análise combinatória e probabilidade

Prévia do material em texto

Análise Combinatória 
e Probabilidades
Hercules Sarti
Adaptada por Antonio Fernando Silveira Alves
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Análise Combinatória e 
Probabilidades, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâ-
mico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 ANÁLISE COMBINATÓRIA ............................................................................................................... 7
1.1 Combinações Simples ...................................................................................................................................................7
1.2 Arranjos Simples ..............................................................................................................................................................7 
1.3 Permutações Simples .....................................................................................................................................................8
1.4 Fatorial .................................................................................................................................................................................8
1.5 Princípio Fundamental da Contagem......................................................................................................................9
1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações ....................................................................9
1.7 Combinações Complementares .............................................................................................................................11
1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ,( )n pAR ..........................................................................................................12
1.9 Permutações com Elementos Repetidos .............................................................................................................12
1.10 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................13
1.11 Atividades Propostas ................................................................................................................................................14
2 PROBABILIDADES ............................................................................................................................... 19
2.1 A Teoria das Probabilidades ......................................................................................................................................19
2.2 Probabilidade Condicional .......................................................................................................................................22
2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total ...................................................................................................23
2.4 Independência de Eventos .......................................................................................................................................24
2.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................26
2.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................27
3 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ................................................................................... 37
3.1 Distribuição de Bernoulli ...........................................................................................................................................37
3.2 Distribuição Geométrica ............................................................................................................................................38
3.3 Distribuição Binomial ..................................................................................................................................................39
3.4 Distribuição de Poisson ..............................................................................................................................................40
3.5 Distribuição Normal .....................................................................................................................................................41
3.6 Aproximação da Binomial pela Normal ...............................................................................................................42
3.7 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................43
3.8 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................43
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 47
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 49
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 55
ANEXO ............................................................................................................................................................. 57
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
5
INTRODUÇÃO
Este material busca apresentar a você, aluno(a) da área de Ciências Exatas, na modalidade a dis-
tância, um estudo a respeito da Análise Combinatória e Probabilidades como parte fundamental da área 
de Matemática, relacionada com a formação para a disciplina de Estatística, que será apresentada nos 
próximos módulos. 
Os Problemas de Contagem que dão origem à Análise Combinatória são conceitos que antecedem, 
na maioria dos livros, os estudos relacionados com a Teoria das Probabilidades. Os conhecimentos de 
probabilidade são fundamentais para estudos estatísticos, visto que as pesquisas trabalham com possi-
bilidades.
Em Combinatória veremos, inicialmente, os conteúdos referentes a Fatorial, Combinações, Arranjos 
e Permutações. Em continuidade, estudaremos as Combinações Complementares, os Arranjos com Re-
petição e as Permutações com Elementos Repetidos. Numa segunda etapa, faremos o estudo da Teoria 
das Probabilidades, incluindo a Probabilidade Condicional, a Independência de Eventos e os Teoremas 
da Multiplicação e da Probabilidade Total. Completando o estudo das Probabilidades, iremos trabalhar 
com as Distribuições de Probabilidades, destacando as Distribuições de Poisson, Binomial e Normal.
Espera-seque, com o término deste módulo, você tenha atingido os objetivos propostos para esta 
disciplina, e que ela contribua de forma significativa para a sua formação.
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
7
ANÁLISE COMBINATÓRIA1
Caro(a) aluno(a), neste capitulo iremos tra-
tar dos problemas de contagem, que são a base 
da Análise Combinatória.
A Análise Combinatória visa a desenvol-
ver métodos que permitam contar o número de 
elementos de um conjunto, sendo que esses ele-
mentos são agrupamentos formados sob certas 
condições.
Os agrupamentos a serem estudados divi-
dem-se em Permutações, Arranjos e Combina-
ções.
Neste momento, queremos destacar que 
a realização de uma leitura atenta, detalhada e 
minuciosa é um item fundamental para um bom 
encaminhamento da estratégia de resolução a ser 
empregada em cada problema.
1.1 Combinações Simples
Seja A um conjunto com n elementos. Os 
subconjuntos de A com p elementos constituem 
agrupamentos que são chamados combinações 
dos n elementos de A, p a p. Nas combinações, os 
agrupamentos diferem entre si apenas pela natu-
reza de seus elementos.
Exemplo 1: Se A = {1, 3, 5, 7}, são combina-
ções dos 4 elementos de A, 3 a 3, os agrupamen-
tos:
{1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7} e {1, 5, 7}.
1.2 Arranjos Simples
Se A é um conjunto com n elementos, as 
sucessões com p elementos distintos, escolhidos 
em A, constituem agrupamentos que são chama-
dos arranjos dos n elementos de A, p a p. Nos ar-
ranjos, os agrupamentos diferem entre si apenas 
pela ordem de seus elementos.
DicionárioDicionário
Arranjo: s.m. Boa disposição, ordem.
Em matemática: as várias maneiras que se pode 
formar um certo número de quantidades, reunin-
do-as em qualquer ordem, duas a duas, três a três 
etc.
Observe que no arranjo e na combinação iremos 
utilizar apenas parte dos elementos do conjunto 
dado.
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
8
Exemplo 2: Se A = {1, 3, 5, 7}, os arranjos dos 
4 elementos de A, 3 a 3, são as seguintes suces-
sões com 3 elementos:
(1, 3, 5), (1, 5, 3), (3, 1, 5), (3, 5, 1), (5, 1, 3), (5, 3, 1)
(1, 3, 7), (1, 7, 3), (3, 1, 7), (3, 7, 1), (7, 1, 3), (7, 3, 1)
(1, 5, 7), (1, 7, 5), (5, 1, 7), (5, 7, 1), (7, 1, 5), (7, 5, 1)
(3, 5, 7), (3, 7, 5), (5, 3, 7), (5, 7, 3), (7, 3, 5), (7, 5, 3).
Se A tem n elementos, as sucessões forma-
das com os n elementos de A, usando cada um 
deles uma só vez em cada agrupamento, são 
chamadas permutações dos n elementos de A. 
Pode-se dizer que as permutações são arranjos 
onde p = n.
Exemplo 3: Se A = {1, 3, 5, 7}, as permuta-
ções dos 4 elementos de A, são as sucessões com 
4 elementos:
(1, 3, 5, 7), (1, 3, 7, 5), (1, 7, 3, 5), (1, 7, 5, 3), (1, 5, 3, 7), (1, 5, 7, 3),
(3, 1, 5, 7), (3, 1, 7, 5), (3, 7, 1, 5), (3, 7, 5, 1), (3, 5, 7, 1), (3, 5, 7, 1),
(5, 1, 3, 7), (5, 1, 7, 3), (5, 3, 1, 7), (5, 3, 7, 1), (5, 7, 1, 3), (5, 7, 3, 1),
(7, 1, 3, 5), (7, 1, 5, 3), (7, 3, 1, 5), (7, 3, 5, 1), (7, 5, 1, 3), (7, 5, 3, 1).
1.3 Permutações Simples
Olá pessoal, vocês já ouviram falar de fato-
rial?
Ao produto n (n 1) (n 2) 3 2 1⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
vamos representá-lo simplesmente por n! (lê-se: 
n fatorial) com n ∈ N.
Exemplo 4: Observe os fatoriais a seguir:
DicionárioDicionário
Permuta: s.f. Troca, intercâmbio, permutação.
Sinônimos de permuta: comuta, mudança e troca.
Observe que, como o próprio significado demons-
tra, permuta significa uma troca, uma alteração na 
posição, na ordem dos elementos e que nesta si-
tuação iremos utilizar todos os elementos do con-
junto dado.
1.4 Fatorial
8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
5! 5 4 3! 5 4 3 2 1 120= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
n! n (n 1)!= ⋅ −
(n 1)! (n 1) n!+ = + ⋅
(n 1)! (n 1) (n 2)!− = − ⋅ − 
Observação: Vamos adotar como verdade 
que 0! = 1.
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
9
Os problemas de Análise Combinatória são, 
basicamente, problemas de contagem. A aborda-
gem desses problemas é baseada num fato, de 
fácil comprovação, denominado Princípio Fun-
damental da Contagem ou Regra do Produto.
Um acontecimento é composto de dois es-
tágios sucessivos e independentes. O primeiro 
estágio pode ocorrer de m modos distintos; em 
seguida, o segundo estágio pode ocorrer de n 
modos distintos. Nessas condições, dizemos que 
o número de maneiras distintas de ocorrer esse 
acontecimento é igual ao produto m n⋅ . 
Exemplo 5: Um estudante, ao se inscrever 
no Concurso para Vestibular, deve escolher o Cur-
so e a Faculdade que deseja cursar. Sabe-se que 
1.5 Princípio Fundamental da Contagem
existem cinco cursos possíveis: Engenharia, Medi-
cina, Odontologia, Administração e Direito. Cada 
curso pode ser feito em três faculdades possíveis: 
Estadual, Federal e Particular. Nessas condições, 
qual o número total de opções que o estudante 
pode fazer? 
Resolução: Pelo Princípio Fundamental da 
Contagem, usamos a regra do produto.
5 cursos x 3 faculdades = 15 opções de es-
colha.
Resposta: O estudante pode fazer 15 op-
ções.
1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações
AtençãoAtenção
Os arranjos são agrupamentos em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos 
componentes.
 
