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Módulo 2 teoria de controle UNIP

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Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 1 
 
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE 
 
AULA 01 – MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO 
 
O processo de modelagem é uma etapa de grande importância no estudo de sistemas de controle. A 
modelagem é responsável por traduzir os elementos do mundo real em termos matemáticos, ou seja, 
realizar o equacionamento responsável por descrever a dinâmica do sistema em estudo. Durante 
nosso curso iremos estudar apenas a modelagem de sistemas mecânicos e elétricos, porém, é 
possível modelar qualquer tipo de sistema, como por exemplo, sistemas térmicos e hidráulicos (uma 
boa referência de estudo para esses tipos de sistema é o livro Engenharia de Controle Moderno, do 
autor Katsuhiko Ogata). 
Nesta aula iremos abordar o processo de modelagem de sistemas mecânicos, para tal utilizaremos o 
método de Newton. É de grande importância ressaltar que existem diversas formas de se realizar o 
processo de modelagem e que abordagens distintas podem ser observadas dependendo da 
bibliografia de referência. 
1. NOTAÇÕES 
Primeiramente, com objetivo de manter uma comunicação clara e objetiva, faz-se necessário 
estabelecer uma notação comum. As principais variáveis utilizadas na modelagem de sistemas 
mecânicos são: 
 x, posição [m]; 
 v, velocidade [m/s]; 
 a, aceleração [m/s2]; 
 f, força [N]. 
Para facilitar e resumir a notação é comum representar a velocidade v por 
x
, uma vez que 
dx
v
dt

. 
Analogamente a aceleração a é representada por 
x
, uma vez que 2
2
d x
a
dt

. 
2. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
Também é de grande importância estabelecer um padrão de comunicação gráfico. Qualquer 
dispositivo mecânico pode ser representado, basicamente, por três elementos: Massa, Mola e 
Amortecedor. A Tabela 1 apresenta a representação gráfica de cada um desses elementos além de 
outras situações que geralmente irão aparecer em nossos exercícios. 
 
Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 2 
Tabela 1: Representação gráfica dos elementos utilizados na modelagem de sistemas mecânicos 
Símbolo Descrição 
 
Força [N] 
 
Massa [kg] 
 
Mola de constante k [N/m]. Gera uma força proporcional e em 
sentido contrário ao deslocamento x, dada por 
kf k x 
 
 
Amortecedor de constante viscosa b [N.s/m]. Gera uma força 
proporcional e em sentido contrário a velocidade 
x
, dada por 
bf b x 
 
 
Bloco de massa m com deslocamento sem atrito 
 
Bloco de massa m com deslocamento com atrito viscoso de 
constante b. O atrito também é responsável por gerar uma força 
proporcional e em sentido contrário a velocidade 
x
, dada por 
bf b x 
 
 
Referência de sentido de deslocamento positivo 
3. MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO 
Para se obter o modelo matemático de um sistema mecânico recomendo realizar as três etapas a 
seguir: 
1. DCL (Diagrama de Corpo Livre): etapa para identificar todas as forças presentes no 
sistema em estudo; 
2. Leis dos Elementos: etapa para descrever todas as forças presentes nos elementos em 
estudo (massa, mola e amortecedor); 
3. Leis de Interconexão: etapa para relacionar todas as forças presentes no sistema em estudo 
com objetivo de obter a EDM (Equação Diferencial do Movimento). 
f
m
k
b
m
b
m
x
m
Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 3 
Com objetivo de apresentar a aplicação das três etapas apresentadas acima no processo de 
modelagem de um sistema mecânico de translação iremos modelar o sistema Massa-Mola-
Amortecedor. 
EXEMPLO 1: Obter a EDM do sistema Massa-Mola-Amortecedor apresentado na Figura 1. 
 
Figura 1 : Sistema Massa-Mola-Amortecedor 
Primeiramente antes de iniciarmos a criação do DCL 
vamos identificar os elementos presentes no sistema. Como 
podemos observar possuímos um bloco de massa m que se 
desloca sem atrito, uma força f responsável por fornecer 
"energia" ao sistema, uma mola e um amortecedor 
responsáveis por gerar forças contrárias a direção do 
movimento (neste exercício foi adotada arbitrariamente 
como sentido positivo o sentido da esquerda para direita 
como apresentado na seta de referência). 
 
