Teoria das Estruturas 2 - Aula 6 - 2013 2S - EC

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 2 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 2 S 
A
U
LA
 6
 
0
4.
0
9.
20
13
 
2 
M É T O D O D A S F O R Ç A S 
3 
 SISTEMÁTICA DO MÉTODO DAS FORÇAS: 
 DETERMINAÇÃO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO SISTEMA ESTRUTURAL; 
 ESCOLHA DE UM SISTEMA BÁSICO DE CÁLCULO; 
 TRAÇADO DOS DIAGRAMAS, NO SISTEMA BÁSICO, SEPARADAMENTE PARA O 
CARREGAMENTO EXTERNO E PARA OS VALORES UNITÁRIOS DAS INCÓGNITAS; 
 OBTENÇÃO DE TODOS OS COEFICIENTES δi,j (DESLOCAMENTOS); 
 RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES CANÔNICAS COM A DETERMINAÇÃO DAS 
VARIÁVEIS HIPERESTÁTICAS; 
 CÁLCULO DOS ESFORÇOS FINAIS E TRAÇADO DOS DIAGRAMAS FINAIS. 
4 
G R A U D E H I P E R E S T A T I C I D A D E 
CASO 1: PÓRTICOS PLANOS 
5 
CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 DIZ-SE QUE OS ESFORÇOS EM EXCESSO, NO EQUILÍBRIO DE UMA ESTRUTURA EM 
BARRAS, SÃO HIPERESTÁTICOS OU REDUNDANTES ESTÁTICOS E QUE O NÚMERO 
DESSAS REDUNDÂNCIAS FORMA O GRAU DE INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA – OU GRAU 
DE HIPERESTATICIDADE 
 O GRAU DE HIPERESTATICIDADE PODE SER DETERMINADO PELA FÓRMULA: 
g = [NÚMERO DE INCÓGNITAS DO PROBLEMA ESTÁTICO] – 
[NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO] 
6 
CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 AS INCÓGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO DEPENDEM DOS VÍNCULOS 
DE APOIO DA ESTRUTURA E DA EXISTÊNCIA DE CICLOS FECHADOS DE BARRAS (OU 
ANÉIS); 
 CADA COMPONENTE DE REAÇÃO DE APOIO É UMA INCÓGNITA, ISTO É, AUMENTA EM 
UMA UNIDADE O GRAU DE HIPERESTATICIDADE. 
C L A S S I F I C A Ç Ã O D O S M O D E L O S E S T R U T U R A I S 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE CONSEQUÊNCIA 
g < 0 
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA O MODELO SER 
HIPOSTÁTICO E INSTÁVEL 
g = 0 
CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA O MODELO SER 
ISOSTÁTICO E ESTÁVEL 
g > 0 
CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA O MODELO SER 
HIPERESTÁTICO E ESTÁVEL 
7 
ATENÇÃO: 
 O GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE MODELOS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS NÃO É 
SUFICIENTE PARA CARACTERIZAR A ESTABILIDADE DA ESTRUTURA, POIS APENAS 
CONTABILIZA O NÚMERO DE INCÓGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO E 
O NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO; 
 NEM TODO PÓRTICO COM REAÇÕES EM NÚMERO IGUAL AO DO DE EQUAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA É ISOSTÁTICO; 
 NEM TODO PÓRTICO COM REAÇÕES EM NÚMERO SUPERIOR A ESSAS EQUAÇÕES, É 
HIPERESTÁTICA. 
8 
EXEMPLO: 
ESTE PÓRTICO TRAZ TRÊS COMPONENTES DE REAÇÃO DE APOIO QUE SÃO VERTICAIS, 
NÃO EXISTINDO, PORÉM, NENHUM VÍNCULO QUE IMPEÇA O MOVIMENTO 
HORIZONTAL. SE UMA FORÇA NESSE SENTIDO FOR APLICADA, A EQUAÇÃO GLOBAL DE 
EQUILÍBRIO NA DIREÇÃO HORIZONTAL NÃO FICA SATISFEITA. 