 
,
!
( )!n p
nA
n p
=
− ( , N, n p)n p ∈ ≥
As permutações são agrupamentos ordenados em que em cada grupo entram todos os elementos.
 
!nP n= ( N)n ∈
As combinações são agrupamentos em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos 
componentes.
 
,
!
!( )!n p
nC
p n p
=
− ( , N, n p)n p ∈ ≥
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
10
Uma das principais dificuldades encontra-
das pelos estudantes ao se defrontarem com a 
resolução de exercícios de análise combinatória 
consiste exatamente em identificar qual o tipo de 
agrupamento que devemos aplicar na resolução 
do problema proposto.
Para que se tenha sucesso na resolução 
dos problemas propostos e conseguir identificar 
qual o tipo de agrupamento que será necessário 
para sua resolução, é imprescindível uma leitura 
atenta, detalhada e minuciosa do enunciado do 
problema proposto, e que o aluno domine ple-
namente as características fundamentais de cada 
tipo de agrupamento.
Para isso, sugerimos a você, prezado(a) 
aluno(a), que diante de cada problema proposto, 
efetue sempre estes questionamentos a seguir, 
para que consiga identificar qual o tipo de agru-
pamento envolvido na resolução de cada proble-
ma:
1. Estamos utilizando todos os elementos 
do conjunto ou parte deles?
Todos os elementos = PERMUTAÇÃO
(SIMPLES OU COM REPETIÇÃO)
No caso de utilizarmos todos os elementos, 
do conjunto dado, analise de acordo com o 
enunciado se o problema proposto permi-
te ou não repetição dos elementos.
Não = PERMUTAÇÃO SIMPLES 
Sim = PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
2. Estamos utilizando todos os elementos 
do conjunto ou parte deles?
Parte dos elementos = ARRANJO (SIMPLES 
OU COM REPETIÇÃO) ou COMBINAÇÃO
3. O Agrupamento com parte dos ele-
mentos é ORDENADO ou NÃO ORDE-
NADO?
Ordenado = ARRANJO 
(SIMPLES OU COM REPETIÇÃO)
O Agrupamento Ordenado com parte dos 
elementos permite ou não REPETIÇÃO?
Não = ARRANJO SIMPLES
Sim = ARRANJO COM REPETIÇÃO
4. O Agrupamento com parte dos ele-
mentos é ORDENADO ou NÃO ORDE-
NADO?
Não Ordenado = COMBINAÇÃO
Exemplo 6: Com 12 pessoas, de quantos 
modos podemos formar um grupo de 4 pessoas?
Vamos treinar os procedimentos indicados?
De acordo com o enunciado, o agrupamen-
to a ser formado irá utilizar todos os elementos ou 
parte deles?
Perceba que iremos formar um grupo de 4 
pessoas entre um total de 12 pessoasdisponíveis. 
Logo, estamos utilizando parte dos elementos.
Consequentemente, sabemos que teremos 
uma situação de Arranjo ou de Combinação.
O que difere uma situação de Arranjo de 
uma de Combinação? É a ordem dos elementos 
do agrupamento a ser formado.
Vamos supor que no exemplo acima as 4 
pessoas escolhidas sejam as pessoas denomina-
das por A, B, C e D.
Para identificar se o agrupamento é ordena-
do ou não podemos efetuar o seguinte questio-
namento:
De acordo com o enunciado, o agrupamen-
to {A,B,C,D} é diferente do agrupamento {D,A,C,B}? 
Ou seja, esses dois agrupamentos e todos os de-
mais agrupamentos possíveis de serem formados 
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
11
com esses 4 elementos devem ser contados indi-
vidualmente, ou serem considerados todos idên-
ticos e, consequentemente, serem contabilizados 
apenas uma única vez?
Perceba que de acordo com o enunciado, a 
ordem dos elementos não é importante. Logo, to-
dos os agrupamentos possíveis de serem forma-
dos com os elementos A,B,C,D, alterando apenas 
a ordem destes, devem ser considerados idênti-
cos e contados apenas uma única vez.
Estamos, portanto, diante de um agrupa-
mento, que utiliza parte dos elementos e não or-
denado. Isso nos leva a identificar que o problema 
refere-se a um caso de Combinação. 
Numa situação de Arranjo, temos um agru-
pamento ordenado, ou seja, a ordem dos elemen-
tos é importante, e isso faz com que cada agrupa-
mento seja contado individualmente. No caso de 
uma situação semelhante ao exercício proposto 
acima, teríamos um caso de Arranjo, se, por exem-
plo, a primeira pessoa A fosse ocupar um cargo 
de presidente, a segunda pessoa C fosse ocupar o 
cargo de vice-presidente, a terceira pessoa D fos-
se ocupar o cargo de secretário e a quarta pessoa 
B fosse ocupar o cargo de tesoureiro.
Perceba que, se alteramos a ordem dos 
elementos nessa situação, os agrupamentos 
{A,B,C,D} e {A,C,D,B} seriam considerados diferen-
tes e contabilizados individualmente, assim como 
com todos os outros agrupamentos de 4 elemen-
tos possíveis de serem formados com A,B,C,D.
Vamos agora à resolução do problema pro-
posto.
Resolução: 
12,4
12! 12.11.10.9.8! 495
4!(12 4)! 4.3.2.1.8!
C = = =
−
Exemplo 7: Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 9:
a) Quantos números com 3 algarismos 
distintos podemos formar?
b) Quantos números com 5 algarismos 
distintos podemos formar?
Antes de verificar a resolução, tente identifi-
car qual o tipo de agrupamento envolvido. Repita 
os questionamentos indicados!
Pense a respeito!
Conseguiu? Identificou?
Veja se acertou!
Resolução: 
a) ,
! 5! 120 60
( )! (5 3)! 2!n p
nA
n p
= = = =
− −
b) 120!5! === nPn
1.7 Combinações Complementares
Considere a seguinte relação:
, ,n p n n pC C −= 
Demonstração:
,
!
!( )!n p
nC
p n p
=
− 
(Trocam-se os fatores do denominador)
,
!
( )! !n p
nC
n p p
=
− 
(Acrescenta-se e subtrai-se n no 2º fator do 
denominador)
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
12
, ,
!
( )![ ( )]!n p n n p
nC C
n p n n p −
= =
− − −
Portanto, a relação é válida.
, ,n p n n pC C −=
Exemplo 8: Observe as igualdades:
a) 10,7 10,3C C=
b) ,7 , 7a a aC C −=
Observação: Se fizermos p = n, temos: 
0,, nnn CC = . Porém, 1, =nnC , pois o único 
subconjunto com n elementos que podemos 
obter de um conjunto A, que por sua vez tem n 
elementos, é o próprio conjunto A. Também sa-
bemos que A tem apenas um subconjunto com 
“zero elemento”, que é o conjunto vazio.
Então: 10,, == nnn CC
,0
! ! 1
0!( 0)! 0! !n
n nC
n n
= = =
− , por coe-
rência 1!0 = .
1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ,( )n pAR
Exemplo 9: Quantos números de 3 algaris-
mos podemos formar com os dígitos de 1 a 9?
Resolução: Nesse caso, temos nove algaris-
mos que podem ocupar a “casa” da centena, nove 
para ocupar a “casa” da dezena e nove para ocu-
par a “casa” da unidade:
3 9 729
9 9 9
= =
Através do exemplo, pode-se concluir a se-
guinte relação:
,( )
p
n pAR n=
1.9 Permutações com Elementos Repetidos
Exemplo 10: Quantos anagramas têm a pa-
lavra ARCADA?
Resolução: A palavra possui seis letras, te-
mos: 720!66 ==P
Porém, há três letras A, o que nos leva ao 
cálculo: 6!33 ==P
Portanto, temos: 120
6
720
= anagramas.
Valem as seguintes relações:
1 elemento repetido: !
!
a
nPan =
2 elementos repetidos: !!
!,
ba
nP ban ⋅
= 
3 elementos repetidos: !!!
!,,
cba
nP cban ⋅⋅
= 
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
13
Saiba maisSaiba mais
“O médico, matemático, astrólogo e filósofo italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) era filho de pais solteiros. Por isso foi 
enjeitado, antes mesmo de nascer: o seu pai pensou em provocar aborto, mas não o fez porque era crime que levava o con-
denando à pena morte. O pai de Gerolamo era um intelectual que se dedicava à medicina, a advocacia, a matemática e às 
ciências ocultas. Instigado pelo pai, o filho também se formou em medicina após estudar em Pavia e Padua. Ganhou fama e 
dinheiro como médico, o que abriu novos caminhos e o levou, depois, a aceitar o convite para lecionar nas Universidades de 
Pavia, Milão e Bolonha. Por sobreviver a tanta rejeição tinha de ser predestinado, isso o levou a ser igualado aos gênios da épo-
ca. Cardano era multifacetado, filósofo que professava o naturalismo, sempre ao lado dos cientistas mais ousados, na dianteira 
do pensamento. Como filósofo e mestre, considerava o mundo e tudo que nele habita seres viventes e animados, donos de 
vida própria. Em razão disso sempre direcionou os estudos e ensinamentos no rumo do experimentalismo, da ousadia. Des-
cobriu que a ciência sempre mostrava duas faces, dualidade que sempre explorou: astronomia-astrologia, química-alquimia, 
religião-filosofia, espiritualidade-natureza, matemática-jogo de azar. A obra matemática pela qual Cardano ficou conhecido 
é a Arte Maior, onde ele publica as soluções das equações cúbicas e quátricas, que até então estavam inéditas. À margem 
dessa publicação, um livreiro com o olhar de comerciante viu possibilidades de ganho num pequeno manual do jogador 
intitulado O livro dos jogos de azar. Alguns críticos afirmam que esta foi sua contribuição maior para a ciência matemática. 
Simplesmente porque, neste livro, Cardano inventa, por vias indiretas, a eqüiprobabilidade, que tem como principal objetivo 
o de transformar a esperança – que até então era uma coisa utópica, não real – numa possibilidade matemática. Cardano 
transformou a teoria da probabilidade nos jogos de azar em algo que se pode chamar de pré-história da relatividade. Segun-
