5 Amortização

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Profº Pedro F. Machado, MSc.
Matemática Financeira na HP-12c e Excel
Sistemas de Amortização
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Sistemas de 
Amortização
 Um financiamento é composto basicamente de 
quatro elementos
 Prestação
 É a amortização mais os juros.
 Amortização
 É a parte do capital que está sendo devolvida ao banco.
 Juros
 São o "aluguel" do dinheiro que incide sobre saldo 
devedor.
 Saldo devedor
 Todo o saldo da dívida do financiamento.
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Sistemas de 
Amortização
 1ª Regra
 O valor de cada prestação é formado por 
duas parcelas:
Juros
Amortização
Prestação
JurosoAmortizaçãPrestação  JurosoAmortizaçãPrestação 
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Sistemas de 
Amortização
 2ª Regra
O valor dos juros de cada prestação 
são sempre calculados sobre o saldo 
devedor do empréstimo, aplicando-
se uma determinada taxa de Juros:
DevedorSaldoiJuros  DevedorSaldoiJuros 
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Sistemas de 
Amortização
 Amortização é o processo de liquidação de uma 
dívida através de pagamentos periódicos. Estas 
duas parcelas, amortização e juros, podem ser 
combinadas de várias maneiras na liquidação 
de financiamentos.
 Será estudado aqui, as mais utilizadas no Brasil.
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Sistema de amortização 
francês (PRICE)
 Também conhecido como sistema de 
prestações constantes (SPC), consiste no 
pagamento de um empréstimo em prestações 
iguais e consecutivas.
 Essa modalidade de pagamento é muito utilizada no 
crédito direto ao consumidor, como no 
financiamento de eletrodomésticos, automóveis, 
imóveis, etc.
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Sistema de amortização 
francês (PRICE)
 Dados
 PV= Valor do Empréstimo ou Financiamento
 n= Número de Prestações
 i= Taxa efetiva de juros da operação, com 
período igual a periodicidade das 
prestações
 j= Prestação
 Jj= Juros da Prestação j
 SDj= Saldo Devedor após o pagamento da 
Prestação j
 Vaj= Valor da Amortização da Prestação j
 PMT= Valor da Prestação
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Sistema de amortização 
francês (PRICE)
 
1)i1(
ii1PVPMT n
n



 
1)i1(
ii1PVPMT n
n



   
1)i1(
i1i1PVSDj n
jn



   
1)i1(
i1i1PVSDj n
jn



     
 
1)1(
111
1




n
jn
i
iiPVijSDiJj      
 
1)1(
111
1




n
jn
i
iiPVijSDiJj
    1ji1PViPMTJjPMTVAj      1ji1PViPMTJjPMTVAj 
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Sistema de amortização 
francês (PRICE)
 Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será 
devolvido em 3 prestações mensais, iguais e 
consecutivas de valor igual a R$ 374,11. O 
financiamento foi realizado com uma taxa de juros de 
6% am. Analisar os valores de cada parcela da 
operação de financiamento, dos juros, amortização e 
saldo devedor.
374,11374,11374,11
3210
n = 3i = 6%1000,00
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PRESTAÇÃO
1ª (j= 1) 2ª (j= 2) 3ª (j= 3) TOTAL
PRESTAÇÃO ( A ) 374,11 374,11 374,11 1.122,33 
JUROS ( Jj ) 60,00 41,15 21,18 122,33 
AMORTIZAÇÃO ( Vaj ) 314,11 332,96 352,93 1.000,00 
SALDO DEVEDOR ( SDj ) 685,89 352,93 0,00
374,11374,11374,11
3210
n = 3i = 6%1000,00
Sistema de amortização 
francês (PRICE)
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 Solução na HP-12c:
Sistema de amortização 
francês (PRICE)
1ª (j= 1) 2ª (j= 2) 3ª (j= 3) TOTAL
PRESTAÇÃO ( A ) 374,11 374,11 374,11 1.122,33 
JUROS ( Jj ) 60,00 41,15 21,18 122,33 
AMORTIZAÇÃO ( Vaj ) 314,11 332,96 352,93 1.000,00 
SALDO DEVEDOR ( SDj ) 685,89 352,93 0,00
ENTRADA 1.000 3 6
TECLA
VISOR 0,00 0,00 -1.000,00 -1.000,00 3,00 6,00
FINf CHS n i
CLxCLx
ENTRADA 1 1
TECLA
VISOR 374,11 60,00 314,11 314,11 -685,89 41,15
PVENDg
PMT AMORTf x≷y RCL PV AMORTf
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Sistema de amortização 
constante (SAC)
 Também conhecido como (SAC), nesse 
sistema, o financiamento é pago em 
prestações uniformes decrescentes, cada 
uma sendo subdividida em duas parcelas:
 Juros do período
 Calculados sobre o saldo do início do período.
 Amortização do principal
 Calculada pela divisão do principal pelo número 
total de prestações.
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Sistema de amortização 
constante (SAC)
 Essa modalidade de pagamento é 
utilizada em financiamentos 
imobiliários (SFH) e em 
financiamentos às empresas, por 
parte de várias entidades 
governamentais.
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Sistema de amortização 
constante (SAC)
 Dados
 Aj = Valor da Prestação j JjVAAj  JjVAAj 
  










