Material para estudo - Geometria Analítica

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MATERIAL PARA ESTUDO DE GEOMETRIA ANALÍ
 
O peso é a força que resulta da ação da gravidade sobre os corpos e pode ser indicado em quilograma
(kgf.). Na figura a seguir temos um automóvel que está estacionado em uma ladeira.
 
Sabe-se que a força do automóvel no sentido da ladeira é de 500 
Qual é o peso desse automóvel? 
 
Utilize a fórmula 
v = √a² + b² 
 
v = √ 800² + 500²
v = 943,4 kgf.
 
 
 
 
 
Uma aeronave se desloca em linha reta a uma velocidade de 160 km por hora em direção a oeste. Sua 
trajetória tem influência de um vento sul de 40 km por hora. A figura abaixo apresenta os respectivos veto
 
 
Quando uma aeronave decola, ela possui um determinado ângulo de subida que está associado à sua 
velocidade e à sua razão de subida, o que implica também em 
Logo após a decolagem, espera-se que o avião tenha o maior ângulo de subida. Há uma velocidade 
recomendada para isso. Vôos muito lentos ou muito rápidos resultam em baixos ângulos de subida. Quando 
a densidade do ar é alta, quando a aeronave tem uma ár
alta potência disponível, o ângulo de subida é maior.
Para uma aeronave que apresenta uma velocidade de 180 km/h e uma velocidade horizontal de 90 km/h, qual 
é o respectivo ângulo de subida? 
 
 
Usa-se o cos 
 
 
 
Grandezas escalares estão definidas pela sua intensidade e grandezas vetoriais, para estarem bem definidas, 
precisam não só da intensidade, mas também das informações referentes à direção e ao sentido. São 
exemplos de grandezas vetoriais: 
 
I. Temperatura (F) 
II. Velocidade (V) 
III. Tempo (F) 
IV. Massa (F) 
V. Aceleração (V) 
 
Resposta: F,V,F,F,V 
 
 
As figuras abaixo apresentam um aparador de porta em formato de fatia de queijo.
igual a 5 cm. Se o comprimento da base é igual a 13
maior face do aparador? 
 
 
L PARA ESTUDO DE GEOMETRIA ANALÍTICA. 
O peso é a força que resulta da ação da gravidade sobre os corpos e pode ser indicado em quilograma
). Na figura a seguir temos um automóvel que está estacionado em uma ladeira.
do automóvel no sentido da ladeira é de 500 kgf. e que a força contra o solo é de 800 kgf. 
Utilize a fórmula 
 
² + 500² 
kgf. 
Uma aeronave se desloca em linha reta a uma velocidade de 160 km por hora em direção a oeste. Sua 
trajetória tem influência de um vento sul de 40 km por hora. A figura abaixo apresenta os respectivos veto
 
Utilize a fórmula 
v = √a² + b² 
v = √40² + 160² 
v = 164,92 km/h 
 
Quando uma aeronave decola, ela possui um determinado ângulo de subida que está associado à sua 
velocidade e à sua razão de subida, o que implica também em certa velocidade horizont
se que o avião tenha o maior ângulo de subida. Há uma velocidade 
muito lentos ou muito rápidos resultam em baixos ângulos de subida. Quando 
a densidade do ar é alta, quando a aeronave tem uma área de asa maior, um baixo peso ou quando há uma 
alta potência disponível, o ângulo de subida é maior. 
Para uma aeronave que apresenta uma velocidade de 180 km/h e uma velocidade horizontal de 90 km/h, qual 
 
se o cos (0) = 90 / 180 � 0,5 � 60 graus 
Grandezas escalares estão definidas pela sua intensidade e grandezas vetoriais, para estarem bem definidas, 
precisam não só da intensidade, mas também das informações referentes à direção e ao sentido. São 
As figuras abaixo apresentam um aparador de porta em formato de fatia de queijo. 
imento da base é igual a 13 cm e a altura é igual a 4 cm, qual é o comprimento da 
O peso é a força que resulta da ação da gravidade sobre os corpos e pode ser indicado em quilograma-força 
). Na figura a seguir temos um automóvel que está estacionado em uma ladeira. 
e que a força contra o solo é de 800 kgf. 
Uma aeronave se desloca em linha reta a uma velocidade de 160 km por hora em direção a oeste. Sua 
trajetória tem influência de um vento sul de 40 km por hora. A figura abaixo apresenta os respectivos vetores. 
Quando uma aeronave decola, ela possui um determinado ângulo de subida que está associado à sua 
velocidade horizontal. 
se que o avião tenha o maior ângulo de subida. Há uma velocidade 
muito lentos ou muito rápidos resultam em baixos ângulos de subida. Quando 
ea de asa maior, um baixo peso ou quando há uma 
Para uma aeronave que apresenta uma velocidade de 180 km/h e uma velocidade horizontal de 90 km/h, qual 
 
Grandezas escalares estão definidas pela sua intensidade e grandezas vetoriais, para estarem bem definidas, 
precisam não só da intensidade, mas também das informações referentes à direção e ao sentido. São 
 A largura do aparador é 
cm, qual é o comprimento da 
Despreze a largura e u
v = √a² + b² 
v = √13² + 4²
v = √169 + 16
v = √185 � 
 
 
 
A imagem abaixo apresenta uma linha traçada 
comprimento igual a 2000. Quais são as coordenadas do ponto final? 
Utilize o COS de 60 graus para achar o X = COS 60 = 
Utilize o SEM de 60 graus para achar o Y = SEN 60 = 
 
Resposta (1000, 1000.√3) 
 
 
Sabemos que o produto vetorial U x V gera um vetor ortogonal (90 graus) a U e V. Calculando o produto 
vetorial entre U = (2,1,5) e V = (3,7,1), o vetor resultante corresponde a:
 
Faça multiplicação interna de u x v 
 
 
 
Preferência pela Regra da mão direita. u x v 
* Normalmente u para direção de v. 
 
 
 
 
 
Resposta = (-34, 13, 11) 
 
 
Na física, o trabalho W é o produto da forca F pelo deslocamento d. Tanto a força quanto o deslocamento são 
grandezas vetoriais. Logo, o trabalho 
produto escalar entre vetores, ou seja, W = F.d. Quando a força é dada em N
metros (m), a unidade de medida do trabalho é Joule (J).
um deslocamento d= 3i+7j, qual foi o trabalho 
 
Faça a multiplicação de 
ia por ib = 2 x 3 = 6i 
ja por jb = 3 x 7 = 21j 
depois some o resultado = 6 + 21 = 27 Joule
 
 
Um objeto em um ambiente 3D está com o centro no 
Se a posição desse ponto sofre um acréscimo de 5 unidades em x, 7 unidades em y e 12 unidades em z, 
quais serão as novas coordenadas de sua posição, denotada por B?
 
