92862644-Apostila-de-Exercicios-Do-Roberaldo

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Maceió-AL 
2009 
 
 
Universidade Federal de Alagoas – UFAL 
Centro de Tecnologia – CTEC 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I 
 
Apostila de exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Roberaldo Carvalho de Souza, P.h.D 
 
Monitoras: Manuella Suellen Vieira Galindo 
 Marianna Luna Sousa Rivetti 
 
2 
Parte I: Estática dos fluidos 
 
1. Propriedades dos fluidos 
 
1.1 Exercícios resolvidos 
 
1º- Um líquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa específica de 850 
kg/m³. Calcule: 
a) A viscosidade cinemática em unidades S.I. 
b) A viscosidade dinâmica em unidades CGS. 
 
Solução: a) 
 
b) 
 
2º- A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o seu peso 
específico relativo é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades 
dos sistemas MK*S, CGS e SI. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
No MK*S: 
 
 
No SI: 
 
 
No CGS: 
 
 
 
3º A viscosidade dinâmica de um óleo é 5x10-4 kgf.s/m² e o peso específico 
relativo é 0,82. Determinar a viscosidade cinemática nos sistemas MK*S, 
SI e CGS (g=10m/s²; γH2O=1000 kgf/m³). 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
No MK*S e no SI: 
 
 
 
No CGS: 
 
 
 
 
4 
4º O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é 
10-5 m²/s. Se g=10m/s², qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas 
MK*S e SI. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
No SI: 
 
 
 
No MK*S: 
 
 
 
5º São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa 
superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se 
o espaço entre as placas for preenchido com óleo (υ=0,1 St; ρ=830 
kg/m³), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo? 
 
Solução: 
 
Obs: υ=0,1 St= 10-5 m²/s 
 
 
 
5 
 
 
 
6º Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um 
plano inclinado de 30º, sobre uma fina película de óleo. A velocidade da placa 
é de 2 m/s constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura 
da película é 2 mm? 
 
 
 
Solução: 
 
De acordo com a 2ª Lei de Newton: Fr=m.a . Onde a= 
 
Assim: Px - = m. 
 
 20.sen 30º - = 0, pois a velocidade é constante, ou seja, = 0 
 
 = 10 N/m² 
 
Sabemos que: 
 
7º Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a 
parábola tem seu vértice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de 
velocidade e a tensão de cisalhamento para y= 10cm. Adotar 
centepoises. 
 
6 
 
Solução: 
 
Obs.: 400 centepoises= 4 poises= 4 dina.s/cm² 
 
• Como o perfil de velocidade é parabólico: 
 
V(y)= a1+ a2y + a3 y² 
 
• Condições de contorno: 
 
1ª V y=yo =Vmáx = 2,5 m/s a1+ a2y0 + a3 y0²=2,5 
 
2ª V y=0 = 0 a1=0 
 
3ª y=yo =0 a2 + 2y0 a3=0 
 
Assim: a2y0 + a3 y0²=2,5 Para y0= 10 cm= 0,1m 0,1 a2 + 0,01 a3=2,5 
 a2 + 2y0 a3=0 a2 + 0,2 a3=0 
 
a3= -250; a2=50 
 
 
• Perfil parabólico obtido: V(y)= 50 y – 250 y² 
 
• Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m: 
 
= 50-250y= 25 
 
• Tensão de cisalhamento: 
 
 
7 
 
 
8º Uma pequena esfera sólida com 4,02 mm de diâmetro e uma densidade 
relativa de 0,91 é colocada em repouso num recipiente contendo um líquido 
cuja densidade relativa é de 0,8. Sabendo que a esfera está submetida à 
força gravitacional (calculada através do produto da massa pela aceleração 
da gravidade), ao empuxo (que é representado pelo peso do volume 
deslocado = fluido Volume da esfera) e a força de arrasto (representada pelo 
produto do coeficiente de arrasto vezes a área frontal de contato entre o 
sólido e o fluido vezes a metade do produto do peso específico do fluido e o 
quadrado da velocidade, no caso de uma esfera: Afrontal= e , 
Fa = Cd. Afrontal. fluido. ). Calcule o tempo mínimo decorrido para a esfera 
atingir a velocidade terminal. 
 
