si. A principal característica do toróide é a de confinar o campo magnético ao interior das espiras, motivo pelo qual é considerado o circuito magnético perfeito. Conforme será demonstrado o campo será nulo em toda a parte externa à área enlaçada pelas espiras. Considerando-se o sentido da corrente mostrado na figura e aplicando a regra da mão direita para bobinas a cada pedaço do toróide veremos que, em todas as partes, teremos um fluxo no sentido a(. Se cortarmos o núcleo perpendicularmente à direção do fluxo obteremos a seção transversal, representada por figuras comuns tais como o circulo, o quadrado e o retângulo. Para calcularmos a intensidade do campo magnético adotaremos uma amperiana circular com um raio tal que passa pelo interior das espiras (. Verificamos facilmente que a corrente envolvida pela amperiana é a soma das correntes que percorrem as espiras na parte interna do toróide (ou seja no oco do núcleo). Observa-se que há uma constância do campo H ao longo da amperiana logo: ((o-a < ( < (o+a ) ( 6.17a) Geralmente calcula-se a intensidade de campo H para o raio médio (o do toróide e considera-se aproximadamente constante ao longo de toda a seção transversal do núcleo. Se passarmos a amperiana para fora do núcleo a corrente envolvida pela mesma será a soma das correntes que entram no plano do papel e das que saem resultando num valor nulo. Daí conclui-se que a intensidade de campo no exterior do toróide é nula. Por raciocínio semelhante deduz-se que o campo na parte oca do toróide também é nulo. H = 0 ((o-a > (; ( > (o+a ) ( 6.17b) Exercício 6.3: Determine H em componentes retangulares no ponto P( 0; 0,008; 0 ) situado no campo magnético de: dois filamentos infinitos de corrente: 75 mA no eixo z no sentido –az e 75 mA em x = 0; y=0,01 sentido + az; uma linha de transmissão coaxial centrada no eixo z e tendo a = 2 mm, b = 7 mm, c= 9mm e I=0,7 A no sentido az no condutor central; duas superfícies de corrente: 8 ax A/m em y = 3 mm e -2( ax A/m em y = 1 cm; um longo solenóide com eixo em x = 1 cm, y = 2 cm estendendo-se de z = -10 cm até z = 25cm, diâmetro de 5 cm, 3000 espiras e I = 1mA no sentido horário quando vista de z=10 m. um toróide centrado na origem, eixo em x, (0 = 1 cm, a = 3mm, N = 200 e I = 2mA sentido ax no raio externo. Resp: 7, 46 ax; -7, 40 ax; 7,14 az; -8,57 az; -7,96 az A/m. 6.4 - Rotacional Aplicaremos a lei de Ampère a um caminho fechado de dimensões incrementais, em cujo centro está um ponto P, onde existe um campo magnético H criado por uma corrente (I ainda desconhecida. Obteremos a forma pontual da lei de Ampère. Trabalhando em coordenadas cartesianas tem-se, como lados do percurso, (x e (y. Consideremos que o valor do campo no centro do retângulo é conhecido e vale: Ho = Hx0.ax + Hy0.ay + Hz0.az A integral de linha neste percurso se transforma numa soma de quatro parcelas H. (L em cada lado. Integrando-se na direção 1-2-3-4-1, e tomando-se H como constante ao longo de um lado a primeira contribuição é: (H. (L)1-2 = Hy, 1-2. (y Usando o conhecimento de aproximação local, o valor de Hy pode ser encontrado em função de Hy0 existente no centro do retângulo, da taxa de variação de Hy com a variação de x e da distância do centro ao centro do trecho 1-2. Hy,1-2 ( Hy0 + ( Hy /(x ((x/2) Logo: (H. (L)1-2 ( [ Hy0 + ( Hy /(x ((x/2)]. (y Por comparação, no próximo trecho, (2-3), teremos: (H. (L)2-3 ( Hx,2-3. (-(x) ( - [ Hx0 + ( Hx /(y ((y/2)]. (x Concluindo para os segmentos restantes e somando os resultados obtemos: Pela lei de Ampère este resultado é igual à corrente envolvida pelo percurso que, no caso, é: (I ( Jz.(x(y portanto: Quando se leva o percurso em direção a zero a expressão torna-se exata: ( 6.18 ) Se escolhermos outros caminhos, pertencentes a planos perpendiculares aos dois eixos coordenadores restantes, por processo análogo, chegamos às seguintes equações: �� EMBED Equation.3 (6.19) (6.20) A componente da densidade de corrente numa direção é o quociente da integral de linha do vetor H em um pequeno caminho fechado, normal a esta componente, pela área envolta por este caminho. O limite definido acima é bem mais genérico e é chamado de rotacional do vetor. O rotacional de qualquer vetor é um vetor em que cada componente é o limite do quociente da integral de linha do vetor em um percurso fechado num plano normal àquela componente e a área envolvida, quando o percurso tende a zero. Note que a definição acima não depende do sistema de coordenadas escolhido. Em forma matemática temos: ( 6.21 ) Onde o índice n significa que a componente do rotacional é normal à área envolvida pelo percurso. Em coordenadas cartesianas o rotacional é calculado por: (6.22) Em coordenadas cartesianas e na forma de um determinante o rotacional de H fica: Usando o método de Hayt – p.382 obtém-se o rotacional em coordenadas cilíndricas: (6.25) Do mesmo chega-se ao rotacional em coordenadas esféricas: (6.26) Passemos à interpretação física do rotacional. A integral de linha de um vetor também é chamada de circulação do vetor. A circulação do vetor é a soma dos produtos da componente tangencial do vetor pelo comprimento do trecho de percurso. Se a circulação é nula é sinal que as componentes tangenciais do vetor numa parte do percurso acompanham a curva e em outra parte são de sentidos opostos. Se a circulação é positiva o vetor tem, na maior parte do trecho, componentes tangenciais a favor do percurso. Como esta operação é originada na Mecânica dos Fluidos usemos um “medidor de rotacional” (*) como se fosse uma turbina hidráulica composta de um eixo e pás radiais. O campo vetorial, ao aplicar “forças” sobre as pás, fará o eixo girar se o campo variar numa dada direção, ou seja, se o campo é mais forte