Coordenadas Polares

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96 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
CAPÍTULO 9 
 
COORDENADAS POLARES 
 
 
 
O plano, também chamado de ℜ2, onde { }ℜ∈=ℜℜ=ℜ y,x/)y,x(x2 , ou seja, o 
produto cartesiano de ℜ por ℜ, é o conjunto de todos os pares ordenados 
ℜ∈∀ yex),y,x( . Ele é representado pelo Sistema de Coordenadas Cartesianas 
Ortogonal, o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja 
interseção é o par ordenado O(0,0) , chamado de origem do sistema. Esses eixos são 
denotados por Ox e Oy e chamados de eixos coordenados, orientados como mostra a 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Todo ponto P(x,y) do plano é representado como na figura acima, onde x e y 
são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Existe uma 
correspondência biunívoca entre pares ordenados de números reais e pontos do 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. 
No entanto, existe outro sistema de coordenadas capaz de representar o plano. 
É o Sistema de Coordenadas Polares, o qual é constituído por apenas um semi-
eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de origem p, chamado pólo. 
Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρρρρ,θθθθ), onde ρρρρ é à 
distância do ponto P ao pólo p e θθθθ é o ângulo formado entre o segmento Pp e o semi-
eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a partir do eixo polar e no sentido anti-
horário. Assim, 0≥ρ e pi≤θ≤ 20 . 
 
 
 
 
 
y 
x 
P(x,y) 
(0,0) 
(–) 
(–) 
Oy (+) 
(+) 
Ox 
I 
II 
IV III 
θ 
e p 
P(ρ,θ) 
ρ 
97 
 
Exemplo (1): Representar no Sistema de Coordenadas Polares os seguintes pontos 
do plano: a) ),3(P
3
pi b) ),5(Q
3
2pi c) ),3(R
2
3pi 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos relacionar o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais com o 
Sistema de Coordenadas Polares. Coincidindo a origem O(0,0) do sistema cartesiano 
com o pólo p do sistema polar e o semi-eixo polar com o semi-eixo positivo do eixo 
Ox. 
 
 
 
 
 
 
No triângulo retângulo temos: 222 yx +=ρ e 






θρ=⇒
ρ
=θ
θρ=⇒
ρ
=θ
seny
y
sen
cosx
x
cos
. Pode-se 
determinar o ângulo θ pelas relações anteriores ou por 





=θ
x
y
arctg , observando os 
sinais das coordenadas x e y para definir a qual quadrante pertence o ângulo θ. 
Portanto, as relações 222 yx +=ρ e 



θρ=
θρ=
seny
cosx
, são consideradas as equações de 
transformação de coordenadas entre o sistema cartesiano e o sistema polar. 
 
Exemplo (2): Transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares os 
seguintes pontos do plano: a) 








2
5
,
2
35
P b) )1,1(Q − . 
Solução: Usando as equações de transformação temos: 
),()y,x(P θρ≡ 
θ 
ρ 
y 
x 
Oy 
pO ≡ 
e 
Ox 
R 
2
3pi 
3 
5 
3
2pi 3 
Q 
3
pi 
e p 
P 
p 
98 
 
a) 5
2
5
2
35
yx
22
222
=ρ⇒





+








=+=ρ e 









=θ⇒=θ⇒
ρ
=θ
=θ⇒=θ⇒
ρ
=θ
2
1
sen
5
2
5
sen
y
sen
2
3
cos
5
2
35
cos
x
cos
 ⇒ 
6
pi
=θ . Portanto, ),5(P 6pi . 
b) 2)1(1 222 =ρ⇒−+=ρ e 







−=θ⇒−=θ⇒
ρ
=θ
=θ⇒=θ⇒
ρ
=θ
2
2
sen
2
1
sen
y
sen
2
2
cos
2
1
cos
x
cos
 ⇒ 
4
7pi
=θ . 
Portanto, ),2(Q 4
7pi . 
 
Exemplo (3): Transformar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas os 
seguintes pontos do plano: a) ( )34,2P pi b) ),7(Q 65pi . 
Solução: 
a) Usando as equações de transformação temos: 
 




−=⇒=⇒θρ=
−=⇒=⇒θρ=
pi
pi
3ysen2yseny
1xcos2xcosx
3
4
3
4
. Portanto, )3,1(P −− . 
b) Analogamente para o ponto Q: 






=⇒=
−=⇒=
pi
pi
2
7
ysen7y
2
37
xcos7x
6
5
6
5
. Portanto, 








−
2
7
,
2
37
Q . 
 