Some as novas coordenadas às existentes.
(3,0,1) � (3 + 5, 0 + 7, 1 + 12) = (8,7,13)
Despreze a largura e utilize a fórmula: 
 
² + 4² 
√169 + 16 
 13,6 cm 
A imagem abaixo apresenta uma linha traçada no AutoCAD com ponto inicial em A(0, 0), inclinação de 60° e 
comprimento igual a 2000. Quais são as coordenadas do ponto final? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilize o COS de 60 graus para achar o X = COS 60 = CA/H = X / 2000 = 1000 
Y = SEN 60 = CO/H = Y / 2000 = 1000.√3 
Sabemos que o produto vetorial U x V gera um vetor ortogonal (90 graus) a U e V. Calculando o produto 
, o vetor resultante corresponde a: 
u x v � 
Na física, o trabalho W é o produto da forca F pelo deslocamento d. Tanto a força quanto o deslocamento são 
 pode ser calculado pela multiplicação de vetores, também chamado de 
produto escalar entre vetores, ou seja, W = F.d. Quando a força é dada em Newton (N) e o deslocamento em 
metros (m), a unidade de medida do trabalho é Joule (J). Se um objeto está sujeito 
um deslocamento d= 3i+7j, qual foi o trabalho realizado? 
27 Joule 
Um objeto em um ambiente 3D está com o centro no ponto A de coordenadas (3, 0, 1).
Se a posição desse ponto sofre um acréscimo de 5 unidades em x, 7 unidades em y e 12 unidades em z, 
quais serão as novas coordenadas de sua posição, denotada por B? 
existentes. 
(8,7,13) 
no AutoCAD com ponto inicial em A(0, 0), inclinação de 60° e 
 
Sabemos que o produto vetorial U x V gera um vetor ortogonal (90 graus) a U e V. Calculando o produto 
Na física, o trabalho W é o produto da forca F pelo deslocamento d. Tanto a força quanto o deslocamento são 
pode ser calculado pela multiplicação de vetores, também chamado de 
ewton (N) e o deslocamento em 
 a uma força F = 2i + 3j com 
ponto A de coordenadas (3, 0, 1). 
Se a posição desse ponto sofre um acréscimo de 5 unidades em x, 7 unidades em y e 12 unidades em z,Um profissional está desenvolvendo um projeto no software AutoCAD e Traçou um segmento com origem no 
ponto de coordenadas A(2000, 1000) e final em B(1000, 4000).
Qual é o comprimento do segmento AB
 
AB = B – A = (1000,4000)
 
Agora utilize a fórmula:
v = √a² + b²
v = √-1000² + 3000²
v = 3162,27
 
 
 
Considere o quadrado a seguir. 
 As afirmativas a seguir apresentam relações entre os lados do quadrado.
I.
 
II.
III.
IV. 
Resposta: F,F,V,V 
 
 
Em uma indústria automobilística um guindaste eleva um motor 1,5 metros a partir do nível do solo e em 
seguida movimenta esse motor 1 metro para a frente. Qual é o mód
seqüência de movimentos? 
 
Utilize a fórmula: 
v = √a² + b² 
v = √1,5² + 1² 
v = 1,8 u.c. 
 
 
Um calço tem uma inclinação de 30° e base com comprimento de 18 cm. Qual é a altura dessa peça?
 
 
 
 
Qual é a inclinação do vetor apresentado na figura a seguir?
 
 
 
Tan O = CO/CA 
Tan O = 10/15 
 
 
 
 
 
Um profissional está desenvolvendo um projeto no software AutoCAD e Traçou um segmento com origem no 
ponto de coordenadas A(2000, 1000) e final em B(1000, 4000). 
AB? 
A = (1000,4000) – (2000, 1000) = (-1000,3000) 
Agora utilize a fórmula: 
² + b² 
1000² + 3000² 
3162,27 u.c. 
As afirmativas a seguir apresentam relações entre os lados do quadrado. 
I. é paralelo a (Falso, é perpendicular
 
II. é perpendicular a (Falso, é diagonaç
III. (Verdadeiro, pois p.ex. : BD = 2, CD = 2 = 2/2 = 1
IV. (Verdadeiro) 
Em uma indústria automobilística um guindaste eleva um motor 1,5 metros a partir do nível do solo e em 
seguida movimenta esse motor 1 metro para a frente. Qual é o módulo do vetor resultante relacionado a essa 
Um calço tem uma inclinação de 30° e base com comprimento de 18 cm. Qual é a altura dessa peça?
Utilize o 
Tan 30 = CO/CA � 
Tan 30 = CO/18 � 
18 . Tan 30 = CO 
CO = 18 . √3 / 3 � 10,39
apresentado na figura a seguir? 
Tan O = CO/CA � 
Tan O = 10/15 � 33,69 graus 
Um profissional está desenvolvendo um projeto no software AutoCAD e Traçou um segmento com origem no 
also, é perpendicular) 
also, é diagonaç) 
.ex. : BD = 2, CD = 2 = 2/2 = 1 
Em uma indústria automobilística um guindaste eleva um motor 1,5 metros a partir do nível do solo e em 
ulo do vetor resultante relacionado a essa 
Um calço tem uma inclinação de 30° e base com comprimento de 18 cm. Qual é a altura dessa peça? 
 
10,39 
Dados os vetores e , qual é o módulo do vetor
 
Some os X = 8 + 12 = 20
Some os Y = 6 + 
 
Depois
u + v = 
u + v = 
u + v =
 
 
 
Dada r a reta de equação r: y = ax + b e que passa pelos pontos A (4,6) e B (3,0), marque a alternativa correta:
 
Mude os valores de X e Y pelos pontos dados A e B. 
Uma equação fica 
y = ax + b 
6 = 4a + b e a outra 0 = 3a + b. 
 
