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Disciplina: Teoria dos Números

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA. 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: TEORIA DOS NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTÉUDO PROGRAMÁTICO: 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NÚMEROS: 
 
UNIDADE I – NÚMEROS INTEIROS: 
1.1 - Números inteiros. 
1.2 - Propiedades dos inteiros; 
1.3 - Valor absoluto de um inteiro; 
1.4 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE II – INDUÇÃO MATAMÁTICA: 
2.1 - Elemento mínimo de um conjunto de inteiros. 
2.2 - Princípio da boa ordenação; 
2.3 - Princípio de indução finita; 
2.4 - Indução matemática; 
2.5 - Exemplos de demonstração por indução matemática e outras formas de indução 
matemática; 
2.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE III – DIVISIBILIDADE: 
3.1 - Relação de divisibilidade em Z. 
3.2 - Conjunto dos divisores de um inteiro; 
3.3 - Divisores comuns de dois inteiros; 
3.4 - Algoritmo da divisão; 
3.5 - Paridade de um inteiro; 
3.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE IV – MÁXIMO DIVISOR COMUM: 
4.1 - Máximo divisor comum de dois inteiros. 
4.2 - Existência e unicidade do mdc; 
4.3 - Inteiros primo entre si; 
4.4 - Caracterização do mdc de dois inteiros; 
4.5 - Mdc de vários inteiros; 
4.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE V – ALGORITMO DE EUCLIDES MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM: 
5.1 - Algoritmo de EUCLIDES. 
5.2 - Múltiplos comuns de dois inteiros; 
5.3 - Mínimo múltiplo comum de dois inteiros; 
5.4 - Relação entre o mdc e o mmc; 
5.5 - Mmc de vários inteiros; 
5.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE VI – NÚMEROS PRIMOS: 
6.1 - Números primos e compostos. 
6.2 - Teorema fundamental da Aritmética; 
6.3 - Formula que dão primos; 
6.4 - Crivo de ERATÓSTENES; 
6.5 - Primos gêmeos; 
6.6 - Seqüências de inteiros consecutivos compostos; 
6.7 - Conjectura de GOLDBACH; 
6.8 - Método de fatoração de FERMAT; 
6.9 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
 
UNIDADE VII – EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES: 
7.1 - Generalidades. 
7.2 - Condição de existência de solução; 
7.3 - Solução da equação ax + by = c; 
7.4 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE VIII – CONGRUÊNCIAS: 
8.1 - Inteiros congruentes. 
8.2 - Caracterização de Inteiros congruentes; 
8.3 - Propriedades das congruências; 
8.4 - Sistemas completos de restos; 
8.5 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE IX – CONGRUÊNCIAS LINEARES: 
9.1 - Generalidades. 
9.2 - Condição de existência de solução; 
9.3 - Solução da congruência a x b(mod. m); 
9.4 - Resolução de equações diofantinas lineares por congruências; 
9.5 - Inverso de um inteiro; 
9.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE X – SISTEMAS DE CONGRUÊNCIAS LINEARES: 
10.1 - Generalidades. 
10.2 - Teorema do resto chinez; 
10.3 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE XI – TEOREMA DE FERMAT E WILSON: 
11.1 - Teorema de Fermat. 
11.2 - Teorema de Wilson; 
11.3 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NÚMEROS 
 
Embora existam diversos tipos de números em Matemática (reais, complexos, etc.), o nome 
"Teoria dos Números" é tradicionalmente reservado para o estudo dos Números Inteiros, isto é, -3, -
2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Também é usado o nome “Aritmético”, proveniente de arithmós, que em grego 
significa “número". 
A Teoria dos Números, a mais pura disciplina dentro da mais pura das Ciências a 
Matemática e tem uma longa história, originando-se nas antigas civilizações da humanidade. 
Listamos primeiro alguns nomes famosos de matemáticos que contribuirão para o estudo da teoria 
dos números: 
Pitágoras (569-500 a. C.) 
Euclides (_ 350 a. C.) 
Eratóstenes (276-196 a. C.) 
Diofante (_ 250 d. C.) 
Plutarco (_ 100 d. C.) 
Marin Mersenne (1588-1648) 
Pierre de Fermat (1601-1665) 
Blaise Pascal (1623-1662) 
Christian Goldbach (1690-1764) 
Leonhard Euler (1707-1783) 
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) 
John Wilson (1741-1793) 
Adrien Marie Legendre (1752-1833) 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) 
Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) 
P. L. Tchebychef (1821-1894) 
Frederick Nelson Cole (1861-1927) 
Axel Thue (1863-1922) 
Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) 
Charles de la Vallé e Poussin (1866-1962) 
Dentre outros.... 
A teoria dos números veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que 
surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida 
 
em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a 
saber: 
1) Teoria elementar dos números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a 
verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em 
particular as propriedades dos números primos. 
2) Teoria analítica dos números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para 
estudar as propriedades dos números primos. 
3) Teoria algébrica dos números: utiliza álgebra abstrata e estuda os números algébricos. 
4) Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos. 
Nesta notas faremos o estudo da primeira Teoria, um conceito chave em Teoria elementar 
dos Números é o conceito de divisibilidade. Enquanto nos números reais, por exemplo, pode-se 
dividir qualquer número por outro (não nulo), obtendo como resultado um número real, nos inteiros 
é diferente. Um inteiro a só é divisível pelo inteiro b quando existir um inteiro c tal que a = bc. 
Nesse caso, diz-se também que b é um divisor de a, ou que b divide a, ou ainda que a é múltiplo de 
b. Por exemplo, 8 é divisível por 2, mas não é por 3. Mesmo que a não seja divisível por b, pode-se 
sempre encontrar, de modo único, inteiros c (quociente) e r (resto) tais que a = bc + r. 
Todo inteiro a é divisível por 1, -1, a, -a. Estes são os divisores triviais de a. Um inteiro é 
dito primo quando só possui os divisores triviais. Um inteiro de valor absoluto maior que 1 e que 
não seja primo (isto é, possua divisores não triviais) é dito composto. Por exemplo: São primos: 2, -
2, 3, -3, 17, .... São compostos 6 = 2x3, -8 = (-2) x 4, ... Os números 0, 1 e –1 não são primos nem 
compostos. Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de números primos. 
O máximo divisor comum dos inteiros não nulos a e b tem a propriedade de ser múltiplo de 
qualquer divisor comum de a e b e pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides. Quando o 
máximo divisor comum de a e b for 1, então seus únicos divisores comuns são 1 e –1. Nesse caso, a 
e b são ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 são primos entre si. 
As propriedades mais cruciais dos números inteiros, e que não têm similares nos reais ou nos 
complexos, são o Princípio da Boa Ordenação, segundo o qual qualquer conjunto não vazio de 
inteiros limitado inferiormente possui um elemento mínimo, e o Princípio de Indução, segundo o 
qual se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n = a, e a veracidade de 
P(n) acarretar a veracidade de P(n + 1), então P(n) é verdadeira para todo inteiro maior que ou igual 
a a. 
A partir das propriedades usuais da adição e da multiplicação de inteiros, da relação <, e do 
Princípio da Boa Ordenação (ou do de Indução, que lhe é equivalente), é possível construir toda a