 
1 Equação Polar das Cônicas 
 
1.1 Circunferência 
Seja uma circunferência, representada no sistema polar, de centro ),(C αδ e raio 
r. Seja ),(P θρ um ponto qualquer da circunferência. 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei dos co-senos no triângulo pCP, temos: 
)cos(2r 222 α−θρδ−δ+ρ= , que é a equação polar da circunferência. 
p e 
ρ 
θ-α 
α θ 
),(P θρ 
C δ 
r 
99 
 
Alguns casos interessantes são: 
 
a) circunferência que contém o pólo. Neste caso r=δ . 
 
 
 
 
 
 
)cos(r2rr 222 α−θρ−+ρ= ⇒ )cos(r2( α−θ−ρ⋅ρ ⇒



α−θ=ρ⇒α−θ−ρ
=ρ
)cos(r2)cos(r2
0
 
Das relações anteriores vem que: 0=ρ é chamada de equação do pólo e 
)cos(r2 α−θ=ρ é a equação da circunferência que contém o pólo. 
 
b) circunferência com centro sobre o pólo. Neste caso 0=δ . 
 
 
 
 
 
 
)cos(020r 222 α−θ⋅⋅ρ−+ρ= ⇒ 22r ρ= ⇒ ρ=r . Portanto, a expressão ρ=r é 
a equação da circunferência com centro sobre o pólo. 
 
1.2 Elipse 
Considere uma elipse de eixo maior horizontal a2AA 21 = , eixo menor 
b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo. 
Seja ),(P θρ um ponto qualquer da elipse, na qual fazemos coincidir o pólo p 
com o foco F1 e o eixo polar com o eixo maior da elipse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
p e 
ρ 
θ-α 
α θ 
),(P θρ 
C 
δ=r 
p≡C 
e 
θ 
),(P θρ 
ρ=r 
A2 
),(P θρ 
B2 
e A1 
B1 
F1≡p F2 
ρ δ 
θ 2c 
100 
 
Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que: 
θρ−+ρ=δ cosc4c4 222 . Da definição da elipse temos que a2|PF||PF| 21 =+ ⇒ 
a2=ρ+δ ⇒ ρ−=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos cossenos vem que: 
θρ−+ρ=ρ− cosc4c4)a2( 222 ⇒ θρ−+ρ=ρ+ρ− cosc4c4a4a4 2222 . Da relação 
notável da elipse 222 cba += ⇒ 222 bca =− . Então: )cosca(ca
2b
22 θ−ρ=−
�����
 ⇒ 
)cosca(b2 θ−ρ= ⇒ 
θ−
=ρ
cosca
b2
. Portanto, 
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cosca
b2
, que é a equação polar 
da elipse. 
Da equação polar 
θ−
=ρ
cosca
b2
, dividindo todos os termos do segundo membro 
da expressão pela constante a, vem que 
θ−
=ρ
cos
a
c
a
a
a
b2
. Fazendo 
a
b
p
2
= , chamado de 
parâmetro da elipse e 
a
c
e = é a excentricidade. Assim, equação polar da elipse é 
mais comumente dada por 
θ−
=ρ
cose1
p
. 
 
1.3 Hipérbole 
Considere uma hipérbole de eixo real horizontal a2AA 21 = , eixo menor 
b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo. Façamos 
coincidir o pólo p com o foco F2 e o eixo polar com o eixo real da hipérbole. Seja 
),(P θρ um ponto qualquer da hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que: 
)180cos(c4c4 o222 θ−ρ−+ρ=δ . Da definição da hipérbole temos que 
a2|PF||PF| 21 =− ⇒ a2=ρ−δ ⇒ ρ+=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos 
δ 
180o-θ θ 
ρ 
e 
),(P θρ 
F1 F2≡p C 
2c 
101 
 
cossenos: θρ++ρ=ρ+ cosc4c4)a2( 222 ⇒ θρ++ρ=ρ+ρ+ cosc4c4a4a4 2222 ⇒ 
)cosca(ca 22 θ⋅+−⋅ρ=− . Da relação notável da hipérbole 222 bac += ⇒ 
222 bca −=− ⇒ )cosca(ca
2b
22 θ⋅+−⋅ρ=−
−
�����
. Portanto: 
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cosca
b2
, que é a 
equação polar da hipérbole. 
Da equação polar 
θ−
=ρ
cosca
b2
, dividindo todos os termos do segundo membro 
da expressão pela constante a, vem que 
θ−
=ρ
cos
a
c
a
a
a
b2
. Fazendo 
a
b
p
2
= , chamado de 
parâmetro da hipérbole e 
a
c
e = é a excentricidade. Assim, equação polar da hipérbole 
é mais comumente dada por 
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cose1
p
. 
 