de um lado do que no outro do eixo. Como exemplo, coloquemos o medidor de rotacional (com seu eixo horizontal) dentro de um rio reto. Como as águas superficiais são mais velozes do que as do fundo, o eixo girará no sentido horário e teremos uma componente de rotacional que penetra no plano do papel. Matematicamente, há uma derivada parcial positiva de Vy na direção z e o valor do rotacional é na direção de – ax conforme a equação ( 6.22 ). O mesmo aconteceria se houvesse variação da componente Vz na direção de y. Combinando as equações 6.18, 6.19 e 6.20 chega-se a: (6.27) ou (6.28) A última equação é a lei de Ampère na forma pontual e é também uma das quatro equações de Maxwell aplicada a condições não-variantes no tempo. Conhecido o conceito de rotacional podemos, por analogia, também reapresentar a terceira equação de Maxwell (segunda lei de Kirchhoff) na forma integral e na forma pontual: ( 6.29 ) Exercício 6.4: Seja um ponto P(1,3,2) em um campo . a) Calcule a integral de linha do campo ao longo de um percurso quadrado, centrado em P, com 0,6 m de lado, com os lados paralelos aos eixos coordenados. Use o sentido anti-horário, visto de x = (. b) Calcule a razão entre a integral de linha e a área da figura como aproximação para o cálculo do rotacional da função vetorial da direção x. c) Determine o (rot )x no ponto P pela equação correta. Solução: A integral de linha será dividida em quatro partes: �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 b) c) c) Exercício 6.5: Determine (( x H) sendo H dado por: H = y2.z ax + 2(x+1) yz ay – (x+1)z2 az; H = 2( cos( a( - 4( sen ( a( + 3 az; H = 2 r cos ( ar – 3 r sen ( a( Resp: -2(x+1)y ax +(y2+z2) ay ; -6 sen ( az; - 4 sen ( a( 6.5 - Teorema de Stokes No último item obtivemos a forma pontual da lei de Ampère ( rot H = J ) e agora, com o Teorema de Stokes, podemos, a partir da forma pontual, chegar à forma integral da mesma lei. Consideremos a superfície S da figura ao lado dividida em superfícies incrementais de área (S. Aplicando-se a definição de rotacional a cada uma destas superfícies temos: Ou ainda: Onde an é o vetor unitário normal a (S coerente com a regra da mão direita. Somando-se a circulação do vetor H em todos os (S observa-se que, em todos os lados internos, há cancelamentos pois a integral de linha num trecho qualquer tem sinal positivo para uma circulação e tem sinal negativo para a circulação correspondente à área adjacente. Os únicos lados em que não ocorre cancelamento são nos lados pertencentes à fronteira que delimita a área S obtendo-se portanto: ( 6.30 ) Esta identidade é utilizada também em outras áreas da engenharia e é chamada de Teorema de Stokes o qual permite a transformação de uma integração de superfície para qualquer campo vetorial numa integração de linha fechada. Deve-se lembrar que o teorema da divergência transforma uma integral de volume numa integração de superfície ao longo da superfície fechada que envolve o volume. Particularizando-se para o campo magnético temos que rot H = J que, substituindo em 6.30, fornece: Onde a integral da densidade de corrente J ao longo da superfície S é a corrente total It que atravessa a superfície portanto: Esta dedução de equação mostra que a corrente It, descrita como sendo a corrente envolvida por um caminho fechado, é também a corrente que atravessa qualquer uma das superfícies que tem o mesmo percurso fechado como perímetro. Exemplo: Calcule a integral de linha do Exercício 6.4 usando o teorema de Stokes. Usando o resultado do item c temos: �� EMBED Equation.3 O que confere com a letra a do Exercício 6.4 conforme queríamos demonstrar. � Exemplo: Considere-se uma porção de uma superfície de uma esfera mostrada na figura ao lado. Ela é definida por r = 4; 0 ( ( ( 0,1 (; 0 ( ( ( 0,3 (. O caminho fechado que determina o seu perímetro possui três arcos de circunferência. O primeiro arco é definido por r = 4; 0 ( ( ( 0,1(; ( = 0; o segundo por r = 4; ( = 0,1(; 0 ( ( ( 0,3( e o terceiro por r = 4; 0 ( ( ( 0,1 (; ( = 0,3 (. Dado H = 6.r.sen( ar + 18.r.sen(.cos( a( deseja-se aplicar os dois lados do teorema de Stokes. Solução: O elemento diferencial de caminho dL é dado por: dL = dr ar + rd( a( + r.sen (.d( a( O primeiro termo é nulo nos três segmentos uma vez que r = 4 e dr = 0. O segundo termo é nulo no segmento 2 porque ( é constante e o terceiro é nulo nos segmentos 1 e 3. Assim a integração de linha fica: Mas H( = 0 logo: Para fazer a integração de superfície precisamos do rotacional de H: A porção de casca esférica dS, em coordenadas esféricas, fica: dS = rsen( d( rd( ar Este exemplo comprova o Teorema de Stokes e mostra que há uma corrente fluindo de dentro desta casca esférica através da porção especificada com o valor de 22,2 A. Exercício 6.6: Trabalhando em coordenadas cilíndricas, com o campo A = 2(2(z+1) sen2( a(, calcule ambos os lados do Teorema de Stokes para o percurso ( = 2; (/4 ( ( ( (/2; 1 ( z ( 1,5 e para a superfície cilíndrica que ele define. Resp: -5,14; -5,14 ( para dS = + dS a( ) 6.6 - Fluxo magnético e densidade de fluxo magnético Fluxo magnético ( ( ) é a quantidade de linhas de força que atravessa uma dada área. Sua unidade no sistema CGS é justamente “linha” ou Maxwell. No sistema internacional ( MKS ) sua unidade é o Weber que representa 100.000.000 linhas ou 108 Maxwell. Densidade de fluxo magnético ( B ), também chamada de Indução Magnética, é um vetor cuja direção é a mesma do vetor Intensidade de Campo Magnético H e cujo módulo representa a concentração das linhas de força. Matematicamente é a relação entre o fluxo que passa numa dada área, colocada perpendicularmente às linhas, e a área quando esta tende a zero. A densidade de fluxo magnético descreve as