do ele explica, a eqüiprobabilidade é uma constante na qual o montante exato da aposta a ser feita por um jogador, tem a 
probabilidade [ p ] de ganhar a importância [ s ]. 
Estabeleceu, assim, a lei pn = pn, que dá a possibilidade que o evento de probabilidade p ocorra independente n sucessivas 
vezes. Cardano montou a tábua de probabilidades para danos e a lei dos grandes números, questões que foi pioneiro. Gero-
lamo também ensina no livro como trapacear nos jogos de azar. Mas o quê importa esse detalhe diante do vanguardismo da 
obra científica que resultou da eqüiprobabilidade? Convém lembrar que no Século XVI o jogo, não era considerado apenas 
um passatempo. Em pouco tempo cresceu em popularidade, foi levado para os salões oficiais e começou a ser realizado tam-
bém nas residências. Mas a freqüência foi tão grande que obrigou os viciados a fundarem casas reservadas para essa única 
finalidade, nas quais os jogadores se reuniam para apostar a dinheiro. Gerolamo, que não tinha aporte financeiro por parte do 
pai, se iniciou na jogatina ainda estudante parasuprir os gastos com as diversões naturais da idade. E foi assim que nasceram 
os cassinos, os bingos, as casas de jogos: nela os cientistas – à margem dos perigos da inquisição que logo incendiariam as 
mentes e os livros – procuravam se divertir e, ao mesmo tempo, discutiam, entre baforadas e taças de vinho, as suas teorias 
fantásticas. Deste Gerolamo Cardano se sabia que era um jogador viciado, mas era também um gênio. Em sua autobiografia 
De própria vita, Cardano confessa que jogou xadrez cotidianamente por mais de 40 anos! Também jogou carteado, dados, 
gamão e tantos outros jogos de azar por mais de 25 anos. Sendo cientista e matemático é pouco provável que Gerolamo 
Cardano não tivesse o cuidado de fazer análises, estudos e teorias sobre o jogo de xadrez.”
Fonte: http://pt.shvoong.com/exact-sciences/1695140-cardano-jogador-xadrez/ 
Neste capítulo, trabalhamos com os problemas de contagem. Eles se dividem em dois tipos:
Os Arranjos, que incluem também as Permutações, são agrupamentos em que um grupo é diferen-
te de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Nesse caso, a ordem dos elemen-
tos gera novo agrupamento.
O outro tipo são os problemas de Combinações, em que um grupo é diferente de outro apenas 
pela natureza dos elementos componentes.
Os Arranjos, Permutações e Combinações utilizam-se da notação fatorial para facilitar os cálculos 
dessas contagens. 
1.10 Resumo do Capítulo
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
14
1. São dados 5 pontos A, B, C, D, E, representados abaixo. Quantas retas distintas eles determi-
nam?
2. Certo aluno descobre, numa livraria, 4 livros de seu interesse. Se ele só pode comprar dois de-
les, de quantos modos poderá fazê-lo?
3. Quatro times de futebol disputam um torneio, no qual são atribuídos prêmios ao campeão e ao 
vice-campeão. De quantos modos os prêmios podem ser atribuídos?
4. Quatro cidades A, B, C, D são interligadas por vias férreas, conforme a figura a seguir. Os trens 
movimentam-se apenas em linha reta, ligando duas cidades. Para atender a todos os passa-
geiros, quantos tipos de passagem devem ser impressos? (As passagens de “ida” e “volta” são 
bilhetes distintos).
5. Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis? (Não são admitidos 
empates).
6. A diretoria de um clube é formada por três membros: presidente, secretário e tesoureiro. Três 
candidatos disputam os cargos, tendo ficado decidido que o mais votado será o presidente, o 
2º lugar, secretário e o 3º lugar será o tesoureiro. De quantos modos a diretoria pode ser com-
posta? (Não se admitem empates nas votações).
7. Simplifique:
12!a)
9!
=
15!b)
5!.10!
=
1.11 Atividades Propostas
B
A
D C
.
.
.
.
.A
B
C
DE
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
15
8. Resolva as equações:
a) n! 12 (n 1)!= ⋅ −
b) (n 2)! 20 (n 4)!− = ⋅ −
c) ( ) [ ]2 2n! (n 1)! 25= − ⋅
9. Quantos números com dois algarismos diferentes podemos formar com os dígitos de 1 a 9?
10. Quantos anagramas tem a palavra HOJE?
11. De quantos modos 6 pessoas podem sentar em 6 cadeiras alinhadas?
12. Sendo n um número inteiro positivo tal que ( 2)12n nP P −= ⋅ , calcule n.
13. Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos modos poderão se 
acomodar para uma viagem quando:
a) só uma pessoa sabe dirigir?
b) duas pessoas sabem dirigir?
c) todos sabem dirigir?
14. Com 7 professores, de quantos modos podemos formar uma comissão de 3 professores?
15. Quantas diagonais tem um heptágono?
16. Resolva as equações:
a) 2,3, .3 nn CC =
b) 2,4, .5.2 nn CC = 
17. Quantos anagramas da palavra LIVRO começam pela L?
18. Quantos números com 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 7?
19. Quantos triângulos podem ser obtidos tendo vértices em três quaisquer dos vértices de um 
decágono?
20. Encontre n, sabendo que ,4 ,348.n nA C= .
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
16
21. Encontre os valores de n e m, sabendo que:
7,87, . mn CPA = e 78,7, .PCA nm =
22. Qual o número de modos distintos de se repartir um grupo de 7 pessoas em dois grupos, tendo 
um deles quatro pessoas?
23. Com 3 goleiros e 10 jogadores que jogam em qualquer outra posição:
a) De quantos modos um time de futebol de salão pode ser formado?
b) Em quantos deles sempre figura um determinado jogador J, não goleiro?
c) Em quantos deles nunca figura o jogador J?
24. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, sendo que o 7 
sempre é o algarismo da unidade de milhar?
25. Quantos anagramas tem a palavra LICOROSO?
26. Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA começam por M?
27. Qual o número de anagramas da palavra CARMO, onde as letras C e A aparecem juntas?
28. Dados 6 pontos coplanares, dos quais não há 3 colineares, qual é o número de retas que podem 
ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos?
29. Dados 6 pontos coplanares, 3 dos quais são colineares, qual é o número de retas que podem ser 
obtidas passando por dois quaisquer desses pontos?
30. Com 8 professores, de quantos modos podemos formar uma banca com 3 membros em que 
figure sempre um determinado professor?
31. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais não são coplanares, qual é o número de planos que 
podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
32. Dados 10 pontos do espaço, dos quais exatamente 6 são coplanares, qual é o número de pla-
nos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
33. Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. De quantos modos diferentes 
pode ocorrer a chegada dos 3 primeiros colocados?
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
17
34. Utilizando os algarismos 1, 2, 5, 7 e 8, quantos números naturais pares podemos escrever com:
a) 4 algarismos?
b) 4 algarismos distintos?
35. Uma pessoa pretende colocar 7 livros numa estante, um ao lado do outro. Entre esses livros, há 
4 romances e 3 ficções científicas.
a) De quantos modos esses livros podem ser dispostos na estante?
b) De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que dois romances não fiquem 
juntos?
36. Em nosso sistema de numeração, quantos números naturais ímpares de 4 algarismos apresen-
tam algarismos repetidos?
37. Quantos anagramas são possíveis formar com as letras da palavra LUCRO?
38. Quantos anagramas formados com as letras da palavra PESCADOR:
a) começam e terminam com uma consoante?
b) começam com uma vogal e terminam com uma consoante?
c) apresentam as vogais juntas e em ordem alfabética?
d) apresentam as vogais juntas e em qualquer ordem?
39. Daniele possui uma pequena coleção de latinhas de cerveja, sendo 4 de marcas nacionais e 6 
de marcas estrangeiras. De quantos modos Daniele pode colocar as latinhas numa prateleira, 
uma ao lado da outra, de modo que as nacionais fiquem juntas e as estrangeiras fiquem juntas, 
em qualquer ordem?
40. Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas. De quantos modos 
podem-se enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca fiquem juntas?
41. Seja E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) Quantos subconjuntos de 3 elementos E possui?
b) Quantos números com 3 algarismos distintos de E é possível escrever?
42. Uma empresa pretende sortear 2 automóveis diferentes entre as 12 top models que foram ca-
pas de uma revista ao longo de 1 ano. O sorteio será realizado em duas etapas. Primeiro serão 
sorteadas 6 finalistas. Em seguida, os 2 automóveis serão sorteados entre as finalistas.
a) De quantas maneiras diferentes pode resultar o grupo de 6 finalistas?
b) Uma vez definidas as finalistas, de quantas maneiras pode ocorrer a premiação?
Hercules Sarti
Unisa| Educação a Distância | www.unisa.br
18
43. Com vértices nos pontos dados sobre as retas, quantos triângulos são possíveis construir no 
caso abaixo?
 A B C D E 
K L M N 
 
