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Livro de Teoria dos Numeros

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA. 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: TEORIA DOS NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTÉUDO PROGRAMÁTICO: 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NÚMEROS: 
 
UNIDADE I – NÚMEROS INTEIROS: 
1.1 - Números inteiros. 
1.2 - Propiedades dos inteiros; 
1.3 - Valor absoluto de um inteiro; 
1.4 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE II – INDUÇÃO MATAMÁTICA: 
2.1 - Elemento mínimo de um conjunto de inteiros. 
2.2 - Princípio da boa ordenação; 
2.3 - Princípio de indução finita; 
2.4 - Indução matemática; 
2.5 - Exemplos de demonstração por indução matemática e outras formas de indução 
matemática; 
2.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE III – DIVISIBILIDADE: 
3.1 - Relação de divisibilidade em Z. 
3.2 - Conjunto dos divisores de um inteiro; 
3.3 - Divisores comuns de dois inteiros; 
3.4 - Algoritmo da divisão; 
3.5 - Paridade de um inteiro; 
3.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE IV – MÁXIMO DIVISOR COMUM: 
4.1 - Máximo divisor comum de dois inteiros. 
4.2 - Existência e unicidade do mdc; 
4.3 - Inteiros primo entre si; 
4.4 - Caracterização do mdc de dois inteiros; 
4.5 - Mdc de vários inteiros; 
4.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE V – ALGORITMO DE EUCLIDES MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM: 
5.1 - Algoritmo de EUCLIDES. 
5.2 - Múltiplos comuns de dois inteiros; 
5.3 - Mínimo múltiplo comum de dois inteiros; 
5.4 - Relação entre o mdc e o mmc; 
5.5 - Mmc de vários inteiros; 
5.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE VI – NÚMEROS PRIMOS: 
6.1 - Números primos e compostos. 
6.2 - Teorema fundamental da Aritmética; 
6.3 - Formula que dão primos; 
6.4 - Crivo de ERATÓSTENES; 
6.5 - Primos gêmeos; 
6.6 - Seqüências de inteiros consecutivos compostos; 
6.7 - Conjectura de GOLDBACH; 
6.8 - Método de fatoração de FERMAT; 
6.9 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
 
UNIDADE VII – EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES: 
7.1 - Generalidades. 
7.2 - Condição de existência de solução; 
7.3 - Solução da equação ax + by = c; 
7.4 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE VIII – CONGRUÊNCIAS: 
8.1 - Inteiros congruentes. 
8.2 - Caracterização de Inteiros congruentes; 
8.3 - Propriedades das congruências; 
8.4 - Sistemas completos de restos; 
8.5 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE IX – CONGRUÊNCIAS LINEARES: 
9.1 - Generalidades. 
9.2 - Condição de existência de solução; 
9.3 - Solução da congruência a x b(mod. m); 
9.4 - Resolução de equações diofantinas lineares por congruências; 
9.5 - Inverso de um inteiro; 
9.6 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE X – SISTEMAS DE CONGRUÊNCIAS LINEARES: 
10.1 - Generalidades. 
10.2 - Teorema do resto chinez; 
10.3 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
UNIDADE XI – TEOREMA DE FERMAT E WILSON: 
11.1 - Teorema de Fermat. 
11.2 - Teorema de Wilson; 
11.3 - Questões Resolvidas e Propostas. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NÚMEROS 
 
Embora existam diversos tipos de números em Matemática (reais, complexos, etc.), o nome 
"Teoria dos Números" é tradicionalmente reservado para o estudo dos Números Inteiros, isto é, -3, -
2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Também é usado o nome “Aritmético”, proveniente de arithmós, que em grego 
significa “número". 
A Teoria dos Números, a mais pura disciplina dentro da mais pura das Ciências a 
Matemática e tem uma longa história, originando-se nas antigas civilizações da humanidade. 
Listamos primeiro alguns nomes famosos de matemáticos que contribuirão para o estudo da teoria 
dos números: 
Pitágoras (569-500 a. C.) 
Euclides (_ 350 a. C.) 
Eratóstenes (276-196 a. C.) 
Diofante (_ 250 d. C.) 
Plutarco (_ 100 d. C.) 
Marin Mersenne (1588-1648) 
Pierre de Fermat (1601-1665) 
Blaise Pascal (1623-1662) 
Christian Goldbach (1690-1764) 
Leonhard Euler (1707-1783) 
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) 
John Wilson (1741-1793) 
Adrien Marie Legendre (1752-1833) 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) 
Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) 
P. L. Tchebychef (1821-1894) 
Frederick Nelson Cole (1861-1927) 
Axel Thue (1863-1922) 
Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) 
Charles de la Vallé e Poussin (1866-1962) 
Dentre outros.... 
A teoria dos números veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que 
surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida 
 
em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a 
saber: 
1) Teoria elementar dos números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a 
verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em 
particular as propriedades dos números primos. 
2) Teoria analítica dos números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para 
estudar as propriedades dos números primos. 
3) Teoria algébrica dos números: utiliza álgebra abstrata e estuda os números algébricos. 
4) Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos. 
Nesta notas faremos o estudo da primeira Teoria, um conceito chave em Teoria elementar 
dos Números é o conceito de divisibilidade. Enquanto nos números reais, por exemplo, pode-se 
dividir qualquer número por outro (não nulo), obtendo como resultado um número real, nos inteiros 
é diferente. Um inteiro a só é divisível pelo inteiro b quando existir um inteiro c tal que a = bc. 
Nesse caso, diz-se também que b é um divisor de a, ou que b divide a, ou ainda que a é múltiplo de 
b. Por exemplo, 8 é divisível por 2, mas não é por 3. Mesmo que a não seja divisível por b, pode-se 
sempre encontrar, de modo único, inteiros c (quociente) e r (resto) tais que a = bc + r. 
Todo inteiro a é divisível por 1, -1, a, -a. Estes são os divisores triviais de a. Um inteiro é 
dito primo quando só possui os divisores triviais. Um inteiro de valor absoluto maior que 1 e que 
não seja primo (isto é, possua divisores não triviais) é dito composto. Por exemplo: São primos: 2, -
2, 3, -3, 17, .... São compostos 6 = 2x3, -8 = (-2) x 4, ... Os números 0, 1 e –1 não são primos nem 
compostos. Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de números primos. 
O máximo divisor comum dos inteiros não nulos a e b tem a propriedade de ser múltiplo de 
qualquer divisor comum de a e b e pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides. Quando o 
máximo divisor comum de a e b for 1, então seus únicos divisores comuns são 1 e –1. Nesse caso, a 
e b são ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 são primos entre si. 
As propriedades mais cruciais dos números inteiros, e que não têm similares nos reais ou nos 
complexos, são o Princípio da Boa Ordenação, segundo o qual qualquer conjunto não vazio de 
inteiros limitado inferiormente possui um elemento mínimo, e o Princípio de Indução, segundo o 
qual se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n = a, e a veracidade de 
P(n) acarretar a veracidade de P(n + 1), então P(n) é verdadeira para todo inteiro maior que ou igual 
a a. 
A partir das propriedades usuais da adição e da multiplicação de inteiros, da relação <, e do 
Princípio da Boa Ordenação (ou do de Indução, que lhe é equivalente), é possível construir toda aTeoria dos Números. Um de seus resultados mais importantes é o Teorema Fundamental da 
 
Aritmética, segundo o qual todo inteiro (diferente de 0, 1 e –1) pode ser escrito de modo único 
como um produto de fatores primos. 
Uma das características da Teoria dos Números é que ela inclui problemas extremamente 
simples de enunciar e ao mesmo tempo incrivelmente difíceis de resolver. Um exemplo é a 
conjectura de Feuerbach: "todo número par é a soma de dois números primos"; ninguém até hoje 
conseguiu decidir se isto é verdadeiro ou falso. Outro exemplo é o famoso Último Teorema de 
Fermat: "Dado um inteiro n maior que 2, é impossível encontrar inteiros não nulos x, y, z tais que x
n 
+ y
n 
= z
n
". Este teorema, enunciado no século XVII por Fermat, que só foi demonstrado em 1995, 
por Wiles. 
Gauss, o "príncipe dos matemáticos", dizia que a Matemática era a rainha das ciências, e a 
Aritmética, a rainha das Matemáticas. Gauss desenvolveu muita a Teoria dos Números. Aos 22 
anos, em 1799, publicou em latim suas "Investigações Aritméticas", onde introduziu o importante 
conceito de congruência para números inteiros. 
O matemático inglês Hardy, grande especialista em Teoria dos Números, orgulhava-se, em 
1940, de que "nenhuma descoberta sua havia feito, nem provavelmente viria a fazer, direta ou 
indiretamente, alguma diferença para o conforto da humanidade". No entanto, 50 anos depois, um 
obscuro matemático americano descobriria uma falha no recém lançado processador Pentium, ao 
realizar cálculos "inúteis" sobre primos gêmeos (números primos que diferem de 2). 
Mas já no próprio momento em que Hardy escrevia aquela frase, durante a segunda guerra 
mundial, três americanos desenvolviam um sistema de código secreto, chamado SRA, baseado nas 
dificuldades insuperáveis para descobrir os fatores primos de um número muito grande. Criava-se 
um novo ramo a Criptografia, a ciência dos códigos, fortemente baseado em Teoria dos Números. 
Com o advento dos computadores e da computação algébrica, a Criptografia ganhou um novo 
impulso. Neste momento, a proliferação de senhas bancárias e de cartões de crédito, bem como a 
crescente necessidade de criptografar dados confidenciais que inundam a Internet, faz da 
Criptografia um dos ramos mais em moda da Matemática aplicada. E um dos mais úteis, para 
desespero póstumo de Hardy. 
 
UNIDADE I – NÚMEROS INTEIROS 
1 - Introdução: 
 
A noção de número está, através dos tempos, associada a todos os tipos de atividades 
humanas. A primeira concepção de número data do período paleolítico. Poucos progressos se 
fizeram neste campo até se dar a transição para o período neolítico, durante o qual já existia uma 
atividade comercial importante entre diversas povoações. Esta atividade promoveu a formação de 
linguagens, cujas palavras exprimiam coisas muito concretas e poucas abstrações, mas onde já havia 
lugar para alguns termos numéricos simples. Estes termos numéricos destinavam-se apenas a 
estabelecer a distinção entre um, dois e muitos. Depois de durante milênios ter utilizado os números 
para contar, medir, calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e propriedades dos 
próprios números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Números, um dos ramos mais profundos 
da matemática. 
A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitágoras e os seus 
discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam 
verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas. 
Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com números inteiros ou razões de números 
inteiros (em linguagem atual, números racionais). Aliás, na antiguidade a designação número 
aplicava-se só aos inteiros maiores do que um. Esta crença foi profundamente abalada quando 
usaram o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitário. Com 
efeito, a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles cujos catetos têm 
comprimento um e assim, pelo teorema de Pitágoras, a medida da hipotenusa é igual à raiz quadrada 
de dois, que não pode ser expresso como quociente de inteiros. 
Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 não era uma razão entre dois 
inteiros (em linguagem atual, que a raiz quadrada de 2 é um número irracional) os Pitagóricos 
consideraram quebrada a harmonia do universo, já que não podiam aceitar a raiz quadrada de dois 
como um número, mas não podiam negar que esta raiz era a medida da diagonal de um quadrado 
unitário. Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhes parecia 
uma imperfeição divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Segundo reza a lenda, o primeiro 
membro da seita pitagórica que divulgou esta descoberta morreu afogado. 
Este fato teve grandes repercussões na história da ciência que se fizeram sentir até finais do 
século XIX. De cada vez que as necessidades do cálculo levavam a introduzir novos entes 
numéricos gerava-se uma enorme desconfiança à sua volta, o que levava a atribuir-lhes designações 
curiosas. Assim, os números irracionais eram designados por números inexprimíveis e por números 
incalculáveis. Durante muitos séculos os números reais (fracionarias ou racionais e irracionais) 
 
foram apenas concebidos como medidas de grandezas e só nos finais do século XIX, principalmente 
por obra dos matemáticos alemães Dedekind e Cantor, se construiu uma teoria dos números reais 
independente da geometria. 
 