 
Solução: 
 
Figura ilustrativa: Diagrama de Corpo Livre: 
 
• Sabemos que: Fr=m.a 
 
 w- Fa- E = esfera. Volume. 
 
• w = m.g 
 
w= esfera. Volume. g 
 w= *. H2O .Volume. g 
 
• E= fluido. 
Volume 
 E= fluido. 
 
• Fa= Cd. Afrontal
fluido. 
 
 Fa= . . fluido. 
 
 Fa= 
 
 
8 
 esfera. . g - - fluido. = esfera. . 
 
 = g - 
 
 
• Sendo a= g - , e b= teremos: 
 
 = a – bV V = Vmáx (1- e-bt) 
 
• 
 
• 
 
 
 
• 
 
• Adotando V=99%Vmáx: 
 
 s 
 
9º- Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa 
fina película de óleo de espessura h mm em um plano inclinado de um ângulo 
θ. Determine uma expressão para o comprimento do plano em função da 
velocidade máxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no óleo = c y1/3, 
onde c é uma constante determinada pela condição de contorno da 
velocidade máxima no óleo ser igual à velocidade do bloco e y é a distância 
do plano no óleo, 0 y h. 
 
 
 
 
9 
 
 
Solução: 
 
• Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil 
de velocidade e outro associado ao bloco. 
 
• Diagrama de corpo livre: 
 
 
• Sabemos que: 
 
• Fr= w.senθ - Fa 
 
• 
• a= 
 
• 
 
Logo: 
 
• 
 
• Fr=m.a - Fa = 
 
 - (÷m) 
 
 - 
 
• Condição de contorno: 
 
 Se y=h: 
 
 V(y) = Vbloco= = c y1/3 
 
 V(y) = 
 
 
10 
• Note que: 
 
• Voltando para a expressão obtida ao analisar a força resultante 
teremos: 
 
- 
 
• Seja e , teremos: 
 
 
 
 integrando teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
• Seja : 
 
 
 
 
2. Equação Geral da Estática dos Fluidos (1-D) 
 
2.1 Exercícios resolvidos 
 
1 º Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, 
calcule: 
 
 
11 
 
12 
1 º O tanque mostrado no esquema da figura contém um óleo com massa 
específica ρ. Determine o módulo da forca resultante exercida pelo óleo 
sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
2) 
 
 
2º A figura mostra um esquema de uma janela circular de diâmetro D=2 
m, localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a 
atmosfera. Determine: 
a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela 
b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf) 
 
 
 
13 
 
Solução: 
 
a) Em coordenadas polares: dA=r.dθ.dr e, considerando D=a temos: 
z=a/2-r.senθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Substituindo, 
 
Temos , 
 
 
3º A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e 
altura H=2m, localizada na parede vertical de um tanque com água e 
aberto para a atmosfera. Determine: 
a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela 
b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf) 
 
 
14 
 
 
Solução: 
 
a) Temos e 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Substituindo, 
 
 
Temos, 
 
 
4º A figura mostra um esquema de um reservatório com água. A comporta 
retangular de altura L e largura B está articulada no eixo O, na base, e o 
bloco de volume V, constituído de um material com massa específica ρB, está 
imerso em água. O cabo possuimassa desprezível. Estando a comporta na 
posição vertical, determine: 
 
a) A forca resultante exercida pela água sobre a comporta; 
b) O momento de forca, em relação ao ponto O, devido à distribuição 
de pressões exercida pela água; 
c) O volume mínimo V do bloco necessário para manter a comporta na 
posição vertical. 
 
 
 
Solução: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
b) Deve-se achar zf: 
 
Temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo , 
 
 
Temos, 
 
Em relação ao ponto O temos a distância D, que é igual a : 
 
D=H-zf 
 
 Calculando o momento, 
 
 
 
 
 
 
c) Temos em relação ao ponto O, 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
Pelo D.C.L: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo, 
 
 
 
 
Então fica assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Isolando V, 
 
 
 
4. Equação Geral da Estática dos fluidos em 2-D 
 
4.1 Exercícios resolvidos 
 
4.1.1 Movimento Relativo Linear 
 
18 
 
1º Deve-se transportar um aquário que mede 60cm X 60cm de base e 40 
cm de altura. Quanto em volume de água você pode deixar no aquário de 
modo a ficar razoavelmente certo de que não transbordará no transporte? 
 
