Econometria - Revisao Algebra Matricial

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Revisão de Álgebra Matricial
Profa. Patricia Maria Bortolon
Fonte: BOLDRINI, C. e WETZLER, F.; Álgebra Linear. 3ª. ed. São Paulo. Editora Harbra, 1986
Álgebra Matricial
• Da Matemática do 1º. Grau:
2
1
:(2) Em
1
33
143
42)1(
 :(1) Em
1 :(2) De
)2(1
)1(42












y
xy
x
x
x
xx
xy
xy
xy
y = -2x + 4
y = x + 1
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Eq1
Eq2
Linear (Eq1)
Linear (Eq2)
Álgebra Matricial
Indivíduo Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
1 1,70 70 23
2 1,75 60 45
3 1,60 52 25
4 1,81 72 30
• Após estudar 300 artigos teóricos e empíricos lanço a 
seguinte hipótese sobre a relação entre essas 
variáveis:
Peso = β0 + β1Altura + β2Idade
Álgebra Matricial
• Posso escrever as seguintes equações com os dados 
das pessoas que tenho:
• As incógnitas são β0, β1,β2
• E se tivéssemos estudando o que afeta a rentabilidade 
sobre o PL das empresas?
723081,1
522560,1
604575,1
702370,1
210
210
210
210








Álgebra Matricial
Empresa ROE Ativo (milhões R$) D/E
Vale 26,8 214.662 27,0
Petro 11,5 519.970 20,1
BRFoods 5,9 27.751 29,6
Gol 7,3 9.064 60,2
• Suponha que após ler 300 artigos teóricos e empíricos 
você possa lançar a seguinte hipótese:
ROE = β0 + β1Ativo + Β2D/E
• Você escolhe 4 empresas para compor a amostra: 
Vale, Petro, BRFoods e Gol e utiliza os dados de 
2010:
Álgebra Matricial
• Posso escrever as seguintes equações com os dados 
que tenho:
3,72,60064.9
9,56,29751.27
5,111,20970.519
8,2627662.214
210
210
210
210








Álgebra Matricial
• Podemos representar esses dados dispondo-os em 
linhas e colunas. A isso chamamos matriz:
• Pode ser representada entre ( ); [ ]; ║ ║












3,72,60064.91
9,56,29751.271
5,111,20970.5191
8,260,27662.2141
Álgebra Matricial
• Exemplos:
Amxn = m indica o no. de linhas e n o no. de colunas
aij = é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima
coluna
Na matriz A => a11=2 a23=3
Na matriz B => b23=4 b13=11

















11
4
7
9
0
5
8
1
1
3
5
1
3
6
2
2X32X3 BA
Álgebra Matricial
• Escalar: no. real = matriz 1 x 1 = [k]
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Quadrada: quando m = n
– Matriz Nula: quando aij = 0 i e j









 
654
103
021






00
00
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Coluna: vetor coluna = Amx1
– Matriz Linha: Vetor linha = A1xn

















y
x
3
4
1
   00103 
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Diagonal: aij = 0 i ≠ j em uma matriz quadrada 
nxn
– Matriz Identidade ou Unidade: quando em uma matriz 
quadrada aii = 1 e aij = 0 i ≠ j











600
020
001











100
010
001
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Triangular Superior: aij = 0 p/ i > j em uma matriz 
quadrada
– Matriz Triangular Inferior: aij = 0 p/ i < j em uma matriz 
quadrada











600
420
531










631
048
001
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Simétrica: quando m = n e aij = aji












645
423
531
Operações com Matrizes
• Adição
– As matrizes precisam ser de mesma ordem
– Amxn = [aij] e Bmxn = [bij]
– C = A + B = [aij + bij]mxn
– Propriedades da soma:
1. Comutatividade: A + B = B + A
2. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n












 








