A3_Estatística descritiva_Parte 2

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
UNIDADE ACADÊMICA DE AGRONOMIA E TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA 
Estatística descritiva 
(Parte 2) 
Profª Railene Hérica Carlos Rocha 
5. Análise de pequenos conjuntos de dados 
Análise de dados 
Pequeno conjunto 
de dados 
Grande conjunto 
de dados 
N ≤ 30 N ≥ 30 
Agrupamento de dados 
Medidas numéricas: Resumem o conjunto de dados 
Medidas numéricas: 
(Técnicas) 
1. Valor central do conjunto 
de números 
2. Dispersão dos números 
5.1 Medidas de tendência central 
a) Média 
A mais importante medida de tendência central 
Média aritmética: 
Exemplo: 70 + 80 + 120 = 270 = 90 
3 3 
Média de uma amostra x 
x = i=1 xi 
n 
n 
Ou x = x 
n 
: Média da população N: Número de elementos da população 
Média da população 
 = x 
N 
Propriedades da média: 
1. A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada. 
2. Para um dado conjunto de números, a média é única; 
3. A média é afetada por todos os valores do conjunto. Se um 
valore se modifica, a média também se modifica. 
4. Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média 
ficará aumentada do valor da constante. 
5. A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da 
média é zero. 
(xi – x) = 0 
Média ponderada: 
As observações possuem “pesos” ou importâncias 
diferentes 
Exemplo: 
Um professor informa à classe que haverá dois exames, valendo 
cada um 30% do total de pontos do curso, e um final valendo 40%. 
O cálculo da média deve levar em conta os pesos 
desiguais dos exames: 
Fórmula: 
Média ponderada = 
n 
i=1 
wixi 
n 
i=1 
wi 
Wi:peso da observação de ordem i 
Se um estudante obtém as seguintes notas: 
Exame Nota Peso 
Nº 1 80 0,30 
Nº 2 90 0,30 
Nº 3 96 0,40 
1,00 
Resolver no quadro 
b) Mediana 
Característica principal: 
 Dividir um conjunto ordenado de dados em dois 
grupos iguais 
Processo para determinar a mediana: 
 1º: Ordenar os valores 
 2º: Verificar se há um número ímpar ou par de valores 
 3º: Para nº ímpar: valor do meio 
 Para nº par: média dos dois valores do meio 
Em geral, a mediana ocupa a posição (n + 1)/2: 
Exemplos: 
Par Mediana Ímpar Mediana 
a. 2, 3, 3, 4 a. 1, 2, 3, 3, 3, 4, 7 
b. 1, 18, 19, 20 b. 9, 40, 80, 81, 100 
c. 5, 1, 6,5, 8,1, 9,1, 10,1, 15,5 c. 3,7, 9,2, 10,1, 11,8, 12,8 
b.1 ) Quartil 
Divide o conjunto ordenado em 4 partes iguais 
Exemplo: 
Resolver no quadro 
3 
 
18,5 
 
8,6 
3 
 
80 
 
10,1 
b.1 ) Percentil 
Dividem os dados em 100 subgrupos iguais 
Exemplo: 
Resolver no quadro 
c) Comparação entre média e mediana 
Mediana Média 
 A média é afetada pelos valores extremos 
Exemplo: 
Renda pessoal 
Valor de casas residenciais 
Mediana: 
d) Moda 
Valor que ocorre com maior freqüência 
Série Nº modas Exemplos 
Unimodal 1 3,5,4,6,6,6,7,8. 
Bimodal 2 2,5,5,5,6,7,9,9,9,10,10. 
Trimodal 3 4,4,4,5,6,7,7,7,8,9,9,9,10. 
Polimodal 4 ou mais 0,0,1,3,3,4,7,8,8,11,12,12,13,13. 
Amodal 0 0,1,3,4,7,8. 
e) Comparação entre Média, Mediana e Moda 
Definições Vantagens Limitações 
Média x = xi Reflete cada valor É influenciada por 
valores extremos 
Mediana Metade dos valores são 
maiores, metade 
menores 
Menos sensível a 
valores extremos do 
que a média 
Difícil de determinar 
para grande 
quantidade de dados 
Moda Valor mais frequente Valor “típico”: maior 
quantidade de valores 
concentrados neste 
ponto 
Não se presta a análise 
matemática 
n 
Exercícios em sala ... 
1. Determine a média e a mediana de cada conjunto: 
a) 4, 8, 7, 3, 5, 6 
b) 2, 1, 7, 6 
c) 309, 81, 452, 530, 70, 55, 198, 266 
 
2. Quatro amigos trabalham em um supermercado por tempo parcial com o 
seguintes horários: 
 
 Bill: $ 2,20 Tom: $ 2,50 
 Ed: $ 2,40 Don: $ 2,10 
a) Determine o salário horário médio dentre os quatro 
b) Se Bill trabalha 20 horas, Ed 10 horas, Tom 20 horas e Don 15 horas em 
uma semana, determine seus salários totais e seus salários horários 
médios. 
c) Se cada um trabalha 40 horas em uma semana, determine o salário 
horário médio, e o salário total. 
 
