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Derivadas Parciais

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Funções de várias variáveis
		Derivadas Parciais
Discutiremos o caso de funções de duas variáveis independentes, que permitem uma visualização gráfica, possibilitando desta maneira, uma tradução simples do conceito de derivadas parciais. Mas, os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funções com um número maior de variáveis.
*
Funções de várias variáveis
		Definição
	Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais, a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (x0,y0), designada por (x0,y0), é a derivada dessa função em relação a x aplicada no ponto (x0,y0), mantendo-se y constante, Analogamente, em relação a y aplicada no ponto (x0,y0), designando por mantendo-se x constante.
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Funções de várias variáveis
Exemplo 1
Calcule a derivadas parciais da função f(x,y) = yx3 + xy2. 
*
Funções de várias variáveis
Exemplo 2
Calcule as derivadas parciais da função no ponto (1,2).
1.º método
*
Funções de várias variáveis
Exemplo 2
2.º método
Encontramos a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (1,2) fazendo y=2 e derivando a função para uma única variável.
*
Funções de várias variáveis
Analogamente, para x=1:
Logo, 
e
*
Funções de várias variáveis
*
Funções de várias variáveis
Interpretação geométrica
Sob a ótica geométrica, a obtenção das derivadas parciais nos dá a intersecção da curva com o plano de y (ou de x), já que uma das variáveis se mantém constante enquanto calcula-se a derivada da outra.
Manter x (ou y) constante significa interceptar a superfície definida pelo gráfico de f com o plano x = x0 (ou y = y0).
*
Funções de várias variáveis
1)Seja z=6-x2-y2. Encontrar a inclinação da reta tangente a curva C2, resultante da intersecção de z com x=2 no ponto (2,1,1).
2)Seja z=2x2+5y2x-12x. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C1, resultante da interseção de z=f(x,y) com y=1, no ponto (2,1,-6).
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Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais de ordens superiores
Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos.
Exemplo
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = 2x3.e5y. 
Temos que:
*
Funções de várias variáveis
Portanto, a segunda derivada, em relação a x é:
E a segunda derivada, em relação a y é:
*
Funções de várias variáveis
Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x:
E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y:
*
Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais de ordens superiores
As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são chamadas de puras ;
As duas últimas são chamadas de mistas.
*
Funções de várias variáveis
Notação
Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo:
*
Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais de ordens superiores
Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.
Proposição
Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal que as derivadas existem e são contínuas nessa vizinhança, então .
*
Exemplos
Dada a função f(x,y)=x3y+x2y4, determinar sua derivadas parciais de segunda ordem.
Dada a função f(x,y)=sen(2x+y) determinar fxy e fyx.
*
Funções de várias variáveis
Regra da Cadeia
A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis.
Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).
*
Funções de várias variáveis
A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão:
			P = p(x(t) , y(t)) = P(t)
A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:
			
*
Funções de várias variáveis
Exemplo
Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis.
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Funções de várias variáveis
Exemplo
*
Funções de várias variáveis
Exemplo
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
*
Funções de várias variáveis
Aplicação
A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no plano XOY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2.
Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1, 2) e na direção de OY;
Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção decrescente do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui?
*
Funções de várias variáveis
Solução
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Funções de várias variáveis
Bibliografia utilizada:
Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992.
Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006.
Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979.
Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.
Ricieri, A.P. Matemática aplicada à vida. Prandiano. São Paulo, s/d. n.º 5/2.

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