1.1 - Números Inteiros Noções Fundamentais: 
 
Os números inteiros ou apenas os inteiros são: 
, 3, 2, 2,0,1, 2,3, 
. 
 
Cujo conjunto representa-se pela letra 

, isto é: 
, 3, 2, 2,0,1,2,3,  
, deste conjunto 

 
destacam-se os seguintes subconjuntos: 
1) Conjunto 

 dos inteiro não nulos 
( 0)
. 

 = 
x / x 0 1, 2, 3, 4,z 
. 
2) Conjunto 

 dos inteiro não negativos 
( 0)
. 

 = 
x / x 0 0,1,2,3,z 
. 
3) Conjunto 

 dos inteiro não positivos 
( 0)
. 

 = 
x / x 0 0, 1, 2, 3,z 
. 
4) Conjunto 

 dos inteiro positivos 
( 0)
. 

 = 
x / x 0 1,2,3,4,z 
. 
4) Conjunto 

 dos inteiro positivos 
( 0)
. 

 = 
x / x 0 1, 2, 3, 4,z 
. 
Os inteiros positivos são também denominados inteiros naturais e por isso o conjunto dos inteiros 
positivos é habitualmente designados pela letra 
*
+ =   
. 
 
1.2 - Propriedades dos Inteiros: 
 
O conjunto Z dos inteiros munidos das operações de adição (+) e multiplicação ( ) possui as 
propriedades fundamentais que a seguir enumeramos, onde a, b e c são inteiros quaisquer, isto é, 
elementos de z: 
1) Lei comutativa para multiplicação e adição: 
a + b = b + a e ab = ba
. 
2) Lei associativa para multiplicação e adição: 
a + b + c = a + b + c e (ab)c = a(bc)
. 
3) Existência da identidade para adição e multiplicação: 
0 + a = a e a 1 = 1 a = a
. 
4) Existência do inverso em relação à adição, -a, para todo inteiro a: 
a + (- a) = (-a) + a = 0
. 
5) Lei distributiva: 
a b + c = ab + ac
. 
6) Lei do cancelamento da multiplicação 
0 a = 0 e se ab = 0, então a = 0 ou b = 0
. 
 
Também existe uma “relação de ordem” entre os inteiros, representada pelo sinal “< (menor que)” 
que possui as seguintes propriedades: 
7) Se 
a 0, então a < 0 ou 0 < a
. 
8) Se 
a b, e b < c então, a < c
. 
9) Se 
a b, então a + c < b + c
. 
10) Se 
a b, então 0 < c, então ac < bc
. 
 
11) Se 
a b, então c < 0, então bc < ac
. 
12) (Lei da Tricotomia) Para quaisquer inteiros a e b, vale exatamente uma das seguintesafirmações: 
a < b, a = b ou a > b
. 
13) Suponha que 
a b
, e seja c um inteiro qualquer. Então
a + c b+c
ac bc se c > 0, mas ac bc, se c < 0. 
 
Destas propriedades podem ser deduzidas muitas outras propriedades dos inteiros. 
 
1.3 - Valor absoluto de um Inteiro: 
 
Definição: Chama-se valor absoluto de um inteiro a, o inteiro que se indica por 
a
, tal que: 
 
a se a o
a
-a se a o
 
 
A partir da definição de 
a
, para todo inteiro a, temos: 
2 2
2
a 0
a a
- a a
a a
a a
. 
 
Teoremas: Se a e b são dois inteiros, quaisquer então: 
1) 
a 0 e a 0 se a = 0
. 
2) 
a a a
. 
3) 
ab a b
. 
4) 
a b a b
. 
5) 
a + b a ± b
. 
 
Questões Resolvidas 
 
01) Calcular a soma dos “n” primeiros inteiros positivos. 
Solução: Vamos escrever a soma dos n primeiros números inteiros positivos em ordem crescente e 
a mesma soma em ordem decrescente, temos: 
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ........ + n – 3 + n – 2 + n – 1 + n 
S = n + n – 1 + n – 2 + n – 3 + ........ + 4 + 3 + 2 + 1 
 
Somando as duas igualdades: 
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + .............. + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) 
 
Observe que serão n parcelas iguais a (n + 1). Portanto, 2S = n(n + 1)  S = n(n + 1)/2. 
 
02) Calcular o inteiro positivo n, sabendo que 3
n+2
 2
n+3 
= 2592. 
Solução: Decompondo 2592, obtém-se 3
4
.2
5
. Portanto, n + 2 = 4  n = 2, ou 5 = n + 3  n = 2. 
Pois a forma de decomposição em fatores primos é única. 
 
03) Achar um inteiro positivo de dois algarismos que seja igual ao quádruplo da soma dos seus 
algarismos. 
Solução: Um número de algarismos a e b, na base 10 é expresso por 10a + b. 
Portanto, 10a + b = 4(a + b)  6a = 3b  b = 2a. Ou seja, qualquer número de dois algarismos, 
onde o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das unidades. Assim, temos: 12, 24, 36, etc. 
 
04) Achar o menor e o maior inteiro positivo de n algarismos. 
Solução: Menor: 1º algarismo igual a 1 e os demais (n – 1) iguais a zero. Portanto, 1 x 10 n – 1. 
 Maior: todos os n algarismos iguais a 9, ou 1 seguido de n zeros menos 1 1.10n – 1 
Observação: Considerando, n = 5. Menor 10000 = 1.10
5
 
– 1
 = 1.10
4
 
 Maior 99999 = 100000 – 1 = 1.105 – 1. 
 
05) Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação: x
2
 – y2 = 88. 
Solução: x
2
 – y2 = 88  (x + y) (x – y) = 88. Como x e y são inteiros positivos, (x + y) e (x – y) 
são dois números inteiros cujo produto é 88. Assim, (1) x + y = 88 e x – y = 1; (2) x + y = 44 e x – y 
= 2; (3) x + y = 22 e x – y = 4; (4) x + y = 11 e x – y = 8. Cada par de duas equações formam um 
sistema. Para resolver o sistema basta somar as duas equações, o que resultaria em 2x = soma dos 
números. Como essa soma tem que ser par (x é inteiro), resulta apenas as possibilidades 2 e 3. 
Portanto, 2x = 46  x = 23 e y = 44 – 23 = 21 ou 2x = 26  x = 13 e y = 22 – 13 = 9. 
Resposta: (x = 23, y = 21) e (x = 13, y = 9). 
 
06) O produto de um inteiro positivo de três algarismos por 7 termina à direita por 638. Achar esse 
inteiro. 
 
Solução: Para facilitar o raciocínio, construamos a tabela de multiplicação por 7. 
7 x 1 = 7, 7 x 2 = 14, 7 x 3 = 21, 7 x 4 = 28, 7 x 5 = 35, 7 x 6 = 42, 7 x 7 = 49, 7 x 8 = 56, 7 x 9 = 
63. Como o algarismo das unidades é 8, o único valor possível para o algarismos das unidades do 
número é 4. Ao efetuar a multiplicação do algarismo das unidades, que é 4 por 8, vão duas unidades 
para a casa das dezenas. Assim, o algarismo das dezenas deve ser tal que ao multiplicar por 7 e 
somar 2, resulte num final igual a 3. Portanto, o algarismo das dezenas é 3, pois 7 x 3 + 2 = 23. Da 
mesma forma vão duas unidades para a casa das centenas. O algarismo aí deve ser de forma que, ao 
somar 2 (vindo das dezenas) resulte em 6. Portanto, deve ser um múltiplo de 7 terminado em 4. Isto 
permite concluir que o algarismo das centenas é 2 , pois 2 x 7 + 2 = 16. 
Portanto, o número é 234. 
 
07) Um livro tem 1235 páginas. Determinar o número de vezes que o algarismo 1 aparece na 
numeração da páginas deste livro. 
Solução: De 1 a 100, o algarismo 1 aparece 10 vezes nas unidades (1, 11, 21,... 91) e 10 vezes nas 
dezenas (10, 11, 12, ...19). Portanto a cada centena o algarismo 1 aparece 20 vezes. Em 1235 temos 
12 centenas. Portanto o algarismo 1 aparecerá 20 x 12 = 240 vezes na posição das unidades e 
dezenas. De 100 a 200, o algarismo 1 aparece 100 vezes na posição das centenas. Isto se repete de 
1100 a 1200. Portanto, 200 vezes na posição das centenas. 
De 1200 a 1236, o algarismo 1 aparece 4 vezes nas unidades e 10 vezes nas dezenas. Totalizando 14 
vezes. De 1000 a 1235, o algarismo 1 aparece 236 vezes na posição dos milhares. 
Portanto: 240 + 200 + 14 + 236 = 690 vezes. 
 
08) Achar o inteiro que deve ser somado a cada um dos inteiros 2, 6 e 14 para que, nesta ordem, 
formem uma proporção contínua. 
Solução: Uma proporção contínua é aquela que tem os meios ou os extremos iguais. Pela definição 
podemos ter (a) (2 + x)/(6 + x) = (6 + x)/(14 + x) ou (2 + x)/(6 + x) = (14 + x)/(2 + x). Na situação 
(a), (6 + x) 6 + x) = (2 + x) (14 + x) => 36 + 12x + 2x = 28 + 16x + 2x  4x = 8  x = 2. Na 
situação (b) (2 + x) (2 + x) = (6 + x) (14 + x)  4 + 4x + 2x = 84 + 20x + 2x  16x = - 80  
x = - 5. 
R: 2 ou –5. 
 
09) Achar o menor inteiro cujo produto por 21 é um inteiro formado apenas por 4 algarismo. 
Solução: O número é o menor múltiplo de 21 maior que 1000. 
Portanto: 1000 = 47 x 21 + 13. Portanto, o número é 48 x 21 = 1008. 
 
10) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros positivos, sem separar os algarismos: 
 
 123456789101112131415... 
Determinar: 
(a) O 435º algarismo. 
Solução: De 1 a 9 são escritos 9 algarismos. De 10 a 99, são dois algarismos em cada número  2 
x 90 = 180 algarismos. Portanto, até 100 são escritos: 9 + 180 + 3 = 192. 
Para chegar ao algarismo que ocupa o 435º lugar serão necessários mais 435 – 192 = 243 
algarismos. Como a partir de 100 são usados 3 algarismos teríamos 243 3 = 81 números após o 
100. Portanto, o número é 181 e o algarismo que ocupa a posição é o 1. 
(b) O 1756º algarismo. 
Solução: Da mesma forma 1756 – 192 = 1564  1564 3 = 521 e sobra 1 algarismo. Portanto 
teríamos até a 100 + 521 = 621. Como sobra 1 algarismo, o próximo é o 6 do número 622. 
(c) O 12387º algarismo. 
Solução: Até 1000 seriam 9 + 90 x 2 + 900 x 3 + 4 = 2889. 
12387 – 2889 = 9498  9498 4 = 2374 e sobram dois algarismo. Portanto, o último número 
inteiro é 1000 + 2374 = 3374. A sobra de dois algarismos implica que o último algarismo será 3, o 
segundo algarismo de 3375. 
 
11) Mostrar que o produto de dois fatores entre 10 e 20 é o décuplo da soma do primeiro com as 
unidades do segundo mais o produto das unidades dos dois. 
Solução: Sejam os números 10 + b e 10 + c, com 0 < b < 10 e 0 < c < 10. Nestas condições 10 + b e 
10 + c estarão compreendidos entre 10 e 20 e b e c serão os algarismos das unidades. 
Efetuando o produto temos: (10 + b) (10 + b) = 100 + 10b + 10c + bc = 10[(10 + b) + c] + bc. 
(10 + b) + c é a soma do primeiro com as unidades do segundo, bc é o produto dos dois e 10[(10 + 
b) + c] é o décuplo da soma do primeiro com as unidades do segundo. 
 
 
Questões Propostas 
 
01) Calcule o inteiro positivo n, sabendo-se que: 3
n
 + 3
n+1 
+ 3
n+2 
+ 3
n+3
 = 1080. 
R: n = 3. 
 
02) Decompor o inteiro 575 numa somade cinco inteiros ímpares consecutivos. 
R: 109, 113, 115, 117, 119. 
 
03) Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação (x + 1) (y + 2) = 2xy. 
R: os valores são (x = 2, y = 6), (x = 3, y =4) e (x = 5, y = 3). 
 
04) Verificar se o quadrado de um inteiro pode terminar em 2, 3, 7 ou 8. 
R: Portanto, não pode terminar em 2, 3, 7 ou 8. 
 
05) A soma dos quadrados de dois inteiros é 3332 e um deles é o quádruplo do outro. Achar os dois 
inteiros. 
R: 14 e 56. 
 
06) A média aritmética de dois inteiros positivos é 5 e a média geométrica é 4. Achar os dois 
inteiros. 
R: 8 e 2. 
 
07) Calcular a soma dos três maiores números inteiros de, respectivamente, três, quatro e cinco 
algarismos. 
R: 110997. 
 
08) Determinar a diferença entre o maior número inteiro com seis algarismos diferentes e o menor 
inteiro com cinco algarismos também diferentes. 
R: 977420. 
 
09) Mostrar que o produto de quatro algarismos consecutivos, aumentado de 1, é um quadrado 
perfeito. 
 
10) Sejam a e b dois inteiros. Demonstrar: 
(a) Max (a, b) = (a + b + |a – b|)/2. 
(b) Min (a, b) = (a + b – |a – b|)/2. 
 
11) Achar cinco inteiros positivos consecutivos cuja soma dos quadrados é igual a 2010. 
R: 18, 19, 20, 21 e 22. 
 
12) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros positivos pares, sem separar os algarismos: 
24681012141618... 
 
Determinar o 2574º algarismo que se escreve. 
R: algarismo é o 6. 
 
13) Os inteiros a e b são tais que –1 < a < 3 e –2 < b < 0. Mostrar que –1 < a – b < 5. 
R: – 1 < a – b < 5. 
 
14) Os inteiros a e b são tais que -2 < a < 2 e - 2 < b < 2. Mostrar que –4 < a – b < 4. 
R: –4 < a – b < 4. 
 
15) Achar o menor inteiro positivo que multiplicado por 33 dá um produto cujos algarismos são 
todos 7. 
R: 777777: 33 = 23569. 
 
16) No planeta Mong o número de horas por dia é igual a número de dias por semana, que é igual ao 
número de semanas por mês, que é igual ao número de meses por ano. Sabendo que em Mong há 
4096 horas por ano, quantas semanas há por mês? 
R: 
 
17) A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma 
dos quadrados desses números é: 
R: 
 
18) Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções abaixo, a expressão que não pode representar 
o número 24 é: 
a) ab
3
 b) a
2
b
3
 c) a
c
b
c
 d) ab
2
c
3
 e) a
c
b
c
c
c 
 
19) Efetuando as operações indicadas na expressão abaixo obtemos um número de quatro 
algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número: 2007 2005
2006 2004
2 2
2006
2 2
. 
R: 
 
20) Qual é a soma dos algarismo do número: 2 3 4 2005 2006
2 3 2004 2005
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2

? 
R: 
 
21) Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que 
x 99
x 19
 seja um número inteiro? 
R: 20. 
 
22) Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da 
idade do filho? 
R: 6. 
 
UNIDADE II – INDUÇÃO MATEMÁTICA 
2.1 - Introdução: 
 
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes 
aos números naturais. Por isso deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é 
importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. 
Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. 
Apresentamos abaixo uma breve exposição sobre os números naturais, onde o Princípio da 
Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado na lista de 
exercícios propostos ao final. 
 
2.2 - A Seqüência dos Números Naturais: 
 
Os números naturais constituem um modelo matemático, uma escala padrão, que nos 
permite a operação de contagem. A seqüência desses números é uma livre e antiga criação do 
espírito humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal é o processo que 
torna mais precisa a noção de quantidade; esse processo (a contagem) pressupõe, portanto o 
conhecimento da seqüência numérica. Sabemos que os números naturais são 1, 2, 3, 4, 5,… A 
totalidade desses números constitui um conjunto, que indicaremos com o símbolo N e que 
chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto N = {1, 2, 3, 4, 5,…}. 
Evidentemente, o que acabamos de dizer só faz sentido quando já se sabe o que é um 
número natural. Façamos de conta que esse conceito nos é desconhecido e procuremos investigar o 
que há de essencial na seqüência 1, 2, 3, 4, 5… . 
Deve-se a Giussepe Peano (1858 - 1932) a constatação de que se pode elaborar toda a teoria 
dos números naturais a partir de quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os axiomas de 
Peano. Noutras palavras, o conjunto N dos números naturais possui quatro propriedades 
fundamentais, das quais resultam, como conseqüências lógicas, todas as afirmações verdadeiras que 
se podem fazer sobre esses números. 
 
2.3 - Elemento Mínimo: 
Definição 1.1 - Seja A um conjunto de inteiros. Chama-se elemento mínimo de A um elemento a 
A tal que a x para todo x A. Notação: a = min A. 
min A = a se, e somente se, (a A e ( x A) a x). 
Teorema: Se a é elemento mínimo de A, então este elemento é único. 
 
2.4 - Princípio da Boa Ordenação (PBO). 
Todo conjunto não vazio A, de inteiros não negativos, possui elemento mínimo. 
 A Z+, A , existe min A. 
 
2.5 - Indução Matemática: 
Teorema: Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às duas 
seguintes condições: 
1) P(1) é verdadeira. 
2) Para todo inteiro k, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. Nestas condições, 
a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
2.6 - Princípio da Indução Finita (PIF). 
Teorema: Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos (S N) que satisfaz as duas 
seguintes propriedades: 
1) 1 pertence a S (1 S). 
2) Para todo inteiro positivo k, se k S, então (k + 1) S; 
3) Nestas condições, S é o conjunto N dos inteiros positivos: S = N. 
 
2.7 - Outra Forma da Indução Matemática: 
Teorema: Seja r um número inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposição associada a cada 
inteiro n r e que satisfaça às duas seguintes condições: 
1) P(r) é verdadeira. 
2) Para todo inteiro k r, se P(k) é verdadeiro, então P(k + 1) é verdadeiro; 
3) Nestas condições, P(n) é verdadeira para todo inteiro n r. 
 
Questões Resolvidas 
 
01) Demonstrar por "indução matemática", as questões abaixo: 
1) 1
2
 + 2
2
 + 3
2
 + ... + n
2
 = 
6
)1n2)(1n(n
 n N. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 1
2
 = 
6
3.2.1
. Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 
1
2
 + 2
2
 + 3
2
 + ... + k
2
 = 
6
)1k2)(1k(k
. Somando (k + 1)
2
 a ambos os membros: 
1
2
 + 2
2
 + 3
2
 + ... + k
2
 + (1 + k)
2
 = 
6
)1k2)(1k(k
 + (k + 1)
2 
 = 
6
)1k(6)1k2)(1k(k 2
 
 = 
6
)1k(6)1k2(k)1k(
 
 = 
6
)6k6kk2)(1k( 2
 
 =
6
)3k2)(2k)(1k(
 Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
 
2) 1
3
 + 2
3
 + 3
3
 + ... + n
3
 = 
4
)1n(n 22
 n N. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 1
3
 = 
4
)11(1 22
. Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 
1
3
 + 2
3
 + 3
3
 + ... + k
3
 = 
4
)1k(k 22
 Somando (k + 1)
3
 a ambos os membros 
1
3
 + 2
3
 + 3
3
 + ... + k
3
 + (k + 1)
3
 = 
4
)1k(k 22
+ (k +1)
3 
 = 
4
)1k(4)1k(k 322
 
 = 
4
)1k(4k)1k( 22
 
 = 
4
)4k4k()1k( 22
 
 = 
4
)2k()1k( 22
 Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
3) 1
2
 + 3
2
 + 5
2
 + ... + (2n – 1)2 = 
3
)1n4(n 2
 n N. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 1
2
 = 
3
)11.4(1 2
 Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 
1
2
 + 3
2
 + 5
2
 + ... + (2k – 1)2 = 
3
)1k4(k 2
 Somando (2k + 1)
2
 a ambos os membros 
1
2
 + 3
2
 + 5
2
 + ... + (2k – 1)2 + (2k + 1)2 = 
3
)1k4(k 2
 + (2k + 1)
2 
 = 
3
)1k2(3)1k2)(1k2(k 2
 
 = 
3
)1k2(3)1k2(k)1k2(
 
 = 
3
)3k5k2)(1k2( 2
 
 = 
3
)3k2)(1k)(1k2(
 
 = 
3
)3k2)(1k2)(1k(
 Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
4) 1
3
 + 3
3
 + 5
3
 + ... + (2n –1)3 = n2(2n2 – 1) 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 1
3
 = 1
2
(2.1
2
 – 1). Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 
1
3
 + 3
3
 + 5
3
 + ... + (2k –1)3 = k2(2k2 – 1). Somando (2k + 1)3 a ambos os membros 
1
3
 + 3
3
 + 5
3
 + ... + (2k –1)3 + (2k + 1)3 = k2(2k2 – 1) + (2k + 1)3 
 = 2k
4
 – k2 + 8k3 + 12k2 + 6k + 1 
 = 2k
4
 + 8k
3
 + 11k
2
 + 6k + 1 
 = (k + 1)(2k
3
 + 6k
2
 + 5k + 1) 
 = (k + 1)(k + 1)(2k
2
 + 4k + 1) 
 = (k + 1)
2
(2(k + 1)
2
 – 1) Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
 
5) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = 
3
)2n)(1n(n
. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 1(1 + 1)= 1(1 + 1)(1 + 2)/3 
Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = 
3
)2k)(1k(k
 
Somando (k + 1)(k + 2) a ambos os membros: 
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = 
3
)2k)(1k(k
 + (k + 1)(k + 2) 
 = 
3
)2k)(1k(3)2k)(1k(k
 
 = 
3
)3k)(2k)(1k(
 Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
6) a + aq + aq
2
 + ... + aq
n
 = 
1q
)1q(a 1n
, q 1. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois a + aq = 
1q
)1q(a 11
 Suponhamos que para P(k) verdadeira. 
a + aq + aq
2
 + ... + aq
k 
= 
1q
)1q(a 1k
 Somando aq
k+1
 a ambos os membros 
a + aq + aq
2
 + ... + aq
k
 + aq
k+1
 = 
1q
)1q(a 1k
+ aq
k+1 
 = 
1q
)1q(aq)1q(a 1k1k
 
 = 
1q
)1q(q1qa 1k1k
 
 = 
1q
)qq1q(a 1k2k1k
 
 = 
1q
)1q(a 2k
 Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
02) Demonstrar por “indução matemática”: 
1) 2
n
 < 2
n+1
 n N. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 2
1
 < 2
1+1
. Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 
2
k
 < 2
k+1
 Multiplicando por 2 ambos os membros 
2.2
k
 < 2.2
k+1
 ou 2
k+1
 < 2
k+2
 logo, P(k + 1) é verdadeira. 
 