44. Para 3 alunos que ficaram em recuperação, um professor preparou 9 questões, sendo 3 para 
cada aluno. De quantas maneiras o professor poderá distribuir as questões entre os recuperan-
dos?
45. Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantas 
juntas diferentes são possíveis formar, de modo que entre os integrantes haja: 
a) 3 cardiologistas e 2 pediatras?
b) No mínimo um pediatra?
c) No máximo um pediatra?
46. De um baralho de 52 cartas, são eliminadas todas as cartas com os números 8, 9 e 10. Com o 
restante do baralho, quantos jogos de 4 cartas é possível formar, de modo que entre elas haja:
a) exatamente um ás?
b) pelo menos um ás?
c) exatamente duas figuras?
d) pelo menos duas figuras?
e) no máximo duas figuras?
47. Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. No entanto, dois desses amigos 
têm fortes diferenças pessoais. De quantas maneiras pode ser formado o grupo dos 4 convida-
dos, de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas?
48. Pretende-se distribuir 12 bolinhas vermelhas, 11 azuis e 13 pretas entre dois meninos. Cada 
menino deve receber no mínimo 5 bolinhas de cada cor. De quantas maneiras pode ser feita a 
distribuição?
49. Quantos números naturais de 7 algarismos distintos são possíveis formar utilizando todos os 
algarismos do número 1 234 567?
50. Quantos números naturais ímpares são possíveis escrever permutando os algarismos do nú-
mero 6 725 727?
51. Com n letras iguais a A e 3 letras iguais a B formam-se um total de 8n + 16 permutações. Calcule 
n.
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
19
Durante o século XVII, com os chamados 
jogos de azar, surgiram os primeiros estudos de 
probabilidade. Apesar de ter origem através dos 
jogos de azar, a probabilidade tornou-se funda-
mental para conhecermos as chances que dispo-
mos para tomarmos decisões.
Quando se pensa numa probabilidade, 
dispõe-se de algo incerto, mas que oferece cer-
to grau de confiança ou possibilidade de ocorrer. 
Para medir o grau de confiança que se deposita 
em certas afirmações ou experimentos, define-se:
PROBABILIDADES2
2.1 A Teoria das Probabilidades
Probabilidade é o número que resulta da 
divisão do número de casos favoráveis a um 
evento pelo número total de casos possíveis.
Exemplo 11: Qual a probabilidade de se 
obter face ímpar numa única jogada de dado?
Resolução: Um dado tem o total de seis fa-
ces: F1, F2, F3, F4, F5 e F6. 
As faces ímpares são três: F1, F3 e F5.
Probabilidade de F1 F3 F5 3 Faces 3 1 0,5
F1 ou F3 ou F5 F1 F2 F3 F4 F5 F6 6 Faces 6 2
  + +
= = = = =  + + + + + 
Pode-se, então, utilizar a fórmula:
p
fXP =)(
Onde:
P(X) é a probabilidade de ocorrer o evento 
X;
f é o número de casos favoráveis à ocor-
rência de X;
p é o número de casos possíveis.
Sejam A e B dois eventos, então A ∪ B será 
também um evento que ocorrerá se, e somente 
se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. Diz-se que A ∪ 
B é a união entre o evento A e o evento B.
Sejam A e B dois eventos, então A ∩ B será 
também um evento que ocorrerá se, e somente 
se, A e B ocorrerem simultaneamente. Define-
-se que A Ç B é a interseção entre o evento A e 
o evento B. Em particular, se A ∩ B = ∅, A e B são 
chamados mutuamente exclusivos.
Seja A um evento, então o evento comple-
mentar de A (indicado por: Ac) será também um 
evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocor-
rer.
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
20
A seguir, seguem alguns teoremas impor-
tantes a respeito de probabilidades:
T1: a probabilidade do evento certo é igual 
a 1.
T2: se A Ì B (lê-se: A está contido em B), en-
tão P(A) £ P(B). 
T3: se A é um evento, então 1)(0 ≤≤ AP .
T4: se A e B são eventos, então 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .
Observação: Se A e B são mutuamente 
exclusivos (A ∩ B = ∅), então: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
T5: se A é um evento, então o evento 
complementar de A terá probabilidade 
)(1)( APAP c −= .
Exemplo 12: Uma urna contém 50 bolas 
idênticas; se as bolas forem numeradas de 1 a 50, 
qual a probabilidade de, em uma extração ao aca-
so, obter:
a) a bola de número 27?
b) uma bola de número par?
c) uma bola de nº maior que 20?
d) uma bola de número menor ou igual a 
20? 
Resolução: Há um total de 50 bolas: B1, B2, 
B3,..., B50.
AtençãoAtenção
Probabilidade é o número que resulta da divi-
são do número de casos favoráveis a um evento 
pelo número total de casos possíveis.
a) Será chamado de A o evento formado 
pela bola de número 27: A = {B27}.
�
Resolução: há um total de 50 bolas: B1, B2, B3,..., B50. 
a) Será chamado de A o evento formado pela bola de número 27: A = {B27}. � � ���%RODV���%ROD��%���%�������%���%�� %����3�$� 
 
 
b) Será chamado de B o evento formado pelas bolas pares: 
B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 elementos. ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�%� ��� 
 
 
c) Será chamado de C o evento formado pelas bolas de número maior que 20: 
C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 30 elementos. 
 
 
d) Será chamado de D o evento formado pelas bolas de número menor ou igual que 
20: 
D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos. 
 
 
Exemplo 13: três cavalos C1, C2 e C3 disputam um páreo, do qual só se premiará o 
vencedor. O espaço amostral é: S = {C1, C2, C3}. Um conhecedor dos 3 cavalos afirma que as 
“chances” de C1 vencer são o dobro das de C2, e que C2 tem o triplo das “chances” de C3. 
Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer? 
 
Resolução: atribui-se uma probabilidade p ao cavalo C3. Ÿ C3 = p 
O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. Ÿ C2 = 3C3 = 3p 
Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de C2. Ÿ C1 = 2C2 = 2 u3p = 6p 
������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%����%����3�&� ��� ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�'� ��� 
b) Será chamado de B o evento formado 
pelas bolas pares:
B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 
elementos.
�
Resolução: há um total de 50 bolas: B1, B2, B3,..., B50. 
a) Será chamado de A o evento formado pela bola de número 27: A = {B27}. � � ���%RODV���%ROD��%���%�������%���%�� %����3�$� 
 
 
b) Será chamado de B o evento formado pelas bolas pares: 
B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 elementos. ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�%� ��� 
 
 
c) Será chamado de C o evento formado pelas bolas de número maior que 20: 
C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 30 elementos. 
 
 
d) Será chamado de D o evento formado pelas bolas de número menor ou igual que 
20: 
D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos. 
 
 
Exemplo 13: três cavalos C1, C2 e C3 disputam um páreo, do qual só se premiará o 
vencedor. O espaço amostral é: S = {C1, C2, C3}. Um conhecedor dos 3 cavalos afirma que as 
“chances” de C1 vencer são o dobro das de C2, e que C2 tem o triplo das “chances” de C3. 
Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer? 
 
