Vetores no Plano e no espaço

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
CAPÍTULO 2 
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
1 Vetores no plano 
 
O plano, também chamado de ℜ2, simbolicamente escrevemos: 
}yex),y,x{(x2 ℜ∈∀=ℜℜ=ℜ , é o conjunto de todos os pares ordenados de números 
reais. Ele é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é 
constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é o par ordenado 
O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das 
abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos coordenados, 
orientados como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todo ponto P do plano é representado como na figura acima, onde x e y são as 
suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Na representação 
de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x é sempre a primeira e 
y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos coordenados dividem o 
plano em 4 regiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas chamadas de quadrante. O 
que distingue um quadrante do outro são os sinais das coordenadas (x,y) de um 
ponto qualquer do 2ℜ . Assim: 
- Se (x,y) pertence ao I quadrante, então x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+); 
- Se (x,y) pertence ao II quadrante, então x<0 e y>0. Simbolicamente: (-,+); 
- Se (x,y) pertence ao III quadrante, então x<0 e y<0. Simbolicamente: (-,-); 
- Se (x,y) pertence ao e IV quadrante, então x>0 e y<0. Simbolicamente (+,-). 
y 
x 
P(x,y) 
(0,0) 
(–) 
(–) 
Oy (+) 
(+) 
Ox 
I 
II 
IV III 
17 
 
 
Qualquer vetor do ℜ2 pode ser escrito em função de dois versores jei
��
, com 
1|j||i| ==
��
, cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox e Oy, 
respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos versores 
{ }j,i �� será chamado de uma base do ℜ2. 
 
 
 
 
 
 
 
Pela figura acima, podemos ver que jyixv
��
�
+= , ou seja, o vetor v
�
 é escrito em 
função da base { }j,i �� . A expressão jyixv ��� += é chamada de expressão cartesiana 
de um vetor do ℜ2 e seu módulo é determinado por 22 yx|v| +=
�
. 
Todo vetor do plano será representado a partir da origem do sistema, ou seja, a 
origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com 
algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor com um 
ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v =
�
. 
Por exemplo: Para o vetor ji3v
��
�
−= podemos escrever )1,3(v −=
�
 e representá-
lo no ℜ2, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto à origem do sistema, sempre 
fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do 
vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
1.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ2 na forma cartesiana 
Sejam jyixvejyixv 222111
��
�
��
�
+=+= dois vetores quaisquer do ℜ2 e um escalar 
qualquer ℜ∈α . Então: 
- Adição: j)yy(i)xx(vv 212121
��
��
+++=+ 
- Subtração: j)yy(i)xx(vv 212121
��
��
−+−=− 
- Multiplicação por escalar: j)y(i)x(v 111
��
�
α+α=⋅α 
 
v
�
 
-1 
3 
P(3,-1) 
y 
x 
O 
j
�
 
jy
�
 
i
�
 ix
�
 
v
�
 
y 
x 
P(x,y) 
Oy 
Ox 
18 
 
 
Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2u
�
�
�
�
��
�
=+−=+= . Determine o módulo do vetor 
w2v3u
2
1
R
���
+−= . 
Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação vem: 
)0,1(we)1,3(v,)4,2(u =−==
���
. Vamos primeiro determinar o vetor R . 
)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(
2
1
R −=+−++=+−−=+−−= 
Logo, ji12R
��
−= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22 =+=−+= 
 
1.2 Cossenos diretores de um vetor 
Seja jyixv
��
�
+= um vetor qualquer do ℜ2. Então v� forma um ângulo com cada 
eixo coordenado. Sejam α e β os ângulos que o vetor v� forma com os eixos Ox e Oy, 
respectivamente. Pela figura abaixo temos: 
|v|
x
)cos( �=α e 
|v|
y
)cos( �=β , chamados 
cossenos diretores do vetor .v
�
 Note que: 1)(cos)(cos 22 =β+α , pois: 
 1
|v|
y
|v|
x
22
=





+





�� e 222 yx|v| +=
�
, então 22 yx|v| +=
�
. 
 
 
 
 
Definição: Considere o vetor jyixv
��
�
+= . Então o versor do vetor v
�
, denotado por 
ov
�
, é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v
�
 e unitário, ou seja, 1vo =
�
, definido 
por 
|v|
v
vo �
�
�
= . 
Como jyixv
��
�
+= ⇒ )y,x(v =
�
 ⇒ 





=⋅=
|v|
y
,
|v|
x
)y,x(
|v|
1
vo ���
�
 ⇒ )cos,(cosvo βα=
�
. 
 
Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine: 
a) Os cossenos diretores do vetor AB . 
b) Um vetor w
�
 de módulo 40 e paralelo ao vetor AB . 
Solução: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB −−=−−=−= , 10)1()3(|AB| 22 =−+−= . Então: 
10
1
|AB|
y
)cos(e
10
3
|AB|
x
)cos(
−
==β−==α 
α
 
β 
O 
v
�
 
y 
x 
P(x,y) 
Oy 
Ox 
19 
 
 
b) Seja )y,x(w =
�
. Se w
�
 é paralelo ao vetor AB , então existe um escalar ℜ∈m tal 
que: ABmw ⋅=
�
. Então: 



−=
−=
=−−⋅=
my
m3x
)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| =
�
, 
então: 40yx 22 =+ ⇒ ( )2222 40yx =




 + ⇒ 40yx 22 =+ ⇒ 
40)m()m3( 22 =−+− ⇒ 2m40m10 2 ±=⇒= . Assim, há duas soluções: para m = 2 ⇒ 
)2,6(w −−=
�
 ou para m = -2 ⇒ )2,6(w =
�
 o seu oposto. Logo, )2,6(w −−=
�
 ou )2,6(w =
�
. 
 
Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v −−=+=
��
. Determine os valores de m 
para que o vetor wv
��
− tenha módulo igual a 6. 
Solução: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv +−+=−−−+=−
��
 
626m8m2)1m()5m(|wv| 222 =++=+−++=−
��
 
05m4m626m8m2 22
2
2
=−+⇒=




 ++ ⇒ 



−=
=
5m
1m
2
1 
Logo para 



−−=−−=⇒−=
−==⇒=
)11,2(we)5,2(v5m
)1,2(we)1,4(v1m
2
1
��
��
 
 
Exemplo (4): Seja )4,3(v =
�
. Ao projetarmos o vetor v
�
 sobre o eixo Ox, obtemos um 
vetor u
�
. Determine o vetor w
�
 que é a projeção do vetor u
�
 na direção do vetor v
�
. 
Solução: Temos que )0,3(u =
�
 e w
�
 é paralelo ao vetor v
�
. Então vw
��
α= . Seja 
)y,x(w =
�
. Então: 



α=
α=
⇒α==
4y
3x
)4,3()y,x(w
�
. Por construção temos: 
5
9
|w|
|v|
|u|
|u|
|w|
cos =⇒==θ
�
�
�
�
�
. Mas ⇒α+α=+= 2222 )4()3(yx|w|
�
 
25
9
5
9
25
5
9
)4()3(|w| 222 =α⇒=α⇒=α+α=
�
 
Portanto: 





=⇒==
25
36
,
25
27
w)4,3(
25
9
)y,x(w
��
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
θ 
x 
4 
3 u
�
 
w
�
 
v
�
 
20 
 
 
Exercícios Propostos: 
1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v −==
��
, determine os vetores bea
�
�
 sabendo que 
bav
�
��
+= e que b
�
 é o triplo do versor do vetor u
�
. 
Resp: 





=





−=
5
11
,
5
22
ae
5
9
,
5
12
b
�
�
 
2) Determine t para que )t2,t(u =
�
 tenha módulo igual a 53 . Resp: t = ± 3 
3) O vetor )8,2(v =
�
 é a soma de um vetor a
�
 que está sobre o eixo Ox com um vetor 
b
�
, cujo módulo é 73 . Determine as possibilidades para os vetores a
�
 e b
�
. 
Resp: 




−==
=−=
)8,3(be)0,5(a
ou)8,3(be)0,1(a
�
�
�
�
 
4) Três pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um triângulo ABC. 
a) Mostre que 0BACBAC =++ . 
b) Determine o perímetro do triângulo ABC.Resp: 5517p2 += 
5) Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e 
)4,3(BDe)4,7(AC −== suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D. 
Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0) 
 
2 Vetores no espaço 
O espaço, também chamado de 3ℜ , onde ℜ×ℜ×ℜ=ℜ3 , é o conjunto de todas 
as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }ℜ∈=ℜ z,y,x/)z,y,x(3 . Logo, 
todo ponto P do 3ℜ é representado por uma terna de números reais P(x,y,z). O 3ℜ é 
representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é constituído por 
três eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é a terna O(0,0,0), chamada de 
origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das abscissas), Oy (eixo 
das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de eixos coordenados, 
orientados como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(–) 
(–) 
(–) 
(+) 
(+) 
(+) 
Oy 
Oz 
Ox 
21 
 