 
n
1J1iPV1jSDiJj   










 
n
1J1iPV1jSDiJj





 
n
j1PVSDj 




 
n
j1PVSDj
n
PVJjAjVAj 
n
PVJjAjVAj 
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Sistema de amortização 
constante (SAC
 Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será 
devolvido em 3 prestações pelo sistema SAC de 
amortização à taxa de 6% am. Analisar os 
valores de cada parcela da operação de 
financiamento, dos juros, amortização e saldo 
devedor.
353,11373,33393,33
3210
n = 3i = 6%1000,00
6
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Sistema de amortização 
constante (SAC)
353,11373,33393,33
3210
n = 3i = 6%1000,00
PRESTAÇÃO
1ª (j= 1) 2ª (j= 2) 3ª (j= 3) TOTAL
PRESTAÇÃO ( A ) 393,33 373,33 353,33 1.120,00 
JUROS ( Jj ) 60,00 40,00 20,00 120,00 
AMORTIZAÇÃO ( Vaj ) 333,33 333,33 333,33 1.000,00 
SALDO DEVEDOR ( SDj ) 666,67 333,33 0,00
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Sistema de amortização 
crescente (SACRE)
O sistema de amortização SACRE 
possui características do SAC e do 
SPC, ou seja, calcula-se os dois, 
soma-se todos os componentes e 
dividi-se por dois.
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Sistema de amortização 
crescente (SACRE)
 Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será 
devolvido em 3 prestações pelo sistema SACRE 
de amortização à taxa de 6% am. Analisar os 
valores de cada parcela da operação de 
financiamento, dos juros, amortização e saldo 
devedor.
363,72373,72383,72
3210
n = 3i = 6%1000,00
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Sistema de amortização 
constante (SACRE)
363,72373,72383,72
3210
n = 3i = 6%1000,00
PRESTAÇÃO
1ª (j= 1) 2ª (j= 2) 3ª (j= 3) TOTAL
PRESTAÇÃO ( A ) 383,72 373,72 363,72 1.121,17
JUROS ( Jj ) 60,00 40,58 20,59 121,17 
AMORTIZAÇÃO ( Vaj ) 323,72 333,15 343,13 1.000,00 
SALDO DEVEDOR ( SDj ) 676,28 343,13 0,00
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Sistema de amortização
Qual sistema é o melhor?
Em financiamentos imobiliários no 
Brasil, foi feita uma mudança radical 
no sistema PRICE.
Devido às altas taxas de inflação 
foram adotados indexadores de juros 
variáveis*, para reajustar as 
prestações e o saldo devedor.
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Sistema de amortização
 Qual sistema é o melhor?
 Assim, a filosofia do Sistema PRICE de 
ter prestações fixas, foi mudada. Se o 
cliente tiver reajustes salariais abaixo da 
TR, ele pode encontrar dificuldades pela 
frente.
 * A TR é uma taxa pós-fixada, divulgada 
após a assinatura do contrato, com valor 
diferente a cada mês.
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Sistema de 
amortização
 Qual sistema é o melhor?
 Por outro lado, o Sistema SACRE impõe 
uma prestação inicial muito alta. Em 
compensação, ela é decrescente, depois 
de pouco tempo, o que facilita seu 
pagamento ao longo do prazo. Isso 
acaba reduzindo o número de mutuários 
em atraso.
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Sistema de 
amortização – exemplo 
 Financiamento imobiliário no valor 
de R$ 60.000,00 em 15 anos.
Prestação inicial do Sistema PRICE 
de R$ 720,10.
Prestação inicial do Sistema SACRE 
de R$ 933,33.
Não foi considerado seguros e taxas 
administrativas.
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Sistema de amortização 
– exemplo
SISTEMA PRICE x SACRE
0
500
1000
1500
2000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Ano
Pr
es
ta
çõ
es
 (R
$)
PRICE
SACRE
R$ 854,61
R$ 1.911,38
9
25
Sistema de amortização
SISTEMA PRICE x SACRE
0
20.000
40.000
60.000
80.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Ano
Pr
es
ta
çõ
es
 (R
$)
SACRE
PRICE
116,9%do Capital
100% do Capital
50% do 
Capital
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Referências 
bibliográficas
 ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 8. ed. 
São Paulo: Atlas, 2009.
 COELHO, Sílvio Teixeira. Matemática Financeira e Análise de Investimento. 
São Paulo: EDUSP, 1993.
 KASSAI, José Roberto et al. Retorno de Investimento. São Paulo: Atlas, 
1999.
 LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira usando Excel 5 e 7.
Treinamento, 1996.
 MATHIAS, W. Franco, GOMES José M. Matemática Financeira. São Paulo: 
Atlas, 1991.
 MACHADO, Daniel J. Matemática Financeira Aplicada. 6. ed. São Paulo: 
Própria, 1997.
 PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: 
Livros Técnicos e Científicos, 8ª. Ed.: Saraiva 2009. 
 VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 6ª ed.São Paulo: 
Atlas, 2000.
 ZENTGRAF, Walter. Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 
1994.