14
8
9
3
7
3
4
3
5
3
1
1
0
0
2
1
e
9
5
8
4
7
3
6
2
C
BA
Operações com Matrizes
• Subtração
– Segue o mesmo princípio da soma
• Multiplicação por escalar:
– Seja k um escalar e A = [aij]mxn
– k . A = [k . aij]mxn
– Exemplo:
– Propriedades:
1. k (A + B) = k A + k B
2. (k1 + k2) A = k1A + k2A
3. 0.A = 0
4. k1(k2A) = (k1k2)A

















62
204
31
102
e2
A
A
k
k
Operações com Matrizes
• Transposição
– Uma matriz transposta é obtida trocando-se as linhas e 
colunas da matriz original. Uma matriz Amxn ficará Anxm. 
Denota-se A’
– Exemplo:
 21'
2
1
23
31
'
23
31
431
102
'
41
30
12
32
23

























 













CC
BB
AA
x
x
Operações com Matrizes
• Transposição
– Propriedades:
1. Uma matriz é simétrica se, e somente se, A’ = A
2. A’’ = A
3. (A + B)’ = A’ + B’
4. (kA)’ = kA’
5. (AB)’ = B’A’
Exemplo de Aplicação
• Suponha que você está tentando prever o retorno de 
uma carteira. Analistas fizeram as previsões de 
retorno de 3 ações para 3 estados da economia.
• Se você estiver planejando investir 30% em Vale, 
30% em Petro e 40% em Gol, que retornos terá em 
cada estado?
Estado da 
Natureza
Vale Petro Gol
BOOM 5% 4% 6%
ESTÁVEL 3% 3% 2%
RECESSÃO 2% 1% 0%
Exemplo de Aplicação
• Retornos esperados:
– BOOM: 30% x 5% + 30% x 4% + 40% x 6% = 5,1%
– ESTÁVEL: 30% x 3% + 30% x 3% + 40% x 2% = 2,6%
– RECESSÃO: 30% x 2% + 30% x 1% + 40% x 0% = 0,9%
• O que fizemos foi uma multiplicação de matrizes:
131333
%9,0
%6,2
%1,5
%40
%30
%30
%0%1%2
%2%3%3
%6%4%5
xxx
































Multiplicação de Matrizes
Amxn x Bnxp = Cmxp
• Cada elemento cij é o somatório dos produtos dos 
elementos da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna 
de B
• O no. de colunas de A e o no. de linhas de B precisam 
ser iguais
2323
22
23
75
44
22
4.3)1(50.31.5
4.2)1(40.21.4
4.1)1(20.11.2
40
11
35
24
12
xx
x
x





























 











Multiplicação de Matrizes
• Propriedades:
1. Em geral AB ≠ BA
Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0
2. AI = IA = A (o que justifica o nome da matriz 
identidade)
3. A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda)


















































1611
21222
1611
e
000
000
000
 Então
321
642
321
e
012
123
111
 Sejam
BAAB
BA
Multiplicação de Matrizes
• Propriedades:
4. (A+B)C = AC + BC (distributividade à direita)
5. (AB)C = A(BC) (associatividade)
6. (AB)’ = B’A’ (observe a ordem)
7. 0.A = 0 e A.0 = 0
Representando algumas operações 
matemáticas na forma matricial
• Somatório:
 
  



























































n
i
inn
n
i
in
n
nx
n
nx
n
n
i
i
xxxxxxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
xxxx
1
2121
1
21
2
1
1
2
1
1
21
1
1
1
1
'Ou 
111' Então
1
1
1
,








1x
x1
1x
Representando algumas operações 
matemáticas na forma matricial
• Somatório de quadrados:
 




















n
i
in
n
n
n
n
i
i
xxxx
x
x
x
xxx
xxxx
1
222
2
2
1
2
1
21
22
2
2
1
1
2
' Então




xx
Representando algumas operações 
matemáticas na forma matricial
• Somatório de produtos cruzados:
 
xy
yx
'
' Então
1
2211
2
1
21
2211
1





















n
i
iinn
n
n
nni
n
i
i
yxyxyxyx
y
y
y
xxx
yxyxyxyx




Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido 
podemos associar uma matriz
)''2(3/1).'2(
4570
2230
1341
)'3(
)'2(
)'1(
4570
2230
134
)(
)'3()3(1).1(
)'2()2(2).1(
5231
4452
1341
)3(
)2(
)1(
523
4452
134
)(
321
321
321
321
321
321








