1.4 Parábola 
Considere uma parábola de eixo de simetria horizontal com vértice V, foco F e 
pRF = . Seja P(ρ,θ) um ponto qualquer da parábola. Façamos coincidir o pólo p com o 
foco F e o eixo polar com o eixo de simetria da parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo PQF vem que: 
ρ
ρ−
=θ−=θ− pcos)180cos( o ⇒ 
θ−
=ρ
cos1
p
, onde 
p é o parâmetro da parábola. Portanto, a equação polar da parábola é 
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cos1
p
. 
 
OBS: Note que, a elipse, a hipérbole e a parábola têm as equações polares 
semelhantes a menos da excentricidade 
a
c
e = que para a elipse ( 1e0 << ) e para a 
hipérbole ( 1e > ). Outro fato importante é que, apesar de adotarmos os mesmos 
símbolos a2AA 21 = , b2BB 21 = e c2FF 21 = para a elipse e para a hipérbole, eles 
tem significados geométricos diferentes na definição de cada cônica, mesmo porque a 
p-ρ 
180o-θ 
(d) 
Q 
θ 
ρ 
e 
),(P θρ 
V 
p 
ρ 
F
≡R 
102 
 
relação notável da elipse é 222 cba += e da hipérbole é 222 bac += . Assim, o 
parâmetro 
a
b
p
2
= , adotado na equação polar da elipse e da hipérbole é diferente e 
não tem nada em comum com o parâmetro p da definição da parábola. 
 
Exemplo (4): Determine a equação geral da circunferência de equação polar 
θ−=ρ sen6 . 
Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22 yx +=ρ e 
θ⋅ρ= seny ⇒ 
ρ
=θ ysen . Substituindo na equação θ−=ρ sen6 vem que: 
22
22
yx
y
6yx
+
⋅−=+ ⇒ y6yx
2
22
−=




 + ⇒ 0y6yx 22 =++ . 
 
Exemplo (5): Dada a elipse de eixo maior horizontal e equação polar 
θ−
=ρ
cos35
32
, 
escrever suas equações paramétricas e a equação reduzida. 
Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22 yx +=ρ e 
θ⋅ρ= cosx ⇒ 
ρ
=θ xcos . Substituindo na equação 
θ−
=ρ
cos35
32
 vem que: 
ρ
⋅−
=ρ
x
35
32
 ⇒ 
ρ
−ρ
=ρ
x35
32
 ⇒ ρ⋅=−ρ⋅ρ 32)x35( ⇒ 32x35 =−ρ ⇒ 32x35 +=ρ ⇒ 
22 )32x3()5( +=ρ ⇒ 1024x192x925 22 ++=ρ ⇒ 1024x192x9)yx(25 222 ++=+ 
⇒ 1024x192x9y25x25 222 =−−+ ⇒ 1024y25x192x16 22 =+− . Escrevendo na 
forma reduzida vem que: 1024y25)3636x12x(16 22 =+−+−⋅ ⇒ 
1600y25)6x(16 22 =+−⋅ ⇒ 1
64
y
100
)6x( 22
=+
−
 (equação reduzida). Como a elipse é 
de eixo maior horizontal então: 




=⇒=
=⇒=
8b64b
10a100a
2
2
 e centro )n,m()0,6(C = . Assim, 
suas equações paramétricas são: 



θ+=
θ+=
senany
cosbmx
 ⇒ 



θ⋅=
θ⋅+=
sen8y
cos106x
. 
 
 
 
 
 
103 
 
Exercícios Propostos 
1) Determine a equação geral da circunferência de centro ),2(C 2
pi , sabendo-se que 
ela passa pelo ponto ),6(P 6
11pi . Resp: 048y4yx 22 =−−+ 
2) Qual é a equação polar da elipse de equação geral 024y4x24yx4 22 =++−+ ? 
Resp: 
θ−
=ρ
cos1
1
2
3
 
3) Seja a hipérbole de equação 0144y16x9 22 =−− . Determine sua equação polar e 
as coordenadas polares dos focos. Resp: 
θ−
=ρ
cos54
9
, ),5(Fe)0,5(F 21 pi 
4) Determine a equação polar e as coordenadas polares do vértice da parábola 
6x4xy 2
2
1
−+−= . 
Resp: 
θ−
=ρ
cos1
4
1
 e ),52(V θ , onde 





=θ
5
5arcsen , do 1º quadrante. 
5) Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é 
θ−
=ρ
cos75
24
. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas. 
Resp: 




θ=
θ=
=+
− sec5y
tg62xe1
25
y
24
x 22
 
6) Determine a equação polar da elipse 



θ+=
θ+=
sen162y
cos203x
. Resp: 
θ−
=ρ
cos35
64
 
7) O foco de uma parábola é o ponto (4,3) e sua diretriz é a reta x = 2. Determine 
sua equação polar. Resp: 
θ−
=ρ
cos1
2