PÓRTICO HIPOSTÁTICO! 
D 
B A 
E F 
C 
l1 l2 
VA 
D 
B A 
E F 
C 
VB VC 
9 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PÓRTICOS PLANOS: 
 DEVE-SE VISUALIZAR O PÓRTICO DE FORMA GLOBAL, NÃO SEPARANDO-O PELAS 
RÓTULAS (QUANDO PRESENTES); 
 O NÚMERO DE INCÓGNITAS É CALCULADO PELA SEGUINTE FÓRMULA: 
NÚMERO DE INCÓGNITAS DO PROBLEMA ESTÁTICO = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO) + (NÚMERO DE ANÉIS) . 3] 
 UM ANEL INTRODUZ TRÊS VARIÁVEIS (OU INCÓGNITAS) PARA O PROBLEMA DO 
EQUILÍBRIO ESTÁTICO; 
 OU SEJA, CADA ANEL DE UM PÓRTICO PLANO AUMENTA EM TRÊS UNIDADES O GRAU 
DE HIPERESTATICIDADE. 
10 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PÓRTICOS PLANOS: 
 PARA AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO, DEVE-SE CONSIDERAR AS TRÊS 
EQUAÇÕES TRADICIONAIS QUE GARANTEM O EQUILÍBRIO GLOBAL DA ESTRUTURA 
(ΣFX = 0; ΣFY = 0; E ΣM = 0), ALÉM DAS EQUAÇÕES PROVENIENTES DE LIBERAÇÕES DE 
CONTINUIDADE INTERNA DA ESTRUTURA; 
 TEM-SE ENTÃO: 
NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO = 
(3 EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO GLOBAL) + (NÚMERO DE EQUAÇÕES GERADAS PELAS 
ARTICULAÇÕES INTERNAS) 
11 
 RESUMINDO: 
GRAU DE HIPERESTATICIADE = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO) + (NÚMERO DE ANÉIS . 3] – 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES INTERNAS)] 
12 
EXEMPLO 1: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + (0 . 3] – [3 + (1)] 
g = 4 – 4 
g = 0 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É ISOSTÁTICO 
C 
A 
D E 
B 
l1 l2 
HA 
VA 
HB 
VB 
13 
EXEMPLO 2: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 1 + (1 . 3] – [3 + (1)] 
g = 6 – 4 
g = 2 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C 
A 
D 
B 
l1 
HA 
VA 
VB 
14 
EXEMPLO 3: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + (1 . 3] – [3 + (1)] 
g = 7 – 4 
g = 3 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C 
A 
D E 
B 
l1 l2 
F 
HA 
VA 
HB 
VB 
15 
EXEMPLO 4: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + (2 . 3] – [3 + (2)] 
g = 10 – 5 
g = 5 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C 
A 
D E 
B 
l1 l2 
F 
HA 
VA 
HB 
VB 
16 
EXEMPLO 5: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 1 + (1 . 3] – [3 + (3)] 
g = 6 – 6 
g = 0 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É ISOSTÁTICO 
C 
A 
D 
B 
l1 l2 
HA 
VA VB 
17 
EXEMPLO 6: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + 2 + (0 . 3] – [3 + (1)] 
g = 6 – 4 
g = 2 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
D 
B A 
E 
F 
C 
l1 l2 
G 
HA 
VA 
HB 
VB 
HC 
VC 
18 
1 . G R A U D E H I P E R E S T A T I C I D A D E 
CASO 2: SISTEMAS ABERTOS 
19 
ATENÇÃO: 
 O GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE MODELOS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS NÃO É 
SUFICIENTE PARA CARACTERIZAR A ESTABILIDADE DA ESTRUTURA, POIS APENAS 
CONTABILIZA O NÚMERO DE INCÓGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO E 
O NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO; 
 NEM TODA VIGA COM REAÇÕES EM NÚMERO IGUAL AO DO DE EQUAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA É ISOSTÁTICA; 
 NEM TODA VIGA COM REAÇÕES EM NÚMERO SUPERIOR A ESSAS EQUAÇÕES, É 
HIPERESTÁTICA. 