Resolução: atribui-se uma probabilidade p ao cavalo C3. Ÿ C3 = p 
O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. Ÿ C2 = 3C3 = 3p 
Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de C2. Ÿ C1 = 2C2 = 2 u3p = 6p 
������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%����%����3�&� ��� ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�'� ��� 
c) Será chamado de C o evento formado 
pelas bolas de número maior que 20:
C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 
30 elementos.�
Resolução: há um total de 50 bolas: B1, B2, B3,..., B50. 
a) Será chamado de A o evento formado pela bola de número 27: A = {B27}. � � ���%RODV���%ROD��%���%�������%���%�� %����3�$� 
 
 
b) Será chamado de B o evento formado pelas bolas pares: 
B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 elementos. ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�%� ��� 
 
 
c) Será chamado de C o evento formado pelas bolas de número maior que 20: 
C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 30 elementos. 
 
 
d) Será chamado de D o evento formado pelas bolas de número menor ou igual que 
20: 
D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos. 
 
 
Exemplo 13: três cavalos C1, C2 e C3 disputam um páreo, do qual só se premiará o 
vencedor. O espaço amostral é: S = {C1, C2, C3}. Um conhecedor dos 3 cavalos afirma que as 
“chances” de C1 vencer são o dobro das de C2, e que C2 tem o triplo das “chances” de C3. 
Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer? 
 
Resolução: atribui-se uma probabilidade p ao cavalo C3. Ÿ C3 = p 
O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. Ÿ C2 = 3C3 = 3p 
Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de C2. Ÿ C1 = 2C2 = 2 u3p = 6p 
������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%����%����3�&� ��� ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�'� ��� d) Será chamado de D o evento formado pelas bolas de número menor ou igual que 20:D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos.
�
Resolução: há um total de 50 bolas: B1, B2, B3,..., B50. 
a) Será chamado de A o evento formado pela bola de número 27: A = {B27}. � � ���%RODV���%ROD��%���%�������%���%�� %����3�$� 
 
 
b) Será chamado de B o evento formado pelas bolas pares: 
B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 elementos. ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�%� ��� 
 
 
c) Será chamado de C o evento formado pelas bolas de número maior que 20: 
C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 30 elementos. 
 
 
d) Será chamado de D o evento formado pelas bolas de número menor ou igual que 
20: 
D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos. 
 
 
Exemplo 13: três cavalos C1, C2 e C3 disputam um páreo, do qual só se premiará o 
vencedor. O espaço amostral é: S = {C1, C2, C3}. Um conhecedor dos 3 cavalos afirma que as 
“chances” de C1 vencer são o dobro das de C2, e que C2 tem o triplo das “chances” de C3. 
Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer? 
 
Resolução: atribui-se uma probabilidade p ao cavalo C3. Ÿ C3 = p 
O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. Ÿ C2 = 3C3 = 3p 
Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de C2. Ÿ C1 = 2C2 = 2 u3p = 6p 
������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%����%����3�&� ��� ������%RODV��� %RODV���%���%�������%���%�� %�����%���%���3�'� ��� 
Exemplo 13: Três cavalos C1, C2 e C3 dispu-
tam um páreo, do qual só se premiará o vencedor. 
O espaço amostral é: S = {C1, C2, C3}. Um conhece-
dor dos 3 cavalos afirma que as “chances” de C1 
vencer são o dobro das de C2, e que C2 tem o tri-
plo das “chances” de C3. Qual a probabilidade que 
cada cavalo tem de vencer?
Resolução: Atribui-se uma probabilidade p 
ao cavalo C3. Þ C3 = p
O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. 
Þ C2 = 3C3 = 3p
Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de 
C2. Þ C1 = 2C2 = 2 ×3p = 6p
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
21
Somente esses três cavalos disputam, logo:
�
Somente esses três cavalos disputam, logo: ���� �� &&& Ÿ ��� �� SSS Ÿ ������ S Ÿ ��� S 
Então, a probabilidade dos cavalos será: ����� S& ����� S& ���� S& �������������������6DLED�PDLV���
Então, a probabilidade dos cavalos será:
�
Somente esses três cavalos disputam, logo: ���� �� &&& Ÿ ��� �� SSS Ÿ ������ S Ÿ ��� S 
Então, a probabilidade dos cavalos será: ����� S& ����� S& ���� S& �������������������6DLED�PDLV���
 
Saiba maisSaiba mais
“Pascal nasceu a 19 de Julho de 1623, em Clermont-Ferrand, na França, filho de Étienne Pascal e Antoniette Bejon. Quando 
tinha apenas três anos, perdeu a mãe e, como era o único filho do sexo masculino, o pai encarregou-se diretamente da sua 
educação. Étienne desenvolveu um método singular de educação do filho, com exercícios de diversos tipos para despertar a 
razão e o juízo correto. Disciplinas como Geografia, História e Filosofia foram ensinadas, sobretudo, por meio de jogos. 
Étienne acreditava que a Matemática só deveria ser ensinada ao filho quando este fosse mais velho. Nesse sentido, mantinha 
longe do filho os livros de matemática. Pascal tinha, porém grande curiosidade sobre aqueles ‘estranhos’ assuntos. Por inter-
médio de conversas que ouvia ou da leitura de obras que passavam pela censura do pai, descobriu as maravilhas da ciência 
dos números. Mesmo sem professor, começou a desenvolver os seus estudos. Aos 12 anos, o pai descobriu-o desenhando 
no chão, figuras geométricas com carvão. Nessa mesma altura, Pascal descobre que a soma dos ângulos de um triângulo é 
igual a dois ângulos retos. 
Estavam ali, por intuição, várias das proposições da matemática de Euclides. Pascal havia chegado sozinho à 32ª proposição 
do Livro 1 dos Elementos do velho sábio. 
Reconhecida a sua genialidade, foi dada permissão ao jovem Pascal para que estudasse matemática livremente.
Étienne Pascal mesmo não sendo uma pessoa totalmente ortodoxa, frequentava a casa do padre franciscano Marin Mersene, 
que também era frequentada por muitas personalidades importantes. Foi quando, com aproximadamente 14 anos, Blaise 
Pascal decidiu acompanhar o seu pai nessas reuniões e aos 16 anos apresentou vários teoremas de Geometria Projetiva, onde 
constava o conhecido ‘Hexágono Místico’. Ainda com os seus 16 anos, escreveu ‘Éssai sur les coniques’ (Ensaio sobre as Cônicas), 
baseado no estudo de Girad Desargues.
Mais tarde, para ajudar o pai, sempre ocupado com os números, dedicou-se à criação de uma máquina de calcular. Pascal de-
senvolveu importantes estudos que tiveram como inspiração as descobertas do italiano Torricelli sobre a pressão atmosférica.
A partir de 1647, Pascal passou a dedicar-se ao estudo da aritmética. Desenvolveu cálculos de probabilidade, a fórmula de 
geometria do acaso, o conhecido Triângulo de Pascal e o tratado sobre as potências numéricas.
Mas o trabalho excessivo minou a sua saúde, débil por natureza, caindo gravemente doente. Em 1648 frequentou, com sua 
irmã Jacqueline, os seguidores de Saint-Cyran, que o levaram ao misticismo de Port-Royal. Depois da morte do pai, o seu 
fervor religioso arrefeceu um pouco, iniciando-se o chamado período mundano de Pascal, devido à proibição médica de 
dedicar-se a trabalhos intelectuais, prejudiciais à sua saúde, e a pratica de exercícios de penitência.
Pascal faleceu à primeira hora da madrugada de 29 de Agosto de 1662, aos 39 anos, vítima de um tumor maligno no estoma-
go. As suas últimas palavras foram: ‘Que Deus jamais me abandone!’.” 
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/biografia.htm.
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
22
Caro(a) aluno(a), observe que, como na pró-
pria denominação deste tópico, em casos de pro-
babilidade condicional, teremos uma condição, 
ou ainda, uma “informação a mais” no problema. 
Essa informação do que ocorreu em determina-
da etapa do fenômeno aleatório em estudo pode 
influenciar nas probabilidades de ocorrências de 
etapas sucessivas. Nesse caso, podemos dizer que 
“ganhamos informações” e podemos recalcular as 
probabilidades de interesse.
Uma leitura atenta e detalhada do enuncia-
do é de extrema importância para identificarmos 
as situações onde o conceito de probabilidade 
condicional estará envolvido.Observe o exemplo a seguir e identifique 
no enunciado “a informação a mais”.
Exemplo 14: Considere o problema seguin-
te:
Uma bola é retirada de uma urna que con-
tém 20 bolas numeradas de 1 a 20. A pessoa que 
a retirou diz o seguinte para os que acompanham 
o sorteio:
Saiu um número ímpar!
Pergunta-se:
Qual é a probabilidade de ter saído um nú-
mero primo?
Há 20 resultados possíveis para o experi-
mento “retirar uma bola da urna”. Isto é,
S = {1, 2, 3, 4, ..., 19, 20}
Dentre esses resultados, destacam-se os 
eventos:
A: sair número ímpar. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 
15, 17, 19}
B: sair número primo. B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 
17, 19}
O problema pede a probabilidade de ocor-
rer B (número primo), mas informa que já ocorreu 
A (número ímpar). Então, entre os elementos de 
2.2 Probabilidade Condicional
A, vamos contar quantos são os casos favoráveis 
à ocorrência de B. Note que isso equivale a deter-
minar A ∩ B.
A ∩ B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} n(A ∩ B) = 7
Assim, entre os 10 números ímpares pos-
síveis de terem ocorrido, há 7 casos favoráveis à 
ocorrência de um número primo. Logo, a proba-
bilidade de ocorrer primo, sabendo que ocorreu 
ímpar é:
( ) 7( / )
( ) 10
n A BP B A
n A
∩
= =
Definição: Seja S um espaço amostral 
e onde há dois eventos, A e B. O símbolo P(A/B) 
indica a probabilidade do evento A, dado que o 
evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade 
condicional do evento A, uma vez que B tenha 
ocorrido. Quando se calcula P(A/B), tudo se passa 
como se B fosse o novo espaço amostral “reduzi-
do” dentro do qual queremos calcular a probabi-
lidade de A.
Observação: Note que )/()/( BAPABP ≠ , 
vejam usando o exemplo anterior:
DicionárioDicionário
Espaço amostral: é o conjunto formado por todos 
os resultados possíveis de um experimento aleató-
rio. É indicado pelo símbolo Ω. 
( ) 7( / )
( ) 10
n A BP B A
n A
∩
= =
( ) 7( / )
( ) 8
n A BP A B
n B
∩
= =
e
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
23
AtençãoAtenção
P(A/B) é a probabilidade condicional do even-
to A, uma vez que B tenha ocorrido. Tudo se 
passa como se B fosse o novo espaço amostral 
“reduzido” dentro do qual queremos calcular a 
probabilidade de A.
Uma consequência importante da defini-
ção de probabilidade condicional é a seguinte:
)/()()(
)(
)()/( BAPBPBAP
BP
BAPBAP ×=∩⇒∩=
)/()()(
)(
)()/( ABPAPBAP
AP
BAPABP ×=∩⇒∩=
Isto é, a probabilidade da ocorrência simul-
tânea de dois eventos [P(A ∩ B)] é o produto da 
probabilidade de um deles pela probabilidade do 
outro, dado o primeiro.
Exemplo 15: Uma urna I contém 2 bolas 
vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 
bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é 
escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao 
acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna 
I e bola vermelha?
Resolução: Como existem duas urnas (U1 e 
U2), a probabilidade de cada urna é 0,5.
Já, a probabilidade de ocorrer bola verme-
lha (V) condicionada à urna I será dada por:
5
2)/( 1 =UVP , pois há duas boas verme-
lhas numa urna que possui 5 bolas.
2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total
O problema pede a probabilidade de obser-
varmos urna I e bola vermelha, ou seja, a interse-
ção entre os eventos:
1 1 1
1 2 2 1( ) ( ) ( / )
2 5 10 5
P U V P U P V U∩ = × = × = =
Outra situação importante é o chamado 
teorema da probabilidade total. Ele é utilizado 
quando a probabilidade de um evento A é difícil 
de ser calculada diretamente, porém se torna sim-
ples o seu cálculo usando os conceitos a seguir.
Inicialmente, considere n eventos B1, B2,..., 
Bn. Considere que eles formam uma partição do 
espaço amostral S, quando:
I) P (B k ) >0 ∀ k;
II) Bi ∩ Bj = ∅ para i ≠ j;
III) SB
n
i
i =
=