4a + b = 6 
3a + b = 0 (-1) Multiplica por -1 para eliminar 1 das variáveis, nesse caso o b.
---------------------- 
a = 6 
 
Agora é só colocar essa variável em alguma das equações, por 
4a + b = 6 
4.(6) + b = 6 
b = 6 – 24 
b = -18 
 
Portanto 
a + b = 6 + (– 18) = -12 
 
 
Dada r a reta de equação r: y = px + q e que passa por A (2,7) e possui 60º, marque a alternativa correta:
= ? 
Use a equação y – y0 = m . (x – x0) 
 
tan 60 = √3 
x0 = 2 
y0 = 7 
 
y – 7 = tan(60) . (x – 2) 
y = √3.(x – 2) + 7 
y = √3x - 2√3 + 7 (equação da reta) 
 
p = √3 
q = 2√3 + 7 
 
p + q = √3 - 2√3 – 7 � -√3 + 7 
 
 
O ângulo de inclinação da reta que passa por A (
Use a equação 
 
 C.Oposto 
tan (0) = ----------------- 
 C.Adjacente 
 
ou seja, 
tan(0) = y – y0 17 – 12 
 ---------- � ---------- � 
 x – x0 1 – (-4) 
, qual é o módulo do vetor + ? 
Some os X = 8 + 12 = 20 
Some os Y = 6 + 10 = 16 
Depois 
u + v = √a² + b² = 
u + v = √20² + 16² 
u + v = √400 + 256 � 25,6 
Dada r a reta de equação r: y = ax + b e que passa pelos pontos A (4,6) e B (3,0), marque a alternativa correta:
Mude os valores de X e Y pelos pontos dados A e B. 
1 para eliminar 1 das variáveis, nesse caso o b. 
em alguma das equações, por exemplo, a 1.a 
Dada r a reta de equação r: y = px + q e que passa por A (2,7) e possui 60º, marque a alternativa correta:
O ângulo de inclinação da reta que passa por A (–4,12) e B (1,17) é igual a: 
5 
-- � 1 � 45 graus 
5 
Dada r a reta de equação r: y = ax + b e que passa pelos pontos A (4,6) e B (3,0), marque a alternativa correta: 
Dada r a reta de equação r: y = px + q e que passa por A (2,7) e possui 60º, marque a alternativa correta: p + q 
 
 
Marque a alternativa que apresenta um ponto pertencente a reta r dada por: 
P = (3 + t, 2 – t, 1 + 2t) 
 
Resposta letra D, pois o ponto (5,0,5) dá: 
 
x = 3 + t � 5 = 3 + t � t = 2 
y = 2 – t � 0 = 2 – t � t = 2 
z = 1 + 2t � 5 = 1 + 2t � t = 4/2 � t = 2 
 
Os valores de t são os mesmos para as 3 coordenadas. 
 
 
Seja r a reta que passa por A (1,2,3) e B (3,9,2). Encontre uma equação vetorial para r e determine o valor do 
parâmetro real “t” que corresponderá ao ponto P(5,16,1). 
Equação vetorial da reta � (x,y,z) = Ponto A ou B + t . (Vetor) 
Vetor AB = B – A = (3,9,2) – (1,2,3) = (2, 7, -1) 
 
(x,y,z) = Ponto A + t . (Vetor) 
 
(x,y,z) = (1,2,3) + t . (2, 7 ,-1) 
 
 
Ponto (5,16,1) 
 
(5,16,1) = (1,2,3) + t.(2,7,-1) 
 
| 5 = 1 + 2t � t = 2 
| 16 = 2 + 7t � t = 2 
| 1 = 3 + (-t) � t = 2 
 
t = 2 
 
 
O menor ângulo formado entre as retas r e s, sendo: 
r = (x,y) = (3 + 4t, 2 + 3t) e s = (x, y) = (-t, 1 – 7t) e igual a: 
 
Primeiramente tire os valores dos vetores diretores de cada reta 
vetor de r = (4,3) 
vetor de s = (-1, -7) 
 
Depois use a fórmula 
 
 | r . s | 
cos 0 = ----------- 
 | r |.| s | 
 
 
 | (4,3) . (-1, -7) | | -4 + (-21) | 25 
---------------------------------- � ----------------- � -------- � 25 / 35,35 � 0,70 � 45 graus 
| √4² + 3² | . | √-1² + -7² | √25 . √50 √1250 
 
 
O menor ângulo formado entre as retas 
r: (x,y,z) = (t, 3 + 4t, 2 + 3t) e a reta s: (x,y,z) = (5, -3t, 1+4t) e igual a ? 
 
vetor de r = (1,4,3) 
vetor de s = (0,-3,4) 
 
DICA: se o produto entre vetores for igual a 0, esse ângulo e de 90 graus. Pois um anula o outro. 
r . s = (1,4,3) . (0.-3,4) = 1.(0) + 4.(-3) + 3.(4) � -12 + 12 � 0 � 90 graus 
 
 
Prova Real 
 
Pode-se utilizar a fórmula 
 
 | r . s | 
cos 0 = ----------- 
 | r |.| s | 
 
 
 | (1,4,3) . (0,-3,4) | | -12 + 12 | 0 
-------------------------------------------- � --------------- � ------- � 0 � 90 graus 
| √1² + 4² + 3² | . | √0² + -3² + 4² | √26 . √25 √650 
 
 
Marque a alternativa que apresenta as equações paramétricas de uma reta que passa por P (1, 5, -1) e é 
ortogonal a reta 
r: (x,y,z) = (3,-1,t) e s: (x,y,z) = (t,t-3,3-2t) 
 
Primeiro, tirar os vetores diretores das retas, que são os valores que acompanham a variável t. 
vetor de r = (0,0,1) 
vetor de s = (1,1,-2) 
 
Para gerar uma reta ortogonal faz-se o produto interno de r x s = 
| i j k | i j | 
| 0 0 1 | 0 0 | = 0i + 1j + 0k – 0j – 1i – 0k = (-1,1,0) 
| 1 1 -2 | 1 1 | 
 
Vetor da reta ortogonal (que esta a 90 graus ) a r e s = (-1,1,0) 
 
Equação de uma reta vetorial é (x,y,z) = Ponto + t (vetor) 
 
Trocando os valores temos: 
(x,y,z) = (1,5,-1) + t (-1,1,0) 
 
Paramétricas 
| x = 1 – t 
| y = 5 + t 
| z = -1 + 0t � -1 
 
 
Dadas as retas r, s e t e sendo 
r: (x,y,z) = (t,-1+t,t) , s: (x,y,z) = (2-t, 2-t,3+2t) e t: (x,y,z) = (4+3t, 5+3t, 6-6t), julgue as afirmativas a seguir e 
marque a afirmativa correta 
i) As três retas são ortogonais entre si (F) 
ii) A reta r é ortogonal a s e paralela a t (F) 
iii) A reta t é ortogonal a r e paralela es (V) 
iv) O menor ângulo formado pelas retas s e t é igual a 45 graus (F) 
 
Primeiro retirar os vetores diretores de cada reta: 
Vetor de r = (1,1,1) 
Vetor de s = (-1,-1,2) 
Vetor de t = (3,3,-6) 
 
DICA: se os produtos dos vetores são iguais a 0, o ângulo é 90 graus. 
 
