Cálculo I (Derivadas)

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Cieˆncias e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadeˆmica de Cieˆncias e Tecnologia Ambiental - UACTA
Disciplina: Ca´lculo
Professor: Paulo Pamplona
Lista de Exerc´ıcios 03: Derivadas
1. Derive as seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 4x2 + 5x+ 3
b) f(x) = x3 − x−2 + 1
x6
− 2
x−6
c) f(x) = x2/3 + 5x1/2 + 3x4/3
d) f(x) = 2
√
x− 3
√
x4 − 1
3
√
x5
e) f(x) =
√
3x3 + x2 − 2x+ 1
f) f(x) = 4
√
(x3 + x2 − 2x)3
g) f(x) = (x3 − 5)(x4 − 2x)
h) f(x) =
2x2 − 5
x3 − 2x
i) f(x) = xe3x−1
j) f(x) = x2 ln(x+ 2)
k) f(x) = sen(x2 + 3)
l) f(x) = ln(e
1
x )
m) f(x) = tan(x)
n) f(x) = cot(x)
o) f(x) = sec(x)
p) f(x) = csc(x)
q) f(x) = csc(x)
r) f(x) = arctan(x)
s) f(x) = arccot(x)
t) f(x) = arctan(x2 + 2)
u) f(x) = e
1+x
2−x
v) f(x) = eln(x
−3)
x) f(x) = ln(ln(ln(x)))
y) f(x) = ln(1 + ln(1 + x))
z) f(x) =
√
1 +
√
1 + x.
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) no ponto dado:
a) f(x) = x3, no ponto (2, 8)
b) f(x) = (x− 1)2, no ponto (2, 1)
c) f(x) = 5 ln(x), no ponto (2, 5 ln(2))
d) f(x) = 3sen(x) + 1, no ponto (
pi
2
, 4)
3. Encontre os nu´meros cr´ıticos das func¸o˜es dadas abaixo:
a) f(x) = x3 + 7x2 − 5x
b) f(x) = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
c) f(x) = (x2 − 4) 23
d) f(x) =
x
x2 − 9
4. Determine os extremos absolutos das func¸o˜es em cada intervalo e esboce o gra´fico das func¸o˜es.
a) f(x) = 4− 3x; ]− 1, 2]
b) f(x) = x3 + 5x− 4; [−3,−1]
c) f(x) = x4 − 8x2 + 16; [−4, 0]
d) f(x) = x3 − 27x− 4; [−2, 4]
e) f(x) = x2/3; [−4, 0]
f) f(x) =
x
x+ 2
; [−1, 2].
5. Em cada caso abaixo, determine: a) os nu´meros cr´ıticos de f ; b) os ma´ximos e mı´nimos relativos
de f ; c) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ; d) os pontos de inflexa˜o e intervalos de
concavidade para f ; e) esboce o gra´fico de f .
a) f(x) = 2x3 − 6x+ 1
b) f(x) = x3 + 5x2 + 3x− 4
c) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7
d) f(x) = x3 + 9x
e) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2
f) f(x) = 2x3 − x2 + 3x− 1
g) f(x) = x5 − 5x3 − 20x− 2
h) f(x) = 3x2 − 2x+ 1
6. Usando diferenciac¸a˜o impl´ıcita, determine a derivada de y em relac¸a˜o a x.
a) 2x3y + 3xy3 = 5; b) x3y + 3x2y2 − y3 + 2 = 0 d) xey + ln(xy) = 0.
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7. Usando a regra de L’Hospital, calcule os limites:
a) limx→a
x− a
x3 − a3
b) limx→n
ln(x/n)
n− x
c) limx→3
x2 − 6x+ 9
x2 − 5x+ 6
d) limx→0
2x − 3x
x
e) limx→∞
x3
ex
f) limx→0
( 1
sen(x)
− 1
x
)
g) limx→0
(1
x
− 1
ln(1 + x)
)
h) limx→0
ex − cos(x)
x2 + x
i) limx→0
1− cos(x2)
x
j) limx→0
sen( sen(x))
sen(x)
k) limx→0
x− sen(x2 + x)
2x− sen(x2 − x)
l) limx→0
ex
3 − cos(x2)
x3 + x2
.
Problemas Envolvendo Derivadas
01) (OTIMIZAC¸A˜O) Um estudo de eficieˆncia realizado em uma fa´brica durante o turno da manha˜
mostra que um opera´rio que comec¸a trabalhar a`s 8 horas tera´ produzido, em me´dia, Q(t) = −t3 +
9t2 + 12t unidades t horas mais tarde. Supondo que o turno da manha˜ va´ de 8 horas ao meio-dia, em
que hora da manha˜ os opera´rios sa˜o mais produtivos.
