Teoria das Estruturas 2 - Aula 8 - 2013 2S - EC

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 2 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 2 S 
A
U
LA
 8
 
18
.0
9.
20
13
 
2 
M É T O D O D A S F O R Ç A S 
3 
EXEMPLO: 
TRAÇAR OS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES E DE FORÇAS CORTANTES PARA A 
ESTRUTURA INDICADA. 
DADOS: 
IAB = 0,000737m
4 IAB = 1,8526 . Ip 
IBC = 0,00450m
4 IBC = 11,3177 . Ip 
ICD = 0,000398m
4 ICD = 1,0000 . Ip 
4 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
Φ = 35cm 
Φ = 30cm 
60cm 
25cm 
5 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
X1 = ? 
X2 = ? 
VD 
HD 
MD 
6 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(2) Σ Fy = 0 
 VD – 6 – 1 = 0 
 VD = 7 tf 
(1) Σ Fx = 0 
 HD – 2 = 0 
 HD = 2 tf 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
X1 = ? 
X2 = ? 
VD 
HD 
MD 
(3) Σ MD = 0 
 VD . 0 + (2 . 4) – (6 . 3) + (1 . 2) = 0 
 Σ MD = 8 – 18 + 2 
 Σ MD = – 8 tf.m 
7 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
X1 = ? 
X2 = ? 
7 tf 
2 tf 
8 tf 
8 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
δ30 
δ10 
DESLOCAMENTOS 
PROVOCADOS POR X0 
9 
18 
2 
8 
16 
6tf 1tf 
DIAGRAMA DE MF PARA O 
ISOSTÁTICO FUNDAMENTAL (M0) 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
10 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DESLOCAMENTOS 
PROVOCADOS POR X1 
δ11 
δ21 
X1 = ? 
11 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
12 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DESLOCAMENTOS 
PROVOCADOS POR X2 
δ22 
δ12 X2 = ? 
13 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
14 
 DETERMINAÇÃO DE X1 E DE X2: 
 PARA O CÁLCULO DE X1 E X2, A EQUAÇÃO A SEGUIR DEVE SER RESOLVIDA: 
 δ10 + X1 . δ11 + X2 . δ12 = 0 
 δ20 + X1 . δ21 + X2 . δ22 = 0 
 OBTENÇÃO DOS COEFICIENTES δi,j = 
E.I. 
s 
Mi . Mj . ds 
 REGRA DE VERECHAGUINE: 
 A INTEGRAL PODE SER DETERMINADA POR MEIO DA MULTIPLICAÇÃO DE 
DIAGRAMAS (RELAÇÕES ENTRE ÁREAS E COORDENADAS). 
15 
18 
2 
8 
16 
6tf 1tf 
DIAGRAMA DE MF PARA O 
ISOSTÁTICO FUNDAMENTAL (M0) 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
16 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
17 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
18 
2 
8 
16 
18 
 δ10 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ - 18 . (3 / 2) . 7] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. { - [((16 + 8)/2) . 4] . 8} 
δ10 = - 400,700 / E .Ip 
8 
18 
3m 
8m 
3m 
CG 
1m 
1m 
6 7 
B C 
19 
 δ10 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ - 18 . (3 / 2) . 7] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. { - [((16 + 8)/2) . 4] . 8} 
δ10 = - 400,700 / E .Ip 
8 16 
8 
4m 
8 
CG 
Yk = 2,216 
yk = 
L 
3 
(2 . B) + b 
(B + b) 
. 
yk = 
4 
3 
(2 . 16) + 8 
(16 + 8) 
. yk = 2,216 
16 
8 
8 
8 
8 
C 
D 
20 
18 
2 
8 
16 
6tf 1tf 
DIAGRAMA DE MF PARA O 
ISOSTÁTICO FUNDAMENTAL (M0) 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
21 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
22 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
18 
2 
8 
16 
23 
 δ20 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ - 18 . (3 / 2) . 6] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. { -[((16 + 8)/2) . 4] . 4,22} 
δ20 = - 216,970 / E . Ip 
3m 
18 
CG 
1m 
1m 
6 6 
6 
18 
3m 
8m 
B C 
24 
 δ20 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ - 18 . (3 / 2) . 6] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. { -[((16 + 8)/2) . 4] . 4,22} 
δ20 = - 216,970 / E . Ip 
6 16 
8 
4m 
CG 
Yk = 2,216 
yk = 
L 
3 
(2 . B) + b 
(B + b) 
. 
yk = 
4 
3 
(2 . 16) + 8 
(16 + 8) 
. yk = 2,216 
Yk = 2,216 
2 
6 
2 
16 
8 
yk = 
4 
4 
= 
X 
2,216 
X = 2,22 
4,22 
C 
D 
25 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
26 
 δ11 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ 8 . (8 / 2) . 5,33] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. [8 . 4 . 8] 
δ11 = - 271,079 / E . Ip 
27 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
28 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
29 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
8 
8 
30 
1m 
8 
6 
8m 
B C 
6 
6 6 
8 
6 
CG 
1m 
 δ12 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ 8 . (8 / 2) . 6,00] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. [8 . 4 . 4] 
δ12 = - 144,965 / E . Ip 
31 
 δ12 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ 8 . (8 / 2) . 6,00] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. [8 . 4 . 4] 
δ12 = - 144,965 / E . Ip 
8 6 
8 
4m 
CG 
2m 
2 
8 
8 
C 
D 
6 
2 
4 
32 
 δ12 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ 8 . (8 / 2) . 6,00] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. [8 . 4 . 4] 
δ12 = - 144,965 / E . Ip 
 δ21 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ 8 . (8 / 2) . 6,00] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. [8 . 4 . 4] 
δ21 = - 144,965 / E . Ip 
33 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
34 
 δ22 = 
1 
E . 1,8526 . Ip 
. [ 6 . (6 / 2) . 4,00] + 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [(6 + 2) / 2] . 4 . 4,33 
δ22 = 133,645 / E . Ip 
1 
E . 1,00 . Ip 
. [6 . 8 . 6] + 
35 
 DA EQUAÇÃO ORIGINAL: 
 δ10 + X1 . δ11 + X2 . δ12 = 0 
 δ20 + X1 . δ21 + X2 . δ22 = 0 
 TEM-SE ENTÃO O SEGUINTE SISTEMA: 
 - 400,700 + 271,079 . X1 – 144,965 . X2 = 0 
 216,970 – 144,965 . X1 + 133,654 . X2 = 0 
 DE ONDE OBTÉM-SE: 
 X1 = 1,4325 tf 
 X2 = – 0,0481 tf 
 PORTANTO, PARA OS DIAGRAMAS FINAIS: 
 M = M0 + X1 . M1 + X2 . M2 
 M = M0 + 1,4525 . M1 – 0,048 . M2 
36 
DIAGRAMA FINAL DE 
MOMENTOS FLETORES 
C 
A 
D 
B 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
3,72 
4,09 
2,00 
7,55 
0,29 
6,09 
0,29 
- + 
- 
- 
- 
+ 
37 
C O N T I N U A . . .