1
.
Os eventos B1, B2,..., Bn são dois a dois mu-
tuamente exclusivos exaustivos (sua união é S). 
Seja A um evento qualquer do espaço amostral S 
e B1, B2, ..., Bn, uma partição de S, é válida a seguin-
te relação:
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
24
A = (B1 ∩ A) ∪ (B2 ∩ A) ∪ (B3 ∩ A) ∪ ... ∪ (Bn ∩ A).
Note que (B1 ∩ A); (B2 ∩ A) ...; (Bn ∩ A) são 
dois a dois mutuamente exclusivos, portanto:
)()()()( 21 ABPABPABPAP n ∩++∩+∩= 
Exemplo 16: Uma urna I tem 2 bolas ver-
melhas (V) e 3 brancas (B); outra urna II tem 3 
bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 
bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecio-
nada ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a 
probabilidade de a bola ser vermelha?
Resolução: Utilizando o teorema da proba-
bilidade total, temos:
�
Os eventos B1, B2,..., Bn são dois a dois mutuamente exclusivos exaustivos (sua união é 
S). Seja A um evento qualquer do espaço amostral S e B1, B2, ..., Bn, uma partição de S, é 
válida a seguinte relação: 
 
A = (B1 ˆ A) ‰ (B2 ˆ A) ‰ (B3 ˆ A) ‰ ... ‰ (Bn ˆ A). 
Note que (B1 ˆ A); (B2 ˆ A) ...; (Bn ˆ A) são dois a dois mutuamente exclusivos, 
portanto: 
 �������� �� $%3$%3$%3$3 Q ˆ��ˆ�ˆ ! . 
 
Exemplo 16: uma urna I tem 2 bolas vermelhas (V) e 3 brancas (B); outra urna II tem 3 
bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é 
selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a probabilidade de a bola ser 
vermelha? 
Resolução: utilizando o teorema da probabilidade total, temos: 
P(V) = P(U1 ˆ V) + P(U2 ˆ V) + P(U3 ˆ V) 
P(V) = P(U1 ) u P(V / U1) + P(U2 ) u P(V / U2) + P(U3 ) u P(V / U3) �������������������� u�u�u 93 
 
Exemplo 17 (problema da moeda de Bertrand): 
Existem três caixas idênticas. A 1a contém duas moedas de ouro, a 2a contém uma 
moeda de ouro e outra de prata, e a 3a, duas moedas de prata. Uma caixa é selecionada ao 
acaso e da mesma é escolhida uma moeda ao acaso. Se a moeda escolhida for de ouro, 
qual a probabilidade de que a outra moeda da caixa escolhida também seja de ouro? 
 
Resolução: temos três caixas, contendo: 
C1 = 2 moedas de ouro; 
C2 = 1 moeda de ouro e 1 moeda de prata; 
C3 = 2 moedas de prata. 
 
Exemplo 17 (problema da moeda de Ber-
trand):
Existem três caixas idênticas. A 1a contém 
duas moedas de ouro, a 2a contém uma moeda de 
ouro e outra de prata, e a 3a, duas moedas de pra-
ta. Uma caixa é selecionada ao acaso e da mesma 
é escolhida uma moeda ao acaso. Se a moeda es-
colhida for de ouro, qual a probabilidade de que a 
outra moeda da caixa escolhida também seja de 
ouro?
Resolução: temos três caixas, contendo:
C1 = 2 moedas de ouro; 
C2 = 1 moeda de ouro e 1 moeda de prata;
C3 = 2 moedas de prata.
Queremos calcular a probabilidade de a se-
gunda moeda ser de ouro, sabendo que a primei-
ra foi de ouro. Em outras palavras, a probabilida-
de de caixa C1, sabendo que ocorreu ouro (O). Em 
símbolos: P(C1/O) = ?
Utilizando o teorema da probabilidade to-
tal, temos:
�
Queremos calcular a probabilidade de a segunda moeda ser de ouro, sabendo que a 
primeira foi de ouro. Em outras palavras, a probabilidade de caixa C1, sabendo que ocorreu 
ouro (O). Em símbolos: P(C1/O) = ? 
 
Utilizando o teorema da probabilidade total, temos: 
P(O) = P(C1 ˆ O) + P(C2 ˆ O) + P(C3 ˆ O) 
P(O) = P(C1 ) u P(O / C1) + P(C2 ) u P(O / C2) + P(C3 ) u P(O / C3) ������������������ u�u�u 23 
 
 
Utilizando a probabilidade condicional, vem: ���������� ������� � u u 2&3 
2.4 INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 
 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral :, diremos que A independe de B 
se P(A/B) = P(A). Isto é, A independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de 
A. 
Observemos que, se A independe de B, então B independe de A, pois: ���� ������ ������� ����� %3$3 $3%3$3 %$3%3$3%$3$%3 ˜ ˜ ˆ 
Dois eventos A e B são chamados independentes, se ������ %3$3%$3 ˜ ˆ 
 
Observações: 
a)� Se A e B não são independentes, eles são chamados dependentes. 
b)� Se A e B são independentes, então: 
 
Utilizando a probabilidade condicional, 
vem:
3
2
6
4
1
2
6
2
2
1
2
2
3
1
)/( 1 ==×=
×
=OCP
2.4 Independência de Eventos
Dados dois eventos A e B de um espaço 
amostral W, diremos que A independe de B se 
P(A/B) = P(A). Isto é, A independe de B se a ocor-
rência de B não afeta a probabilidade de A.
Observemos que, se A independe de B, en-
tão B independe de A, pois:
)(
)(
)()(
)(
)/()(
)(
)()/( BP
AP
APBP
AP
BAPBP
AP
BAPABP =⋅=⋅=∩=
Dois eventos A e B são chamados indepen-
dentes, se
)()()( BPAPBAP ⋅=∩
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
25
Observações:
a) Se A e B não são independentes, eles 
são chamados dependentes.
b) Se A e B são independentes, então:
A e BC são independentes;
AC e B são independentes;
AC e BC são independentes.
Exemplo 18: uma moeda é lançada 3 vezes. 
Sejam os eventos:
A: ocorrem pelo menos duas caras.
B: ocorrem resultados iguais nos três lança-
mentos.
Mostrar que os eventos A e B são indepen-
dentes.
�
A e BC são independentes; 
AC e B são independentes; 
AC e BC são independentes. 
 
