Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CALCULO III Domínio, imagem e gráfico de uma função de duas Variáveis Exemplos Exercícios Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções: z= 3 – x – y 2) z = (9-(x2+y2))1/2 3) z= x/y2+1 Representação Geométrica de uma f(x,y) x y z (x,y) z = f(x,y) Uma f(x, y) é representada por planos ou superfícies no espaço Representação Geométrica de uma f(x, y) Já viram que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x, y e y = f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3. Exemplos de funções de 2 variáveis Ex1: A função é z = f(x, y) = 5 A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5. Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y. Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer : a) x = 0 e y = 0 → z = 6 b) x = 0 e z = 0 → y = 2 c) y = 0 e z = 0 → x = 3 Exemplos de funções de 2 variáveis Ex3: A função é z = f(x, y) = x2 + y2 Ex4: A função é z = f(x, y) = (1 − x 2 − y 2)1/2 1) altura em relação ao plano Gráficos - Definição Gráficos O gráfico de uma função de duas variáveis representa uma superfície no espaço. Vejamos mais alguns exemplos: Gráficos - Exemplos Gráficos - Exemplos Diferenças entre 2D e 3D y = 5 z = 5 y = f(x) z = f(x, y) Diferenças entre 2D e 3D y = 2x + 1 z = 2x + 2y + 1 y = x2 + 1 z = x2 + y2 + 1 Diferenças entre 2D e 3D f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4. Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4. Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis f(x, y) = (9 - x2 - y2)0,5, com x e y variando de – 4 a 4. Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis f(x, y) = x + 2y - 1, com x e y variando de – 4 a 4. Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4. Curvas de Nível Como há dificuldade para traçarmos os gráficos de funções de n variáveis, utilizamos as curvas de nível. Uma curva de nível de uma função f(x,y) é o conjunto de todos os pontos tais que, f(x,y)=k. Isso representa um conjunto de planos paralelos ao plano xy que cortam a superfície. Exemplos Função - z=x2+y2 Exemplos Função - z=x2-y2 Exemplos Função - z=4x2+9y2 Exemplos Função - z=x2+2 Exemplos Função - z=y Exercícios Continuidade em funções de duas variáveis Entender as definições formais de limite e de continuidade, Calcular limites de funções de duas variáveis, caso ele exista e, se ele não existir,saber provar a não existência do mesmo. Saber quais são as implicações da continuidade de uma função. Limite de funções de duas variáveis Consideremos uma função f : D → R, onde D é um subconjunto de R2 contendo uma vizinhança deletada do ponto (xo, yo). Dizemos que f (x, y) converge para um número real L, quando (x, y) S tende a (xo, yo) e escrevemos Lim f (x, y) = L, (x,y)→(xo,yo) Limite de funções de duas variáveis Exemplos 1) lim (3x+2y) (x,y)→(1,2) 2) lim (x3y+x2y3-2xy+4) (x,y)→(2,-1) Proposições lim (α f (x, y)) = αL, (x,y)→(xo,yo) lim ( f (x, y) + g(x, y)) = L + M, (x,y)→(xo,yo) lim f (x, y)g(x, y) = LM, (x,y)→(xo,yo) lim f (x,y)/g(x,y) = L/M, se M 0. (x,y)→(xo,yo) Exemplo Lim sen(x+y)/x+1 (x,y)→(0,/2) Lim x2+y2/x+4 (x,y)→(0,3) Lim (x+y)(x3y4) (x,y)→(2,5) Exemplo – Indeterminação Lim (x2-y2)/(x+y) (x,y)→(0,0) Lim 2xy/(x2+y2)1/2 (x,y)→(0,0) Limites envolvendo indeterminação O teste dos dois caminhos No plano existem infinitas maneiras de nos aproximarmos de um dado ponto (xo,yo), a existência do limite lim f (x, y) significa que ele não deve depender de como nos aproximamos do ponto (xo, yo). Em particular, se ao aproximarmos de (xo, yo) através de dois caminhos diferentes, a função f (x, y) tender a valores diferentes, então o limite não existirá. Exemplo (x,y)(0,0) Continuidade de funções de duas variáveis f(xo,yo) – existe Lim f(x,y) – existe (x,y)→(xo,yo) Lim f(x,y) = f(xo,yo) (x,y)→(xo,yo) Exemplos Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0,0). 1 - f(x,y) = xy/x2+y2 2 - f(x,y) 0, (x,y) = (0,0)
Compartilhar