 
 
 
Solução: 
 
• Equação da superfície livre: dP=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se não houver transbordamento: 
 
 
 
 
 
 
 
• Não há transbordamento: Vi=Vf 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
• Achando a altura da água h: (1) = (2) 
 
 
 
sabe-se que 
 
Substituindo os valores, 
 
 
 
• Calculando o volume: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2 Movimento Relativo Circular 
 
1º Um vaso cilíndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), 
parcialmente cheio com líquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma 
velocidade angular constante (ω) em torno do seu eixo central. Após 
um curto período, não há movimento relativo (o líquido gira com o 
cilindro como se o sistema fosse um corpo rígido). Qual o valor de ω 
(rpm) para não haver transbordamento? 
 
 
 
 
20 
Solução: 
 
• Equação da superfície livre: dP=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se não houver transbordamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores, (1) 
 
• Não há transbordamento: Vi=Vf 
 
 
 
Substituindo valores, 
 
 
 
 . 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Achando o valor de ω: (1) = (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte II: Cinemática e Dinâmica dos Fluidos 
 
 
5. Equação da continuidade e escoamentos 
 
5.1 Exercícios resolvidos 
 
1º- Considere um campo de escoamento incompressível bidimensional dado 
pela função corrente (x,y) = ax²-ay², com a=3s-1 e x e y em metros. 
 
a) Mostre que o escoamento é irrotacional. 
b) Determine o potencial de velocidade para este escoamento. 
c) Qual a vazão que passa entre uma assíntota e a linha de corrente 
dada por =cte=2? 
 
Solução: a) Um escoamento é irrotacional quando xV=0 
 
22 
 
Sabemos que: 
 
• • 
 
• xV = x =0 
 
 
 
-2a+2a=0 
 
0=0 O escoamento é irrotacional. 
 
b) 
 
 
Logo: 
 
c) Sabemos que a vazão é dada pela diferença entre dois psis, ou seja, Q= 
1- 2. Se 1= assíntota e 2=2, teremos: Q= 2m³/s. 
 
2º- Demonstre a Equação da Continuidade a partir de um elemento 
infinitesimal de controle com a forma cilíndrica plana. 
 
Solução: 
• 
 
 
 
 
 
 
• 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
• Sabemos que: Taxa que entra – Taxa que sai = Variação interna 
 
+ - - = 
 
 + - - 
 
 
+ - - - - - 
 
- = 
 
 
=- - - 
 
=- - - 
 
Obs.: De acordo com a Regra do produto: 
 
 = = + 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
Desprezível 
 
24 
 + + + = 0 
 
 
 + + = 0 
 
 
Desta forma, provamos que: + = 0 
 
3º- Demonstre a Equação da Continuidade e a Equação da Irrotacionalidade 
em coordenadas polares para duas dimensões. 
 
Solução: 
 
Devemos lembrar que: 
 
• îr=cos î + sen j 
• = -sen î + cos j 
• îr. îr=1 ; îr . =0 
• . =1 ; îr x = k 
• = -sen î + cos j= 
• = - cos î - sen j= 
 
 
De acordo com a Equação da Continuidade: = 0, ou seja: 
 
 . = 0 
 
 + = 0 
 
=0 
 
=0 
 
=0 
 
=0 + = 0 
 
 
De acordo com a Equação da Irrotacionalidade: = 0, ou seja: 
“Equação da continuidade 
em coordenadas polares” 
 
 
25 
 
 x = 0 
 
 + = 0 
 
 + 
 = 0 
 
=0 , ou seja, - = 0 
 
4º- Qual o valor da aceleração de um escoamento cujo campo de velocidade 
é dado por ? Esse escoamento é real? 
 
Solução: 
• Por não depender do tempo podemos definir tal escoamento como 
permanente. Não dá para dizer se o fluido é compressível ou não, pois 
não temos informações suficientes. Temos apenas um escoamento 
plano em duas dimensões. 
 