Exemplo 18: uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos: 
A: ocorrem pelo menos duas caras. 
B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos. 
Mostrar que os eventos A e B são independentes. 
 
Resolução: : = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); (C, K, C); (C, C, K); (C, C, C)}. 
A = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (C, K, K)}; P(A) = �� 
B = {(K, K, K); (C, C, C)}; P(B) = ���� 
A ˆ B = {(K, K, K)}; P(A ˆ B) = �� 
Logo, P(A ˆ B) = P(A) x P(B) 
 ������ ˜ 
Portanto, A e B são independentes. 
 
ATENÇÃO 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral :, diremos que A independe de B se 
P(A/B) = P(A). 
 
 
Exemplo 19: duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1a atingir o 
alvo é P(A) = �� e a probabilidade de a 2a atingir o alvo é P(B) = �� . Admitindo A e B 
independentes, se os dois atiram, qual a probabilidade de: 
a)� ambos atingirem o alvo? 
b)�ao menos um atingir o alvo? 
Exemplo 19: Duas pessoas praticam tiro 
ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é 
P(A) = 3
1
 e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é 
P(B) = 
3
2 . Admitindo A e B independentes, se os 
dois atiram, qual a probabilidade de:
a) ambos atingirem o alvo?
b) ao menos um atingir o alvo?
Resolução:
9
2
3
2
3
1)().() =⋅=BPAPa
9
7
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
)().()().()().()
=⋅+⋅+⋅
=++ BPAPBPAPBPAPb cc
AtençãoAtenção
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral 
Ω, diremos que A independe de B se P(A/B) = 
P(A).
Considere 3 eventos A, B e C do mesmo es-
paço amostral Ω. Dizemos que A, B e C são inde-
pendentes, se P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B) . P(C)
Generalizando:
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) . P(A2) . . . . . P(An)
Exemplo 20: Um dado é lançado 5 vezes. 
Qual a probabilidade de que a face “2” apareça 
pelo menos uma vez nos 5 lançamentos?
Resolução: Vamos calcular a probabilidade 
da face 2 aparecer nenhuma vez.
7776
3125
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
=⋅⋅⋅⋅
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
26
Agora, calcula-se a probabilidade de a face 
2 aparecer pelo menos uma vez, usando o evento 
complementar:
7776
4651
7776
31251 =−
2.5 Resumo do Capítulo
A probabilidade de um evento consiste na razão entre os casos favoráveis a ocorrência do evento 
e o total de casos possíveis do experimento aleatório. A utilização de probabilidades ocorre em jogos do 
cotidiano, no cálculo de seguros em geral e, em outras situações onde é fundamental conhecer suas pos-
sibilidades de chances. Neste capítulo, vimos a Probabilidade de um Evento condicionado à ocorrência 
de outro evento e também Eventos Independentes em termos de probabilidades.
A utilização da Análise Combinatória está diretamente associada aos problemas de probabilidades, 
onde se torna fundamental determinarmos a quantidade de elementos dos conjuntos Espaço Amostral 
e Eventos. 
Muitos alunos não conhecem a composição de um baralho e, como este comumente é tema de diversos problemas de 
análise combinatória e probabilidades, apresentaremos a seguir como um baralho é formado.
O baralho comum tem 52 cartas (espaço amostral), sendo 26 vermelhas e 26 pretas. São divididas em 4 naipes: copas, 
ouro, paus e espadas, sendo que cada naipe possui 13 cartas numeradas de 2 a 10 e mais as cartas chamadas de figuras: 
o Rei (símbolo K), a Rainha ou Dama (símbolo Q), o Valete (símbolo J) e o Ás (símbolo A).
(13 cartas por naipe x 4 naipes = 52 cartas).
Observe a tabela com as informações detalhadas de um baralho:
CuriosidadeCuriosidade
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
27
1. Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, qual a proba-
bilidade de ela ser vermelha?
2. No lançamento simultâneo de dois dados, encontra-se o seguinte espaço amostral:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
 (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
 (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Determine a probabilidade dos seguintes eventos:
A: ocorrência de números iguais nos dois dados. 
B: ocorrência de números cuja soma seja 12.
C: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 12.
D: ocorrência de números cuja soma seja 8.
E: ocorrência de números cuja soma seja diferente de 8.
F: ocorrência de números iguais, com soma igual a 8.
G: ocorrência de números iguais, com soma igual a 7.
H: ocorrência de números iguais nos dois dados, ou de números com soma igual a 8.
I: ocorrência de números múltiplos de 3 nos dois dados.
3. Numa cidade com 1.000 eleitores, vai haver uma eleição com 2 candidatos, A e B. É feita uma 
prévia em que os 1.000 eleitores são consultados, sendo que 510 já se decidiram, definitiva-
mente, por A. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição?
4. Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. 
Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda;
b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda.
5. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos 
eventos abaixo?
a) Ocorrer dama de copas.
b) Ocorrer dama.
c) Ocorrer carta de naipe de paus.
d) Ocorrer uma figura.
e) Ocorrer uma carta que não é um rei.
2.6 Atividades Propostas
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
28
6. Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na 
urna. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser:
a) branca?
b) vermelha?
c) azul?
7. Jogando 3 dados, qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4?
8. Os jogadores A, B, C e D disputam um torneio onde A e B têm “chances” iguais, C e D também 
têm “chances” iguais, mas A tem o dobro das “chances” de C. Qual a probabilidade de B vencer? 
Qual a probabilidade de D vencer?
9. Considere o espaço amostral S = {a, b, c, d} de um experimento aleatório. Consideremos a se-
guinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8, P(b) = 1/8, P(c) = ¼, P(d) = x. Determine o valor 
de x.
10. Com os dados do exercício anterior e sejam os eventos A = {a, b, c} e B = {c, d}, determine P(A),P(B), P(Ac), P(Bc), P(A Ç B) e P(A È B).
11. As “chances” de um time de futebol T ganhar o campeonato que está disputando são de 5 para 
2. Determine:
a) a probabilidade de T ganhar;
b) a probabilidade de T perder.
12. Dos 100 alunos de uma turma, 40 gostam de Álgebra, 30 gostam de Geometria, 10 gostam de 
Álgebra e Geometria, e há os que não gostam de Álgebra nem de Geometria. Um aluno é esco-
lhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele gostar de:
a) Álgebra?
b) Geometria?
c) Álgebra e Geometria?
d) Álgebra ou Geometria?
13. Dois dados equilibrados são lançados.
a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais nas faces superiores?
b) Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes?
14. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, dos quais 4 apresentam defeitos.
a) Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa?
b) Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituo-
sas?
c) Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos 
uma com defeito?
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
29
15. Onze jovens são dispostos em uma fila. Qual a probabilidade de dois determinados jovens:
a) ficarem juntos?
b) ficarem separados?
16. Dois indivíduos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda “honesta”. Eles combinam lançar 
a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em três ou mais lançamentos. Cada 
um aposta R$ 2.800,00. Feitos os dois primeiros lançamentos, em ambos os quais A vence, eles 
resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico, de que forma devem ser repartidos 
os R$ 5.600,00?
17. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estu-
dam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) ele estude Economia e Engenharia?
b) ele estude somente Engenharia?
c) ele estude somente Economia?
d) ele não estude Engenharia nem Economia?
e) ele estude Engenharia ou Economia?
18. Uma cidade tem 50.000 habitantes e 3 jornais A, B, C. Sabe-se que:
ƒƒ 15.000 leem o jornal A;
ƒƒ 10.000 leem o jornal B;
ƒƒ 8.000 leem o jornal C;
ƒƒ 6.000 leem os jornais A e B;
ƒƒ 4.000 leem os jornais A e C;
ƒƒ 3.000 leem os jornais B e C;
ƒƒ 1.000 leem os três jornais.
Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que:
a) ela leia pelo menos um jornal?
b) leia só um jornal?
19. Oito pessoas (dentre elas Pedro, Silvia e João) são dispostas ao acaso em uma fila. Qual a pro-
babilidade de:
a) os três ficarem juntos?
b) os três ficarem separados?
20. Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros deter-
minados fiquem juntos?
21. Uma urna contém 4 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Cinco bolas são selecionadas ao 
acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas, uma vermelha e 2 azuis?
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
30
22. Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas 
ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) todas serem boas?
b) todas serem defeituosas?
c) 2 serem boas e 3 defeituosas?
23. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 7 brancas. Duas bolas são extraídas sucessivamente ao 
acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) ambas serem brancas?
b) ambas serem vermelhas?
24. Uma moeda é lançada 10 vezes, qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas?
25. Sejam A e B eventos tais que: P(A) = 
3
1
, P(B) =
4
1
 e P(A∩B) = 
6
1
.
Determine:
a) P(A/B) 
b) P(B/A) 
c) P(A/A∪B) 
d) P(A∪B/A)
26. Dos 50 alunos de uma classe, 10 foram reprovados em Física, 12 em Matemática, sendo que 6 
foram reprovados em Física e Matemática. Um aluno é escolhido ao acaso.
a) Sabendo que ele foi reprovado em Matemática, qual a probabilidade de também ter sido 
reprovado em Física?
b) Sabendo que ele foi reprovado em Física, qual a probabilidade de também ter sido re-
provado em Matemática?
 