2) n ! > n
2
 n 4. 
Solução: P(4) é verdadeira, pois 4! > 4
2
 ou 24 > 16. Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 
k! > k
2
 Multiplicando por k + 1 ambos os membros 
k!(k + 1) > k
2
(k + 1) ou (k + 1)! > k
3
 + k
2
 como k
3
 > k
2
 e k
2
 > 2k + 1 temos 
(k + 1)! > k
2
 + 2k + 1 ou (k + 1)! > (k + 1)
2
 Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
3) 2
n
 > n
2
 n 5. 
Solução: P(5) é verdadeira, pois 2
5
 > 5
2
. Suponhamos que para P(k) é verdadeira: 
2
k
 > k
2
 Multiplicando por 2 ambos os membros 
2.2
k
 > 2.k
2
 ou 2
k+1
 > k
2
 + k
2
 > k
2
 + 2k + 1 (pois k
2
 > 2k + 1) ou 2
k+1
 > (k + 1)
2
. 
Logo P(k + 1) é verdadeira. 
 
 
4) 24 | (5
2n
 – 1) n N. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 24 | (5
2.1
 – 1) Suponhamos que para P(k) é verdadeira, 
24 | (5
2k
 – 1). Logo 52k – 1 = 24t ou 52k = 24t + 1 
Multiplicando ambos os membros por 5
2
.5
2
.5
2k
 = 5
2
 (24t + 1) = 5
2
.24t + 25 = 5
2
.24t + 24 + 1 
 5
2k+2
 = 24(25t + 1) + 1 ou 5
2(k+1)
 – 1 = 24q 
 onde q = 24t + 1 ou 24 | (5
2(k+1)–1). 
 
5) 5 | (8
n
 – 3n) n N. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 5 | (8
1
 – 31) Suponhamos que para P(k) verdadeira 
5 | (8
k
 – 3k) Logo 8k – 3k = 5t, onde t é um número inteiro. Vamos mostrar que P(k + 1) é 
verdadeira: 8
k+1
 – 3k+1 = 8.8k – 3.3k = 8.8k – (8.3k – 5.3k) 
 = 8.8
k
 – 8.3k + 5.3k 
 = 8(8
k
 – 3k) + 5.3k 
 
= 8.5t + 5.3
k 
 = 5(8t + 3
k
) fazendo 8t + 3
k
 = q 
 = 5q Logo 5 | (8
k+1
 – 3k+1). 
 
6) 4
n
 > n
4
 n 5. 
Solução: P(5) é verdadeira, pois 4
5
 > 5
4
 Suponhamos que para P(k) verdadeira, k > 5 
4
k
 > k
4
 Multiplicando por 4 ambos os membros 
4.4
k
 > 4k
4
 ou 4
k+1
 > k
4
 + 3k
4
 Vamos usar a desigualdade n
4
 > 4n
3
 + 6n
2
 + 4n + 1 
4
k+1
 > k
4
 + 3k
4
 > k
4
 + 4k
3
 + 6k
2
 + 4k + 1 ou 4
k+1
 > (k + 1)
4
 Logo P(k + 1) é verdadeira 
 
7) Demonstrar que 10
n + 1
 – 9n – 10 é um múltiplo de 81 para todo inteiro positivo n. 
Solução: P(1) é verdadeira, pois 81 | (10
1+1
 – 9 1 – 10) ou 81 | 81. 
Suponhamos que para P(k) verdadeira: 81 | (10
k+1
 – 9k – 10) Logo 10k+1 – 9k – 10 = 81t 
Multiplicando ambos os membros por 10. 
10.10
k+1
 – 10.9k – 10.10 = 10.81t 
10
k+2
 – 9k – 81k = 10.81t + 102 
10
k+2
 – 9k – 9 = 10.81t + 102 + 81k – 9 
10
k+2
 – 9(k + 1) – 10 = 10.81t + 102 + 81k – 9 – 10 
10
k+2
 – 9(k + 1) – 10 = 10.81t + 81k + 81 
10
k+2
 – 9(k + 1) – 10 = 81(10t + k + 1) 
10
k+2
 – 9(k + 1) – 10 = 81q fazendo 10t + k + 1 = q Logo 81 | [10k+2 – 9(k + 1) – 10 }]. 
 
8) Demonstrar que 
15
n7
5
n
3
n 53
 é um inteiro positivo para todo n N. 
Solução: 
15
n7
5
n
3
n 53
 = 
15
n7n3n5 53
, 
isto é: 15 | (5n
3
 + 3n
5
 + 7n) n N. 
P(1) é verdadeira, pois 15 | (5 1
3
 + 3 1
5
 + 7 1) ou 15 | 15. 
Suponhamos que para P(k) verdadeira: 15 | (5k
3
 + 3k
5
 + 7k) ou 5k
3
 + 3k
5
 + 7k = 15t. Vamos 
mostrar que. 
P(k + 1) é verdadeira. Somando a expressão 15k
4
 + 30k
3
 + 45k
2
 + 30k + 15 a ambos os membros da 
igualdade acima, temos: 
5k
3
 + 3k
5
 + 7k + 15k
4
 + 30k
3
 + 45k
2
 + 30k + 15 = 15t + 15k
4
 + 30k
3
 + 45k
2
 + 30k + 15. 
Arranjando os termos convenientemente, temos: 
5k
3
 + 15k
2
 + 15k + 5 + 3k
5
 + 15k
4
 + 30k
3
 + 30k
2
 + 15k + 3 + 7k + 7 = 15(t + k
4
 + 2k
3
 + 3k
2
 + 2k + 
1). 
5(k
3
 + 3k
2
 + 3k + 1) + 3(k
5
 + 5k
4
 + 10k
3
 + 10k
2+ 5k + 1) + 7(k + 1) = 15(t + k
4
 + 2k
3
 +3k
2
 + 2k + 
1). 
5(k + 1)
3
 + 3(k + 1)
5
 + 7(k + 1) = 15q fazendo t + k
4
 + 2k
3
 +3k
2
 + 2k + 1 = q Assim. 
15 | [5(k + 1)
3
 + 3(k + 1)
5
 + 7(k + 1)] o que queríamos provar. 
 
Questões Propostas 
 
01) Demonstrar por “indução matemática”, as questões abaixo: 
1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n –1) = n2 n 

. 10) 
2n
1
...
9
1
4
1
1
 2 – 
n
1
, n 

. 
 
2) 
1 2 n n
1 1 1 1
1 n
2 2 2 2
 
. 11) 
1 2 n n
2 2 2 1
1 , n
3 3 3 3
 
. 
 
3) n + 1
2 n 1 r1 r r r , n
1 r
 
. 12) 
n(n 1)
1 2 3 n , n
2
 
. 
 
4) 
(n 1)(4 + 3n)
2 5 8 (2 3n) , n
2
 
. 13) 
0 1 2 n 1 n2 2 2 2 2 1, n 
. 
 
5) 
2 2 2 2 n(n 1)(2n + 1)1 2 3 n , n
6
 
. 14) 2
3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 n n
2
 
. 
6) 6 | n(n +1)(n + 2) n

. 15) 4
3 3 3 3 n1 2 3 n , n
4
 
. 
7) 2 | (n
2
 + n) n

. 16) 
n(1 a) 1 na, n , a , a 1. 
 
 
8) 
1 1 1 1 n
, n
1 2 2 3 3 4 n (n+1) n 1
 
 17) 3 | (2
2n
 –1) n

. 
 
9) 
1 1 1
(1 1) 1 1 1 n 1, n
2 3 n
 
.18) 3 | (n
3
 + 2n) n

. 
 
02) Usando o principio da "indução matemática", demonstrar: 
1) O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é: 
n
n(n 3)
d
2
. 
 
2) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é: 
0
nS (n 2) 180
. 
 
3) Se A é um conjunto finito com n elementos, então 
(A)
, conjunto das partes de A, tem 2
n
 
elementos. 
 
4) Prove que a soma de uma PG ou razão q de n termos e primeiro termo a1 é dado por 
n
1
n
a (q 1)
S
q 1
. 
 
5) Prove que uma P.G. de primeiro termo a1 e razão q o produto (Pn) dos n primeiros termos é dado 
por n(n - 1)
n 2
n 1P a q
, 
n 1
. 
 
6) Prove que numa PA. de primeiro termo a1 e razão r a soma (Sn) dos n primeiros termos é dado 
por 
n 1
n(n 1)
S na r
2
. 
 
7) Para 
n+ nr , θ e n 0, mostre que r (cosθ + isen θ) r (cosnθ + isen nθ) 
, onde i
2 
= -1. 
 
8) Sendo z um número complexo não-nulo e 
n 0
, mostre que 
n n( ) ( )z z
. 
 
 
9) Prove que numa o termo geral da P. A. é dado pela formula 
n 1a a (n 1)r
. 
 
10) Prove que 
0 1 nn n n-1 n n
n n n
(a + b) a a b b , para n .C C C 
 
 
11) Seja 
cosθ senθ
A
sen θ cosθ
. Determine A
n
, para n 1. 
 
12) Para 
x 
 e n 1, mostre que 
sen nx n sen x
. 
 
13) Demonstrar a lei de De Morgan 
(A B) ' A' B'
, sobre n conjuntos. 
 
 
 
 
 
UNIDADE III – DIVISIBILIDADE 
3.1 - Introdução: 
Sabemos, desde a escola básica, que quando um número inteiro e dividido por um segundo 
número inteiro não nulo, o quociente pode ou não ser um numero inteiro. Esta observação nos leva 
a seguinte definição. 
 
3.2 - Divisibilidade: 
Definição 3.2 - Sejam a e b dois inteiros, com a 0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe 
um inteiro q tal que b = aq. 
Se a divide b também se diz que a é divisor de b, que b é múltiplo de a, que a é um fator de b ou que 
b é divisível por a. 
 