• a local= =0 
 
• a convectiva= 
 
a convectiva= 
 
a convectiva= 
 
• Componentes da aceleração: ax= 
 ay= 
 
• O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for 
obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0. 
 
 + = 0 
 
Tende a zero, pois o escoamento 
não depende do tempo. 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º- Seja . Veja se o escoamento desse fluido é real. Em caso 
afirmativo, defina a equação de sua trajetória. 
 
Solução: 
 
• O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for 
obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0. 
 
 + = 0 
 
 
 
 
 
 
 
• Encontrando a Equação da trajetória: 
 
 
 
 
 
 
 
O escoamento não é real. 
O escoamento é real. 
Tende a zero, pois o escoamento 
não depende do tempo. 
Equação da trajetória. 
 
27 
 
6º- A superfície matemática do sólido chamada de semi-corpo de Rankine no 
plano, pode ser representada por linhas de corrente geradas pela 
superposição de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um 
pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geométrica que pode ser 
representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. Para um 
vento de 20km/h em direção ao monte, pergunta-se: 
 
 
 
a) Qual a velocidade do vento na superfície do monte em um ponto 
verticalmente acima da origem? 
b) Qual o valor da vazão do escoamento do vento entre duas superfícies 
que passam pelos pontos de estagnação e (x=50; y=90)? 
 
 
Solução: 
 
a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine é formado pela superposição de 
um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais 
escoamentos satisfazem a Equação de Laplace podemos dizer que: 
 
ΨU/F = ΨU + ΨF = 
 
• Para Ψ=0: 
 
 
 
• Para θ=pi: 
 
Logo: 
 
28 
 
Ψ0= 
 
• 
 
• 
 
 
• Para Ψ=0: 
 
 
 
 
• Para θ=pi/2: 
 
 
 
 
 
Logo: V= 3,54 îr + 5,56 îθ e V = 6,59 m/s 
 
b) Sabemos que: 
 
• x= r cosθ=50 r=130m 
y= r senθ=120 
• tgθ= =1,18 rad 
 
• 
 
• Na linha de corrente Ψo =0 quando θ=0 e r=h=100: 
 
Ψ0= 
 
 
 
• Sabemos que a vazão pode ser calculada através da diferença entre 
dois psis, Q= Ψo - Ψa, sendo Ψo o ponto de estagnação teremos Ψo =0. 
 
 
Q= Ψo - Ψa= 
 
Q= 319 m³/s 
 
 
 
1112 m³/s 1112 m³/s 
 
29 
 
6. Equação da continuidade e escoamentos (continuação) 
 
1 O escoamentosobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento 
permanente, sem atrito, incompreensível e da esquerda para direita sobre 
um cilindro circular estacionário, de raio a, que pode ser representado pelo 
campo velocidade. 
 
Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento (ρ*=10-3) 
atinge 180 km/h; a temperatura externa é 7,00C. Um barômetro dentro da 
cabana dá uma leitura de 720mm de mercúrio; a pressão atmosférica fora é 
também de 720 mmHg. A cabana tem um diâmetro de 6,0m e um 
comprimento de 24m. Determine a força que tende a levantar a cabana das 
suas fundações. Sabendo que 
 
 
 
‘ 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cilindro: r=a 
 
 
 
 
Sendo, 
 
D=6m 
 L=24m 
 a=3m 
 
30 
 h=720mm=720.10-3m 
 
• Achar P1: 
 
P=ρ.g.h 
 
P1= ρ*Hg.ρágua.g.h 
 
Substituindo os valores, 
 
P1=9,6 Pa 
 
V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s 
 
• Achar V2: 
 
Vr=0 
Vθ=-2.U0.senθ 
|V|=2.U0.senθ 
 
 ρ*=10-3 então, ρ=1 kg/m3 
 
• Achar γ: 
γ= ρ.g 
γ=9,8 N/m3 
 
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 
 
z1=0 z2=a.senθ 
V1=U0 V2=2.U0.senθ 
P1=9,6 Pa P2 
 
Teremos então, 
 
 
 
 Fica assim, 
 
 
 
 
31 
 
• Achar Fa: 
 
 
 
calculando, 
 
 
 
obtém-se, 
 
 
• Achar Fs: 
 
 
 
calculando, 
 
 
 
obtém-se, 
 
 
substituindo os valores, 
 
 
 
 
 
 
 
2 Dado o perfil de velocidade e sabendo que foi 
medido com tubo de pitot uma velocidade V=0,3 m/s no ponto r=0,3a, calcule 
a vazão, sendo a=0,1m e 0≤r≤a. 
 