Pode-se utilizar a formula 
 
 | r . s | 
cos 0 = ----------- 
 | r |.| s | 
 
r,s 
 
 | (1,1,1) . (-1,-1,-2) | | -1 + -1 + 2 | 0 
---------------------------------------------- � ------------------- � ----- � 0 � 90 graus 
| √1² + 1² + 1² | . | √-1² + -1² + -2² | √3 . √6 √18 
 
 
 
s,t 
 
 | (-1,-1,2) . (3,3,-6) | | -3 -3 - 6 | 18 
--------------------------------------------- � --------------- ------- � 1 � 0 graus 
| √-1² + -1² + 2² | . | √3² + 3² + 6² | √6 . √54 √324 
 
 
t,r 
 
 | (3,3,-6) . (1,1,1) | | 3 + 3 - 6 | 0 
--------------------------------------------- � --------------- � -------- � 0 � 90 graus 
| √3² + 3² + 6² | . | √1² + 1² + 1² | √54 . √3 √162 
 
Resposta: F,F,V,F 
 
 
Dadas as retas r e s, e sendo 
r: (x,y,z) = (1,0,0) + t (2,3,-2) e s: (x,y,z) = (-4 + 3t, 25 – 2t, 5 – 3t) , julgue as afirmativas a seguir e marque a 
alternativa correta 
i) As retas r e s são paralelas entre si (Falsa, formam ângulo de 71,91 graus) 
ii) As retas r e s são ortogonais entre si e não se intersectam (Falsa, formam ângulo de 71,91 graus, 
portanto não ortogonais) 
iii) As retas r e s são ortogonais entre si e se intersectam em um ponto (Falsa, formam ângulo de 71,91 
graus, portanto não ortogonais) 
iv) As retas r e s são coincidentes (Falsa) 
 
Tirando os vetores diretores das retas: 
Vetor de r = (2,3,-2) 
Vetor de s = (3,-2,-3) 
 
DICA: se os produtos dos vetores diretores são iguais a 0, o ângulo é 90 graus. 
 
r . s = (2,3,-2) . (3,-2,-3) = 6 + -6 + 6 = 6 (retas não ortogonais) 
Portanto r e s não formam um ângulo de 90 graus. 
 
 
Prova real 
 
 | (2,3,-2) . (3,-2,-3) | | 6 + -6 + 6 | 6 
---------------------------------------------- � ------------------ � ------- � 6 / 19,33 � 0,31 � 71,91 graus 
| √2² + 3² + -2² | . | √3² + -2² + -3² | √17 . √22 √374 
 
Paramétricas de r 
| x = 1+2t 
| y = 3t 
| z = -2t 
 
Paramétricas de s 
| x = -4 + 3t 
| y = 25 – 2t 
| z = 5 – 3t 
 
Descobrindo se há algum ponto em comum 
r = s 
| 1 + 2t = -4 + 3t � t = 5 
| 3t = 25 – 2t � t = 5 
| -2t = 5 – 3t � t = 5 
 
Sim, se intersectam em 1 ponto. 
 
Resposta: F,F,F,F 
 
 
Marque a alternativa que apresenta uma equação geral de um plano que passa por P (1,2,3) e tem n = (-2,2,1), 
como vetor normal. 
 
Equação geral de um plano (a,b,c) = ax + by + cz + d = 0 
 
Vetor normal = (-2,2,1) = (a,b,c) 
Ponto (1,2,3) = (x,y,z) 
 
-2x + 2y + 1z + d = 0 
 
Trocando 
 
-2.(1) + 2.(2) + 1.(3) + d = 0 
-2 + 4 + 3 + d = 0 
d = -5 
 
Equação geral do plano = -2x + 2y + 1z – 5 = 0 
 
 
Seja -3x + ay + bz + c = 0 a equação geral de um plano que passa pelos pontos A (0,1,2), B (2,4,-1) e C (2,1,1). 
Então a + b + c vale 
 
Primeiro descobrir o vetor normal a esse plano. 
Vetor u = AB = B – A = (2,4,-1) – (0,1,2) = (2,3,-3) 
Vetor v = AC = C – A = (2,1,1) – (0,1,2) = (2,0,-1) 
 
Para achar a normal é só fazer o produto interno de u x v = 
 
| i j k | i j | 
| 2 3 -3 | 2 3 | = -3i + -6j + 0k + 2j + 0i – 6k = (-3, -4, -6) 
| 2 0 -1 | 2 0 | 
 
Equação geral de um plano 
ax + by + cz + d = 0 
 
-3x + -4y + -6z + d = 0 
 
Agora é só pegar um ponto desse plano e trocar na equação para acharmos o valor de d. 
P.Ex. Ponto A (0,1,2) 
 
-3.(0) – 4.(1) – 6.(2) + d = 0 
-4 – 12 + d = 0 
d = 16 
 
Final da equação da reta 
-3x – 4y – 6z + 16 = 0 
 
a + b + c = - 4 - 6 + 16 = 6 
 
 
Marque a alternativa que expresse a VERDADE: 
 
i) No espaço tridimensional R3, a equação z = 12, representa uma reta. (Falsa, representa um plano onde 
(x,y,z) = (0,0,12)) 
ii) No plano cartesiano R2, a equação x + y = 0, representa uma reta que não corta nos eixos coordenados. 
(Falsa, se o ponto X for 0 por exemplo, o y corta o no ponto coordenado y = 0. Ou seja (0,0)) 
iii) No espaço tridimensional, R3, a equação x + z = 12 representa um plano que não intersecta o eixo y. 
(Verdade, pois se y = 0, o plano apenas encosta nos eixo x e z.) 
iv) No plano cartesiano R2, a equação x = 3 representa um ponto que dista 3 unidades da origem. (Falsa, 
representa uma reta, não um ponto.) 
 
Resposta: F,F,V,F 
 
 
Considere dois planos a e b, e dois vetores não nulos n e m, sendo n normal à a e n normal à b. Sendo assim 
julgue as afirmativas a seguir e marque a alternativa correta 
i) Caso a e b sejam paralelos, tem-se necessariamente n = k . m, para algum k pertencente aos reais. 
(Verdade, se os planos são paralelos as normais também são. Portando o que se aplicar a n aplica-se a 
m também.) 
ii) Caso n.m = 0, pode-se afirmar que a e b são perpendiculares. (Verdade, se os planos são ortogonais, ou 
seja, formam um ângulo de 90 graus n . m = 0) 
iii) Se O é o menor ângulo entre a e b então . (Verdade, a fórmula do cálculo do ângulo entre 
planos é o cálculo entre as normais deles.) 
iv) Caso n = k . m, para algum K pertencente aos reais, então necessariamente a e b são paralelos. 
(Verdade, se as normais são paralelas os planos também são. Como visto no primeiro item). 
 