ETAPA 1: DCL 
Nesta etapa deve ser desenhado o corpo em estudo, bloco de massa m, e nele ser colocado todas as 
forças presentes no sistema, inclusive as força externa. O DCL do exemplo encontra-se na Figura 2. 
 
Figura 2: DCL do sistema Massa-Mola-Amortecedor 
Obs.: As forças f, fk e fb eram esperadas, porém, a força 
fi também aparece no DCL. A força fi corresponde a 
força de inércia, um artifício que reduz os erros durante 
o processo de modelagem (comprovado pelo autor deste 
trabalho ao longo dos anos lecionando esta disciplina). 
A força fi é expressa por 
if m a 
 e possui sentido contrário ao do movimento, no caso do 
exemplo, para a esquerda (mesmo sentido das forças fk e fb). Finalizado o DCL pode-se se iniciar a 
próxima etapa. 
 
ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS 
Nesta etapa deve-se listar todas as forças presentes no sistema e escrever as equações que às 
descrevem. Obs.: Não é necessário listar a força externa f, uma vez que esta é vista como uma 
constante, ou melhor, uma entrada como será visto em aulas futuras. A seguir são apresentadas as 
equações que descrevem cada uma das forças: 
 
De posse de todas as equações pode-se passar para a próxima etapa que consiste em estabelecer 
uma relação entre cada uma das forças e suas respectivas equações. 
 
m
k
b
x
f
i. 
kf k x 
 (força gerada pela mola) 
ii. 
bf b x 
 (força gerada pelo amortecedor) 
iii. 
if m x 
 (força de inércia) 
Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 4 
ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXÃO 
Uma maneira de se relacionar todas as forças pode-se dar por meio da Lei de D'Lambert que nos 
fornece que em um corpo de massa constante o somatório de forças externas é igual ao produto da 
massa e da aceleração do corpo, ou seja: 
 ext i
i
f M x 
 
Como em nosso DCL já consideramos a força de inércia fi, também chamada de Força de 
D'Lambert, apenas faz-se necessário igualar o somatório de forças à zero 
0i
i
f
 
 
 

. 
Adotando forças no sentido esquerda para direita como sendo positivas, no nosso exemplo temos: 
0i b kf f f f   
 
Substituindo i, ii e iii obtidos na Etapa 2, temos: 
f mx bx kx  
 
Esta equação é a EDM do problema em estudo e será utilizada futuramente para se obter a Função 
de Transferência do mesmo problema. 
 
EXEMPLO 2: Obter a EDM do sistema Massa-Mola que se movimenta com atrito apresentado na 
Figura 3. 
 
Figura 3: Sistema Massa-Mola com atrito 
Este exemplo é similar ao exemplo anterior, uma vez que 
o atrito também é modelado como um amortecedor. 
Assim como o amortecedor o atrito trabalha se opondo ao 
movimento, ou seja, gera uma força contrária ao sentido 
do movimento. 
Diferentemente do exemplo anterior, neste exemplo 
apenas será apresentado à solução de cada uma das etapas, 
ficando a cargo do leitor a interpretação, devido o 
processo de resolução ser idêntico ao do Exemplo 1. 
 
ETAPA 1: DCL ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXÃO 
 
i. 
kf k x 
 
ii. 
bf b x 
 
iii. 
if m x 
 
0i b kf f f f   
 
f mx bx kx  
 
Como podemos observar a EDM obtida no Exemplo 2 é idêntica à do Exemplo 1 isto se deveao 
fato dos dois sistemas serem equivalentes ou análogos. É extremamente comum uma mesma EDM 
representar sistemas distintos, esta analogia é aproveitada na modelagem de sistemas térmicos e 
hidráulicos. 
m
k
x
f
b
m
f
fk
fi
fb
Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 5 
EXEMPLO 3: Obter a EDM do sistema apresentado na Figura 4. 
 