características do campo ponto a ponto e é uma das grandezas mais importantes do magnetismo aparecendo em inúmeras equações. Sua unidade é o Weber por metro quadrado ou Tesla, que vale 10.000 linhas por cm2 ou 104 Gauss. Quando a indução for constante ao longo da área, e esta for perpendicular às linhas, temos uma relação mais simples e conhecida que é: B = (/ Sn A relação entre a densidade de fluxo magnético (B) e a intensidade de campo magnético (H) é estabelecida através de sua permeabilidade magnética ( ( ) pela equação: B = (.H ( 6.32 ) Nota-se que a permeabilidade do vácuo (o é praticamente a menor existente e é tomada como referência para o estabelecimento da permeabilidade relativa. (o = 4( x 10-7 H/m ( 6.33 ) Esta relação é análoga com a usada nos campos eletrostáticos: D = (.E Quando a indução não é constante ao longo da área, usa-se para o cálculo do fluxo magnético a equação abaixo: ( 6.34 ) Prontamente aparece uma analogia com a eletrostática onde temos a lei de Gauss: Onde Q é a fonte das linhas de força e estas começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. Para o campo magnético não existem as cargas magnéticas de onde fluam ou para onde se dirijam as linhas de força; elas são sempre fechadas logo, numa superfície fechada, temos: ( 6.35 ) Aplicando-se o teorema da divergência temos: ( 6.36 ) que é a quarta equação de Maxwell, aplicável a campos eletrostáticos e magnetostáticos. Recordando as quatro equações de Maxwell para campos invariantes no tempo, na forma pontual, temos: (.D = (; ( x E = 0; ( x H = J; (.B = 0. ( 6.37 ) Associadas a estas equações, temos ainda para o vácuo: D = (o.E ( 6.38 ) B = (o.H ( 6.39 ) E, para potenciais eletrostáticos: E = - ( V ( 6.40 ) As equações ( 6.37 ) podem ser transformadas para a forma integral resultando em ( 6.41 ): ( 6.41 ) Exemplo: Calcular o fluxo magnético entre os condutores interno (de raio a) e externo ( de raio b ) de um cabo coaxial colocado no eixo z onde circula uma corrente I no sentido + az no condutor interno e invertida no condutor externo. Considerar que a isolação entre os condutores seja magneticamente equivalente ao vácuo. Solução: Como já foi visto o campo magnético entre os condutores só terá componente tangencial que pode ser obtida pela lei de Ampère: logo O fluxo magnético contido entre os condutores é aquele que atravessa uma superfície radial que se estende desde ( = a até ( = b e de z = 0 até z = L. Observamos que B não é constante ao longo da variação do raio logo é inevitável a integração para obter o fluxo: Exercício 6.7: Uma linha coaxial de alta potência é resfriada a água, que passa não só por um orifício dentro do condutor interno como também por fora do condutor externo. Os raios do condutor interno são iguais a 5 e 7 mm e os do condutor externo 19 e 20 mm. Os condutores transportam uma corrente contínua de 2000 A. Após determinar H e B dentro dos condutores e entre eles, determine o fluxo em 1,00 m de comprimento: do condutor interno; Resp: 59,8 (Wb do espaço entre os condutores; Resp: 399 (Wb do condutor externo. Resp: 10,43 ( Wb PROBLEMAS: (Hayt – Eletromagnetismo 4ª.ed. – Cap 8; p.260) 8.1 - Um filamento infinitamente longo se estende ao longo do eixo x, e conduz uma corrente de 10 mA no sentido +ax. Determine H e |H| no ponto P (3,2,1). 8.2 - A distribuição superficial de corrente K = -1ax A/m flui no plano z = O restrita à região -5 < y < 5m. Calcule H em (0,0,1) e compare seu resultado com a resposta para a distribuição do Probl. 3a, 0,435ay A/m. (b) Agora considere a corrente como sendo um filamento ao longo do eixo x transportando 10 A no sentido ax, e calcule H em (0, 0, 100). Compare seu resultado com o do Probl. 3b, 0,01590 ay A/m. 8.3 - Dez filamentos de corrente infinitamente longos são paralelos ao eixo x e se localizam no plano z = 0 em y = -4,5; -3,5; ... ; -0,5; 0,5; ...e 4,5. Cada um conduz uma corrente de l A no sentido - ax. Calcule H em: (a) (0,0,1); (b) (0,0,100). 8.4 - Determine H no ponto P (0, 0, 1) para a espira filamentar circular da Fig. 8.20b. 8.5 - Cada um dos três eixos coordenados conduz uma corrente filamentar de l A nos sentidos + ax, +ay e az. Determine H no ponto (2, 3,4). 8.7 - Uma corrente superficial, K = 4( a( A/m, flui no plano z = O interiormente à região 2 m < ( < 5 m. (a) Qual é a corrente que atravessa o plano ( = 0? (b) Determine H no ponto P (0, 0, h ). (c) Calcule Hz para h = 5 m. 8.8 - Determine H na origem devido à distribuição superficial de corrente K = K0 a( A/m no cilindro ( = a. 8.9 - Determine o vetor intensidade de campo magnético no ponto (0, 0, 5 m) provocado por uma distribuição superficial uniforme de corrente, K = 500 ay A/m, situada na região 0 < x < 10 m, y > 0 do plano z = 0. 8.12 - Um toróide de seção reta quadrada é definido petos cilindros ( = 5,1 e 7,1 cm, e pelos planos z = 0 e z = 2 cm. O toróide possui 360 espiras de um fio muito fino que conduz uma corrente contínua de 50 mA. Sabe-se que a primeira espira conduz corrente no sentido +az em ( = 0 na superfície externa, e no sentido - az em 0 = 0,5° na superfície interna. (a) Determine H em ( = 6 cm. (b) Qual é a corrente envolvida por um caminho circular no sentido + a( em ( = 6,5 cm, z = 0,3 cm? (c) Determinar a corrente envolvida pelo caminho composto pelos segmentos lineares de (0, 0, 0) a (6, 8, 0) cm a (6, 8, 20) cm a (0, 0, 0). (d) Idem para o caminho de segmentos lineares de (0,0,0)cm a (6,0,0)cm a (6,8, 0) cm a (-6, 8,0) cm a (-6,0,0)cm a (0,0,0). 