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CALCULO III AULA 1 e 2

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CALCULO III
Domínio, imagem e gráfico de uma função de duas Variáveis
Exemplos
Exercícios
Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
z= 3 – x – y
2) z = (9-(x2+y2))1/2
3) z= x/y2+1 
Representação Geométrica de uma f(x,y)
x
y
z
(x,y)
z = f(x,y)
Uma f(x, y) é representada por planos ou 
superfícies no espaço
Representação Geométrica de uma f(x, y)
Já viram que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x, y e y = f(x).
Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
Exemplos de funções de 2 variáveis
Ex1: A função é z = f(x, y) = 5
A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.
Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer :
a) x = 0 e y = 0 → z = 6
b) x = 0 e z = 0 → y = 2
c) y = 0 e z = 0 → x = 3
Exemplos de funções de 2 variáveis
Ex3: A função é 
 z = f(x, y) = x2 + y2
Ex4: A função é
 z = f(x, y) = (1 − x 2 − y 2)1/2
1)
altura em relação ao plano
Gráficos - Definição
Gráficos
O gráfico de uma função de duas variáveis representa uma superfície no espaço. Vejamos mais alguns exemplos:
Gráficos - Exemplos
Gráficos - Exemplos
Diferenças entre 2D e 3D
y = 5 z = 5
y = f(x) z = f(x, y)
Diferenças entre 2D e 3D
y = 2x + 1 z = 2x + 2y + 1
y = x2 + 1 z = x2 + y2 + 1
Diferenças entre 2D e 3D
f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = (9 - x2 - y2)0,5, com x e y variando de – 4 a 4.
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = x + 2y - 1, com x e y variando de – 4 a 4.
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
Curvas de Nível
Como há dificuldade para traçarmos os gráficos de funções de n variáveis, utilizamos as curvas de nível.
Uma curva de nível de uma função f(x,y) é o conjunto de todos os pontos tais que, f(x,y)=k. Isso representa um conjunto de planos paralelos ao plano xy que cortam a superfície.
Exemplos
Função - z=x2+y2
Exemplos
Função - z=x2-y2
Exemplos
Função - z=4x2+9y2
Exemplos
Função - z=x2+2
Exemplos
Função - z=y
Exercícios
Continuidade em funções de duas variáveis
Entender as definições formais de limite e de continuidade,
Calcular limites de funções de duas variáveis, caso ele exista e, se ele não existir,saber provar a não existência do mesmo.
Saber quais são as implicações da continuidade de uma função.
Limite de funções de duas variáveis
 Consideremos uma função f : D → R, onde D é um subconjunto de R2 contendo uma vizinhança deletada do ponto (xo, yo). Dizemos que f (x, y) converge para um número real L, quando (x, y)  S tende a (xo, yo) e escrevemos
Lim f (x, y) = L,
 (x,y)→(xo,yo)
Limite de funções de duas variáveis
Exemplos
1) lim (3x+2y)
 (x,y)→(1,2)
2) lim (x3y+x2y3-2xy+4)
 (x,y)→(2,-1)
Proposições
lim (α f (x, y)) = αL,
 (x,y)→(xo,yo)
lim ( f (x, y) + g(x, y)) = L + M,
 (x,y)→(xo,yo)
lim f (x, y)g(x, y) = LM,
 (x,y)→(xo,yo)
lim f (x,y)/g(x,y) = L/M, se M  0.
 (x,y)→(xo,yo)
Exemplo
Lim sen(x+y)/x+1
 (x,y)→(0,/2)
Lim x2+y2/x+4
 (x,y)→(0,3)
Lim (x+y)(x3y4)
(x,y)→(2,5)
Exemplo – Indeterminação
Lim (x2-y2)/(x+y)
 (x,y)→(0,0)
Lim 2xy/(x2+y2)1/2
 (x,y)→(0,0)
Limites envolvendo indeterminação
O teste dos dois caminhos
 No plano existem infinitas maneiras de nos aproximarmos de um dado ponto (xo,yo), a existência do limite lim f (x, y) significa que ele não deve depender de como nos aproximamos do ponto (xo, yo). Em particular, se ao aproximarmos de (xo, yo) através de dois caminhos diferentes, a função f (x, y) tender a valores diferentes, então o limite não existirá.
Exemplo
(x,y)(0,0)
Continuidade de funções de duas variáveis
f(xo,yo) – existe
Lim f(x,y) – existe
 (x,y)→(xo,yo)
Lim f(x,y) = f(xo,yo) 
 (x,y)→(xo,yo)
Exemplos
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0,0).
1 - f(x,y) = xy/x2+y2
2 - f(x,y) 
0, (x,y) = (0,0)

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