Resposta: V,V,V,V 
 
 
Determine as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto (0,0,0) e seja paralelo aos vetores u = 
(1,2,3) e v= (0,5,1). 
 
Equação vetorial de um plano = (x,y,z) = Ponto A + t1 (vetor 1) + t2 (vetor 2) 
 
Ou seja, é só mudar os valores pelos passados no enunciado 
(x,y,z) = (0,0,0) + t1 (1,2,3) + t2 (0,5,1) 
 
| x = 1t1 + 0t2 
| y = 2t1 + 5t2 
| z = 3t1 + 1t2 
 
 
Dado o plano a: x + 2y + 3z - 6 = 0, marque a alternativa que expresse a verdade 
 
i) A intersecção de a com o plano coordenado xy é dada por x + 2y = 0. (Falso, se colocarmos o ponto Z 
como 0 a equação ficaria � x + 2y + 3(0) – 6 = 0 � x + 2y = 6 ) 
ii) O plano a não intersecta o eixo das abscissas. (Falso, se colocarmos os valores de Y e Z como 0, a 
equação ficaria � x + 2.(0) + 3.(0) – 6 = 0 � x = 6. Cortaria o eixo das abscissas (x) no ponto (6,0,0).) 
iii) O plano a intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0,6,0). (Falsa, se colocarmos os valores de X e Z 
como 0 a equação ficaria � 0 + 2y + 3.(0) – 6 = 0 � y = 3. Ou seja ele intersecta o eixo das ordenadas 
(y) no ponto (0,3,0).) 
iv) A intersecção de a com o plano coordenado yz é uma reta. (Verdade, se colocarmos o valor de X como 
0, a equação ficaria � 0 + 2y + 3z – 6 = 0 � que é o formato de uma reta (ax+by+c=0) � 2y + 3z – 6 = 
0). 
 
Resposta: F,F,F,V 
 
 
Dados os planos a: 2x – y – z – 6 = 0 e b: -x –y + 2z + 45 = 0, marque a alternativa que apresenta o valor 
correto para o ângulo entre a e b. 
 
Equação geral de um plano (a,b,c) = ax + by + cz + d = 0 
a,b e c são os valores dos vetores da equação, portanto pode-se extraí-los da equação. 
 
Retirando os vetores de cada uma das equações. 
Vetor de a = u = (2,-1,-1) 
Vetor de b = v = (-1,-1,2) 
 
DICA: se os produtos dos vetores são iguais a 0, o ângulo é 90 graus. 
u . v = (2,-1,-1) . (-1,-1,2) = -2 +1 -2 = -3 (não fazem um ângulo de 90 graus.) 
 
 
Portanto utilize a fórmula abaixo. 
 
 | u . v | 
cos 0 = ----------- 
 | u |.| v | 
 
 
 
 
 | (2,-1,-1) . (-1,-1,2) | | -2 +1 -2 | 3 
------------------------------------------------ � ---------------- � ------ � 3 / 6 = 1 / 2 � 60 graus 
| √2² + -1² + -1² | . | √-1² + -1² + 2² | √6 . √6 √36 
 
 
 
Seja P = (a,b,c) o ponto de intersecção das retas 
a : 2x – y + 3z – 4 = 0 e r : 
| x = -1 + 2t 
| y = 5 + 3t 
| z = 3– t 
 
Então a + b + c é igual a: 
 
Temos que fazer a reta a igual à reta r, assim encontrando o ponto em comum, se existir. Então trocamos os valores 
de x, y e z pelos valores da equação da reta a. Assim vamos descobrir o valor de t, podendo depois mudar na 
equação da reta r, achando os pontos de intersecção. 
 
a : 2x – y + 3z – 4 = 0 
2 . (-1 + 2t) – (5 + 3t) + 3 . (3 – t) – 4 = 0 
-2 + 4t – 5 – 3t + 9 – 3t – 4 = 0 
-2t – 2 = 0 (-1) 
2t + 2 = 0 
t = -1 
 
Agora é só trocar nas equações paramétricas da reta r e descobrimos o ponto. 
| x = -1 + 2t � -1 + 2 (-1) � -3 
| y = 5 + 3t � 5 + 3.(-1) � 2 
| z = 3 – t � 3 – (-1) � 4 
 
Pontos (x,y,z) = (-3,2,4) 
 
Então a + b + c = -3 + 2 + 4 = 3 
 
 
A intersecção entre os planos a : x – y + z – 4 = 0 e b : x + y + 2z + 4 = 0 é dada por : 
 
Primeiramente temos que colocar as equações juntas. 
 
| x – y + z – 4 = 0 
| x + y + 2z + 4 = 0 
 
Começamos pela primeira equação tentando separar uma variável, por exemplo, o y. 
x – y + z – 4 = 0 
y = x + z – 4 
 
Agora substituímos na segunda equação o valor de y 
x + y + 2z + 4 = 0 
x + (x + z – 4) + 2z + 4 = 0 
2x + 3z = 0 
z = -2x / 3 
 
Voltamos na equação que encontramos logo acima e trocamos o valor de z 
y = x + z – 4 
y = x + (-2x / 3) – 4 
y = 3x/3 + (-2x)/3 – 4 
y = x/3 – 4 
 
Trocando agora a letra x por t temos que 
 
| x = t 
| y = t / 3 – 4 
| z = -2t / 3 
 
 
A equação do plano que passa na base superior do paralelepípedo 
por t1 e t2 reais 
 
 
Dado o vetor AB e sabendo-se que seu modulo é igual a 
retângulo indicado na figura e marque a alternativa correta:
 
AB = 
100 = 
100 
 
a = 
 
 
 
 Dados os vetores u e v, calcule | u + v |.
 