8.13 - A região 0 < x < 6 m conduz uma densidade de corrente uniforme J = 5 az A/m2 sendo J = 0 para todo o restante. (a) Usando a Lei circuital de Ampère e caminhos retangulares no plano z = 0, mostre que Hx < 0 = - Hx > 6. (b) Ache H no ponto (8,9,0). (c) Determine H no ponto (2, 5,0) 8.15 - Determine H na origem devido a: (a) um filamento circular de corrente igual a 7 A, no sentido + a(, situado em ( = 10 cm, z = c; (b) cinco filamentos circulares, cada um com 7 A no sentido + a(, situados em ( = 10 cm, z = 0, ± 10 e ± 20 cm; (c) um filamento circular de corrente I = 5 x 7 A, no sentido + a(, i em ( = 10 cm, z = 0; (d) um solenóide infinito situado em ( = 10 cm e para o qual K = (7/0,1) a( A/m. 8.16 - O toróide da Fig. 8.11b tem 600 espiras, I = 0,5 A, (0 = 2,5 cm e a = l cm. Seu eixo coincide com o eixo x e I tem praticamente o sentido + ax no raio externo. O solenóide da Fig. 8.10b tem 1000 espiras I = 0,6 A, a = 5 cm e d = 50 cm. Seu eixo coincide com o eixo z e I tem praticamente o sentido a(. As duas bobinas estão centradas na origem. Determine H em: (a) (0;0;0); (b) (0;0,025; 0); (c) (0;- 0,025;0); (d) (0;0;0,025) 8.18 - Um fio de 3 mm de raio é constituído por um material com ( = 107 (/m para 0 < ( < 2 mm e por outro com ( = 4x107 (/m para 2 < ( < 3 mm. Se o fio conduz um total de corrente contínua igual a 100 A, Calcule e plote H vs ( para 0 < ( < 8 mm. 8.19 - Uma corrente contínua de 2,5 A flui no sentido az em um filamento situado na parte negativa do eixo z. Na origem ela flui para fora e para cima como uma corrente superficial na superfície cônica ( = 45°. Use a lei circuital de Ampere para encontrar H em todo o espaço. 8.21 – No probl. E 8.4, o quociente da divisão da integral de linha fechada (circulação) de H pela área delimitada pelo caminho de integração é igual a 3,97, enquanto que a ((xH)x = 4,07. Divida por dois as dimensões do caminho (percurso) quadrado de integração ao redor de P(1;-3,2) e mostre que o novo quociente é mais próximo do valor de ((xH)x. 8.24 – Um condutor sólido de seção transversal circular com raio 5 mm tem uma condutividade que varia com o raio. O condutor tem 20 m de comprimento e existe uma diferença de potencial de 0,1V (contínuos) entre as extremidades. No interior do condutor, H = 105(2 a( A/m. (a) Determine ( em função de (. (b) Qual é a resistências entre as duas extremidades? o campo vetorial 8.25 – Dado o campo vetorial G = (2x2+y)ax + 8xyzay + (x2y/z)az, obtenha um valor numérico para ((xG)z no ponto P(0,5;2;0,4) por intermédio de dois métodos diferentes. (a) Compute (G.dL ao longo do quadrado de lado igual a 2a ao redor de P no plano z = 0,4, divida pela área e determine o limite quando a ( 0; (b) use a Eq. (22) da Seção 8.3. (6.22) 8.27 – Calcule ambos os membros do Teorema de Stokes para o campo H=(y2z/x)ax+(0,5y2z2/x2) ay e ache a corrente no sentido +ay, que atravessa a superfície quadrada do plano y = 2, delimitada por x = z = l e x = z = 2. 8.28 - Quando x, y e z são positivos e menores que 5, certa intensidade de campo magnético pode ser expressa por: H = [x2yz /(y+1)]ax + 3x2z2ay – [(xyz2/(y+1)]az. Ache a corrente total no sentido + ax que atravessa a faixa x = 2, l ( y( 4, 3( z ( 4, por um método que utilize: (a) uma integral de superfície; (b) uma integral de linha. 8.29 - Certa intensidade de campo magnético é expressa, em coordenadas esféricas, por: H = 106 r sen ( a( A/m. (a) Ache a corrente no sentido + ar que atravessa a calota esférica r = l mm, 0 < ( < (/6, 0 < ( < 2(, utilizando qualquer um dos membros do Teorema de Stokes. (b) Verifique seu resultado utilizando o outro membro não utilizado do teorema. 8.30 - A Fig. 8.23 mostra uma porção de uma bobina toroidal preenchida com ar que tem uma seção reta quadrada de 1cm de lado, e raio interno igual a 3 cm. Existem 800 espiras, cada uma carregando 5 A radialmente para fora na superfície superior. (a) Qual é o módulo de B no centro da seção reta? (b) Qual é o fluxo total através da seção reta? 8.33 - Na região central dos E.U.A., 0,2 G ou 2x10-5 Wb/m2 é um valor bem representativo para o campo magnético. A fim de estimar o efeito que um sistema elétrico de automóvel produziria em uma pequena bússola, calcule a distância, a partir de um longo fio transportando 5 A de corrente contínua, para a qual o efeito sobre a bússola seria igual ao devido ao campo da Terra. Respostas: 8.1 -0,318ay + 0,637 az mA/m; 0,712 mA/m 8.2 0,500 ay A/m; [8.3(a) 0,435 ay A/m]; 1,592 ay A/m; 0,0159 ay A/m; [8.3(b) 0,0159 ay A/m] 8.3 (a) 0,435 ay A/m; (b) 0,0159 ay A/m 8.4 (a) H = -10/(((3) az A/m (H = -1,8378 az A/m); (b) H = - 5/(8 az A/m (H = -1,7678 az A/m) 8.5 -4,90 ax,- 0,979 ay + 3,18 az mA/m; 8.7 (a) 42 A; (b) [(4h2+50)/(( h2+25) – (4h2+8)/((h2+4)] az 8.8 8.9 44,1ax + 32,0 az A/m; 8.12 8.13 (a) demonstração; (b) 15ay A/m; (c) -5ay A/m. 8.15 (a) 0,035 az /( c2 +0,01)1,5 A/m; (b) 66,0 az A/m; (c) 175 az A/m; (d) 70 az A/m. 8.16 8.18 8.19 0; 0 < ( < 45º; 0,398 a( /( A/m; ( > 45º 8.21 4,043 8.24 8.25 (a) 5,4; (b) 5,4. 8.27 2,77 A 8.28 8.29 (a) (/2 A; (b) (/2 A; 8.30 8.33 5,0 cm F F F F F F F F � EMBED CorelDraw.Graphic.8 ��� S N S N H H H B B B N , I L1 H L2 H N , I (1 (2 x y z I dL H I z y -Ky -Ky an an H=0 H=0 H=Kx an Hext(0 Hext(0 Hint a L N Fig.6.10 – campo de um solenóide (o a N I Fig.6.11 – Campo de um toróide H J (I = Jz. (S z 0 1 2 3 y x 1 dS d c a b H(x,y,z) � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� Fig. 8.20. Veja o Probl. 