Notação: “a | b” (a 0 divide b e portanto, a notação “a | b” significa que a 0 não divide b). 
A relação “a divide b (a | b)” denomina-se relação de divisibilidade em 

. 
Observação: Se a | b, então –a | b. 
 
Teorema 3.1: Quaisquer que sejam os inteiros a, b e c tem-se: 
(1) a | 0, a 0, 1 | a e a | a, a 0. 
(2) Se a | 1, então a = 1. 
(3) Se a | b e se c | d, então ac | bd. 
(4) Se a | b e se b | c, então a | c. 
(5) Se a | b e se b | a, então a = b. 
(6) Se a | b com b 0, então | a | | b |. 
(7) Se a | b e se a | c, então a |(bx + cy) para todos x e y em 

. 
 
3.3 - Conjunto de divisores de um inteiro: 
D(a) = {x 

*
| x | a}. 
 
3.4 - Divisores comuns de dois inteiros: 
Definição 3.3: Chama-se divisor comum de dois inteiros a e b todo inteiro d 0 tal que d | a e d | b. 
Notação: D(a, b) = {x 

*
 | x | a e x | b} 
Propriedade; D(a, b) = D(a) D(b). 
Obs.: D(a, b) ; D(0, 0) = 

*
. 
 
3.5 - Algoritmo da Divisão: 
Teorema 3.2: Se a e b são dois inteiros, com b > 0, então existem e são únicos os inteiros q e r que 
satisfazem às condições: a = bq + r e 0 r < b. 
Corolário 3.2: Se a e b são dois inteiros com b 0, existem e são únicos os inteiros q e r que 
satisfazem às condições: a = bq + r, 0 r < | b |. 
 
3.6 - Paridade de um Inteiro: 
Na divisão de um inteiro qualquer a por b = 2 os possíveis restos são r = 1 e r = 0. Se r = 0 então, o 
inteiro a = 2q é denominado par; e se r = 1, então o inteiro a = 2q + 1 é denominado ímpar. 
 
Questões Resolvidas 
 
01) Mostrar que, se a é um inteiro qualquer, então um dos inteiros a, a + 2, a + 4 é divisível por 3. 
Solução: Quando dividimos um inteiro a qualquer por 3 , os restos são 0, 1 ou 2. 
Assim a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2. 
Se a = 3q, então 3 | a 
Se a = 3q + 1, a + 2 = 3q + 1 + 2 ou a + 2 = 3(q + 1) então 3 | (a + 2). 
Se a = 3q + 2, a + 4 = 3q + 2 + 4 ou a + 4 = 3(q + 2) então 3 | (a + 4). 
 
02) Sendo a um inteiro qualquer, mostrar: 
a) 2 | a(a + 1). 
Solução: Como a e a + 1 são inteiros consecutivos, então um dos dois é par, sendo o outro ímpar; 
então a(a + 1) = 2k1(2k2 + 1) onde 2k1 representa o número par e 2k2 + 1 representa o número ímpar. 
Assim 2 | a(a + 1). 
 
03) 3 | a(a + 1)(a + 2). 
Solução: Dividindo a por 3, temos três hipóteses. a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2 
Se a = 3q então 3 | a e por conseguinte 3 | a(a + 1)(a + 2) 
Se a = 3q + 1 então a + 2 = 3q + 1 + 2 ou a + 2 = 3(q + 1); logo 3 | (a + 2) e por conseguinte 3 | a(a 
+1)(a + 2) 
Se a = 3q + 2 então a + 1 = 3q + 2 + 1 ou a + 1 = 3(q + 1); logo 3 | (a + 1) e por conseguinte 3 | a(a 
+ 1)(a + 2) 
 
04) Mostrar que todo inteiro ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3. 
Solução: Quando dividimos um inteiro por 4 os restos possíveis são: 0, 1, 2 ou 3. Se o número for 
ímpar, os restos só poderão ser 1 ou 3 e, assim, n = 4k + 1 ou n = 4k + 3 onde n é o número ímpar. 
 
05) Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3k ou 3k + 1. 
Solução: Dividindo um inteiro por três, obtemos os restos 0, 1 ou 2. Sendo assim podemos 
escrever: a = 3k1, a = 3k1 + 1 ou a = 3k1 + 2, onde a é um inteiro qualquer 
Se a = 3k1, a
2
 = 9 k1
2
 ou a
2
 = 3(3k1
2
). Fazendo 3k1
2
 = k, temos a = 3k 
Se a= 3k1 + 1, a
2
 = 9k1
2
 + 6k1 + 1 ou a
2
 = 3(3k1
2
 +2k1) + 1. Fazendo 3k1
2
 +2k1 = k temos a
2
 = 3k + 1 
Se a = 3k1 + 2, a
2
 = 9k1
2
 + 12k1 + 4 ou a
2
 = 9k1
2
 + 12k1 + 3 + 1; assim 
a
2
 = 3(3k1
2
 +4k1 + 1) + 1. Fazendo 3k1
2
 +4k1 + 1 = k temos a
2
 = 3k + 1. 
 
 
06) Mostrar que n n n( )( )1 2 1
6
 é um inteiro qualquer que seja o inteiro positivo n. 
Solução: Devemos provar que n(n + 1)(2n + 1) é múltiplo de 6. 
Como n e n + 1 são inteiros consecutivos, então um dos dois é par, logo múltiplo de 2. 
Vamos mostrar que um dos números n, n + 1, 2n + 1 é múltiplo de 3. 
Se n não for múltiplo de 3, então n = 3q + 1 ou n = 3q + 2. 
Se n = 3q + 1, 2n + 1 = 6q + 2 + 1 ou 2n + 1 = 3(2q + 1). Logo 2n + 1 é múltiplo de 3. 
Se n = 3q + 2, n + 1 = 3q + 2 + 1 ou n + 1 = 3(q + 1). Logo n + 1 é múltiplo de 3. 
Então podemos concluir que um dos três números n, n + 1, 2n + 1 é múltiplo de 3. 
Podemos, então, escrever: n(n + 1)(2n + 1) = 2t13t2t3, substituindo o fator múltiplo de 2 por 2t1 e o 
fator múltiplo de 3 por 3t2, sendo t3 outro inteiro qualquer. Concluímos que n(n + 1)(2n + 1) = 6t1t2t3 
é múltiplode 6, como queríamos demonstrar. 
 
Demonstrar: 
07) Se a é um inteiro ímpar, então 24 | a(a
2
 – 1). 
Solução: a(a
2
 –1) = a(a – 1)(a + 1). Como a é ímpar, a = 2t + 1, a – 1 = 2t e a + 1 = 2t + 2. 
Então a(a
2
 – 1) = (2t + 1)2t(2t + 2) ou a(a2 – 1) = (2t + 1) 2t2(t + 1) ou a(a2 – 1) = 4t(t + 1)(2t + 1).t(t 
+ 1)(2t + 1) é múltiplo de 6. 
Portanto a(a
2
 – 1) = 4.6 k ou a(a2 – 1) = 24 k; concluímos que 24 | a(a2 – 1). 
 
08) Se a e b são inteiros ímpares, então 8 | (a
2
 – b2). 
Solução: a
2
 – b2 = (a - b)(a + b). Como a e b são ímpares a = 2q + 1 e b = 2k + 1. Onde q e k são 
inteiros quaisquer. Então: a
2
 – b2 = 2q + 1 – (2k + 1) (2q + 1 + 2k + 1) 
a
2
 – b2 = (2q – 2k)(2q + 2k + 2) ou a2 – b2 = 2(q – k)2(q + k + 1) ou 
a
2
 – b2 = 4(q – k)(q + k + 1). Quaisquer que sejam as paridades de q e k, q – k e q + k tem a mesma 
paridade: deste modo q - k e q + k + 1 têm paridades diferentes, isto é, um é par e o outro ímpar. 
Assim (q – k)(q + k + 1) = 2t(2t + 1). Substituindo na expressão acima, obtemos: a2 – b2 = 4.2t(2t + 
1) ou a
2
 – b2 = 8t(2t + 1) e logo 8 | (a2 – b2 ). 
 
09) Mostrar que a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos nunca é divisível por 2. 
Solução: Sejam os inteiros consecutivos n e n + 1. Achemos a diferença entre os cubos destes 
números: 
(n + 1)
3
 – n3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 – n3 
 = 3n
2
 + 3n + 1 
 = 3n(n + 1) + 1. Como n e n + 1 são consecutivos, um dos dois é par e, portanto, o 
produto 3n(n + 1) é também par e 3n(n + 1) + 1 é ímpar. Logo não é divisível por 2. 
 
 
10) Na divisão do inteiro a = 427 por um inteiro positivo b o quociente é 12 e o resto é r. Achar o 
divisor b e o resto r. 
Solução:: De acordo com o algoritmo da divisão 427 = 12b + r, 0 
r b
; onde 427 é o dividendo, 
b o divisor , 12 o quociente e r o resto. Desta igualdade tiramos: 
427 –12b = r e daí 0 427 –12b < b. Somando 12b aos três membros da desigualdade, obtemos: 
12b 427 < 13b. Da desigualdade 12b 427, tiramos b 35, 5 ou b 35. 
Da desigualdade 427 < 13b tiramos b > 32,8 ou b 33. Assim os valores para b são os inteiros no 
intervalo 33,35 ou 33, 34 e 35. 
Para b = 33, r = 427 – 12 x 33 = 31. Para b = 34, r = 427 – 12 x 34 = 19. Para b = 35, r = 427 – 12 
x 35 = 7. 
 
11) Achar um inteiro de quatro algarismos, quadrado perfeito, divisível por 27 e terminado em 6. 
Solução: Se a, b, c ... são fatores primos, os expoentes desses fatores devem ser par. 
Como 27 = 3
3
, deve-se ter pelo menos mais um 3 como fator. Portanto, o número deve ser múltiplo 
de 27 x 3 ou de 81. Para que o número termine em 6, devemos multiplicar 81 por um quadrado 
(pois 81 já é quadrado), terminado em 6, pois 81 termina em 1. Assim, temos as possibilidades 81 x 
16 = 1296 e 81 x 36 = 2916. 
 Se o número tivesse 6 fatores iguais a 3, ele deveria ser múltiplo de 729. Para que terminasse 
em 6, deveriamos ter 729 x a, com a terminado em 4. Como os menores quadrados terminados em 
quatro são 4 e 64, teríamo: 729 x 4 = 2916 e 729 x 64 = 46656 que tem 5 algarismos. Para 8 fatores 
iguais a 3, o número deveria ser múltiplo de 6561 = 38. Para que o número terminasse em 6, 
deveriamos ter 6561 x a, com a terminado em 4. Como os menores quadrados terminados em quatro 
são 4 e 64, teríamos 6561 x 4 = 26244 que contém cinco algarismos. Para 10 fatores iguais a 3, 
teríamos 310 > 10000, que terá mais de 4 algarismos. 
Portanto, os únicos números são 1296 e 2916. 
 