xxx
xxx
xxx
II
xxx
xxx
xxx
I
Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido 
podemos associar uma matriz
)3(3).'''3(
3/23/100
3/23/210
3/113/101
)'''3(
)'''2(
)'''1(
3/23/100
3/23/20
3/113/10
)(
)'''3()''3(7).''2(
)'''1()''1(4).''2(
4570
3/23/210
1341
)''3(
)''2(
)''1(
4570
3/23/20
134
)(
321
321
321
321
321
321
iv
xxx
xxx
xxx
IV
xxx
xxx
xxx
III











































Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido 
podemos associar uma matriz








































2100
2010
3001
)3(
)2(
)1(
2100
200
300
)(
)2()2(3/2).3(
)1()1(3/1).3(
2100
3/23/210
3/113/101
)3(
)2(
)1(
2100
3/23/20
3/113/10
)(
321
321
321
321
321
321
v
v
v
viviv
viviv
iv
iv
iv
xxx
xxx
xxx
VI
xxx
xxx
xxx
V
Sistemas de Equações Lineares
• Ou ainda:
• Observações:
– As operações realizadas preservam as igualdades
– (x1, x2, x3) é solução do sistema I e também do II, III, IV, V 
e VI
– Operações possíveis:
• Multiplicar uma equação por no. ≠ 0
• Adicionar uma equação a outra
• Permutar duas equações








2
2
3
3
2
1
x
x
x
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é:
– Com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
– Uma solução é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn) que 
satisfaça simultaneamente estas m equações










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial:
A x X = B
 






































mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa

  



2
1
2
1
21
22221
11211
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– Matriz Ampliada:
– A matriz ampliada do sistema VI é:












mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa




21
222221
111211



















2100
2010
3001
2100
200
300
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Sistemas de Equações Lineares
• Sistemas de equações lineares equivalentes: se toda 
solução de um sistema é também solução de outro
• Para resolver o sistema inicial reduzimos a matriz 
ampliada a uma matriz-linha reduzida à forma escada.
• Definição:
a) 1º. elemento não nulo de uma linha não nula é 1
b) Cada coluna que contém o 1º. Elemento não nulo de 
alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a 
zero
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas
d) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o 1º. elemento 
não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então, 
k1 < k2 < ... < kr
Sistemas de Equações Lineares
• Posto: é o no. de linhas não nulas da matriz-linha 
reduzida à forma escada linha equivalente
• Nulidade: é o no. n – p onde n é o no. de colunas.
• Exemplos:
sredundante equações 2 há
1 Nulidade
2 Posto
000
000
9/110
9/1401
8164
151
241
312
1 Nulidade
3 Posto
8/11100
4/1010
8/7001
1121
5301
0121



























































B
A
Sistemas de Equações Lineares
• Também dizemos que as duas primeiras equações são 
“independentes” e as demais “dependentes”
• Uma linha é dependente de outra se ela puder ser escrita como 
soma de produtos destas outras linhas por constantes
• O mesmo que dizer que esta linha é uma combinação linear
das outras
• POSTO = no. de equações independentes
sredundante equações 2 há
1 Nulidade
2 Posto
000
000
9/110
9/1401
8164
151
241
312
1 Nulidade
3 Posto
8/11100
4/1010
8/7001
1121
5301
0121



























































B
A
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
a x = b
1. a ≠ 0 => solução única => x = b/a
2. a = 0 e b = 0 => 0 x = 0 => qualquer no. real é solução
3. a = 0 e b ≠ 0 => 0 x = b => não existe solução
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 1:
























1
3
110
301
631
512
63
52
2
1
21
21
x
x
xx
xx
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4 6 8 10
Posto do sistema reduzido = 2
Posto da matriz ampliada = 2
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 2:























000
2/52/1
000
2/52/111536
512
1536
52
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4 6
Admite infinitas soluções. Conjunto de soluções definidos por pares x1 e x2 que
satisfaçam x1 = 5/2 – ½ x2
O posto tanto da matriz de coeficientes quanto da matriz ampliada é 1.
Grau de liberdade do sistema: é a nulidade da matriz de coeficientes. Neste caso
2 – 1 = 1 <= o sistema tem uma variável livre
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 3:























100
02/1
100
02/11
1036
512
1036
52
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
Não tem solução = incompatível = impossível
O posto da matriz de coeficientes é 1 e o da matriz ampliada é 2.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Então, um sistema pode admitir:
1. Uma única solução = possível = compatível = determinado
2. Infinitas soluções = possível = indeterminado
3. Nenhuma solução = impossível = incompatível
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Teorema:
1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução 
se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao 
posto da matriz de coeficientes
2. Se além disso p = n, a solução será única
3. Se, entretanto, p < n , podemos escolher n – p incógnitas, e 
as outras p incógnitas serão dadas em função destas n – p = 
graus de liberdade
Determinante e Matriz Inversa
• a x = b => solução é x = b / a
• Matriz 2 x 2
• Matriz 3 x 3
AA 





 21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
322311122133312213231231322113332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa













A
A
Determinante e Matriz Inversa
• Cada termo tem apenas um elemento de cada linha e 
coluna
• Uma matriz N x N terá N! elementos no seu cálculo, 
assim, uma matriz 5 x 5 terá 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 
120 termos em sua expansão
• Se a matriz é 2 x 2 cada termo tem 2 elementos da 
matriz, se é 3 x 3 terá 3 elementos em cada termo, se 
é 5 x 5, 5 elementos
• Para a regra para o sinal de cada termo ver pag. 66 e 
67 do Boldrini
Determinante e Matriz Inversa
• Propriedades:
1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos 
então det A = 0
2. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada 
matriz singular, se ≠ 0 é uma matriz não singular
3. det A = det A’
4. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante 
o det fica multiplicado por esta constante
5. Trocadas as posições de duas linhas o determinante troca 
de sinal
6. Se duas linhas da matriz são dependentes o determinante é 
nulo
7. det (A.B) = det A . det B
Determinante e Matriz Inversa
• Menor: o menor do elemento aij é o determinante da 
submatriz resultante da retirada da linha i e da coluna 
j
• Co-fator = é um menor sinalizado
32233322
3332
2322
1111
333231
232221
131211
 é demenor o aaaa
aa
aa
Ma
aaa
aaa
aaa












A
ij
ji
ij Mc
 )1(
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz de Co-fatores: é a matriz onde cada elemento 
aij é substituído por seu co-fator, denotada por cof(A) 
ou 
• Matriz Adjunta: é a transposta de uma matriz de co-
fatores
• Teorema:
A
')'( AcofAadjA 
nIdetAadjAAAA )().('. 
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa: dada uma matriz quadrada A de ordem 
n, a inversa de A é uma matriz B tal que
A . B = B . A = In
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
Escrevemos A-1 para a inversa de A.
Observações:
1. Se A e B são quadradas de mesma ordem, ambas 
inversíveis, então A . B é inversível e 
(AB)-1 = B-1 . A-1
De fato:
AB(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I
(B-1A-1)(AB) = I
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa: 
• Observações:
2. Nem toda matriz tem inversa
3. Se A tem inversa, podemos escrever:
AA-1 = In
det(A.A-1) = det (In)
det A . det A-1 = 1
Se A tem inversa:
i. det A ≠ 0
ii. det A-1 = 
Adet
1
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa: 
• Observações:
4. (A-1)’ = (A’)-1, isto é, a transposta da inversa de A 
é a inversa da transposta
Teorema:
Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e 
somente se det A ≠ 0
Neste caso:
)(
1
adjA
detA
A
1 
Exemplo: pag. 744 Gujarati
Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares: 
• Se o no. de equações é igual ao no. de incógnitas:










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
 






































mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa

  



2
1
2
1
21
22221
11211
A x X = B
Matriz de coeficientes
Matriz de incógnitas
Matriz de termos
independentes
Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares: 
• Supondo det A ≠ 0 e portanto, que exista A-1:
A-1(AX) = A-1B
(AA-1)X=A-1B
InX = A
-1B
X = A-1B






































mmnmm
n
n
n b
b
b
aaa
aaa
aaa
x
x
x




2
1
1
21
22221
11211
2
1
Valor Esperado
• Variável Aleatória Discreta
• Variável Aleatória Contínua
• Propriedades

x
xxfXE )()(



 dxxxfXE )()(
)().()( :tesindependen são Y e X Se
)()(
)(
YEXEXYE
bXaEbaXE
bbE



Variância
• Variável Aleatória Discreta
• Variável Aleatória Contínua
 
x
x xfXEX )()()var(
22 



 dxxfXX )()()var( 2
Variância
• Propriedades
),cov()var()var()var(
:então tes,independen são não Y e X Se
)var()var()var(
)var()var()var(
)var()var()var(
 :então tes,independen são Y e X Se
)var()var(:então ,constantes são e Se
0)var(
)()(
22
2
222
YXYXYX
YbXabYaX
YXYX
YXYX
XabaXba
b
XEXE






 
Retorno e Variância de Carteiras na Forma 
Matricial
• Exemplo com 3 ativos
• Seja Ri o retornos dos ativos i = A, B, C e assuma que 
os retornos R1, R2 e R3 são normalmente distribuídos 
com 
• Carteira x
• Retorno da carteira
  ijjiiiii RRRRE   ),cov(,)var(, 2
1
 ativo no investido capital do %


CBA
i
xxx
ix
CCBBAAxp RxRxRxR ,
Retorno e Variância de Carteiras na Forma 
Matricial
• Retorno esperado da carteira
• Variância da carteira
• Distribuição de probabilidade da carteira
  CCBBAAxpxp xxxRE   ,,
 
BCCBACCAABBA
CCBBAAxpxp
xxxxxx
xxxR


222
var 222222,
2
,


),(~ 2,,, xpxpxp NR 
Retorno e Variância de Carteiras na 
Forma Matricial
• Representação Matricial























































2
2
2
,
1
1
1
,,
CBCAC
BCBAB
ACABA
C
B
A
C
BA
C
B
A
x
x
x
R
R
R






x
1μR
Retorno e Variância de Carteiras na 
Forma Matricial
• Sobre a matriz de covariâncias
– Usando álgebra matricial a matriz de covariâncias do vetor 
de retornos R é definida a partir de:
– Se R tem N elementos, então  será uma matriz N x N
     ')cov( μRμRR E















2
21
2
2
212
112
2
1
nnn
n
n







Retorno e Variância de Carteiras na 
Forma Matricial
• Para o caso em que N = 2:
     
    
    
      
      




























































2
212
12
2
1
212
211
2
221122
2211
2
11
2
221122
2211
2
11
2211
22
11'
1212
)var(),cov(
),cov()var(
.









RRR
RRR
RERRE
RRERE
RRR
RRR
E
RR
R
R
EE xx μRμR
Retorno e Variância de Carteiras na 
Forma Matricial
• Retorno da carteira:
• Retorno esperado da carteira:
xR
Rx
'
)(',













CCBBAA
C
B
A
CBAxp
RxRxRx
R
R
R
xxxR
xμ
μx
'
)(',













CCBBAA
C
B
A
CBAxp
xxx
xxx





Retorno e Variância de Carteiras na 
Forma Matricial
• Variância da carteira:
 
 
 
BCBBACCAABBA
CCBBAA
C
B
A
CBCAC
BCBAB
ACABA
CBA
xp
xxxxxx
xxx
x
x
x
xxx
E
E






222
')')(('
)')((')'var(
222222
2
2
2
2
,

























xxxμRμRx
xμRμRxRx