02) (OTIMIZAC¸A˜O) Uma projec¸a˜o va´lida para 5 anos, revela que daqui a t anos a populac¸a˜o de um
certo bairro sera´ P (t) = −t3 + 9t2 + 48t + 50 mil habitantes. Determine em que instante, dentro do
per´ıodo de 5 anos, a taxa de crescimento da populac¸a˜o sera´ ma´xima e em que instante sera´ mı´nima?
03) (OTIMIZAC¸A˜O) O departamento de estradas de rodagem pretende construir uma a´rea de
piquinique para motoristas a` beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular,
com uma a´rea de 5.000 metros quadrados, e ser cercado nos treˆs lados que na˜o da˜o para a rodovia.
Qual o menor comprimento da cerca necessa´ria para a obra?
04) (OTIMIZAC¸A˜O) Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que
esta´ na margem de um rio reto. Ele na˜o precisa de cerca ao longo do rio. Quais sa˜o as dimenso˜es do
campo que tem maior a´rea?
05) (OTIMIZAC¸A˜O) Pretende-se estender um cabo de uma usina de forc¸a a` margem de um rio com
900 metros de largura ate´ uma fa´brica situada do outro lado do rio, 3.000 metros rio abaixo. O custo
para estender o cabo pelo rio e´ de 5 reais o metro e o custo para estender o cabo por terra e´ de 4 reais
o metro. Qual o percurso mais econoˆmico para estender o cabo.
06) (OTIMIZAC¸A˜O) Um homem esta´ de pe´ na margem de um rio com 1 km de largura e quer chegar
a uma cidade situada na margem oposta, 1 km rio acima. Para isso, pretende remar em linha reta ate´
um ponto P na margem oposta do rio e caminhar ate´ a cidade. Qual deve ser a localizac¸a˜o do ponto
P para que o percurso seja coberto no menor tempo poss´ıvel, sabendo que o homem e´ capaz de remar
a 4km/h e andar a 5km/h?
07) (OTIMIZAC¸A˜O) Duas cidades A e B devem receber suprimentos de a´gua de um reservato´rio a
ser localizado a`s margens de um rio em linha reta que esta´ a 20km de A e a 10km de B. Se a distaˆncia
entre A e B e´ de 20km e A e B esta˜o do mesmo lado do rio, a que distaˆncia de A e de B deve estar
localizado o reservato´rio para que se gaste o mı´nimo de tubulac¸a˜o.
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08) (OTIMIZAC¸A˜O) Um agente da pol´ıcia se encontra ao meio-dia dirigindo um jipe na areia do
deserto, no pequeno principado de Alta Loma. O agente se encontra a 32 km do ponto mais pro´ximo
de uma estrada pavimentada retil´ınea. A uma distaˆncia de 16 km, nesta mesma estrada, existe uma
usina de energia ele´trica abandonada na qual um grupo de bandidos esta´ mantendo refe´m o chefe do
agente. Se o agente na˜o chegar com o resgate ate´ as 12h50min, os bandidos ira˜o executar o refe´m.
O jipe pode viajar a 48 km/h na areia do deserto e a 80km/h na estrada pavimentada. O agente
conseguira´ chegar a tempo?
09) (OTIMIZAC¸A˜O) Um homem lanc¸a seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com
largura de 3 km, e deseja atingir ta˜o ra´pido quanto poss´ıvel um ponto B na outra margem, 8 km rio
abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e enta˜o seguir andando para B, ou
remar ATE´ um ponto D entre C e B e enta˜o andar ate´ B. Se ele pode remar a 6 km/h E andar a
8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais ra´pido poss´ıvel? (Estamos supondo que a
velocidade da a´gua e´ desprez´ıvel comparada com a velocidade na qual o homem rema.)
10) (OTIMIZAC¸A˜O) Um espia˜o e´ deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2
km de um ponto P numa praia reta com direc¸a˜o Norte-Sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a
6km ao Norte de P. Remando ele percorre 3km/h e andando 5km/h. Sua intenc¸a˜o e´ remar a um certo
ponto ao Norte de P e depois andar o resto do caminho. Pergunta-se:
a) A que distaˆncia ao Norte de P ele deve desembarcar para chegar a` casa no menor tempo poss´ıvel?
b) Qual a durac¸a˜o da viagem?
c) Se remar ate´ P e de P ate´ a casa, quanto tempo a mais ele gastara´?
d) Se a casa tiver a 8km de P, a resposta de a) sera´ a mesma?
e) Se o bote estiver munido de um motor que desenvolve uma velocidade de 5km/h, qual seria a
distaˆncia ao Norte de P para se chegar no menor tempo poss´ıvel?
f) Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais ra´pida?