4. P(0,0,1) (=1m; z=0 I =10 A y x z Fig. 8.21. Veja o Probl.8.5. P(2,3,4) I =10 A z y x 1 A 1 A 1 A Fig. 8.23. Veja o Prob. 30. (int = 3cm; z =0 I =5 A y x z _1281877780.unknown _1282039809.unknown _1282041149.unknown _1332056221.unknown _1421565693.unknown _1451138059.unknown _1451139600.unknown _1421653795.unknown _1421656224.unknown _1332059141.unknown _1407153254.unknown _1407832537.unknown _1407153310.unknown _1332059529.unknown _1332057342.unknown _1332057488.unknown _1332056303.unknown _1282053123.unknown _1282053761.unknown _1282055731.unknown _1282055765.unknown _1282056072.unknown _1282056196.unknown _1282055884.unknown _1282055756.unknown _1282054370.unknown _1282054959.unknown _1282053786.unknown _1282053376.unknown _1282053687.unknown _1282053142.unknown _1282052199.unknown _1282052708.unknown _1282052120.unknown _1282040301.unknown _1282040434.unknown _1282040488.unknown _1282040349.unknown _1282039960.unknown _1282040049.unknown _1282039889.unknown _1281878051.unknown _1281970407.unknown _1282039788.unknown _1282039799.unknown _1281970533.unknown _1281970768.unknown _1281970439.unknown _1281960545.unknown _1281965610.unknown _1281960528.unknown _1281877920.unknown _1281878009.unknown _1281878029.unknown _1281877935.unknown _1281877851.unknown _1281877900.unknown _1281877843.unknown _1096663627.unknown _1278692133.unknown _1281876977.unknown _1281877575.unknown _1281877626.unknown _1281877522.unknown _1281876767.unknown _1281876774.unknown _1281626674.unknown _1098020491.unknown _1098359688.unknown _1098362817.unknown _1121351238.unknown _1278692121.unknown _1098362932.unknown _1098362550.unknown _1098362800.unknown _1098362722.unknown _1098360273.unknown _1098021458.unknown _1098356294.unknown _1098020825.unknown _1097671924.unknown _1098011334.unknown _1096663646.unknown _1096646775.unknown _1096662563.unknown _1096662674.unknown _1096663433.unknown _1096658513.unknown _1096644802.unknown _1096644873.unknown _1096644476.unknown _1024498627.unknown TEM_Cap1-ago12.doc I - � PAGE �10� Teoria Eletromagnética ________________________________________________________________________________________________ Análise Vetorial - � PAGE �9� _______________________________________________________________________________________ Unidade I – ANÁLISE VETORIAL 1.1 – Escalares e vetores Esta disciplina pressupõe que os estudantes estejam cursando engenharia elétrica e que já tenham trabalhado, no mínimo, o cálculo infinitesimal e integral. O cálculo vetorial, ferramenta fundamental para esta disciplina, será abordado de forma contextualizada com a mesma. Para melhor compreensão, será feita uma rápida retomada de alguns conceitos já adquiridos em disciplinas precedentes, os quais são considerados pré-requisitos para o assunto em pauta. Grandeza Escalar: Grandeza que pode ser completamente caracterizada pela sua magnitude e uma unidade. Ex: Tempo, temperatura, densidade, massa, energia, pressão, volume, resistividade, potencial etc. Grandeza Vetorial: Grandeza que, para ser caracterizada, necessita de módulo (intensidade ou magnitude), direção e sentido assim como sua unidade. Ex: Força, velocidade, aceleração, indução, intensidade de campo elétrico etc. Um vetor é descrito por uma letra com uma pequena flecha sobre si ( ) ou por uma letra em negrito (V). Um erro muito comum entre os estudantes é o descaso com que tratam as grandezas e operações vetoriais. Campo: Região ou domínio onde existe um dado fenômeno. Pode ser entendido como a própria equação que descreve o fenômeno. Os campos podem ser de dois tipos: escalares ou vetoriais. Campos escalares: É aquele em que, a cada ponto de uma região, podemos associar um número (escalar). Um exemplo clássico é o campo de temperaturas onde, a cada ponto da região, podemos associar uma temperatura. Campos vetoriais – quando a cada ponto do espaço podemos associar um vetor. Como exemplo, temos o campo elétrico produzido por uma carga pontual. 1.2 – Álgebra vetorial A álgebra de vetores pode ser resumida em soma de vetores, produto de escalar por vetor, produto de vetor por vetor e pelo conjunto de suas propriedades. Soma de vetores: Regra do triângulo: A soma de dois vetores é obtida graficamente colocando-se o início do segundo vetor no final do primeiro vetor. O vetor soma tem seu início no início do primeiro e final no final do segundo vetor. Regra do paralelogramo: Colocam-se os inícios dos dois vetores juntos e traçam-se paralelas aos mesmos passando por seus finais. O vetor soma é obtido na diagonal do paralelogramo. Fig. 1.3 – Soma de vetores pelo método: a) do triângulo; b) do paralelogramo. A soma de vetores também pode ser feita somando-se suas componentes ortogonais como será explorado nos cálculos desta disciplina. Tem-se na álgebra de vetores as seguintes propriedades: Propriedade comutativa: Propriedade distributiva: Subtração de vetores: A subtração de vetores é obtida pela soma de primeiro com o segundo invertido. Igualdade de dois vetores: Dois vetores são iguais quando a sua diferença é igual a zero. Produto de escalar por vetor: Os vetores podem ser multiplicados por escalares. Neste caso apenas o seu módulo é modificado (e o sentido se o escalar for negativo). A representação do produto é a simples justaposição do escalar ao vetor (sem o uso de ponto!). Ex: Divisão de vetor: A divisão de um vetor por um escalar é igual ao produto do vetor pelo inverso do escalar. Ex: Propriedades distributivas e comutativas: Produto de vetor por vetor: O produto de dois vetores é mais complexo. Compreende o produto escalar ( ) e o produto vetorial ( ) como será detalhado logo a seguir. � 1.3 – Sistema cartesiano de coordenadas No sistema de coordenadas cartesianas um ponto é obtido pela interseção de três superfícies planas perpendiculares entre si caracterizadas por x = cte, y = cte e z = cte. Assim as coordenadas de um ponto são, respectivamente, a distância do ponto P ao plano x = 0, ao plano y = 0 e ao plano z = 0. Apesar de se poder raciocinar de outra maneira, esta forma de pensar necessariamente deve ser usada quando se tratar de outros sistemas de coordenadas onde as superfícies não são necessariamente planas, mas são perpendiculares entre si no ponto de