exemplo_completo_Kozak

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DENDROMETRIA FUNÇÕES DE FORMA 
 
 D. J. de Figueiredo 
 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
 - PARA MODELO DE KOZAK, MUNRO E SMITH 
 
2
i
2
i
10
2
cc31
i
h
h
h
h
d
d





















/,
 
       
 Yi = b0 + b1 . X1i + b2 . X2i 
 
Nº de 
obs. 
Árv. 
nº 
h (m) D1,3 c/c 
(cm) 
hi (m) di s/c 
(cm) 
Yi 
(di²/d²1,3c/c) 
X1i (hi/h) X2i (hi/h)² 
1 1 19,1 31,0 0,2 34,4 1,23138 0,01047 0,0001096 
2 1 19,1 31,0 0,5 30,8 0,98714 0,02617 0,0006849 
3 1 19,1 31,0 1,3 28,0 0,81582 0,06806 0,0046322 
4 1 19,1 31,0 2,3 25,8 

 

  
5 1 19,1 31,0 3,3 25,5 

 

 

 
6 1 19,1 31,0 4,3 24,3 

 

 

 
7 1 19,1 31,0 5,3 24,2 

 

 

 
8 1 19,1 31,0 6,3 23,7 

 

 

 
9 1 19,1 31,0 7,3 23,4 

 

 

 
10 1 19,1 31,0 8,3 22,0 

 

 

 
11 1 19,1 31,0 9,3 20,8 

 

 

 
12 1 19,1 31,0 10,3 19,2 

 

 

 
13 1 19,1 31,0 11,3 17,6 

 

 

 
14 1 19,1 31,0 12,3 15,2 

 

 

 
15 1 19,1 31,0 13,3 12,3 

 

 

 
16 1 19,1 31,0 14,3 11,6 

 

 

 
17 1 19,1 31,0 15,3 7,0 

 

 

 
18 1 19,1 31,0 16,3 5,1 

 

 

 
19 1 19,1 31,0 17,3 3,3 0,01133 0,90576 0,8204012 
20 1 19,1 31,0 18,3 2,3 0,00550 0,95812 0,9179939 
21 1 19,1 31,0 19,1 0 0 1 1 
22 2 23,0 30,0 0,2 32,0 1,13778 0,00869 0,0000755 

 2 23,0 30,0 0,5 30,8 1,05404 0,02174 0,0004726 

 2 23,0 30,0 1,3 27,7 0,85254 0,05652 0,0031945 

 2 

 

 

 

 

 

 

 

 2 23,0 30,0 23,0 0 0 1 1 

 3 16,5 23,1 0,1 25,0 1,17127 0,00606 0,0000367 

 3 

 

 

 

 

 

 

 

 3 16,5 23,1 16,5 0 0 1 1 
n N 
 diobs Yi X1i X2i 
 N = número de árvores n = número de observações 
 DENDROMETRIA FUNÇÕES DE FORMA 
 
 D. J. de Figueiredo 
 Por solução matricial, foram estimados os seguintes coeficientes da função, para este conjunto 
 de dados: 
 b0 = 1,014105 b1 = -1,511447 b2 = 0,4681998 
 
 OBS.: RECÁLCULO DO ERRO 
- O erro da equação (syx) resultante da ANOVA 
 QMErro
  é para a variável 









2
cc31
2
i
i
d
d
y
/,
, portanto é necessário recalcular o erro para a variável de interesse, ou seja: 
diâmetros (di) estimados à diferentes alturas (hi), pela seguinte fórmula: 
 
  
pn
iyyi
syx
2
R



ˆ e 
n
yi
100syx
syxR 

.
% 
 onde: 
 
 
yi
= diâmetro (di ) observado na altura hi 
 
 
iyˆ
= diâmetro (
idˆ
) estimado na altura hi 
 
 n = número de observações 
 
 p = número de parâmetros estimados (coeficientes do modelo ajustado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº de 
obs. 
Árv. 
nº )(mhi
 
)( ii yd
 
)ˆ(ˆ ii yd
 
2
ii dd )
ˆ( 
 
1 1 0,2 34,4 
2 1 0,5 30,8 

 

 

 

 

 

 

 1 18,3 2,3 

 1 19,1 0 

 2 0,2 32,0 

 2 0,5 30,8 

 

 

 

 

 

 

 2 22,3 1,8 

 2 23,0 0 

 3 0,1 25,0 

 

 

 

 

 

 
 
iy
 
2
ii yy )ˆ( 
 
 DENDROMETRIA FUNÇÕES DE FORMA 
 
 D. J. de Figueiredo 
 onde: 
 





















2
i
2
i
10
22
i
h
h
b
h
h
bbdd
cc31 /,
 
 
 
2
i
2
i
10cc31i
h
h
b
h
h
bbdd 











 /,
ˆ 
 
 
 1ª APLICAÇÃO: 
 
 - Estimativa de um diâmetro 
)ˆ( id
 a uma dada altura (hi). 
 Ex.: qual o diâmetro 
)ˆ( id
 estimado à 12,30m (hi), para a árvore 1: 
 
H = 19,1 m; e DAPc/c = 31,0 cm 
 
 Substituindo-se na fórmula de trabalho, tem-se: 
 
 
2
119
312
46819980
119
312
5114471014105131id 












,
,
,
,
,
,,ˆ 
 
03,15ˆ id
cm 
 Comparando-se com o diâmetro (di )medido na mesma altura para árvore 1, tem-se : 
 d12,30 = 15,2 cm. 
 