 
 
Dados os vetores u = 4i – 2j e v = -3i + 5j, marque a alternativa que apresenta o valor correto de |3u + 2v| :
 
|3u + 2v| 
3. (4i -2j) + 2.(-3i+5j) 
12i – 6j – 6i + 10j 
(6i, 4j) 
 
√6² + 4² = √52 
 
 
Dada a reta de equação r: y=ax + b e que passa pelos pontos A (8,12) e B (6,0), marque a alternativa correta:
a + b = ? 
 
troca-se os valores de x e y na equação da reta
fica assim: 
A (8,12) B (6,0) 
12 = a(8) + b 0 = 6a + b 
8a + b = 12 6a + b = 0 
 
 
 
 
passa na base superior do paralelepípedo - retângulo representado a seguir é dada 
Primeiramente lembrar a equação vetorial de um plano
(x,y,z) = Ponto A + t1 (vetor 1) + t2 (vetor 2)
 
Nas repostas apresentadas temos o ponto A como send
que existe nesse gráfico. x = 0, y = 0 e z = 7 (OK). Precisamos ainda de 
dois vetores que sejam paralelos ao plano superior onde queremos achar 
a equação. 
Das respostas apresentadas podemos achar um vetor que 
e outro pelo eixo y, assim sendo paralelos ao plano superior.
Portando 
Vetor 1 = (1,0,0) 
Vetor 2 = (0,1,0) 
 
Portanto a resposta correta seria: 
(x,y,z) = (0,0,7) + t1 (1,0,0) + t2 (0,1,0) 
 
se que seu modulo é igual a √100 calcule o valor do cateto “a” do triangulo 
retângulo indicado na figura e marque a alternativa correta: 
AB = √a² + b² 
00 = √a² + √4² 
100 – 16 = a² 
a = √84 � 9,16 
vetores u e v, calcule | u + v |. 
 
 
 
u+v = √(5 + 2)² + 3² 
u+v = √7² + 3² 
u+v = √58 � 7,6 
 
 
 
3i + 5j, marque a alternativa que apresenta o valor correto de |3u + 2v| :
Dada a reta de equação r: y=ax + b e que passa pelos pontos A (8,12) e B (6,0), marque a alternativa correta:
se os valores de x e y na equação da reta 
retângulo representado a seguir é dada 
vetorial de um plano 
(x,y,z) = Ponto A + t1 (vetor 1) + t2 (vetor 2) 
Nas repostas apresentadas temos o ponto A como sendo o ponto (0,0,7) 
que existe nesse gráfico. x = 0, y = 0 e z = 7 (OK). Precisamos ainda de 
dois vetores que sejam paralelos ao plano superior onde queremos achar 
Das respostas apresentadas podemos achar um vetor que vá pelo eixo x 
eixo y, assim sendo paralelos ao plano superior. 
√100 calcule o valor do cateto “a” do triangulo 
 
3i + 5j, marque a alternativa que apresenta o valor correto de |3u + 2v| : 
Dada a reta de equação r: y=ax + b e que passa pelos pontos A (8,12) e B (6,0), marque a alternativa correta: 
Agora é só juntas as duas 
8a + b = 12 
6a + b = 0 (-1) 
------------------- 
2a = 12 
a = 6 
 
Troque o a na primeira equação 
8.a + b = 12 
8 . 6 + b = 12 
b = 12 – 48 
b = -36 
 
Portanto a + b = 6 + -36 = -30 
 
 
Marque a alternativa que apresenta um ponto pertencente a reta dada por: 
P = (3 + t, 2 – t, 1 + 2t) 
 
Paramétricas 
| x = 3 + t 
| y = 2 - t 
| z = 1 + 2t 
 
Para saber se um ponto pertence a uma reta é apenas trocar os pontos sugeridos na pergunta e conferir se o valor 
de t é o mesmo para x, y e z. 
 
Por exemplo: 
 
Ponto A (5,1,2) 
| 5 = 3 + t � t = 2 
| 1 = 2 – t � t = 1 
| 2 = 1 + 2t � t = ½ (valores dos 3 t’s ficaram diferentes. Portanto esse ponto não pertence a essa reta). 
 
Ponto B (6,-1,7) 
| 6 = 3 + t � t = 3 
| -1 = 2 – t � t = 3 
| 7 = 1 + 2t � t = 3 (valores dos 3 t’s são os mesmos, portanto esse ponto pertence a reta). 
 
 
Marque a alternativa que apresenta equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto P (1, 5, -1) e é 
ortogonal as retas 
r: (x,y,z) = (3,-1,t) e s: (x,y,z) = (t, t – 3, 3 – 2t), é igual a: 
 
Primeiro retirar os vetores diretores de cada reta 
r: u = (0, 0, 1) 
s: v = (1, 1, -2) 
 
Agora, como a reta que queremos é ortogonal, ou seja, forma um ângulo de 90 graus entre as retas r e s, é só fazer o 
produto interno entre u e v. O calculo do produto interno entre dois vetores, gera uma reta ortogonal a elas, para cima 
(u x v) ou para baixo (v x u). 
 
u x v = | i j k | i j | 
 | 0 0 1 | 0 0 | = 0i + 1j + 0k - 0j - 1i – 0k = -1i, 1j, 0k � (-1,1,0) 
 | 1 1 -2 | 1 1 | 
 
Equação geral da reta: (x,y,z) = Ponto A + t (vetor) 
(x,y,z) = (1,5,-1) + t (-1,1,0) 
 
Paramétricas: 
| x = 1 - t 
| y = 5 + t 
| z = -1 
 
 
Marque a alternativa que apresenta uma equação geral de um plano que passa por P (1,2,3) e tem como n = (-
2, 2, 5), como vetor normal. 
 
Equação geral de um plano ax + by + cz + d = 0 
 
Os valores de a, b e c, são os valores do vetor normal (-2, 2, 5) 
Os valores x, y e z são os valores do ponto informado (1, 2, 3) 
Só nos falta o d. 
 
Para descobrimos vamos gerar a equação com os dados passados 
ax + by + cz + d = 0 
-2.(1) + 2.(2) + 5.(3) + d = 0 
-2 + 4 + 15 + d = 0 
d = -17 
 
Portanto a equação geral desse plano e 
-2x + 2y + 5z – 17 = 0 
 
 
 
Encontre a equação canônica e a equação geral da elipse representada a seguir, sabendo que o ponto (2,4) 
pertence a essa elipse: 
 
A equação canônica de uma elipse é dada por: 
 
(x – x0)² (y – y0)² 
------------ + ---------- = 1 
 a² b² 
 
Então o ponto inicial é 
x0 = 8 
y0 = 4 
O a é o semi eixo de x = 6 
O b é o semi eixo de y = 4 
 
 
Equação canônica: Para achar a equação geral é só resolver a canônica, que fica em: 
(x – 8)² (y – 4)² 16x² + 36y² - 256 x – 288y + 1024 = 0 
---------- + --------- = 1 
 6² 4² 
 
DICA 
Com os pontos passados no enunciado, podemos tirar a prova real se a equação esta correta. Trocando os valores 
de x e y (2,4) na equação deverão fechar. 
 
(x – 8)² + (y – 4)² (2 – 8)² + (4 – 4)² 36 + 0 
 -------- -------- = 1 --------- ----------- = 1 ----- -- = 1 � 1 = 1 
 6² 4² 36 16 36 16 
 
 
 
Qual alternativa apresenta a equação geral da circunferência de centro em (3,5) e raio 2 ? 
 