intersecção. Os três eixos estão a 90o entre si de modo a formar o triedro direto, ou seja, girando-se um parafuso comum de x para y ele avança na direção z, caso girarmos o parafuso de y para z o parafuso avança na direção x e assim sucessivamente. Os vetores unitários são associados a cada uma das variáveis e são chamados de ax, ay e az. Cada vetor unitário tem direção normal à superfície em que a variável associada seja constante e aponta para o lado em que a grandeza cresce. Assim o vetor unitário ax é perpendicular ao plano x = cte e aponta para o lado em que x cresce. O mesmo pode-se dizer em relação aos outros dois vetores unitários. Suponhamos um vetor posição que liga a origem ao ponto P1(x,y,z) onde há a intersecção de três planos perpendiculares. Incrementemos a cada coordenada um diferencial de distância e teremos um novo ponto P2 (x+dx, y+dy, z+dz) onde ocorre a intersecção de três outros planos. Os seis planos definidos por estes pontos determinam um paralelepípedo diferencial retangular com volume dv = dx.dy.dz. Cada face do paralelepípedo determina um diferencial de superfície expresso como um vetor cujo módulo é a área e cujo vetor unitário é normal à área apontando para o lado de fora. A diagonal que determina a variação do vetor posição é dada por: 1.4 - Componentes de um vetor e vetores unitários A maneira mais fácil de descrever um vetor é através de suas componentes (ou projeções) segundo três direções determinadas. O método mais conhecido é a decomposição de um vetor segundo o Sistema Cartesiano de Coordenadas. Considere-se um vetor posição que se origina na origem O e se estende até o ponto P. Ele pode ser obtido pela soma vetorial das componentes , e que são as suas projeções sobre os eixos respectivos. Cada componente está sobre um eixo e pode ser descrita como o produto do seu módulo pelo vetor unitário naquela direção ( , e ). Exemplo: Tem-se um vetor dirigido da origem para o ponto P (1, 2, 3) que é e outro vetor dirigido da origem para o ponto Q (3, -3, 5) dado por . O vetor distância, que une P a Q, pode ser obtido aplicando-se a regra da adição vetorial então resultando, no caso, . Módulo de um vetor: Seja um vetor B cujas componentes são Bx, By e Bz , isto é: O módulo de um vetor pode ser facilmente calculado pelo Teorema de Pitágoras aplicado às componentes ortogonais: Vetor unitário numa dada direção: O vetor unitário numa dada direção é o vetor que se obtém dividindo-se o vetor pelo seu módulo. Assim um vetor unitário na direção do vetor é dado por: Exemplo 1.1: Dados três pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3) determine: a) o vetor que tem origem em A e termina em C; b) o vetor unitário dirigido de B para A; c) a distância entre B e C; d) o vetor que vai de A até o ponto médio do segmento BC. Solução: a) ; ; b) ; ; c) ; d) 1.5 – Funções e campos escalares e vetoriais Função escalar de uma variável real (t) é uma regra, geralmente expressa em forma de equação, que associa a cada valor do parâmetro t do seu domínio um único escalar no contradomínio. Ex: (função escalar a uma variável) A função escalar pode ser também de duas ou mais variáveis, onde uma combinação de suas variáveis independentes leva a um único valor para a função. Ex: (função escalar a três variáveis) Função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, é a função que associa a cada t um vetor do espaço (R2 ou R3). Ex: Função vetorial de duas ou três variáveis é a regra que associa a cada conjunto de valores das variáveis independentes um único vetor. Ex: Campo escalar é uma região do espaço (domínio) acrescida da função escalar que descreve a grandeza. O campo escalar, em diversos momentos, será confundido com a própria função. Ex: Campo vetorial é uma região do espaço (domínio) acrescida da função vetorial que descreve a grandeza vetorial ali existente. O campo vetorial, às vezes, é também confundido com a própria função vetorial que descreve a grandeza em função da posição do ponto. Ex: ; |x| ( 5 m, |y| ( 98 m; -35 m ( z ( 0 1.6 - Produto escalar O produto escalar entre dois vetores e , é definido como o produto do módulo de pelo módulo de e pelo cosseno do ângulo (AB entre os dois e resulta num escalar. A operação é representada por um ponto e pronuncia-se “A escalar B”. É interessante desenhar o ponto bem saliente para que não haja esquecimento do mesmo durante os cálculos. Aplicando este conhecimento para os vetores unitários obtemos: Decompondo-se os vetores em componentes cartesianas e fazendo-se as operações tem-se: Utilizando o conhecimento de produto escalar entre vetores unitários chega-se a: (escalar: sem vetores unitários!) Aplicações clássicas: 1- Cálculo de trabalho: Uma das aplicações mais clássicas do produto escalar é no cálculo do trabalho mecânico onde se deve considerar o deslocamento , a força e o cosseno do ângulo entre os mesmos. ou simplesmente onde o trabalho é um escalar. 2- Componente de um vetor na direção de outro: A componente escalar de um vetor na direção do vetor é obtida pelo produto escalar de pelo vetor unitário (na direção de ). (projeção escalar de na direção de ) Exemplo 1.2: Dados e determine: a) ; b) o ângulo entre e ; c) a componente escalar de na direção de ; d) a projeção vetorial de na direção de . Solução: a) b) c) d) � 1. 