27. Um casal tem dois filhos. Determine a probabilidade de ambos serem rapazes, dado que:
a) o primeiro filho é rapaz.
b) pelo menos um dos filhos é rapaz.
28. Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. 
a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5?
b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade de ele ser par?
c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3?
d) Se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?
29. Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
a) Qual a probabilidade de o número ser par?
b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50?
c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par? 
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
31
30. Dois dados d1 e d2 são lançados.
a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6, se a face observada em d1 foi 2?
b) Qual a probabilidade de o dado d1 apresentar face 2, se a soma dos pontos foi 6? 
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos 
um dado apareceu o resultado 2?
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma dos pontos 
nos dois dados foi menor ou igual a 4?
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos 
foi menor ou igual a 9?
31. Considere um tetraedro, como um dado, com 4 faces numeradas de 1 a 4. Dois tetraedros t1 
e t2 são lançados sobre um plano e observam-se os números das faces nas quais se apoiam 
os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos for maior que 5, qual a probabilidade de que o 
número observado em t1 seja:
a) 4? 
b) 3?
32. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada 
moça, segundo a tabela:
CABELOS
OLHOS
Azuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade 
de ela ser:
a) loira?
b) morena de olhos azuis?
c) morena ou ter olhos azuis?
d) está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente co-
bertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela 
seja morena?
33. De um total de 100 alunos que se destinam ao curso de Matemática, Física e Química sabe-se 
que:
I - 30 destinam-se à Matemática e, desses, 20 são do sexo masculino.
II - O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química.
III - Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.
34. Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo femi-
nino, qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática?
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
32
35. Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, César, 
Denise, Elisabeth e Fábio. Se Denise não pertence à comissão, qual a probabilidade de César 
pertencer?
36. Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos 
ocupados. Qual é a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um 
apartamento ocupado?
37. Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e 
o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao 
acaso, um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Determine a probabilidade de a face que o 
juiz vê ser vermelho e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela.
38. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outraurna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas. 
Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também ao acaso. Qual a probabi-
lidade de observarmos:
a) urna I e bola vermelha?
b) urna I e bola preta?
c) urna II e bola vermelha?
d) urna II e bola preta?
39. Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao acaso e, sem 
reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) a 1ª bola ser vermelha e a 2ª branca?
b) a 1ª bola ser branca e a 2ª vermelha? 
c) a 1ª e a 2ª serem vermelhas?
40. O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias no mês de outubro. Qual a 
probabilidade de não chover nos dias 1º e 2 de outubro?
41. A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna 
III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é 
extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:
a) vermelha?
b) branca? 
c) amarela?
42. Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fábrica B 
existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica C existem 38 peças boas e 2 
defeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a 
probabilidade de a peça ser:
a) boa?
b) defeituosa? 
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
33
43. Em um jogo de cara ou coroa, em cada tentativa a moeda é lançada 3 vezes consecutivas. Uma 
tentativa é considerada um sucesso se o número de vezes que se obtém cara superar estri-
tamente o número de vezes que se obtém coroa. Qual é a probabilidade de serem obtidos 2 
sucessos nas 2 primeiras tentativas?
44. A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas, 5 amarelas e 2 
brancas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna I e colocada na urna II, em seguida uma bola é 
escolhida na urna II ao acaso. Qual a probabilidade de essa segunda bola ser:
a) vermelha?
 b) amarela?
 c) branca?
45. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma 
urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola, também ao acaso.
a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?
b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha?
c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I?
46. Uma caixa contém 3 moedas MI, MII e MIII. A MI é “honesta”, a MII tem duas caras e a MIII é viciada 
de tal modo que caras são duas vezes mais prováveis que coroas. Uma moeda é escolhida ao 
acaso e lançada.
a) Qual a probabilidade de observarmos moeda MI e cara?
b) Qual a probabilidade de observarmos cara?
c) Se o resultado final foi cara, qual a probabilidade de que a moeda lançada tenha sido MI. 
47. Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a produção da máquina A é o triplo 
da produção da máquina B. A máquina A produz 80% de peças boas e a máquina B produz 
90%. Uma peça é selecionada ao acaso no estoque e verifica-se que é boa. Qual a probabilida-
de de que tenha sido fabricada pela máquina A?
48. Certa moléstia A é detectada através de um exame de sangue. Entre as pessoas que efetiva-
mente possuem a moléstia A, 80% delas têm a moléstia detectada pelo exame de sangue. 
Entre as pessoas que não possuem a moléstia A, 5% delas têm a moléstia detectada (erronea-
mente) pelo exame de sangue. Numa cidade, 2% das pessoas têm a moléstia A. Uma pessoa da 
cidade foi submetida ao citado exame de sangue, que a acusou como portadora da moléstia A. 
Qual a probabilidade de essa pessoa estar efetivamente atacada pela moléstia? 
49. Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. 5% dos homens são daltôni-
cos e 0,25% das mulheres são daltônicas. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica-se que 
é daltônica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher?
Hercules Sarti
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
34
50. As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: P(A) = 
3
1
 e P(B) = 
5
3
. 
Qual a probabilidade de que: 
a) ambos resolvam o problema?
b) ao menos um resolva o problema?
c) nenhum resolva o problema?
d) A resolva o problema, mas B não?
e) B resolva o problema, mas A não?
51. A probabilidade de certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de certa data, é 0,4, e de que 
sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0,5. Qual a probabilidade de:
a) ambos sobreviverem mais 10 anos a partir daquela data? 
b) ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data?
52. A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A) = 2
1
, a de que outro aluno 
B resolva é P(B) = 
3
1
 e a de que um terceiro aluno C o resolva é P(C) = 
4
1 . Qual a probabilidade 
de que:
a) os três resolvam o problema?
b) ao menos um resolva o problema?
53. Luís tem probabilidade 
4
1
 de convidar Alice para um passeio num domingo. A probabilidade 
de que César a convide é 
5
2
 e a de Olavo é 
2
1 . Qual a probabilidade de que:
a) os três a convidem para o passeio?
b) ao menos um a convide para o passeio?
c) nenhum a convide para o passeio?
54. As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 
2 4 7,
3 5 10
e , respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que 
pelo menos um marque um gol?
55. Em uma indústria, há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários-mínimos (sm), 20 que ga-
nham entre 10 e 20 sm e 70 que ganham menos de 10 sm. Três pessoas dessa indústria são 
selecionadas. Determine a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 sm.
56. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 m de altura. 60% dos 
estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75 m. Qual a 
probabilidade de que seja homem?
Análise Combinatória e Probabilidades
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
35
57. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de 4
3
, da classe B é de 5
1
 
e da C é de 
1
20
. As probabilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca X são 
1 3 3,
10 5 10
e , dado que sejam A, B e C, respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca 
X. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
37
Consideremos uma única tentativa de um 
experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou 
fracasso nessa tentativa. Seja p a probabilidade 
de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com 
p + q = 1.
Seja X: número de sucessos em uma única 
tentativa do experimento. X assume o valor O 
que corresponde ao fracasso, com probabilidade 
q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com 
probabilidade p.



=
sucesso 1
fracasso 0
X com P(X = 0) = q 
 
e P(X=1) = p
Nessas condições, a variável aleatória X tem 
distribuição de Bernoulli, e sua função de proba-
bilidade é dada por:
xx qpxXP −×== 1)(
Com média ou esperança E(X) = p e com va-
riância VAR(X) = p×q.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES3
Exemplo 21: Uma urna tem 30 bolas bran-
cas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. 
Seja X: número de bolas verdes, calcular E(X), 
VAR(X) e determinar P(X).
Resolução:
�
3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 
3.1 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
 
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter 
sucesso ou fracasso nessa tentativa. Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade 
de fracasso, com p + q = 1. 
Seja X: número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o 
valor O que corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde 
ao sucesso, com probabilidade p.