Equação geral da circunferência é 
(x – x0)² + (y – y0)² = R² 
 
x0 = 3 
y0 = 5 
R = 2 
 
Portanto é só trocar os valores 
(x – 3)² + (y – 5)² = 2² 
x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25 – 4 = 0 
x² + y² - 6x – 10y + 30 = 0 
 
 
Qual das alternativas a seguir representa uma equação de uma esfera de centro na origem e raio igual a 9 ? 
 
Equação geral da esfera: 
(x - x0)² + (y – y0)² + (z – z0)²= R² 
 
A origem é no centro, então coordenadas (0,0,0) 
Só trocar os valores 
 
(x - 0)² + (y – 0)² + (z – 0)² = 9² 
x² + y² + z² - 81 = 0 
 
 
Que tipo de superfície se encontra a partir da equação z = √x² +by², considerando 0 ≤ z ≤ 10 ? 
 
Vamos analisar o desenho que se obtém nos cortes yz e xz. 
 
Se queremos o corte yz ( x = 0 ) 
z = √x² + by² 
z = √0² + by² 
z = ± by² � duas retas formando o desenho de um X, mas como o enunciado diz, somente pegaremos a parte 
positiva, formando o desenho de um V 
 
Se queremos o corte xz ( y = 0 ) 
z = √x² + by² 
z = √x² + b0² 
z = ± x² � duas retas formando o desenho de um X, mas como o enunciado diz, somente pegaremos a parte 
positiva, formando o desenho de um V 
 
Portanto o desenho formado é um CONE. 
 
 
Quais as características da quádrica dada por x² + y² + z² = 16 representada no desenho a seguir ? 
 
 
 
Equação geral da esfera: 
(x - x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = R² 
 
(x – 0)² + (y – 0)² + (z – 0)² = 2² 
 
É uma esfera com origem no centro (0, 0, 0) e tem raio 4. 
 
 
 
 
 
Determine as equações paramétricas de um plano que passe pelo ponto (0,0,0) e seja paralelo aos vetores u = 
(1,2,4) e v = (0,5,2). 
 
Equação geral de um plano 
(x,y,z) = Ponto + t1 (vetor 1) + t2 ( vetor 2) 
 
Portanto é só mudar os valores 
(x,y,z) = (0,0,0) + t1 (1,2,4) + t2 (0,5,2) 
 
 
Paramétricas 
| x = 0 + 1t1 + 0t2 � t1 
| y = 0 + 2t1 + 5t2 � 2t1 + 5t2 
| z = 0 + 4t1 + 2t2 � 4t1 + 2t2 
 
 
 
 
 
Encontre a equação canônica e a equação geral de uma elipse representada a seguir, sabendo que o ponto (1,2) 
pertence a essa elipse. 
 
Equação canônica de uma elipse: 
 
(x – x0)² (y – y0)² 
------------ + ---------- = 1 
 a² b² 
 
Então o ponto inicial é 
x0 = 4 
y0 = 2 
O a é o semi eixo de x = 4 – 1 = 3 
O b é o semi eixo de y = 2 – 0 = 2 
 
 
Equação canônica: Equação geral é só resolver a canônica, que fica ao final assim: 
 
(x – 4)² (y – 2)² 4x² + 9y² - 32x - 36y + 64 = 0 
---------- + ---------- = 1 
 3² 2² 
 
 
 
A equação geral de uma circunferência de centro em (3,5) e raio 10 é: 
 
Equação canônica de uma circunferência: 
(x – x0)² + (y – y0)² = R² 
 
Ponto central (3,5) 
x0 é o ponto inicial x = 3 
y0 é o ponto inicial y = 5 
 
Agora é só trocar os valores: 
(x – 3)² + (y – 5)² = 10² 
x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25 – 100 = 0 
 
x² + y² - 6x – 10y – 66 = 0 
 
 
A equação 4x² + 4y² - 16x + 16y = 0 representa: 
 
Vamos simplificar essa equação para ver como ela fica no final e podermos analisá-la. 
4x² + 4y² - 16x + 16y = 0 
4x² - 16x + 4y² + 16y = 0 (podemos simplificar tudo por 4) 
x² - 4x + y² + 4y = 0 
 
Separando os X dos Y 
x² - 4x (lembrando de produtos notáveis, poderemos chegar a um forma de equação assim (x – n)² ) 
mas como fazer isso ? 
“ax² - bx” 
Pegue o valor de b que aqui é 4 e divida por 2, que dará 2, agora eleve ao quadrado 2² = 4. Achamos o numero 4, 
agora é só acrescentar + 4 e – 4, para que não alteremos a equação, mas possamos escrevê-la como produto 
notável. 
Então o lado dos X ficaria: 
x² - 4x 
x² - 4x + 4 – 4 
(x² - 4x + 4) – 4 
(x – 2)² - 4 
 
Vamos para o lado dos Y 
y² + 4y 
Faremos a mesma coisa que fizemos com o X, vamos pegar o valor de b dessa equação, que é 4, dividimos por 2, 
depois elevamos ao quadrado, ficando 4. Acrescentamos + 4 e – 4. 
y² + 4y 
y² + 4y + 4 – 4 
(y + 2)² - 4 
 
Agora juntamos tudo de volta: 
(x – 2)² - 4 + (y + 2)² - 4 = 0 
(x – 2)² + (y + 2)² = 8 � Equação reduzida de uma circunferência. ( (x – x0)² + (y – y0) = R² ) 
 
 
Sobre a parábola da equação –x² + 5x – 6 + y = 0, julgue as afirmativas abaixo e marque a resposta correta: 
 
Primeiro, isolamos o y. Ou seja, a equação em seu formato correto é 
y = x² - 5x + 6 
 
i) Possui concavidade voltada para baixo. (Falsa, pois x² é positivo, está voltado para cima ) 
ii) Intersecta o eixo y em apenas um ponto. (Verdade, se x = 0, y=(0)² - 5.(0) + 6, y = 6. � (0,6) ) 
iii) Não intersecta o eixo x. (Falsa, pelo método de Bhaskara achamos as seguintes raízes: 
- b ± √b² - 4ac 
--------------------- � x1 = 3 e x2 = 2 
 2a 
iv) Tem vértice em (5/2, 1/4) (Falsa, pois os vértices são achados a partir de: 
x � ( - b / 2a ) � - (-5) / 2.1 � 5/2 
y � ( - b² - 4ac / 4a ) � - (-5)² - 4.(1).(6) / 4.(1) � -1 / 4 ). 
 