Figura 4: Sistema com dois blocos interligados 
Como se pode observar neste exemplo 
possuímos dois corpos interligados, isto 
implica em uma interação entre os dois 
corpos que deverá ser considerada. Uma 
vez que existem dois corpos também será 
necessário elaborar dois DCL, um para 
cada corpo em estudo. Os elementos que 
interligam os dois corpos (mola e 
amortecedor) geram forças que devem 
aparecer nos DCL dos dois corpos. 
ETAPA 1: DCL 
Um ponto de grande importância que deve ser considerado antes de se iniciar a construção do DCL 
refere-se aos deslocamentos x1 e x2. Deve-se adotar qual dos dois deslocamentos é maior, ou seja, 
determinar se o bloco m2 puxa o bloco m1 ou se o bloco m2 é empurrado pelo bloco m1. O autor 
deste trabalho particularmente prefere adotar 
2 1 0x x 
, fazendo com que o bloco m2 puxe o bloco 
m1, uma vez que a única força externa esta ligado ao corpo 2. Cabe ressaltar que a escolha de uma 
configuração diferente não interfere no resultado da modelagem, desde que se mantenha a coerência 
durante todo o processo de modelagem. 
Adotando 
2 1 0x x 
, temos: 
 
Pode-se observar que os nos 
dois corpos foram adicionadas 
as forças de inércia (fi1 e fi2), 
bem como as forças fk2 e fb 
aparecem nos dois corpos. 
De posse dos dois DCL pode-se prosseguir para a próxima etapa. 
 
ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS 
De forma análoga ao realizado nos outros dois exemplos, lista-se todas as forças presentes no 
sistema e escreve-se as equações que às descrevem. 
 
Uma atenção deve ser dada às equações iii e iv, como se pode observar em vez de apenas um 
deslocamento ou uma velocidade, temos uma diferença de deslocamento 
 2 1x x
 e de velocidade 
m1
k1
x1
m2
f
k2
b
x2
m1
fk2fk1
fi1 fb m2
f
fk2
fi2
fb
iv. 
1 1 1kf k x 
 
v. 
1 1 1if m x 
 
vi. 
 2 2 2 1kf k x x 
 
vii. 
 2 1bf b x x 
 
viii. 
2 2 2if m x 
 
Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 6 
 2 1x x
. Isto se deve ao fato que só aparecerá forças entre os corpos caso um dos corpos se 
desloque mais que o outro, ou seja, exista um movimento relativo entre os corpos. Atenção esta 
situação é muito comum e deve-se analisar cuidadosamente cada caso (exercício) e não decorar que 
entre dois corpos deve-se utilizar a diferença 
 2 1x x
, uma vez que esta deve ser compatível às 
considerações adotadas bem como a dinâmica do sistema, esta é a maior fonte de erros no 
processo de modelagem. 
 
ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXÃO 
Assim como nos exemplos anteriores deve-se estabelecer uma relação entre as forças, a única 
diferença neste exemplo deve-se ao fato de ser necessário aplicar a Lei de D'Lambert para cada 
corpo, obtendo assim um EDM para cada corpo, como apresentado a seguir. 
Corpo m1 Corpo m2 
2 1 1 0k b i kf f f f   
 
   2 1 2 2 1 1 1 1 1b x x k x x m x k x    
 
2 2 2 1 1 1 1 1 2 1bx k x m x bx k x k x    
( I ) 
2 2 0i b kf f f f   
 
   2 2 2 1 2 2 1f m x b x x k x x    
 
1 2 1 2 2 2 2 2f bx k x m x bx k x    
( II ) 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
O método apresentado nesta aula é apenas uma sugestão, aos olhos do autor deste trabalho, este 
método é eficaz do ponto de vista de reduzir o número de erros durante o processo de modelagem, 
isto se deve ao fato de cada uma das etapas conduzirem o leitor a uma solução organizada e sucinta. 
Ao se adquirir prática no processo de modelagem, pode-se eliminar o processo em etapas, porém, 
neste momento inicial do estudo o autor deste trabalho pondera ser importante seguir o método 
sugerido. O processo de modelagem apesar de aparentar ser simples necessita de muita atenção e 
prática sendo necessário treinar, para tal é sugerido alguns exercícios na seqüência, caso sinta a 
necessidade de praticar mais, recorra à literatura especializada. 
5. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
Obter a EDM dos sistemas a seguir: 
a) 
 
b) 
 
m
k
b1
x
f
b2
m1
k1
x1
m2
f
k2
b2
x2
b1
b3
Aula 01 – Modelagem de Sistemas Mecânicos de Translação 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 7 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
m
kb1
x
f
m1
x1
m2
f
k2b2
x2
kb1
m1
b1
b2
k1
m2
k2
x2
f
b3
x1

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