Solução: 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 r=0,3ª 
 
 
 
 Teremos, 
 
 
 Então, 
 
 
 
 
 
 
 
3 Dado um reservatório com uma saída lateral,achar a vazão que sai quando 
o nível do reservatório não muda.(vazão ideal) 
 
Solução: 
 
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 
 
z1=z z2=0 
V1=0 V2 
P1=Patm P2=Patm 
 
Videal= 
 
• Pela continuidade: 
 
 
 
33 
 
4 Um grande reservatório, com 4,0m de altura de água, em forma 
cilíndrica com diâmetro de 3,2m, possui um pequeno orifício 
lateralmente na sua base com diâmetro de 6,0 cm. O reservatório 
encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifício está aberto jorra água a 
2,0m de distância do orifício. O coeficiente de contração do jato 
medido foi de 0,90. Pergunta-se: 
 
a) Qual o coeficiente de descarga do reservatório, assumindo que o nível 
do reservatório não varia por um tempo de 1,5 horas? 
b) Quanto tempo leva para o nível do reservatório diminua de 1,0m? 
c) Para o caso do item (b) a idealização do item (a) é válida? 
 
 
 
Solução: 
 
H=4m 
 D=3,2m 
 Cc=0,9 
 t=1,5 horas=5,4 seg 
 d=6cm 
 r=3cm=3.10-2m 
Ab=área do bocal 
AR=área do reservatório 
 
-considera-se o reservatório cheio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cd=Cv.Cc 
 Cd=Cv.0,9 
 
 
34 
• achar Cv: 
temos que e que 
 
 substituindo os valores,temos 
 
 
 -então, 
• achar Cd: 
 
Cd=Cv.0,9 
 
 
• achar Ab: 
 
 
 
 
• achar AR: 
 
 
 
 
 
- t>1,5 horas: o nível do reservatório varia, vamos considerar Q0=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variação interna 
 
 0 - . = 
 
 - . = 
 
Desenvolvendo, 
 
Então, 
 
 (1) 
 
• achar a: 
 
 
 
• achar zeq: 
 
-cosiderar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99zeq 
 
 t=1,01.5,4 seg 
 t=5,45 s 
 
então, utilizando a equação (1) 
 
 
teremos, 
 
 
 
• Substituindo os valores , 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
b)Utilizando a equação, 
 
 
 obtemos, 
 
 
 
 
 
 
5 Para o escoamento de um fluido com propriedades físicas constantes entre 
duas placas paralelas fixas, na horizontal, distantes 2ª uma da outra, 
responda o que se segue assumindo que o escoamento é devido a um 
gradiente de pressão constante na direção X (dP/dX). 
a) Para y*=y/a e u=v/Ua, mostre que a equação de Navier-Stokes para 
o problema, depois de assumidas as idealizações de COUETTE,pode 
ser escrita como: 
onde B é uma constante que depende do gradiente de pressão,a,Uo e da 
viscosidade. 
 b) Ache uma expressão adimensional u, levando-se em conta 
as condições de contorno impostas ao problema. 
 c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura 
manométrica de 20mmHg (ρ*=13,6) para o fluido do problema anterior 
escoando entre as placas. Qual a vazão desse escoamento, sabendo-se que 
a=10 cm e U0 é a velocidade medida no tubo de Pitot. 
 