Resposta: F,V,F,F 
 
 
A equação x² - y² - 6x + 4y = 0 representa: 
 
Isolamos os X 
x² - 6x (precisamos deixar essa equação como produto notável, ou seja (x + n)² . Pegamos o valor de b, que é 6, 
dividimos por 2, e elevamos ao quadrado, 3² = 9. Agora acrescentamos + 9 e – 9 a equação. 
x² - 6x + 9 – 9 
(x² - 6 + 9) – 9 
(x – 3)² - 9 
 
Isolamos os Y 
y² + 4y (precisamos deixar essa equação como produto notável, ou seja (y + n)² . Pegamos o valor de b, que é 4, 
dividimos por 2, e elevamos ao quadrado, 2² = 4. Agora acrescentamos + 4 e – 4 a equação. 
y² + 4y + 4 – 4 
(y² + 4y + 4) – 4 
(y + 2)² - 4 
 
Juntando tudo: 
(x – 3)² - 9 – (y + 2)² - 4 = 0 
(x – 3)² - (y + 2)² = 13 
 
Apenas pelo sinal já poderemos entender que se trata de uma hipérbole. Que tem a equação canônica: 
(x – x0)² (y – y0)² 
----------- - ----------- = 1 
 a² b² 
 
Vamos deixar a equação no formato de hipérbole: 
 
(x – 3)² (y + 2)² 13 (x – 3)² (y + 2)² 
--------- - -------- = ---- � --------- - -------- = 1 
 13 13 13 13 13 
 
Resposta: Hipérbole 
 
 
Sobre a cônica da equação – x² - y² + 4x – 8y + 10 = 0 marque a resposta correta: 
 
Vamos alterar o valor do –x² para positivo, multiplicando toda a equação por -1. Ela fica assim: 
 
x² + y² - 4x + 8y -10 = 0 
 
 
Isolando os X 
x² - 4x (transformando em produto notável (x – n)², vamos pegar o valor de b, que é 4, dividimos por 2, depois 
elevamos ao quadrado, 2² = 4. Acrescentamos + 4 e – 4 na equação) 
x² - 4x + 4 – 4 
(x² - 4x + 4) – 4 
(x – 2)² - 4 
 
Isolando os Y 
y² + 8y (transformando em produto notável (y – n)², vamos pegar o valor de b, que é 8, dividimos por 2, depois 
elevamos ao quadrado, 4² = 16. Acrescentamos + 16 e – 16 na equação) 
y² + 8y + 16 – 16 
(y² + 8y + 16) – 16 
(y + 4)² - 16 
 
Juntando tudo: 
(x – 2)² - 4 + (y + 4)² - 16 – 10 = 0 
(x – 2)² + (y + 4)² = 30 � Formato de uma circunferência. (x – x0)² + (y – y0)² = R² 
 
Podemos descobrir que o centro está nos pontos 
(+2 (qnd vem para cá é – (-2)), 
(- 4 (qnd vem para cá é – (+4)) � Centro em (2,-4) e tem raio igual a √30 
 
 
Marque a alternativa que apresenta uma equação para a elipse de centro (2, -3) e semi eixos horizontal e 
vertical de medidas, respectivamente, 4 e 2. 
 
Equação de uma elipse: 
(x – x0)² (y – y0)² 
----------- + ----------- = 1 
 a² b² 
 
Centro (2, -3) 
 
x0 é o valor de x central = 2 
y0 é o valor de y central = -3 
a é o valor do semi eixo horizontal (x)= 4 
b é o valor do semi eixo vertical (y)= 2 
 
Equação: 
 
(x – 2)² (y + 3)² x² - 4x + 4 y² + 6y + 9 x² - 4x + 4 + 4.(y² + 6y + 9) 
---------- + -------- = 1 � ------------- + --------------- = 1 ------------------------------------- = 1 
 4² 2² 16 4 16 
 
x² - 4x + 4 + 4y² + 24y + 36 = 16 � x² + 4y² - 4x + 24y + 24 = 0 
 
 
A distância entre os pontos A (2, -3,5) e B (4, 7, 1) é igual a : 
 
Usa-se a fórmula do módulo 
 
AB = √ (x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² 
 
Fazendo : 
 
D = √ (x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² 
D = √ (4 – 2)² + (7 – (-3))² + (1 – 5)² 
D = √ (2)² + (10)² + (-4)² 
D = √ 4 + 100 + 16 
D = √ 120. 
 
 
Pode-se afirmar corretamente que a distância d entre o ponto A (4 5,6) e a reta r:(x,y,z) = (0, 1+2t, 5t) tal que: 
 
Primeiro vamos tirar o vetor diretor da reta, que são os valores que acompanham a variável t. 
u = (0, 2, 5) 
 
Precisamos de um pontona reta r, para que possamos ligar esse ponto ao ponto A, assim conseguindo um segundo 
vetor. Se t = 0, teremos os pontos: 
 
 
| x = 0 � 0 
| y = 1 + 2t � 1 + 2.(0) � 1 
| z = 5t � 5.(0) � 0 
Ponto qualquer da reta r = (0, 1, 0) 
 
Agora, ligamos o ponto da reta ao ponto A, ou seja, PA. 
PA = A – P = (4, 5, 6) – (0, 1, 0) = (4, 4, 6) � v = (4, 4, 6) 
 
 
Temos o vetor da reta 
u = (0, 2, 5) 
 
E o vetor da reta ao ponto A 
v = (4, 4, 6) 
 
Para acharmos a distância usa-se a equação: 
 
d = | u x v | 
 ---------- 
 | u | 
 
u x v = 
| i j k | i j | 
| 0 2 5 | 0 2 | = 12i + 20j + 0k – 0j – 20i – 8k = -8i, 20j, -8k � (-8, 20, -8) 
| 4 4 6 | 4 4 | 
 
 √ (-8)² + (20)² + (-8)² √ 64 + 400 + 64 √528 
D = -------------------------- = ------------------------ = -------- � 4,27 u.c 
 √ (0)² + 2² + 5² √29 √29 
 
 
A distância de um ponto A (10,20,30) a um plano a: x + 2y + 3z + 4 = 0 é tal que : 
 
Utilizar a equação: 
 
 | ax + by + cz + d | 
D = --------------------------- 
 √ a² + b² + c² 
 
Equação geral do plano = ax + by + cz + d = 0 
Então a = 1, b = 2, c = 3, d = 4. 
E x, y e z são as coordenadas passadas no enunciado (10, 20, 30). 
 
Só trocar na equação: 
 
 | 1.(10) + 2.(20) + 3.(30) + 4 | | 10 + 40 + 90 + 4 | 144 
D = --------------------------------------- = -------------------------- = ------ � 38,50 u.c. 
 √ 1² + 2² + 3² √14 3,74