7 - Produto vetorial O produto vetorial de dois vetores e , representado por x , é um vetor cujo módulo é igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo seno do menor ângulo entre eles. A direção do vetor resultante é perpendicular ao plano que contém os dois vetores e o sentido coincide com o do avanço de um parafuso de rosca direita, quando é girado para . Usa-se a regra da mão direita onde os quatro dedos mostram o sentido de giro do primeiro vetor para chegar até o segundo e o polegar indica o sentido da resultante. Assim como no produtor escalar, é difícil trabalhar diretamente com o ângulo espacial entre um vetor e o outro. Por isto prefere-se trabalhar usando os vetores unitários. x ax ay az ax 0 az -ay ay -az 0 ax az ay -ax 0 Aplicando a definição aos vetores unitários teremos a seguinte tabela onde os elementos da coluna vertical representam o primeiro fator e os da linha horizontal o segundo fator. Sejam dois vetores e , tais que . O produto vetorial entre e será igual a: x = = ( AyBz –AzBy) + ( AzBx – AxBz) + (AxBy – AyBx) Isso pode ser mais facilmente memorizado na forma de determinante: x = AX AY AZ BX BY BZ Parecer fácil de perceber que o produtor vetorial não é comutativo, ou seja: x = - ( x ) Exemplo 1.3: Se temos: x = 2 -3 1 2 -3 -4 -2 5 -4 -2 x = (-3 ) (5) + ( 1)(4) + (2)(-2) - [( -3) (-4) + (1 ) (-2) + ( 5)(2) a ] x = - 13 -14 -16 � 1.8 – Sistemas de coordenadas cilíndricas Quando um problema apresenta simetria circular geralmente é mais fácil usar coordenadas cilíndricas ou esféricas. O sistema de coordenadas cilíndricas é uma versão tridimensional do sistema de coordenadas polares no plano. Neste caso um ponto no espaço é definido pela intersecção de três superfícies perpendiculares. Estas superfícies são uma casca cilíndrica de raio ( = const, um semiplano vertical ( = const. e um plano horizontal z = const. São definidos vetores unitários para cada coordenada de modo que eles são perpendiculares às superfícies em que a respectiva coordenada é constante e apontam para o lado que a mesma cresce. O vetor unitário em qualquer ponto P1 ((1, (1, z1 ) é normal à superfície ( = (1 e aponta para fora. Ele também pertence aos planos ( = (1 e z = z1. O vetor é normal ao plano ( = (1 e aponta no sentido crescente de ( sendo tangente ao plano ( = (1 . O vetor unitário é normal ao plano z = const. e aponta no sentido positivo de z. Os três vetores são perpendiculares entre si formando um triedro positivo de modo que: x=; x= ; x =; x= - ; x= - ; x= - O paralelepípedo diferencial é delimitado pelas arestas d(, (d( e dz e o seu volume é dado por dV = d(.(d(.dz. Os elementos diferenciais de área correspondentes às faces são dados por (d(.dz, d(.dz e (d(.d(ou negativo destas conforme a face usada. As relações entre as variáveis cartesianas e as cilíndricas são dadas por: x = (.cos (, y = (.sen (, z = z e Onde ( é considerada uma variável positiva e o quadrante onde o ângulo se localiza é determinado por inspeção dos sinais de x e de y. Para escalares são suficientes estas relações porém para funções vetoriais são requeridas mais informações. Seja um vetor expresso em coordenadas cartesianas, onde as componentes Ax, Ay e Az são funções das variáveis x, y e z. Desejamos encontrar um vetor expresso em coordenadas cilíndricas onde as componentes sejam função de (, (, z. Quando desejamos obter uma componente de um vetor numa dada direção fazemos o produto escalar deste vetor pelo vetor unitário da direção requerida. Assim teremos: Desenvolvendo os produtos escalares teremos: Alguns produtos escalares, pela perpendicularidade, são óbvios como: Os outros produtos escalares entre os vetores unitários resultam iguais aos cossenos dos ângulos entre os mesmos tendo em vista que seus módulos são unitários. Por exemplo A tabela ao lado mostra todos os produtos escalares dos vetores unitários. Exemplo 1.4: Transformar o vetor para coordenadas cilíndricas. Solução: � 1.9 – Sistema de coordenadas esféricas Este sistema contém três variáveis que se lembram o sistema de localização no globo terrestre: altura, longitude e latitude. A primeira coordenada é o raio r que representa a distância da origem do sistema de coordenadas a um dado ponto P. Enquanto que, no sistema de coordenadas cilíndricas, ( = cte representava uma casca cilíndrica, aqui r = cte representa uma casca esférica. A segunda coordenada é o ângulo ( que mede o ângulo entre o eixo z e a linha que une a origem ao ponto P. O ângulo ( = cte determina uma superfície cônica que, na intersecção com a esfera determina uma circunferência de raio a = r.sen (. Estas circunferências lembram os paralelos (latitude = cte) porém os mesmos são medidos a partir do equador para o norte e para o sul enquanto que ( é medido a partir do polo norte. A terceira coordenada é o ângulo ( localizado entre o eixo x e a projeção do vetor posição do ponto sobre o plano XY (r.sen(). Este ângulo coincide com o mesmo ângulo ( em coordenadas cilíndricas. É similar à longitude porém ( cresce no sentido anti-horário (para leste) conforme se vê nas figuras. A superfície ( = cte é um semiplano vertical que contém o eixo z e, na intersecção com a esfera, determina um meridiano. Um ponto será sempre determinado pela intersecção das três superfícies perpendiculares entre si no ponto de intersecção e é representado por P (r, (, () nesta ordem de coordenadas. Os vetores unitários são sempre perpendiculares à superfície em que a sua coordenada é constante e tem sentido coincidente com o sentido de crescimento daquela coordenada. O primeiro vetor unitário é dirigido radialmente para fora da esfera r = cte, pertence ao cone ( = cte e ao plano ( = cte. O segundo vetor unitário é normal ao cone ( = cte, pertence ao plano ( = cte e é tangente à esfera r = cte e é dirigido no sentido de crescimento de ( ( para baixo ). O terceiro vetor unitário é normal ao plano ( = cte , dirigido para leste (sentido antihorário) e é tangente ao cone ( = cte e a esfera r = cte. Os três vetores unitários formam um triedro direto de modo que x = . A projeção do raio sobre o plano XY vale r.sen( e terá muita aplicação nas