20 
EXEMPLO 1: 
VIGA HIPOSTÁTICA! 
ISSO ACONTECE PORQUE HÁ TRÊS REAÇÕES DE APOIO E QUATRO REAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO LINEARMENTE INDEPENDENTES ENTRE SI: TRÊS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
DA VIGA COMO UM TODO E UMA EQUAÇÃO DE MOMENTO NULO, DEVIDO À RÓTULA 
INTERNA, NO CENTRO DA BARRA. 
P 
A B 
l1 l2 
α 
P 
HA 
VA VB 
A B 
21 
EXEMPLO2: 
NESTE CASO, AINDA QUE EXISTAM TRÊS REAÇÕES DE APOIO E TRÊS DE EQUILÍBRIO, AS 
REAÇÕES HA E HB INDICADAS SÃO COLINEARES, NÃO RESTRINGINDO, PORTANTO, 
ROTAÇÕES INFINITESIMAIS DE CORPO RÍGIDO EM TORNO DA EXTREMIDADE ESQUERDA, 
NA QUAL SE LOCALIZA O APOIO FIXO. 
VIGA HIPOSTÁTICA! 
P 
A B 
l1 l2 
α 
P 
HA 
VA 
HB 
A B 
22 
EXEMPLO 3: 
ESTA SITUAÇÃO MOSTRA, EM UM PRIMEIRO MOMENTO, UMA SITUAÇÃO DE 
HIPERASTICIDADE. CONTUDO, MESMO HAVENDO QUATRO REAÇÕES DE APOIO 
VERTICAIS E TRÊS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO, NÃO EXISTEM RESTRIÇÕES 
QUANTO AOS DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS, O QUE TORNA A ESTRUTURA INSTÁVEL. 
VIGA HIPOSTÁTICA! 
A 
l1 l2 l3 l5 l6 
B C D 
α 
P 
l4 
A B C D 
P 
VA VB VC VD 
23 
 PARA SISTEMAS ABERTOS, A DETERMINAÇÃO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE, E 
CONSEQUENTE OBTENÇÃO DE SISTEMAS BÁSICOS, É RELATIVAMENTE SIMPLES, OU 
SEJA: 
 O GRAU DE HIPERESTATICIDADE PODE SER DETERMINADO PELA FÓRMULA: 
g = [NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO] – 
[NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO] 
24 
EXEMPLO 4: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO) 
– 
(NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO)] 
g = [(2 + 2) – 3] 
g = 4 – 3 
g = 1 
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA É HIPERESTÁTICA 
P 
A 
B 
l1 
l2 
β 
VB 
VA 
HA 
HB 
25 
EXEMPLO 5: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = [(2 + 3) – 3] 
g = 5 – 3 
g = 2 
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA É HIPERESTÁTICA 
P 
l1 
l4 
l2 
l5 l6 l3 
A 
C 
D 
E 
B 
VA 
HA 
VB 
HB 
MB 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO) 
– 
(NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO)] 
26 
 EM HAVENDO ARTICULAÇÕES (RÓTULAS) INTERNAS AO SISTEMA ABERTO, TEM-SE 
QUE, EM UM NÓ ONDE CONCORREM “b” BARRAS, O GRAU DE INDETERMINAÇÃO É 
REDUZIDO “(b – 1)” VEZES, EM FUNÇÃO DA INTRODUÇÃO DE UMA ARTICULAÇÃO. 