12) Demonstrar que se m e n são inteiros ímpares, então 8 | (m
4
 + n
4
 – 2). 
Solução: se m e n são ímpares, podemos escrever: m = 2k + 1 e n = 2k’ + 1. 
Temos então: m
4
 + n
4
 - 2 = (2k + 1)
4
 + (2k’ + 1)4 – 2 = [(2k)4 + 4(2k)3 + 6(2k)2 + 4(2k) + 1] + 
[(2k’)4 + 4(2k')3 + 6(2k’)2 + 4(2k’)+1] – 2 = 16(k4 + k’4) + 32(k3 – k’3) + 24(k2 + k’2) + 8(k + k’) + 
2 – 2 = 8[2(k4 + k’4) + 4(k3 – k’3) + 3(k2 + k’2) + (k + k’)]. Como 2(k4 + k’4) + 4(k3 – k’3) + 3(k2 + 
k’2) + (k + k’)]. É um inteiro (multiplicação e adição de inteiros), podemos escrever: m4 + n4 - 2 = 
8q, q inteiro  8 | (m4 + n4 – 2). 
 
Questões Propostas 
 
01) Mostrar que, se a | b, então (-a) | b e a | (-b) e (-a) | (-b). 
 
02) Sejam a, b e c inteiros. Mostrar: 
a) se a | b, então a | bc. 
b) Se a | b e se a | c, então a
2
 | bc. 
c) a | b se, e somente se, ac | bc, (c 0). 
 
03) Mostrar que um inteiro qualquer da forma 6k + 5 também é da forma 3k + 2. 
 
04) Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer é de uma das formas: 9k, 9k + 1 e 9k + 8. 
 
05) Mostrar que, se a | (2x – 3y) e se a | (4x – 5y), então a | y. 
 
06) Determinar os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do 
quociente. R: 18, 38, 60 e 84. 
 
07) Na divisão do inteiro 525 por um inteiro positivo o resto é 27. Achar os inteiros que podem ser 
o divisor e o quociente. R: b = 498 e q = 1; b = 249 e q = 2; b = 166 e q = 3 e b = 83 e q = 6. 
 
08) Na divisão de dois inteiros positivos o quociente é 16 e o resto o maior possível. Achar os dois 
inteiros, sabendo que a sua soma é 341. R: a = 322, b = 19. 
 
09) Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam um resto igual ao 
quociente. R: q = 1, 2, 3 e a = 40, 80, 120. 
 
10) Seja d um divisor de n (d | n). Mostrar que cd | n se, e somente se, c | n
d
. 
 
11) Mostrar que para todo inteiro n, existem inteiros k e r tais que n = 3k + r e r = –1, 0, 1. 
 
12) Mostrar que todo inteiro ímpar, quadrado perfeito, é da forma 4n + 1. 
 
13) Na divisão de 392 por 45, determinar: 
a) o maior inteiro que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente. R: 12. 
b) o maior inteiro que se pode subtrair do dividendo sem alterar o quociente. R: 32. 
 
14) Numa divisão de dois inteiros, o quociente é 16 e o resto 167. Determinar o maior inteiro que se 
pode somar ao dividendo e ao divisor sem alterar o quociente. R: 11. 
 
15) Achar o maior inteiro de quatro algarismos divisível por 13 e o menor inteiro de cinco 
algarismos divisível por 15. 
R: maior 9997 e o menor é 10.005. 
 
UNIDADE IV – MÁXIMO DIVISOR COMUM - M. D. C 
4.1 - Introdução: 
Fazem parte do ensino fundamental, entre outras, as noções de Máximo Divisor Comum 
(MDC), Mínimo Múltiplo Comum (MMC), Números primos e Fatoração, que compõem uma 
parcela significativa da Teoria Elementar dos Números. No caso específico M.D.C, pretendemos 
mostrar a relevância destes através da abordagem de exercícios para o aprofundamento teórico e 
após o estudo do M.M.C veremos aplicações de forma contextualizada. 
 
4.2 - Máximo Divisor Comum: 
Definição 4.1 - Dados dois ou mais números inteiros não nulos denominamos máximo divisor 
comum destes números ao maior número inteiro que é divisor simultaneamente de todos os 
números dados. O mdc é o maior elemento da intersecção dos conjuntos dos divisores positivos dos 
números dados. 
Definição 4.2 - Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Chama-se 
máximo divisor comum de a e b o inteiro positivo d (d > 0) que satisfaz às condições: 
1) d | a e d | b. 
2) Se c | a e c | b, então c d. 
Notação: d = mdc(a, b). 
 
4.3 - Existência e Unicidade do MDC: 
Teorema 4.1 - Se a e b são inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), então existe e é único 
o mdc(a,b); além disso, existem inteiros x e y tais que mdc(a, b) = ax + by, isto é, o mdc(a, b) é uma 
combinação linear de a e b. 
Teorema 4.2 - Se a e b são dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), então o conjunto 
de todos os múltiplos do mdc(a, b) = d é T = {ax + by | x,y Z}. 
 
4.4 - Inteiros Primos entre si: 
Definição4.3 - Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Diz-se que a e b 
são primos entre si se, e somente se, o mdc(a, b) = 1. 
Teorema 4.3 - Dois inteiros a e b, não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), são primos entre si se, 
e somente se, existe inteiros x e y tais que ax + by = 1. 
Corolário 4.1 - Se o mdc(a, b) = d, então mdc 
a b
,
d d
 = 1. 
Corolário 4.2 - Se a | b e se mdc(b, c) = 1, então o mdc(a, c) = 1. 
Corolário 4.3 - Se a | c, se b | c e se mdc(a, b) = 1, então ab | c. 
Corolário 4.4 - Se mdc(a, b) = 1 = mdc(a, c), então o mdc(a, bc) = 1. 
 
Corolário 4.5 - Se mdc(a, bc) = 1, então mdc(a, b) = 1 = mdc(a, c). 
Teorema 4.4 - (de Euclides) Se a | bc e se o mdc(a, b) = 1 então a | c. 
 
4.5 - Caracterização do MDC de dois Inteiros: 
Teorema 4.5 - Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Um inteiro 
positivo d (d > 0) é o mdc(a, b) se, e somente se, satisfaz às condições: 
1) d | a e d | b. 
2) Se c | a e c | b, então c | d. 
 
4.6 - Caracterização do MDC de dois Inteiros: 
O conceito de máximo divisor comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de maneira 
natural a mais de dois inteiros. No caso de três inteiros a, b e c, não todos nulos, o mdc (a, b, c) é o 
inteiro positivo d (d > 0) que, satisfaz às condições: 
1) d | a, d | b e d | c. 
2) Se e | a, se e | b e se e | b, então e d. 
 
4.7 - MDC de Vários Inteiros: 
Teorema 4.6 - O mdc(a,b,c) = mdc(mdc(a,b), c). 
 
Questões Resolvidas 
 
01) Determinar: 
(a) mdc(11, 99). 
Solução: 99: 11 = 9, resto zero mdc(11,99) = 11 
R: 11. 
 
(b) mdc(-21, 14). 
Solução: mdc(-21, 14) = mdc(21, 14) 
21: 14 = 1 resto 7. 
14:7 = 2, resto zero  mdc(-21, 14) = 7 
R: 7. 
 
(c) mdc(17, 18). 
Solução: 18: 17 = 1, resto 1 
17: 1 = 17 resto 0  mdc(17, 18) = 1. 
R: 1. 
 
02) Achar o menor inteiro positivo c da forma c = 22x + 55y onde x e y são dois inteiros. 
Solução: Como o menor inteiro da forma 22x + 55y é o mdc(22, 55) então c = 11. 
03) Calcular mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro par. 
 
Solução: Seja d = mdc(n, n+2). Então d | n e d | (n+2). Como d | n e d | (n+2), então, d | 2 e portanto, 
d = 1 ou d = 2 e como n é par a resposta será d = 2 (o maior dos divisores). 
 
04) Calcular mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro ímpar. 
Solução: Seja d = mdc(n, n+2). Então, usando o mesmo raciocínio anterior, d = 1 ou d = 2. Mas 
como n é ímpar, concluímos que d = 1. 
 
05) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n, n + 1) 
Solução: Seja d = mdc(n, n+1). Então d | n e d | (n+1). Como d | n e d | (n+1), então d | 1. Logo d = 
1. 
 
Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: 
06) Existem inteiros x e y tais que c = ax + by se, e somente se, mdc(a, b) | c. 
Solução: Demonstraremos primeiramente, a ida: 
Seja d = mdc(a, b). Então d | a e d | b e logo d | (ax + by) quaisquer que sejam os inteiros x e y. 
Portanto d | c, desde que c = ax + by por hipótese. 
Solução: Demonstraremos agora a volta: 
Seja d = mdc(a, b). Como d | c, temos c = dq. Sendo d o mdc(a, b) existem inteiros x
’
 e y
’
 tais que d 
= ax
’
 + by
’
. Substituindo este valor na igualdade c = dq obtemos: c = (ax
’
 + by
’ 
)q. Daí tiramos valor 
c = a(x
’
q) + b(y
’
q). Fazendo x
’
q = x e y
’
q = y temos c = ax + by. 
 
07) Se existem inteiros x e y tais que ax + by = mdc(a, b), então o mdc(x, y) = 1 
Solução: Seja d = mdc(a, b). Então existem inteiros x e y tais que d = ax + by, onde d | a e d |b. 
Dividindo ambos os membros por d ( d > 0), obtemos: 
a b
x y
d d
 = 1 Como d | a e d | b as 
expressões entre parêntesis são inteiras, que representaremos por k1 e k2 obtendo assim: xk1 + yk2 = 
1, donde concluímos que mdc(x, y) = 1. 
 
Determinar inteiros positivos a e b sabendo: 
08) a + b = 63 e o mdc(a, b) = 9. 
Solução: Se 9 = mdc(a, b), temos que 9 | a e 9 | b ou a = 9q1 e b = 9q2. Substituindo estes valores na 
igualdade a + b = 63 temos: 9q1 + 9q2 = 63; daí, dividindo por 9 obtemos: 
q1 + q2 = 7. Como q1 e q2 são primos entre si, devemos procurar inteiros positivos primos entre si 
que somem 7. Temos os seguintes valores: 
q1 = 1 e q2 = 6; q1 = 2 e q2 = 5 e q1 = 3 e q2 = 4. Assim obtemos para a e b os seguintes valores: 
a = 9 e b = 54; a = 18 e b = 45 e a = 27 e b = 36. 
09) ab = 756 e o mdc(a, b) = 6. 
 
Solução: Se 6 = mdc(a, b) temos que 6 | a e 6 | b ou a = 6q1 e b = 6q2. Substituindo na igualdade a b 
= 756, temos 6q16q2 = 756. Daí obtemos que q1q2 = 21. Do mesmo modo, como q1 e q2 são primos 
entre si, devemos encontrar inteiros positivos cujo produto dê 21. Os valores são: q1 = 1 e q2 = 21 e 
q1 = 3 e q2 = 7. Destes valores tiramos os valores de a e b: a = 6 e b = 126 e a = 18 e b = 42. 
 
10) Demonstrar que, se n = abc + 1, então o mdc (n, a) = mdc(n, b) = mdc(n, c) = 1. 
Solução: Provemos que mdc(n, a) = 1. O mesmo pode ser feito para b e c. 
Seja d = mdc(n, a). Então d | n e d | a. Podemos dizer, portanto, que d | abc, múltiplo de a. Como d | 
n e d | abc, então d | 1, pois n – abc = 1. Logo d = 1. 
 
