ficha 2 cinematica

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F´ısica I, Ficha 2. Cinema´tica/2016
1. Calcule a velocidade me´dia de uma atleta nos seguintes casos: a)A atleta anda 150m com
velocidade de 1, 5m/s e depois corre 100m com velocidade de 4m/s ao longo de uma pista
rectil´ınea; b)A atleta anda 2min com velocidade de 1, 5m/s e, a seguir corre durante 3min
com velocidade de 4m/s , ao longo de um caminho rectil´ıneo.
2. Dois comboios, cada qual com velocidade escalar de 60km/h seguem em linha recta se
aproximando entre si sobre os mesmos trilhos. Os maquinistas dos dois comboios percebem
simultaneamente o perigo no momento em que a distaˆncia entre eles e´ de 50m . Suponha que
os dois maquinistas percam simultaneamente, o mesmo intervalo de tempo de 0, 2s , desde
o instante mencionado acima ate´ o momento em que os trovo˜es sa˜o accionados. A acc¸a˜o dos
trovo˜es nos dois comboios faz cada comboio parar depois de percorrer 500m . Verifique se
haveria ou na˜o colisa˜o. Qual e´ a distaˆncia cr´ıtica para a colisa˜o.
3. Se a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo ao longo do eixo x e´ dada, em cada problema calcule:
a)A velocidade em func¸a˜o do tempo; b) A acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo; c) A posic¸a˜o,
velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t = 5s ; d) O deslocamento no intervalo de
tempo entret = 0s e t = 5s.
3.1 x(t) = 5t2 − 8t+ 6;
3.2 x(t) = 15− 4t;
3.3 x(t) = 3e−t/3;
3.4 x(t) = 12e−t/4;
3.5 x(t) = 4sent;
3.4 x(t) = 6tsen(3t+ cos2t).
4. Se a velocidade em func¸a˜o do tempo de uma part´ıcula ao longo do eixo x e´ dada, em cada
problema calcule: a) A posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo; b) A acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo;
c) A posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t = 5s ;d) O deslocamento no
intervalo de tempo entre t = 5s e t = 8s.
4.1 v(t) = 10− 16t;x(0) = 10;
4.2 v(t) = 8t2 − 20;x(20) = 60;
4.3 v(t) = 3e−t/3;x(3) = 20;
4.4 v(t) = 40cos8t;x(12) = 3;
4.5 v(t) = 6tsen3t;x(6) = 10;
4.6 v(t) = 12e−t/4sen3t;x(0) = 0.
5. Se a acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo de uma part´ıcula ao longo do eixo e´ dada, em cada
problema calcule: a) A posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo; b) A velocidade em func¸a˜o do tempo;
c) A posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t = 5s ;d) O deslocamento no
intervalo de tempo entre t = 5s e t = 8s.
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5.1 a(t) = 5− 3t;x(0) = 5; v(0) = 0;
5.1 a(t) = −9, 8;x(2) = 6; v(2) = 12;
5.3 a(t) = −9, 8;x(2) = 6; v(2) = 12;
5.4 a(t) = 20sen3t;x(10) = 0; v(10) = 5;
5.5 a(t) = 6tsen3tt;x(0) = 20; v(0) = 10;
5.6 a(t) = 24e−t/6sen2t;x(3) = 0; v(3) = 0.
6. A equac¸a˜o de um determinado movimento plano e´ ~r(t) = 3t~i + (4t + 1)~j,determinar: a) O
vector posic¸a˜o e o deslocamento no instante t = 0s e t = 2s; b) A equac¸a˜o da trajecto´ria do
mo´vel e a sua forma; c) A velocidade, acelerac¸a˜o e o tipo do movimento; d) Representar a
trajecto´ria no diagrama (x, y) e a posic¸a˜o inicial sobre esta trajecto´ria.
7. O movimento de uma part´ıcula e´ definido pelas equac¸o˜es: x = 4t4 − 6t e y = 6t3 − 2t2,
nas quais x e y sa˜o expressas em mil´ımetros e t em segundos. Determine a velocidade e a
acelerac¸a˜o quando: a) t = 1s ;b) t = 2s; c) t = 4s
8. Um vento moderado acelera um seixo sobre o plano horizontal XY com uma acelerac¸a˜o
constante dada por: ~a = 5~i + 7~j [S.I.]. Determine a expressa˜o do vector velocidade em
func¸a˜o do tempo sabendo que, quando t = 0, ~v = 4~i.