Solução: 
 
- Condições: 
 
 
 
 
 
37 
- Analisando equação de NAVIER-STOKES: 
 
 
 como, 
 
substituindo temos, 
 
 
 
 então, 
 
 
 
a) Adimensionando: 
 
temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
substituindo, 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
derivando, 
 
 
derivando novamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Condições de contorno: 
 
1) U|y*=1=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) V|y*=-1=0 
 
39 
 
 
 
 
 
 
então, 
 
 
c)-achar U0: 
 
• manometria: 
 
 
 
• achar : 
 
 
 
 
 
 
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 
 
z1=0 z2=0 
U0 V2=0 
P1 P2 
 
 
 
 
 
substituindo os valores, 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
Para y=0 a velocidade é máxima 
 
-dimensionando: 
 
y*=y/a e u=v/Ua 
 
substituindo em 
 
 
 
temos, 
 
 
-achar Vmáx: 
 
 como já foi dito Vmáx ocorre quando y=0, então 
 
 
 
 
 
 
-achar Q: 
 
 
 
 
 
substituindo valores, 
 
41 
 
 
 
 
 
6 Usando o princípio da conservação de energia, determine o sentido do 
escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual 
γ=8500 N/m3 e µ=0,05 kg/m.s e ache a vazão deste escoamento em 
litros por segundos. 
 Dado: 
 PA=20 kPa 
 PB=30 kPa 
 L=40 m 
 D=10 cm 
 Inclinação da tubulação:30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
• Para analisar o sentido do escoamento é preciso verificar em qual 
seção há maior energia, então aplicaremos Bernoulli : 
 
 
 
 
 
-pela equação da continuidade : 
 
 e 
 
 
42 
então, 
 
 
consideramos , 
 
 
-analisando a energia no ponto A: 
 
 
 
 
 
 
 
-analisando a energia no ponto B: 
 
 
 
 
 
A energia em A é maior que em B, o fluído escoa de A para B. 
 
• Calculando a vazão: 
 
-condições: 
 
 
 
 
-analisando equação de NAVIER-STOKES: 
 
 
 como, 
 
substituindo temos, 
 
 
43 
 
 
 então, 
 
 
 -condições de contorno: 
 
3) V|r=0=Vmáxc1=0 
 
4) V|r=a=0 
 
 
 
 
então , 
 
 
-achar Q: 
 
 
 
 
 
 
 
-achar K: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
-achar Vmáx: 
 
 
 
 
 
 
 
substituindo os valores, 
 
 
 
 
 
 
 
 
7º- Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido 
viscoso do modo indicado na Figura. O movimento da correia é vertical e 
ascendente e a velocidade da correia é Vo. As forças viscosas provocam o 
arrastamento de um filme de líquido que apresenta espessura h. Note que a 
aceleração da gravidade força o líquido a escoar, para baixo, no filme. 
Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir 
das equações de Navier Stokes. Admita que o escoamento é laminar, 
unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanete. 
 
 
 
Solução: 
 
 
45 
• Nós só consideraremos o componente na direção y do vetor 
velocidade porque a formulação do problema estabelece que o 
escoamento é unidimensional (assim, u=w=0). A equação da 
continuidade indica que . O regime do escoamento é o 
permanente e então . Nestas condições nós encontramos que 
v= v(x). A aplicação da equação de Navier Stokes na direção x e na 
direção z resulta em: e . 
 
• Este resultado indica que a pressão não varia em qualquer plano 
horizontal. Ainda é possível concluir que a pressão no filme é 
constante e igual a pressão atmosférica porque a pressão na 
superfície do filme (x=h) é a atmosférica. Nestas condições, a 
equação do movimento na direção y fica reduzida a: 
 
 
 
 
 
• Integrando a equação acima chegaremos a: 
 
• Condições de contorno: 
 
1ª x=h=0: 
 
 
 
• A segunda integração da equação, , fornece: 
 
 
 
2ª V x=0=V0: 
 
Desta forma: 
 
 
 
 
46 
• A vazão em volume na correia pode ser calculada com este perfil de 
velocidade: 
 
 
 
 
• A velocidade média do filme pode ser definida como . Assim: 
 
 
 
8º- A água escoa em um canal aberto, conforme indicado na figura 
abaixo. Dois tubos de Pitot estão em um manômetro diferencial 
contendo um líquido com ρ*=0,82. Achar uA e uB. Dados: A=3 ft; B=2 ft; 
g=32,17 ft/s². 
 
 
 
• 
 
 
 
 
 
•