deduções a seguir. Um paralelepípedo infinitesimal terá, por inspeção, as seguintes arestas: radial (dr), vertical (r.d() e horizontal (r.sen(.d(). As superfícies laterais do sólido são expressas por , ou ou os seus negativos, conforme as faces usadas. Por conseqüência o volume diferencial é calculado por: dv = dr. rd(. r sen(d(. Para converter de um sistema esférico para cartesiano temos as seguintes relações: x = r sen ( . cos (, y = r sen ( . sen ( e z = r cos ( E de modo inverso temos o seguinte: A componente de um vetor numa direção é o produto escalar do mesmo pelo vetor unitário da direção considerada. Assim obtemos rapidamente as seguintes relações: . Os produtos escalares que envolvem e necessitam que o vetor unitário esférico seja projetado sobre o plano xy (produzindo sen( ou cos () e a seguir projetado sobre o eixo desejado. Como exemplo de construção da tabela, ao projetarmos sen ( no eixo x teremos sen (.cos (. Exemplo 1.5: Transformar o vetor para coordenadas esféricas. Exercícios (HAYT- Eletromagnetismo, 4ª.ed.) Item 1.1 1.1.1- Diferencie uma grandeza vetorial de uma grandeza escalar. 1.1.2- Cite quatro exemplos de grandezas escalares e quatro de grandezas vetoriais. Item 1.2 1.2.1- Um vetor tem uma componente de 4 unidades horizontal para a direita e outra componente vertical para cima que vale 3 unidades. Calcule: (a) o seu módulo; (b) o ângulo que ele faz com a horizontal. 1.2.2- O vetor acima será somado com outro que possui a componente horizontal para direita com 1,5 unidades e uma componente vertical descendente que vale 2 unidades. Calcule: (a) o módulo da resultante; (b) o ângulo que ela forma com a horizontal. Item 1.3 1.3.1- Um paralelepípedo tem os seus lados paralelos aos planos coordenados. Um de seus vértices está em A(-1; 2; 2) enquanto que o vértice oposto encontra-se em B(4; 6; 5). Calcule a distância entre seus vértices opostos. 1.3.2- Com relação ao sólido acima forneça o vetor área correspondente: a) à face inferior. b) à face da direita. Item 1.4 1.4.1- Encontrar em coordenadas cartesianas, o vetor A que liga (2, -4, 1) a (0, -2, 0), calculando também o vetor unitário associado a A. 1.4.2- Os vetores A = 4 ax + 5 ay –2 az e B = 2 ax + 8 ay + 3 az possuem origens coincidentes com a do sistema de coordenadas cartesianas. Determinar: (a) distância entre suas extremidades. (b) vetor unitário na direção de A; (c) um vetor C que seja paralelo ao vetor A e que possua módulo igual ao do vetor B. Item 1.5 1.5.1- Tomemos o campo de velocidades das águas de um canal profundo, reto e com uma declividade de 2% que pode ser representado por V = Vx ax + Vy ay + Vz az. Cada uma destas componentes depende das coordenadas do ponto onde a estamos observando. Suponhamos que o mesmo corre, por exemplo, na direção y. No centro do canal (x = 0) e na superfície da água (z = 0) tem-se a maior componente da velocidade da água na direção y que vale 12,0 m/s. Em regiões próximas às margens (|x| < larg/2) ou próximas ao fundo (z < 0) a velocidade da água diminui. Observe as afirmações com relação a este campo vetorial. I - Vx(x,y,z) = 0; Vy (0,y,z ) > Vy (10,y,z ); II - Vy (3,y,z ) ( Vy (-3,y,z ); Vy(0,0,0) < Vy(-7,0,0) III - Vy(0,y,0) > Vy(0,y,-6); Vz(0,0,0) = 0,24 m/s; Quais as alternativas que só possuem assertivas corretas? 1.5.2 - Um campo vetorial é definido por W = 4x2yax – (7x+2z)ay + (4xy + 2z2)az. Determinar: (a) o módulo do vetor no ponto P(2, -3, 4); (b) o vetor unitário na direção do campo W no ponto P; (c) em que ponto no eixo z a intensidade de W é unitária. Item 1.6 1.6.1 - Mostrar que A . A = | A |2 1.6.2- Dados A = 2ax + 4ay – 3az e B = ax – ay. Calcular A . B. 1.6.3- Dados A = 2ax + 4ay e B = 6ay – 4az. Calcular o menor ângulo θ entre os vetores. 1.6.4- Dados F = (y – 1) ax + 2x ay , calcular o valor desse vetor aplicado ao ponto (2, 2, 1) bem como sua projeção sobre B dado por B = 5 ax – ay + 2 az. Item 1.7 1.7.1- Dados A = 2ax + 4ay – 3az e B = ax – ay. (a) calcular A x B. (b) determinar um vetor unitário na direção do vetor resultante. (c) calcular o menor ângulo θ entre esses vetores usando o produto vetorial. 1.7.2 - Sejam dois vetores F = - 45 ax + 70 ay + 25 az e G = 4 ax – 3 ay + 2 az determinar: (a) F x G; (b) ax x ( ay x F ); (c) ( ax x ay ) x F ; (d) um vetor perpendicular a F e G. Item 1.8 1.8.1- Dados os pontos P (( = 6, ( = 60o, z = -3 ) e Q(x = 3, y = -1, z = 4 ) determine a distância: a) de P até a origem; b) de Q até o pé da perpendicular ao eixo z que passa por este ponto. c) entre P e Q. 1.8.2 - Expresse o campo de temperaturas T = 240 + z2 –2xy em coordenadas cilíndricas. 1.8.3 - Determine a densidade no ponto P (-2, -5, 1) sendo que a mesma é expressa por: 1.8.4 - Expresse o campo vetorial W = ( x-y ) ay em coordenadas cilíndricas. 1.8.5 - Expresse o campo vetorial F = ( cos ( a( em coordenadas cartesianas. Item 1.9 1.9.1 - Dados os pontos P (r = 6, ( = 75o, ( = 60o) e Q (x = 3, y = - 1, z = 4), determine a distância: (a) de Q à origem; (b) de P até o plano y = 0; (e) entre P e Q. 1.9.2 - Expresse o campo de temperaturas T = 240 + z2 - 2xy em coordenadas esféricas. 1.9.3 - Se a densidade é obtida por r.e–r/2(5 + cos ( + sen (.cos (), determine-a em P (- 2, - 5, 1). 1.9.4 - Expresse o campo vetorial W = (x - y) ay em coordenadas esféricas. 1.9.5 - Expresse o campo vetorial F = r cos ( ar em coordenadas cartesianas. Respostas dos exercícios: 1.1.1 Veja no texto. 1.1.2 Veja no texto. 1.2.1 (a) 5,00 unid; (b) 36,87o 1.2.2 (a) 5,59 unid; (b) 10,30o 1.3.1 7,07 unid. 1.3.2 (a) -20,0 az; (b) 15,0 ay 1.4.1 (a) 2 ax + 2ay - 1az ; (b) - 0,667ax+ 0,667ay –0,333az. 1.4.2 (a) 6,164 ; (b) 0,596ax + 0,745ay - 0,298az; (c) 5,23
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