 PORTANTO, O GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS ABERTOS É 
DETERMINADO POR MEIO DA FÓRMULA: 
g = [NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO] – [NÚMERO DE EQUAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO] – [GRAU DE INDETERMINAÇÃO JÁ REDUZIDO] 
27 
EXEMPLO 6: 
A B 
C 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO] 
– 
 [NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO] 
 – 
[GRAU DE INDETERMINAÇÃO JÁ REDUZIDO] 
g = [(3 + 2 + 2) – 3 – (3 – 1)] 
g = 7 – 3 – 2 
g = 2 
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA É HIPERESTÁTICA 
MA 
VA 
HA 
VC 
HC 
VB 
HB 
28 
P 
l1 
l4 
l2 
l5 l6 l3 
A 
C 
D 
E 
B 
VA 
HA 
VB 
HB 
MB 
EXEMPLO 5: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = [(2 + 3) – 3 – (2 – 1)] 
g = 5 – 3 – 1 
g = 1 
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA É HIPERESTÁTICA 
g = 
[NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO] 
– 
 [NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO] 
 – 
[GRAU DE INDETERMINAÇÃO JÁ REDUZIDO] 
29 
S I S T E M A B Á S I C O 
30 
 NESTE MÉTODO, OS CÁLCULOS SÃO EFETUADOS A PARTIR DE UM SISTEMA BÁSICO 
(OU PRINCIPAL), DERIVADO DO SISTEMA EM ESTUDO; 
 O SISTEMA BÁSICO É UMA SITUAÇÃO ESTATICAMENTE DETERMINADA, ISTO É, 
ISOSTÁTICA, OBTIDA POR MEIO DA SUPRESSÃO DE VÍNCULOS INTERNOS OU 
EXTERNOS, SEMPRE SUPERABUNDANTES, DE FORMA A QUE NÃO HAJA PREJUÍZO DA 
ESTABILIDADE GEOMÉTRICA DA ESTRUTURA; 
 É POSSÍVEL TER DIVERSOS SISTEMAS BÁSICOS PARA UM MESMO SISTEMA REAL, O 
QUE NÃO DEIXA DE SER UM INCONVENIENTE!; 
 DEVE-SE ESCOLHER, PORTANTO, O SISTEMA BÁSICO QUE CONDUZA A CÁLCULOS OS 
MAIS SIMPLES POSSÍVEL. ISTO É FEITO ANALISANDO-SE OS SISTEMAS BÁSICOS, 
ESPECIALMENTE APÓS A OBTENÇÃO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE. 
31 
A B 
L 
SISTEMA HIPERESTÁTICO 
EXEMPLO 1: 
32 
SISTEMA ISOSTÁTICO (BÁSICO) 
X1 = ? 
A B 
L 
33 
X2 = ? 
SISTEMA ISOSTÁTICO (BÁSICO) 
A B 
L 
34 
EXEMPLO 2: 
A B 
L / 2 
C 
L / 2 
SISTEMA HIPERESTÁTICO 
35 
EXEMPLO 2: 
X1 = ? 
A B 
L / 2 
C 
L / 2 
SISTEMA ISOSTÁTICO (BÁSICO) 
36 
EXEMPLO 2: 
X2 = ? 
A B 
L / 2 
C 
L / 2 
SISTEMA ISOSTÁTICO (BÁSICO) 
37 
EXEMPLO 3: 
L1 L2 
C 
A 
E 
B 
F G 
D 
SISTEMA HIPERESTÁTICO 
38 
EXEMPLO 3: 
L1 L2 
C 
A 
E 
B 
F G 
D 
SISTEMA HIPERESTÁTICO 
X1 = ? 
X2 = ? 
X4 = ? 
X3 = ? 
39 
EXEMPLO 3: 
L1 L2 
C 
A 
E 
B 
F G 
D 
SISTEMA HIPERESTÁTICO 
X2 = ? 
X4 = ? 
X6 = ? 
X5 = ? 
40 
EXEMPLO 4: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 3 + 3 + (0 . 3] – [3 + (0)] 
g = 8 – 3 
g = 5 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C 
A 
D E 
B 
L1 L2 
F 
HA 
VA 
HB 
VB 
HC 
VC 
MB 
MC 
41 
L1 L2 
C 
A 
D E 
B 
F 
42 
L1 L2 
C 
A 
D E 
B 
F 
X8 = ? 
X7 = ? 
X6 = ? 
X4 = ? 