11) (OTIMIZAC¸A˜O) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000cm3. O
material da tampa da base custa 3 reais por cada cent´ımetro quadrado e o material para o lado da
caixa custa 1,5 reais por cada cent´ımetro quadrado. Determine as dimenso˜es da caixa de modo que o
custo do material seja o menor poss´ıvel.
12) (OTIMIZAC¸A˜O) Uma lata cil´ındrica deve conter um certo volume de l´ıquido. O custo do material
usado para o fundo e para a tampa da lata e´ de 3 centavos por cent´ımetros quadrado e o custo do
material usado para o lado da lata e´ de 2 centavos por cent´ımetros quadrados. Obtenha umarelac¸a˜o
simples entre o raio e a altura da lata de modo que o custo do material seja o menor poss´ıvel.
13) (OTIMIZAC¸A˜O) Determine as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea inscrito num c´ırculo de raio
R.
14) (OTIMIZAC¸A˜O) Determine as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea inscrito na el´ıpse de eixos
a e b.
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15) (OTIMIZAC¸A˜O) Determine as dimenso˜es que deve ter uma lata na forma de um cilindro reto
de um litro de volume, de modo que o material usado na sua fabricac¸a˜o seja mı´nimo.
16) (OTIMIZAC¸A˜O) Determine as dimenso˜es do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido
num cone reto de base circular com raio r e altura h.
17) (VELOCIDADE INSTANTAˆNEA) Um objeto move-se ao longo de uma reta de acordo com a
equac¸a˜o do movimento s(t) =
√
4t2 + 3 com t ≥ 0. Determine os valores de t para os quais a medida
da velocidade instantaˆnea e´: a) v=0; b) v=1; c) v=2.
18) (TAXAS RELACIONADAS) O lados de um triaˆngulo esta˜o crescendo com velocidades 3m/s e
4m/s. Determine com que velocidade cresce a a´rea do triaˆngulo quando os lados medem 4 e 5 metros,
respectivamente.
19) (TAXAS RELACIONADAS) O volume de um cubo cresce a 10cm3/min. Determine com que
velocidade cresce seus lados quando possuem 5cm de comprimento.
20) (TAXAS RELACIONADAS) Um cateto de um triaˆngulo retaˆngulo cresce com velocidade igual
ao dobro do outro. A que velocidade cresce a hipotenusa quando os catetos sa˜o iguais a b.
21) (TAXAS RELACIONADAS) Uma escada de 5cm de comprimento se encontra apoiada numa
parede e sobre um plano horizontal. Se o lado inferior da escada e´ arrastado com velocidade de 2m/s
quando ela esta´ a 4m de distaˆncia da parede, determine com que velocidade o outro extremo da escada
esta´ descendo.
22) (TAXAS RELACIONADAS) Considere no exemplo anterior que a escada esta´ apoiada sobre um
plano inclinado que faz um aˆngulo de 30 graus com a horizontal.
23) (TAXAS RELACIONADAS) O volume de uma regia˜o esfe´rica cresce a uma taxa de 3cm3/s. A
que taxa cresce o raio quando r = 1?
24) (TAXAS RELACIONADAS) Dois corpos se movimentam em trajeto´rias paralelas com uma sep-
arac¸a˜o de 10 metros e em direc¸o˜es opostas. Se um corpo se movimenta a 10 m/s e o outro a 5m/s,
encontre a velocidade com que estes corpos se acercam quando a distaˆncia horizontal entre eles e´ de
5m.
25) (TAXAS RELACIONADAS) Dois carros esta˜o viajando em direc¸a˜o ao cruzamento de duas
rodovias. O primeiro vai dirigindo a` taxa de 72km/h na direc¸a˜o a Oeste-Leste e o outro vai di-
rigindo a` taxa de 54km/h na direc¸a˜o a Norte-Sul. A que taxa os carros se aproximam um do outro
no instante em que o primeiro estiver a 400 metros e o segundo a 300 metros do cruzamento?
26) (TAXAS RELACIONADAS) Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de
5 metros e raio da base igual a 1 metro. O tanque se enche de a´gua a` uma taxa de 2m3/min. com
que velocidade o n´ıvel da a´gua sobe quando ele esta´ a 3 metros de profundidade?