9. A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula que se move no espac¸o bidimensional e´ dada por ~a = 3t~i+4t~j.
No instante t = 0s, o seu vector posic¸a˜o e´ ~r = 20~i + 40~j e a sua velocidade e´ ~v = 5~i + 2~j.
Determinar a posic¸a˜o da part´ıcula no instante de tempo t = 4s.
10. Uma bola e´ lanc¸ada verticalmente para cima, a equac¸a˜o do seu movimento e´: ~r(t) = (30t−
5t2)~j a)Qual e´ a equac¸a˜o da velocidade? b) Qual e´ o valor da velocidade inicial? c) Qual
e´ o valor da acelerac¸a˜o de gravidade? d) Em que intervalo de tempo o movimento e´: (i)
retardado; (ii) acelerado? e) De que movimento se trata?
11. As equac¸o˜es parame´tricas de um dado movimento plano sa˜o:{
x = 3t2 − 2t
y = 4t2 − 5t .
Determinar o aˆngulo formado pelos vectores velocidade e acelerac¸a˜o no instante t = 1s
12. Um dado movimento plano tem a seguinte equac¸a˜o de movimento ~r(t) = cost~i + sent~j
Determinar: a) A velocidade e a acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2pis; b)Mostrar que
se trata de um movimento circular uniforme; c)Determinar o mo´dulo da velocidade angular
desse movimento circular uniforme, bem assim, a sua expressa˜o vectorial, se o movimento
estiver a realizar-se no sentido anti-hora´rio (directo).
13. Dado o vector posic¸a˜o que caracteriza o movimento de uma part´ıcula: ~r = 3t2~i + 5t~j.
Determine: a) O vector acelerac¸a˜o; b)Os mo´dulos das acelerac¸o˜es tangencial e centr´ıpeta ou
normal em func¸a˜o do tempo.
14. O movimento de uma part´ıcula que se desloca no plano e´ definida pelo vector posic¸a˜o:
~r = 2t2~i + 4t~j . Determine:a)Acelerac¸a˜o da part´ıcula; b) As componentes tangencial e
normal da acelerac¸a˜o no instante e o raio da curvatura da trajecto´ria no instante t = 2s.
15. O tronco de um eucalipto e´ cortado rente ao solo e cai, em 5s, num terreno plano e horizontal,
sem se desligar por completo de sua base. Determine: a) A velocidade angular do tronco
durante a queda? b) A velocidade escalar de um ponto do tronco do eucalipto, a 10m da
sua base?
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16. Um rapaz faz girar uma pedra numa trajecto´ria de raio 1, 5m praticamente num plano
horizontal e a altura de 2m acima do solo. O fio arrebenta-se e a pedra vai atingir o solo
num ponto afastado da vertical do ponto onde foi largada. Calcule a acelerac¸a˜o centr´ıpeta
da pedra quando o fio arrebenta-se.
17. As componentes de um vector posic¸a˜o de uma part´ıcula sa˜o dadas por: x = Rsenωt+ ωRt
e y = Rcosωt + R . Onde ω e R sa˜o constantes. A extremidade do vector posic¸a˜o acima
descrevem uma curva chamada ciclo´ide. Determine o mo´dulo da velocidade e acelerac¸a˜o
quando ela se encontra, a) no valor ma´ximo de y ; b) no valor mı´nimo de y .
18. Mostre que a altura ma´xima alcanc¸ada por um proje´ctil e´ ymax =
(v0senθ0)
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19. Um rapaz de 1, 5m de altura que esta´ parado, em pe´, a uma distaˆncia de 15m frente a um
murro de 6, 5m de altura, lanc¸a uma bola com um aˆngulo de 450 com a horizontal. Com que
velocidade mı´nima deve lanc¸ar a bola, para que esta passe por cima do murro? (fig. 1 ).