X3 = ? 
43 
L1 L2 
C 
A 
D E 
B 
F 
X2 = ? 
X1 = ? X5 = ? 
X4 = ? 
X3 = ? 
44 
P R I N C Í P I O D A S U P E R P O S I Ç Ã O 
45 
 NO MÉTODO DAS FORÇAS É UTILIZADO COM MUITA FREQUÊNCIA O PRINCÍPIO DA 
SUPERPOSIÇÃO; 
 ESSE PRINCÍPIO PODE SER ADOTADO SEMPRE QUE HAJA RELAÇÕES LINEARES ENTRE 
AS AÇÕES E OS DESLOCAMENTOS. ISSO ACONTECE PARA AS SEGUINTES HIPÓTESES: 
 VALIDADE DA LEI DE HOOKE: O MATERIAL DE QUE É FEITA A ESTRUTURA É 
ELÁSTICO, E EXISTE UMA PROPORÇÃO ENTRE O ESFORÇO E O DESLOCAMENTO; 
 PEQUENOS DESLOCAMENTOS DA ESTRUTURA, OS CÁLCULOS PODEM SER 
BASEADOS NAS DIMENSÕES ORIGINAIS DAS PEÇAS; 
 NÃO EXISTE INTERAÇÃO ENTRE OS EFEITOS AXIAL E FLETOR NOS MEMBROS, OU 
SEJA, O EFEITO DAS FORÇAS AXIAIS É DESPREZÍVEL NA FLEXÃO DAS BARRAS; 
 SATISFEITAS AS HIPÓTESES ACIMA, ASSUME-SE QUE A ESTRUTURA É LINEARMENTE 
ELÁSTICA (E ISSO É CONSIDERADO NO MÉTODO DAS FORÇAS). 
46 
A B 
L 
ϕ 
P 
M 
f 
B’ 
47 
 COM MUITA FREQUÊNCIA É USADA A CORRESPONDÊNCIA ENTRE AÇÃO E 
DESLOCAMENTO; 
 NO CASO ANTERIOR, TEM-SE: 
 “f” CORRESPONDE À AÇÃO GERADA PELA FORÇA “P”; E 
 “ϕ” REFERE-SE AO EFEITO OCASIONADO PELA PARTICIPAÇÃO DO MOMENTO 
“M”. 
 ATENÇÃO: 
 “f” E “ϕ” NÃO FORAM CAUSADOS UNICAMENTE EM FUNÇÃO DE “P” E DE “M” 
(RESPECTIVAMENTE), MAS, SIM, PELA AÇÃO CONJUNTA DE AMBOS OS 
ESFORÇOS EXTERNOS! 
48 
E Q U A Ç Õ E S C A N Ô N I C A S 
49 
 AS EQUAÇÕES NOS MÉTODOS DAS FORÇAS (OU EQUAÇÕES CANÔNICAS) SÃO 
EQUAÇÕES QUE LEVAM EM CONTA A COMPATIBILIDADE GEOMÉTRICA DA PEÇA EM 
ESTUDO; 
 ELAS EXPRIMEM RELAÇÕES LINEARES ENTRE AÇÃO E DESLOCAMENTO; 
 DE UM MODO GERAL, PODE-SE ESCREVER: 
δ = K . A 
 ONDE: 
 δ = DESLOCAMENTO; 
 A = AÇÃO; E 
 K = FLEXIBILIDADE, OU SEJA, DESLOCAMENTO PRODUZIDO POR UMA AÇÃO 
ORDINÁRIA. 
50 
C 
A 
D 
B 
51 
X2 
X1 
X3 
C 
A 
D 
B 
52 
δ10 
δ20 
δ30 
C 
A 
D 
B 
53 
δ21 
δ11 
δ31 
X1 
B 
C 
A 
D 
B 
54 
δ22 
δ12 
δ32 
X2 
C 
A 
D 
B 
55 
δ23 
δ13 
δ33 
X3 
C 
A 
D 
B 
56 
C O N T I N U A . . .