 
Note que os eixos coordenados dividem o espaço e 8 regiões iguais, cada uma 
delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro são os sinais das 
coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3ℜ . Assim: 
 
- Se (x,y,z) pertence ao 1º octante, então x>0, y>0 e z>0. Em símbolos: (+,+,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 2º octante, então x<0, y>0 e z>0. Em símbolos: (–,+,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 3º octante, então x<0, y<0 e z>0. Em símbolos: (–,–,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 4º octante, então x>0, y<0 e z>0. Em símbolos: (+,–,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 5º octante, então x>0, y>0 e z<0. Em símbolos: (+,+,–); 
- Se (x,y,z) pertence ao 6º octante, então x<0, y>0 e z<0. Em símbolos: (–,+,–); 
- Se (x,y,z) pertence ao 7º octante, então x<0, y<0 e z<0. Em símbolos: (–,–,–); 
- Se (x,y,z) pertence ao 8º octante, então x>0, y<0 e z<0. Em símbolos: (+,–,–). 
 
Apesar do 3ℜ ter a representação como acima, para fins de simplificar a 
representação ou a construção geométrica de algo, por convenção, adota-se uma 
representação simplificada do 3ℜ , representando apenas um ou o octante desejado. 
Todo ponto P(x,y,z) do espaço é representado como na figura abaixo, onde x, y e z 
são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox, Oy e Oz e esta 
ordem esta fixada. 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que desejamos representar os pontos P(3,5,6) e Q(-3,5,6). Note 
que P pertence ao 1º octante e Q pertence ao 2º octante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A representação do ponto P(3,5,6) é relativamente simples quando trabalhamos 
com o 1º octante, o que não ocorre com a representação do ponto Q(-3,5,6). As 
representações no 2º ao 8º octantes são complicadas, exigem técnicas do desenho 
Oz 
3 
Ox 
6 
5 
P(3,5,6) 
1º octante 
Oy 
Oy 
x 
Ox 
z 
y 
P(x,y,z) 
Oz 
Oz 
–3 
Ox 
6 
5 
Q(-3,5,6) 
Oy 
1º octante 
2º octante 
22 
 
 
geométrico como noção de profundidade e perspectiva e, nem sempre a visualização 
do que se pretende representar é evidente aos nossos olhos. 
Como estamos interessados em fazer as representações no ℜ3 através de um 
esboço, ou seja, algo simples e não pretendemos realizar construções difíceis e nem 
representações elaboras, o que se adota como convenção é representar o octante 
desejado como se fosse sempre o 1º octante. Por exemplo, poderíamos representar o 
ponto Q(-3,5,6) da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Qualquer vetor do ℜ3 pode ser escrito em função três versores kej,i
���
, cada um 
deles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente. 
Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i ��� será chamado de uma base do ℜ3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela figura acima podemos ver que kzjyixv
���
�
++= , ou seja, o vetor v
�
 é escrito 
em função da base { }k,j,i ��� . A expressão kzjyixv ���� ++= é chamada de expressão 
cartesiana. Note também que, o módulo de um vetor é dado por 222 zyx|v| ++=
�
 
pois: 
 
Do triângulo OQR vem: 222 yxw += 
Do triângulo POR vem: 222 zw|v| +=
�
 
Então: 2222 zyx|v| ++=
�
 
Portanto: 222 zyx|v| ++=
�
 
 
Oz 
-3 
Ox 6 
5 
Q(-3,5,6) 
2º octante 
Oy 
Oy 
x 
kz
�
 
k
�
 
Ox 
j
�
 
jy
�
 
i
�
 
ix
�
 
v
�
 
z 
y 
P(x,y,z) 
Oz 
jyix
��
+ 
w 
v
�
R 
Q 
P 
O z 
z 
y 
y 
x 
23 
 
 
Todo vetor do espaço será representado a partir da origem do sistema, ou seja, 
a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com 
algum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um ponto do espaço 
e simplesmente escrever que )z,y,x(v =
�
. 
Por exemplo: O vetor k6j5i3v
���
�
++= é escrito como )6,5,3(v =
�
 e representá-lo 
no ℜ3, marcando o ponto P e unindo este ponto à origem do sistema, sempre fazendo 
coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do vetor com o 
ponto P. Veja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ3 na forma cartesiana 
Sejam kzjyixvekzjyixv 22221111
���
�
���
�
++=++= dois vetores quaisquer do ℜ3 e 
um escalar qualquer ℜ∈α . Então: 
- Adição: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121
���
��
+++++=+ 
- Subtração: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121
���
��
−+−+−=− 
- Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111
���
�
α+α+α=⋅α 
 
Exemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2u
�
�
��
�
��
�
−=++−=+= , três vetores do espaço. 
Determine o módulo do vetor w2v3u
2
1
R
���
+−= . 
Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação, 
escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u −=−==
���
. Determinando o vetor R vem: 
)0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2(
2
1
R −+−−=−+−−= ⇒ 
)6,3,10()060,232,091(R −−=+−−−++= . Logo, k6j3i10R
���
−−= 
Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222 =++=−+−+= . 
 