20. A fig. 2 representa um proje´ctil, que e´ lanc¸ado do ponto A com uma velocidade inicial
100m/s atingindo o ponto D. Sabendo que AB = 40m e BC = 55m . a) Determine o
tempo que o proje´ctil levou para atingir o ponto D. b) Calcule a distaˆncia CD.
21. Um motociclista posicionado numa rampa de 530 com a horizontal pretende saltar para a
outra margem do rio (fig.3). a) Qual deve ser sua velocidade mı´nima para que ele possa
alcanc¸ar a outra margem sem cair no rio? b) Caso sua velocidade fosse metade do valor
encontrado em (a), onde ele cairia?
22. Um jogador de basquete de 2, 00m de altura esta´ em pe´ sobre o cha˜o 10, 0m do cesto, como
mostra a fig.4. Se ele atira a bola num aˆngulo de 400 com a horizontal, com qual velocidade
inicial ele deve jogar, de forma que ela passe pelo aro sem atingir a tabela sabendo que a
altura do cesto e´ de 3, 05m?
23. Um proje´ctil e´ disparado em um plano inclinado (inclinac¸a˜o do aˆngulo φ) com uma velocidade
inicial vi, a um aˆngulo de θ1 em relac¸a˜o a` horizontal (θ1 > φ), como ilustra a fig.5.a) Mostre
que o proje´ctil percorre uma distaˆncia d ate´ o declive, onde: d =
2v2i cosθ1sen(θ1 − φ)
gcos2φ
b) Para que valor de θ1 a distaˆncia d e´ ma´xima, e qual e´ este valor ma´ximo de d?
24. Um canha˜o e´ ajustado para lanc¸ar proje´cteis, com velocidade inicial v0 , directamente para
cima, na rampa de uma colina cujo aˆngulo de elevac¸a˜o vale ? (fig.6). Determine o aˆngulo
formado entre a direcc¸a˜o da bala e a horizontal para que se obtenha o alcancema´ximo
poss´ıvel sobre o plano inclinado da colina. Sol: (pi/4) + (α/2) .
25. Uma perda se desprende de uma montanha e rola pela encosta, chegando a` base de um
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penhasco com uma velocidade horizontal v0 (veja a fig.11). Em virtude desta velocidade
inicial, ela atinge o solo no ponto P . a) represente a trajecto´ria descrita pela pedra no ar;
b) calcule o tempo que a pedra gasta para se deslocar da borda do penhasco ate´ o solo; c)
supondo que de v0 = 6m/s , calcule a distaˆncia d mostrada na figura.
26. Um saltador de esqui deixa a pista em movimento na horizontal, com uma velocidade de
25, 0m/s, (Fig.8) Determine: a) as distaˆncias indicadas palas letras d, x e y na figura deste
problema; b) o tempo em que ele permanece no ar; c) a componente vertical da velocidade
no instante em que ele atinge o cha˜o. Sol: d = 109m;x = 89.3m; y = 62.5m; 3.57s; 35.0m/s.
27. Uma pessoa, de pe´, no topo de uma rocha hemisfe´rica, de raio R chuta uma bola (inicialmente
em repouso no topo da rocha), para dar-lhe a velocidade horizontal como na Fig.9. a) Qual
deve ser a sua velocidade inicial mı´nima, para que a bola na˜o possa bater a rocha depois de
ser expulsa? b) Com esta velocidade inicial , a que distaˆncia , medida a partir da base da
rocha, a bola bate no cha˜o?
28. O movimento tridimensional de um ponto esta´ descrito pelas relac¸o˜es: x = 6sen6t ; y =
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√
3cos6t ;z = 3cos6t . Calcule a acelerac¸a˜o do ponto e demonstre que tem mo´dulo constante.
29. Uma A´guia que voa sobre uma corrente convectiva segue uma trajecto´ria helicoidal el´ıptica
descrita pelas relac¸o˜es: x = 15cos0.2t ; y = 10sen0.2t ; z = 0.8t . Calcule a acelerac¸a˜o da
A´guia no instante t = 80s .
30. O movimento tridimensional de um ponto esta´ descrito pela relac¸a˜o:~r = 5t2~i+ 3t~j + 15t3~k ,
calcule a velocidade e acelerac¸a˜o.
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