11) O mdc(a, 4) = 2 = mdc(b, 4). Demonstrar que o mdc(a + b, 4) = 4. 
Solução: Temos mdc(a, 4) = 2 e mdc(b, 4) = 2. Concluímos que a e b são números pares e não são 
múltiplos de 4 , pois se o fossem, 2 não seria o mdc entre eles. Logo o resto da divisão de a e b por 4 
é 2. Assim a = 4q1 + 2 e b = 4q2 + 2. Somando membro a membro estas desigualdades, temos a + b 
= 4q1 + 2 + 4q2 + 2 ou a + b = 4 (q1 + q2 + 1). Logo, 4 | (a + b) e por conseguinte mdc(a + b, 4) = 4. 
 
12) Sendo a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), mostrar: 
mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b). 
Solução: Se c | a então a = qc. Temos que - a = (-q)c  c | (-a)  todo divisor de a é divisor de (-a) 
 maior divisor de a é também o maior divisor de –a. O mesmo ocorre com b e –b. Portanto, 
podemos concluir que o maior divisor comum de (a e b), é também de (–a e b), de (a e –b) e o de (-
a, -b). Assim, mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b). 
 
13) Demonstrar que mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b). 
Solução: A definição do mdc de três números mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c), quaisquer que 
sejam a, b e c. Fazendo c = b, temos mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b, b) = mdc(a, mdc(b, b)) = mdc(a, 
b) pois mdc(b, b) = b. 
 
14) Demonstrar que o mdc(n + k, k) = 1 se e somente se o mdc(n, k) = 1. 
Solução: Se mdc(n + k, k) = 1, então existem os inteiros x e y, tais que (n + k)x+ ky = 1  nx + 
k(a + b) = 1  (n, k) = 1. 
Por outro lado, se mdc(n, k) = 1, então existem a e b tais que na + kb = 1. Fazendo a = x e b = x + y, 
teremos nx + k(x + y) = 1  (n + k)x + ky = 1  mdc(n + k), k) = 1. 
 
15) Calcular o mdc(a + b, a – b) sabendo que a e b são inteiros primos entre si. 
Solução: 
Se a e b são primos entre si, não podem ser ambos pares, pois o mdc seria 2 ou múltiplo de 2. 
Portanto, a e b são ambos ímpares ou são de paridades diferentes. 
 
(1º caso) a e b com paridades diferentes – (a = 2k + 1 b = 2k’) 
Temos então: 
a + b = 2k + 1 + 2k’ = 2(k + k’) + 1 = 2n + 1  a + b é ímpar. 
a – b = 2k + 1 – 2k’ = 2(k – k’) + 1 = 2m + 1  a – b é ímpar. 
Portanto, o mdc(a + b, a – b) é um número ímpar. 
Seja então mdc(a + b, a – b) = 2k + 1  existem x e y tais que (a + b)x + (a – b)y = 2k + 1  
[(a + b)/(2k+1)]x + [(a – b)/(2k + 1)]y = 1  (a + b)/(2k + 1) e (a – b)/(k + 1) são primos entre si. 
Fazendo r = (a + b)/(2k + 1) e s = (a – b)/(2k + 1), resulta: a + b = r(2k + 1) (i) e a – b = s(2k + 1) 
(ii).Como (a + b), (a – b) e (2k + 1) são ímpares, r e s também são ímpares. 
Além disso r e s ímpares, r + s e r – s são pares. 
Somando membroa membro as igualdades (i) e (ii), resulta: 
(1) 2a = (2k + 1)(r + s)  a = (2k + 1)[(r + s)/2] pois s + r é par (inteiro), portanto 2 | (r + s). 
Assim, existe o inteiro (r + s)/2, tal que a = (2k + 1)[(r + s)/2)  2k + 1 | a. 
Subtraindo membro a membro as igualdades (i) e (ii), 
(2) 2b = (2k + 1)(r – s)  b = (2k + 1)[(r – s)/2]. (r – s) é par. Portanto, (r – s)/2 é inteiro. 
Assim, existe o inteiro (r – s)/2, tal que b = (2k + 1)[(r – s)/2]  2k + 1 | b. 
Ora, a e b são primos entre si. Portanto, o único divisor comum é 2k + 1. Disto permite-se escrever 
2k + 1 = 1  1 = mdc(a + b, a – b). 
(2º caso) a e b são ímpares  a = 2k + 1 e b = 2k’ + 1. 
Temos, então: 
(a + b) = 2k + 1 + 2k’ + 1  (a + b) = 2(k + k’ + 1) 
(a – b) = 2k + 1 – 2k’ – 1 = 2(k – k’) 
Das igualdades acima, concluímos que (a + b) e (a – b) são pares. Portanto, o mdc é da forma 2k. 
Assim, existem x e y, tais que: (a + b)x + (a – b)y = 2k  r = (a + b)/2k e s = (a – b)/2k são primos 
entre si. (a + b) = 2kr (i) e (a – b) = 2ks (ii). 
Somando membro a membro, 2a = 2k(r + s)  a = k(r + s)  k | a. 
Subtraindo membro a membro, 2b = 2k(r – s)  b = k(r – s)  k | b. 
Como a e b são primos entre si, o único divisor comum de a e b é 1. Portanto, k = 1 e Mdc(a + b, a – 
b) = 2k  mdc(a + b, a – b) =2.1 = 2. 
Portanto, se a e b são primos então mdc(a + b, a – b) é 1 ou 2. 
 
16) O mdc de dois inteiros positivos é 10 e o maior deles é 120. Determinar o outro inteiro. 
Solução: Seja a o outro número. “a” deve ser um múltiplo de 10 que não divide 120. Como o maior 
dos números e 120, a deve ser menor que 120. Os múltiplos de 10 que não dividem 120 são: 50, 70, 
90 e 110. 
 
17) O mdc(a, b) = p, sendo p um primo. Achar os possíveis valores do: 
( a ) mdc(a
2
, b). 
Solução: Sejam a = p.a1.a2.a3 ...an, onde p, a1, a2, a3, ... an são os fatores primos de a e b = 
p.b1.b2.b3...bn, onde p, b1, b2, b3, ...bn são os fatores primos de b. Assim, a
2
 = p.p.a1.a2.a2.a3a3...an.an 
 que a2 e b são divisíveis ao mesmo tempo apenas por p.  mdc(a2, b) = p. 
( b ) mdc(a
3
, b) = p, mesma conclusão acima. 
( c ) mdc(a
2
, b
3
) = p
2
. Pois aparecem 2 fatores iguais a p em a
2
 e 3 fatores iguais a p em b
3
. 
 
18) Sejam a e k inteiros não conjuntamente nulos. Demonstrar que mdc(a, a + k) | k. 
Solução: Seja m o mdc(a, a + k). Assim, existem os inteiros x e y tais que: a = mx e a + k = my. 
Subtraindo primeira igualdade da segunda resulta: (a + k) – a = my – mx  k = m(y – x). Como x e 
y são inteiros, y - x é inteiro. Portanto, existe o inteiro (y – x) tal que k = m(y – x)  m | k ou 
mdc(a, a + k) | k. 
 
19) Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3 cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no 
quadrado? 
 
 
 
R: 9 quadradinhos. 
Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3². R: 3² = 9. 
 
20) De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir 
um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 27 cubinhos. 
 
 
Questões Propostas 
 
01)Achar os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} que são primos com 8. R: 1, 3 e 5. 
 
02) Sabendo que o mdc(a, 0) = 13, achar todos os valores do inteiro a. R: 13 
 
03) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n, n + 1). R: 1. 
 
04) Sendo n um inteiro qualquer, achar os possíveis valores do máximo divisor comum dos inteiros 
n e n + 10. R: 1, 2, 5, 10. 
 
05) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n – 1, n2 + n + 1). R: 1 ou 3. 
 
06) Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: 
( a ) se o mdc(a, b) = 1 então o mdc(ac, b) = mdc(b, c) Portanto, todo divisor de d é divisor de ac. 
( b ) Se o mdc(a, b) = 1 e se c | (a + b), então o mdc(a, c) = 1 e o mdc(b, c) = 1. 
( c ) se b | c, então o mdc(a, b) = mdc(a + c, b). 
( d ) Se mdc(a, b) = 1, então mdc(a
m
, b
n
) = 1, onde m e n são inteiros positivos. 
 
07) Achar o maior inteiro positivo pelo qual se devem dividir os inteiros 160, 198 e 370 para que os 
restos sejam respectivamente 7, 11 e 13. R: 17. 
 
08) Os restos das divisões dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n são respectivamente 
37 e 19. Achar o inteiro n. R: n = 96 ou n = 48. 
 
09) Demonstrar que, se a | bc e se mdc(a, b) = d, então a | cd. 
 
10) Demonstrar que, se a | c, se b | c e se o mdc(a, b) = d então ab | cd. 
 
11) Demonstrar que se mdc(a, b) = 1 e se mdc(a,c) = d,então mdc(a, bc) = d. 
 
12) O inteiro ímpar d é um divisor de a + b e de a – b. Demontrar que d também é um divisor do 
mdc(a, b). 
 
13) Os inteiros positivos m e n são tais que o mdc(m, n) = d. Mostrar que o mdc(2
m
 – 1, 2n – 1) = 2d 
– 1. 
 
14) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, a + b). 
 
15) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, ax + by), quaisquer que seja os inteiros x e y. 
 
16) Demonstrar que se o mdc(a, b) = d então o mdc(a
2
, b
2
) = d
2
. 
 
17) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica mdc(a
2
, b
2
) = mdc(a
2
, c
2
). 
 
18) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica mdc(a, b) = mdc(a, b, c). 
 
19) Demonstrar que mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), mdc(a, c). 
 
20) Sejam a e b inteiros positivos tais que ab é um quadrado perfeito e o mdc(a, b) = 1. Demonstrar 
que a e b são quadrados perfeitos. 
 
21) Demonstrar que mdc( a + b, a – b) > mdc(a, b). 
 
22) Sejam a, b, c, d (b d) inteiros tais que mdc(a, b) = mdc(c, d) = 1. Mostrar que a soma a/b + c/d 
não é um inteiro. 
 
23) Determinar os inteiros positivos a e b, sabendo que a
2 – b2 = 7344 e mdc(a, b) = 12. 
R: a = 312 e b = 300, ou a = 120 e b = 84. 
 
24) Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu mdc, a soma dos quocientes é 8. Determinar os 
dois inteiros, sabendo-se que sua soma é 384. R: 48 e 336 ou 144 e 240. 
 
25) Três rolos de arame farpado têm, respectivamente, 168 m, 264m e 312 m. Deseja-se cortá-los 
em partes de comprimentos iguais, de maneira que cada parte seja a maior possível. Qual o 
comprimento e o número de partes? R: 24 m e 31 partes. 
 
26) Um terreno retangular de 221 m por 117 m será cercado. Em toda a volta deste cercado serão 
plantadas árvores igualmente espaçadas. Qual o maior espaço possível entre as árvores? R: 13 m. 
 
27) Em uma excursão ao parque do Caraça, em Minas Gerais, viajaram dois ônibus um com 42 
pessoas e outro com 30. Os guias queriam organizar grupos com o mesmo número de pessoas, mas 
sem misturar as pessoas que vieram nos dias ônibus. Eles queriam também que esse número de 
pessoas por grupo fosse o maior possível. Quantos grupos e de pessoas, foram formadas em cada 
ônibus? 
R: Foram formados 12 grupos de 6 pessoas sendo 7 grupos no 1º ônibus e 5 grupos no 2º ônibus. 
 