 
Oz 
3 
Ox 
v
�
6 
5 
P(3,5,6) 
Oy 
24 
 
 
2.2 Cossenos diretores de um vetor 
Seja kzjyixv
���
�
++= um vetor qualquer do ℜ3. Então v
�
 forma um ângulo com 
cada eixo coordenado. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor forma com os eixos Ox, 
Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos: 
 
|v|
x
)cos( �=α , 
|v|
y
)cos( �=β , 
|v|
z
)cos( �=γ 
 
chamados de co-senos diretores do vetor .v
�
 
 
Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 =γ+β+α 
 
 
 
 
Definição: Considere o vetor kzjyixv
���
�
++= . Então o versor do vetor v
�
, denotado 
por ov
�
, é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v
�
 e unitário, ou seja, 1vo =
�
, 
definido por 
|v|
v
vo �
�
�
= . 
Como kzjyixv
���
�
++= ⇒ )z,y,x(v =
�
 ⇒ 





=⋅=
|v|
z
,
|v|
y
,
|v|
x
)z,y,x(
|v|
1
vo ����
�
 ⇒ 
)cos,cos,(cosvo γβα=
�
. 
 
2.3 Condição de paralelismo entre dois vetores. 
Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 ==
��
 dois vetores paralelos, ou seja, eles têm a 
mesma direção, então existe um escalar m∈ℜ tal que vmu �� ⋅= . Logo: 









=⇒=
=⇒=
=⇒=
⇒⋅=
2
1
21
2
1
21
2
1
21
222111
z
z
mmzz
y
y
mmyy
x
x
mmxx
)z,y,x(m)z,y,x( ⇒ 
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
m === , 
0ze0y,0xcom 222 ≠≠≠ . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos é 
necessário que haja uma proporção entre suas coordenadas, isto é, eles são múltiplos 
escalares. 
y 
γ 
β 
Ox 
x 
α 
|v|
�
 
z 
P(x,y,z) Oz 
Oy 
25 
 
 
Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u=
�
, )4,8,2(v =
�
 e )4,6,2(w =
�
. Temos 
que u
�
 e v
�
são paralelos, pois u2v
��
⋅= e 2
2
4
4
8
1
2
=== . Note que u
�
 e w
�
 não são 
paralelos, pois 
2
4
4
6
1
2
≠≠ , ou seja, não existe nenhum escalar m∈ℜ tal umw �� ⋅= . 
 
2.4 Condição de coplanaridade entre três vetores 
Sejam )z,y,x(u 111=
�
, )z,y,x(v 222=
�
 e )z,y,x(w 333=
�
 vetores coplanares, 
ou seja, vetores que estão no mesmo plano, então existem escalares m, n ∈ℜ tais 
que wnvmu
���
+= . 
 
 
 
 
 
Então: ⇒⋅+⋅= )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111 





=+
=+
=+
132
132
132
znzmz
ynymy
xnxmx
 
 Podemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujo 
determinante é igual a zero, pois existe uma combinação linear entre suas linhas, ou 
seja, a primeira linha é m vezes a segunda mais n vezes a terceira. Portanto, a 
condição para que três vetores sejam coplanares é verificada quando 
0
zyx
zyx
zyx
333
222
111
= . 
 
Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor w
�
 paralelo 
ao vetor PQ e que tenha módulo igual a 6. 
Solução: Sejam )z,y,x(w =
�
. Como w
�
 é paralelo a PQ , então PQw α=
�
 ⇒ 
)2,2,1()z,y,x( −−−α= . Então: 





α−=
α−=
α−=
2z
2y
x
. O módulo de )z,y,x(w =
�
 é igual 
6zyx 222 =++ ⇒ 2696)2()2()( 2222 ±=α⇒=α⇒=α−+α−+α− . Portanto, 
)4,4,2(wou)4,4,2(w −−−==
��
. 
 
vm
�
 v
�
w
�
 
wn
�
 
u
�
 
26 
 
 
Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 =−=
��
 estão aplicados no mesmo ponto 
A. Determine um vetor AB de módulo 32 , cuja direção é a direção da bissetriz do 
ângulo formado pelos vetores 21 vev
��
. 
Solução: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ângulo entre 21 vev
��
, é 
necessário que |v||v| 2211
��
α=α ⇒ 22
222
1 12)1(2 ⋅α=+−+⋅α ⇒ 12 3α±=α . Pela 
figura acima podemos ver que 2211 vvAB
��
α+α= . Daí segue que: 
Para 12 3α=α ⇒ 2111 v3vAB
��
α+α= ⇒ )v3v(AB 211
��
+α= ⇒ 
[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +−⋅α= ⇒ 





α=
α=
α=
1
1
1
2z
2y
2x
. 
 Como 32)2()2()2(32zyx32|AB| 21
2
1
2
1
222
=α+α+α⇒=++⇒= ⇒ 
132323212 11
2
1 ±=α⇒±=α⇒=α . Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB −−−== 
Para 12 3α−=α ⇒ 2111 v3vAB
��
α−α= ⇒ )v3v(AB 211
��
−α= ⇒ 
[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 −−⋅α= ⇒ 





α=
α−=
α=
1
1
1
2z
4y
2x
. 
 Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 21
2
1
2
1
222
=α+α−+α⇒=++⇒= ⇒ 
2
2
12243224 1
2
1
2
1 ±=α⇒=α⇒=α . 
 Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB −+−=−= 
 
 
Exemplo (8): Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de 
reta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 . 
Solução: Seja M(x,y,z) o ponto médio do segmento AB . O ponto M é tal que 
MBAM = ou M-A = B-M. Então: 










+=
+=
+=
⇒
−=−
−=−
−=−
⇒−−−=−−−
21
21
21
21
21
21
222111
zzz2
yyy2
xxx2
zzzz
yyyy
xxxx
)zz,yy,xx()zz,yy,xx( 
Portanto: Ponto médio 




 +++
2
zz
,
2
yy
,
2
xx
M 212121 
 
 
B 
A 
AB 
1v
�
 
2v
�
 
11v
�
α 
22v
�
α 
α 
α 
27 
 
 
Exercícios Propostos: 
1) Encontrar os valores a e b tais que ubvaw
���
+= , sendo )14,4,4(w −−=
�
, 
)1,2,1(v −=
�
 e )4,0,2(u −=
�
. Resp: a =2 e b = -3 
2) Determine o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). 
Resp: Q(-5,-1,-4) 
3) Um vetor w
�
 do ℜ3 forma com os eixos Ox e Oy, ângulos de 60o e 1200, 
respectivamente. Determine w
�
 para que ele tenha módulo igual a 2. 
Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w −−=−=
��
 
4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a ==
�
�
. O ângulo entre eles é 45o. Calcule o ângulo entre os 
vetores baeba
�
�
�
�
−+ . Resp: 








−=θ
5
5
arccos 
5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , até que ponto se deve prolongar o 
segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de 
valor? Resp: (9,7,11) 
 
COMENTÁRIOS IMPORTANTES 
1) Como podemos identificar um vetor kzjyixv
���
�
++= com um ponto do ℜ3 e, a fim 
de simplificar a notação, escrevermos )z,y,x(v =
�
, é muito comum o aluno confundir 
as notações de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v =
�
. Às vezes até, fazer 
operações que são permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos pontos. 
Portanto, cuidado com as notações. 
2) A linguagem matemática é uma linguagem como outra qualquer, com suas regras 
e conectivos lógicos. As próprias línguas (português, inglês, alemão,...) possuem suas 
regras de construção (concordâncias, ortografia, conjugação verbal,...) as quais 
devem ser empregadas corretamente para que as frases e os parágrafos tenham 
sentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem computacional você 
esquecer-se de digitar um ponto ou uma vírgula, seu programa não “roda” e enviará 
uma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos esquecemos de digitar um 
ponto ou uma letra em um site da internet ou um e-mail, não vamos conseguir 
navegar ou enviar uma mensagem. Assim também é linguagem matemática. Se você 
não escreve corretamente, seu desenvolvimento matemático ficará sem sentido e o 
professor, provavelmente, vai lhe enviar uma mensagem de erro que é a sua nota. 
Portanto, procure usar os símbolos de maneira correta e ordenada, para aqueles que 
lerem seu desenvolvimento matemático possa entender o seu raciocínio.