3. A média pode ser zero? Pode ser negativa? Explique. 
 
4. A mediana pode ser zero? Pode ser negativa? Explique 
1. Determine a média e a mediana de cada conjunto: 
a) Média: 5,5 mediana: 5,5 
b) Média: 4,0 mediana: 4 
c) Média: 245,1 mediana: 232 
 
2. Quatro amigos trabalham em um supermercado por tempo parcial com o 
seguintes horários: 
 
a) $ 2,30 
b) (1) $ 149,5 (2) $ 2,30 
c) (1) $ 2,30 (2) 368 
 
 
3. A média pode ser zero? Pode ser negativa? Explique. 
 
4. A mediana pode ser zero? Pode ser negativa? Explique 
Respostas ... 
5.2 Medidas de dispersão 
Indicam se os valores estão próximos ou separados 
uns dos outros 
a) Pequena dispersão 
b) Grande dispersão 
Medidas de dispersão: Intervalo, 
 Desvio médio, variância e desvio padrão 
(Tem a média como ponto de referência) 
a) Intervalo 
Focaliza o maior e o menor valor no conjunto 
Pode ser expresso por: 
a) A diferença entre o maior e o menor valor; 
b) O maior e o menor valor no grupo. 
Exemplo: 
Intervalo 
Números Diferença Do menor ao maior 
1, 5, 7, 13 13 – 1 = 12 de 1 a 13 
14, 3, 17, 4, 8, 73, 36, 48 73 – 3 = 70 de 3 a 73 
3,2, 4,7, 5,6, 2,1, 1,9, 10,3 10,3 – 1,9 = 8,4 de 1,9 a 10,3 
31-1 = 12 de 1 a 13 
73-3= 70 de 3 a 73 
10,3 -1,9 = 8,4 de 1,9 a 10,3 
31-1 = 12 de 1 a 13 
73-3= 70 de 3 a 73 
10,3 -1,9 = 8,4 de 1,9 a 10,3 
Vantagem: 
 Fácil de calcular e de entender 
 
Desvantagem: 
 Só leva em conta os dois valores extremos de um conjunto 
 
1 
2 
3 
Três grupos diferentes de números, todos com o mesmo intervalo 
5.2.1 Medidas de dispersão que têm a média como 
ponto de referência 
a) Desvio médio absoluto (DMA): 
A soma dos desvios é igual a zero 
DMA = |xi - x| 
n 
Onde n é o número 
de observações no 
conjunto 
Exemplo: 
Determine o desvio médio para o conjunto de valores: 
1, 2, 3, 4 e 5 
Resolver no quadro 
xi x xi - x xi - x 
Somas: 
b) Variância (sx2): 
É a medida de dispersão mais utilizada; 
É a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar 
da média, calculada usando-se n – 1 em lugar de n. 
DMA = |xi - x| 
n 
Sx2 = (xi – x)2 
n -1 
Usa-se n - 1: amostra 
 n: população 
Obs: 
Ou 
xi
2 – [( xi)
2/n] 
n -1 
Sx2 = 
Usa-se n - 1: amostra 
 n: população 
Obs: 
Exemplo: 
xi x (xi – x) (xi – x)
2 
Calcule a variância da amostra: 2, 4, 6, 8, 10 
Resolver no quadro 
Somas: 
Sx2 = (xi – x)2 
n -1 
Sx2 = 
xi
2 – [( xi)
2/n] 
n -1 
Utilizando 
a segunda 
opção de 
fórmula: 
xi xi
2 
xi xi2 
Resolver no quadro 
As duas fórmulas levam ao mesmo resultado! 
c) Desvio padrão (s): 
É a raiz quadrada positiva da variância. 
s = 
xi
2 – [( xi)
2/n] (xi - x)
2 = 
n -1 n -1 
Usa-se n - 1: amostra 
 n: população 
Obs: 
Exemplo: 
Calcule o desvio padrão da amostra: 20, 5, 10, 15, 25. 
xi xi
2 
Resolver no quadro 
xi xi2 
xi
2 – [( xi)
2/n] 
n -1 
s = 
d) Outras medidas: 
Proporção = 
n 
x 
x: número de elementos que apresentam 
determinada característica 
n: número total de observações 
Exemplo:Se num grupo de 40 pessoas 10 tem propriedade 
agrícola, dizemos que a proporção dos que a têm é de: 
 10/40 = 0,25 ou 25% 
Exercícios em sala ... 
1. O desvio padrão pode ser zero? Explique. Pode ser negativo? Explique. 
 
2. Calcule a média e o desvio padrão das vendas diárias: 
 
 $ 8.100, $ 9.000, $ 4.580, $ 5.600, $ 7.680, $ 4.800, $ 10.640 
 
3. Determine o intervalo, o desvio médio absoluto e a variância dos dados: 
 
 a) 7, 9, 2, 1, 5, 4,5, 7,5 6,2 
 
 b) 1, 2, 10, 7, 7, 9, 8, 5, 2, 11 
 
 c) 30, 2, 79, 50, 38, 17, 9 
 
 d) 0,011, 0,032, 0,027, 0,035, 0,042 
 
 
Lista de exercícios 
Para o I Estágio