 2ª APLICAÇÃO: 
 
 - Estimativa de uma altura 
)ˆ( ih
onde se encontra um dado diâmetro (di). 
Ex.: sabendo-se que o diâmetro mínimo para serraria é igual a 15,2 cm (di), qual é a altura 
)ˆ( ih
comercial para serraria ( para a árvore 1)? 
 
H = 19,1 m ; DAPc/c = 31 cm ; di = 15,2 cm 
 
?hi 
 
 
 DENDROMETRIA FUNÇÕES DE FORMA 
 
 D. J. de Figueiredo 
 A equação original: 
 
2
i
2
i
102
cc31
2
i
h
h
b
h
h
bb
d
d













/,
 igualada a zero: 
 
 0
d
d
b
h
h
b
h
h
b
2
31
2
i
0
i
1
2
i
2 











,
 
      
 a x² + b x + c = 0 
 
 
a2
ac4bb
x
2 

 onde x = hi/h 
 
 então: 
 
 
2
2
/3,1
2
1
02
2
11
2
)(4
b
d
d
bbbb
h
h cc
i
i











 logo: 
 
 
2
2
cc31
2
i
0
2
2
2
11
i
b2
d
d
bhb4hbhb
h










/,
)(
ˆ
 então, 
 
 
468199802
31
215
014105111946819980411951144711195114471
h
2
2
22
i
,.
,
,,.,.),.,(),.,(
ˆ







 
 
 
 
m212hi ,
ˆ 
 
 Comparando-se com a altura(hi) onde foi medido o d15,2cm para a árvore 1, tem-se : h= 12,30m 
 
 DENDROMETRIA FUNÇÕES DE FORMA 
 
 D. J. de Figueiredo 
 
 
 3ª APLICAÇÃO: 
 
 - Estimativa de volumes parciais ou total 
 - Necessário integrar a função de forma ajustada. 
 
 
 
 
 
 Como 
 
 
2
i
2
i
10cc31i
h
h
b
h
h
bbdd 





 /, 
 
 
















 
2
i
2
i
10
h
h
2
cc31
h
h
b
h
h
bbd
40000
v
2
1
/,y 
 
 x 
dxyS 
 
 Como y = di e 
 x = dh 
 di . dh = área 
 di 
h 
 dxyv
2
 
 Como y = di 
 x = h 

2
1
2)(
40000
h
h
dhdiv

 
 DENDROMETRIA FUNÇÕES DE FORMA 
 
 D. J. de Figueiredo 
  









2
1
h
h 2
2
i
2
i
10
2
cc31 dh
h
h
b
h
h
bbd
40000
v /, 
 
 Integral do tipo: 
 



C
1n
u
duu
1n
n 
 
 
2
1
h
h
2
3
i2
2
i1
i0
2
cc31
h3
hb
h2
hb
hbd
40000
v 







 /, 
 
 volume até uma dada altura da árvore, h1 = 0 até h2 
 
 DESEJANDO-SE O VOLUME PARCIAL, USAMOS: 
 
 

























2
3
2
2
11
10
3
22
2
21
20
2
cc31
h3
hb
h2
hb
hb
h3
hb
h2
hb
hbd
40000
v 1
2
/,
ˆ 
 ou 
 
   




 





2
3
1
3
22
2
1
2
21
120
2
cc31
h3
hhb
h2
hhb
hhbd
40000
v
)()(
ˆ
/,
 
 
 Ex. a) Estimar o volume parcial até 12,3 m (para a árvore 1) 
 
 
  




 





2
3322
2
1193
2031246819980
1192
203125114471
20312014105131
40000
v
),(.
),,(,
,.
),,(,
,,,.ˆ
 
 
 3m5345490v ,ˆ  
 
 Comparando-se com o volume real calculado por Smalian, tem-se: V12,3 = 0,527126 m
3
. 
 
 
 
 DENDROMETRIA FUNÇÕES DE FORMA 
 
 D. J. de Figueiredo 
 Ex. b) Estimar o volume parcial compreendido entre 2,30 m e 7,30 m (para a árvore 1) 
 





 





2
3322
2
1193
323746819980
1192
32375114471
3237014105131
40000
v
),(.
),,(,
,.
),,(,
),,(,.ˆ
 
 
 3m2515290v ,ˆ  
 
 Comparando-se com o volume real calculado por Smalian, tem-se: V2,3 – 7,3
 
= 0,232724 m
3
. 
 
 
 
 Ex. c) Estimar o volume total (para a árvore 1) 
 
 





 





2
3322
2
1193
2011946819980
1192
201195114471
20119014105131
40000
v
),(.
),,(,
,.
),,(,
),,(,.ˆ
 
 
 
 3m5822820v ,ˆ  
 
 Comparando-se com o volume real calculado por Smalian, tem-se: Vt
 
= 0,576182 m
3
.