28) Uma tecelagem fabrica peças de tecidos em três metragens diferentes: 45m, 60m e 105m. 
Desejando cortar as peças em partes de mesmo comprimento e que esteja e que este seja o maior 
possível, qual deverá ser o comprimento de cada parte? Em quantas partes cada peça será cortada? 
R: Cada parte deverá ter 15m de comprimento. A peça 45m será cortada em 3 partes, a peça de 60m 
será cortada em 4 partes e a peça de 105m em 7 partes. 
 
29) De um aeroporto, partem todos os dias, 3 aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro 
avião faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo 
dia os três aviões partem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente 
no mesmo dia? 
R: 20 dias. 
 
UNIDADE V – ALGORITMO DE EUCLIDES: MÍNIMO MÚLTIMPLO COMUM – M.M.C 
 
5.1 - Introdução: 
 
Fazem parte doensino fundamental, entre outras, as noções de Máximo Divisor Comum 
(MDC), Mínimo Múltiplo Comum (MMC), Números primos e Fatoração, que compõem uma 
parcela significativa da Teoria Elementar dos Números. No caso específico M.M.C, pretende-se 
mostrar a relevância destes através da abordagem de temas atuais onde aparecem e sua conexão com 
outras áreas do conhecimento. Com isso, visamos a contextualização e a interdisciplinaridade, 
ambas importantes para que o aluno veja a matemática como uma aliada na vida prática e sua 
relação com outras disciplinas. Neste sentido, busca-se que o aluno perceba que os números e a 
álgebra formam um sistema de códigos ligados especialmente a diversas aplicações. 
 
Definição 5.1 - Dados dois ou mais números inteiros não nulos denominamos mínimo múltiplo 
comum destes números dados ao menor número inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente te 
todos os números dados. O mmc é o menor elemento da intersecção dos conjuntos dos múltiplos 
positivos dos números dados. 
 
Lema: 5.2 - Se a = bq + r, então mdc(a, b) = mdc(b, r): 
 
5.3 - Algoritmo de Euclides: Sejam a e b dois inteiros não conjuntamente nulos (a 0 ou b 0) 
cujo máximo divisor comum se deseja determinar. 
1) Se a 0, então mdc(a,0) = |a|. 
2) Se a 0, então mdc(a,a) = |a|. 
3) Se b | a, então o mdc(a,b) = |b|. 
4) Se a não divide b e b não divide a, então a = bq + r e mdc(a, b) = mdc(b, r). 
Dispositivo prático para o cálculo do Máximo divisor comum de dois inteiros positivos a e b é 
denominado Algoritmo de Euclides. 
 q1 q2 q3 

 qn qn - 1 
a b r1 r2 

 rn - 1 rn 
r1 r2 r2 r4 

 0 
 
Teorema 5.1 - Se k > 0, então o mdc(ka, kb) = k mdc(a, b). 
Corolário 5.1 - Para todo k 0, o mdc(ka, kb) = |k| mdc(a, b). 
 
5.4 - Múltiplos Comuns de dois Inteiros: 
M(a) = {x Z | a | x} = {aq | q Z}. 
M(1) = M(–1) = Z. 
Definição 5.2 - Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a 0 e b 0). Chama-se múltiplo 
comum de a e b todo inteiro x tal que a | x e b | x. M(a, b) = M(a) M(b). 
 
 
5.5 - Mínimo Múltiplo Comum: 
Definição 5.3 - Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a 0 e b 0). Chama-se mínimo 
múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m (m > 0) que satisfaz às condições: 
1. a | m e b | m. 
2. se a | c e b | c, com c > 0, então m c. 
Notação: m = mmc(a, b). 
Observação: a) mmc(a, b) ab. b) Se a | b, então mmc(a, b) = |b|. 
 
5.6 - MMC de Vários inteiros: 
O conceito de mínimo múltiplo comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de 
maneira natural a mais de dois inteiros. No caso de três inteiros a, b e c, diferentes de zero, o 
m.m.c(a, b, c) é o inteiro positivo m(m > 0) que satisfaz às condições: 
1) a | m, b | m e c | m. 
2) Se a | e, b | e, e se c | e, com e > 0, então m e. 
 
5.7 - Relação Entre o MDC e o MMC: 
Teorema 5.2 - Para todo par de inteiros positivos a e b subsiste a relação mdc(a, b) mmc(a, b) = ab. 
Corolário 5.2 - Para todo par de inteiros positivos a e b, o mmc(a, b) = ab se, e somente se mdc(a, 
b) = 1. 
 
5.7 - Regra Prática para obtenção do MDC e MMC de Vários inteiros: 
Podemos determinar o mdc e o mmc de dois ou mais números inteiros positivos procedendo 
do seguinte modo: 
1º) Fatoramos os números, decompondo-se em fatores primos positivos; 
2º) Calculamos o mdc multiplicando os fatores comuns aos números, tomando cada fator uma só 
vez e com o menor expoente que ele apresenta nas decomposições dos números dados; 
3º) Calculamos o mmc multiplicando os fatores comuns e os não comuns aos números, tomando 
cada fator uma só vez e com o maior expoente que ele apresenta nas decomposições dos números 
dados; 
Exemplo: Dados as seguintes decomposições de inteiros a = 3
2
.19.71
2
, b = 2.3
5
.19.61 e c = 
2
4
.19
2
.71, determine: 
a) MDC(a, b) = 3
2
.19 
b) MMC(a, b) = 2
4
. 3
5
.19
2
.61.71
2
 
c) MMC(a, c) = 2
4
. 3
2
.19
2
.71
2
 
d) MDC(a, b, c) = 19 
e) MDC(b, c) = 2.19 
 
Questões Resolvidas 
 
01) Usando o algoritmo de Euclides, achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes 
igualdades: 
a) mdc(56, 72) = 56x + 72y 
mdc(56, 72) = 8  8 = 56x + 72y 
 
72 = 56.1 + 16 
56 = 16.3 + 8 
16 = 8.2 + 0 
 
b) mdc(24, 138) = 24x + 138y 
138 = 24.5 + 18 
24 = 18.1 + 6 
18 = 6.3 + 0 (mdc = 6) 
 
02) Achar inteiros x, y e z que verifiquem as seguintes igualdades: 
1) 11x + 19y + 3z = 1 
2) 56x + 6y + 32z = 2 
3) 6x + 3y + 15z = 9 
4) 14x + 7y + 21z = 4 
Solução: 
01) Achando o mdc(11, 19) 
 1 1 2 1 2 
 19 11 8 3 2 1 
 8 3 2 1 0 
Usando o algoritmo da divisão, podemos escrever: 
19 = 11 x 1 + 8 
11 = 8 x 1 + 3 
8 = 3 x 2 + 2 
3 = 2 x 1 + 1 
2 = 1 x 2 
Desprezando a última igualdade, eliminemos os restos, a partir da penúltima igualdade: 
1 = 3 – 2 
1 = 3 – (8 – 3 x 2) 
1 = 3 x 3 – 8 
1 = (11 – 8) x 3 – 8 
1 = 11 x 3 – 8 x 4 
1 = 11 x 3 – (19 – 11) x 4 
1 = 11 x 7 – 19 x 4 
Tomando a penúltima igualdade; 
8 = 56 – 16.3. Tirando o valor de 16 na primeira igualdade e 
substituindo na penúltima: 
8 = 56 – (72 – 56.1).3  8 = 56 + 56.3 – 72.3 
8 = 56.4 + 72(-3). Portanto, x = 4 e y = -3. 
6 = 24 – 18.1 
6 = 24 – (138 – 24.5).1 
6 = 24 + 24.5 – 138.1 
6 = 24.6 + 138(-1)  x = 6 e y = -1 
 
Achemos agora o mdc(3, 1). Como mdc(3, 1) = 1, vamos escrever este mdc em função de 3 e 1: 
1 = 3 x 1 + 1 x (-2). Agora substituamos o valor de 1, dado na igualdade acima, nesta última 
igualdade: 
1 = 3 x 1 + (11 x 7 – 19 x 4) (–2) 
1 = 3 x 1 + 11 (–14) + 19 x 8 ou 1 = 11 (–14) + 19(8) + 3(1). Logo x = –14, y = 8 e z = 1. 
 
02) 56x + 6y + 32z = 2. Achando o mdc(56, 32) 
 
 
 
Usando o algoritmo da divisão, podemos escrever: 
56 = 32.1 + 24 
32 = 24.1 + 8 
24 = 8.3 Desprezando a última igualdade e eliminando os restos a partir da penúltima: 
8 = 32 – 24 
8 = 32 – (56 – 32) 
8 = 32.2 + 56(–1) 
(1) Achemos o mdc(8, 6) 
 1 3 
8 6 2 
2 0 
Usando o algoritmo da divisão, podemos escrever: 
8 = 6 + 2 
2 = 8 + 6(–1) Agora, substituamos o valor de 8 na expressão (1) 
2 = 32(2) + 56(–1) + 6(–1) 
2 = 56(–1) + 6(–1) + 32(2) .Logo, x = –1, y = –1 e z = 2. 
 
03) 6x + 3y + 15z = 9 
Achando o mdc(15, 6) 
 
 
Usando o algoritmo da divisão, podemos escrever: 
15 = 6.2 + 3 
3 = 15(1) + 6(–2) 
(1) Achemos o mdc(3, 3).Como o mdc(3, 3) = 3,vamos escrever 3 como combinação de 3 e 3: 3 = 
3(2) + 3(–1) Substituamos o valor de 3 encontrado na igualdade (1) nesta última igualdade: 
3 = 3(2) + [15(1) + 6(–2)](–1) 
3 = 3(2) + 15(–1) + 6(2). Como escrever 9 como combinação linear de x, y e z, devemos multiplicar 
por 3 esta última igualdade, obtendo: 
 1 1 3 
 56 32 24 8 
 24 8 0 
 2 2 
15 6 3 
3 0 
 
9 = 3(6) + 15(–3) + 6(6) 
9 = 6(6) + 3(6) + 15(–3). Logo, x = 6, y = 6 e z = –3 
 
04) 14x + 7y + 21z = 4 
Como o mdc(14, 7, 21) = 7 e 7 não divide 4, então a equação não tem solução inteira. 
 
Calcular: 
5) mmc (45, 21). 
6) mmc (83, 68). 
7) mmc (120, 110). 
 
Solução: 
5) Como o mdc(45, 21) = 3, então, 3.mmc(45, 21) = 45.21. Logo, mmc(45, 21) = 315. 
6) Como mdc(83, 68) = 1, então, 1.MMC(83, 68) = 8.8. Logo, mmc(83, 68) = 5644. 
7) Como mdc(120, 110) = 10 , então, 10.mmc(210, 110) – 210.110. Logo, mmc(210, 110) = 1320 
 
08) O mdc de dois inteiros positivos a e b é 8 e na sua determinação pelo algoritmo de Euclides os 
quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 1 e 4. Calcular a e b. 
Resolução: Temos o seguinte esquema: 
2 1 1 4 
 8 
Sabemos

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