19645387_Aula_5_Sistemas_Lineares_2016

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“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do 
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1 
 
Curso: Engenharia de produção Ano: 2016-1° semestre 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: PRO215AN/MEC215AN 
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz 
 
AULA 05 
Conteúdo: Álgebra Linear 
 
Temas: Sistemas lineares 
 
Objetivo: Ser capaz de encontrar os valores das incógnitas em um sistema linear utilizando os métodos de Cramer e 
Gauss-Jordan. 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
O estudo dos sistemas de equações lineares é de fundamental importância em Matemática e nas ciências em 
geral. Você provavelmente já resolveu sistemas do primeiro grau, mais precisamente aqueles com duas equações 
e duas incógnitas. 
Vamos ampliar esse conhecimento desenvolvendo métodos que permitam resolver, quando possível, sistemas 
de equações do primeiro grau com qualquer número de equações e incógnitas. Esses métodos nos permitirão não 
só resolver sistemas, mas também classificá-los quanto ao número de soluções 
 
Equação linear 
Definição: Uma equação linear em 𝑚 incofnitas 𝑥1, … , 𝑥𝑛 é uma equação da forma 
𝑎1𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 
Onde 𝑎1, … , 𝑎𝑛, 𝑏 são constantes reais e 𝑏 é chamado de termo independente. 
Uma solução para a equação linear acma é o conjunto de números reais 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 tais que quando substituímos 
𝑥1 = 𝑠1, 𝑥2 = 𝑠2, … , 𝑥𝑛 = 𝑠𝑛, 
a equação é satisfeita. 
Exemplos: 
2𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 4 
3𝑥 − 2𝑦 = 3 
4𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧 = 0 (homogênea) 
Sistema Linear 
Um sistema de equações lineares é simplesmente um conjunto de equações lineares. 
 
 
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Definição: Um sistema de 𝑚 equações lineares em 𝑛 variáveis (ou incógnitas) é um conjunto de equações lineares da 
forma 
{
𝑎11𝑥1 +𝑎12𝑥2 ⋯ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 ⋯ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 … ⋯ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
 
onde 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑘 para 𝑖 = 1, … , 𝑗 = 1, … , 𝑛 e 𝑘 = 1, … , 𝑚, são constantes reais chamados os coeficientes do sistema. 
Exemplo: {
3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = −7
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 12
, três equações; três incógnitas (x,y,z); três termos independentes (-7,3,12) 
A solução de um sistema linear é representada por um conjunto de valores que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as 
equações do sistema. 
Exemplo: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 7
𝑥 − 𝑦 = 1
, 𝑥 = 2 e 𝑦 = 1, logo a solução do sistema é o par ordenado (2,1). 
No caso de um sistema homogêneo, ou seja, em que os coeficientes independentes são todos nulos, uma das soluções 
possíveis é a solução nula, (0, 0, …, 0) conhecida como solução trivial. No entanto, existem outras soluções possíveis 
além da trivial. 
Exemplo: 
{
3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
 
Usando a notação de matrizes e, especialmente, a maneira como o produto de matrizes foi definido, o sistema linear 
acima pode ser representado pela equação matricial 
𝐴𝑋 = 𝐵, 
onde 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
], 𝑋 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
], e 𝐵 = [
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
] 
A matriz A é chamada matriz do sistema. 
Exemplo: O sistema linear 
{
5𝑥1 + 4𝑥2 = 180
4𝑥1 + 2𝑥2 = 120
 
 
 
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é representado pela equação matricial 
[
5 4
2 2
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
180
120
]. 
Este sistema possui uma única solução 
𝑋 = [
20
20
], 
isto é, 𝑥1 = 20 𝑒 𝑥2 = 20. 
 
Resolução de Sistemas Lineares 
Método de Gauss-Jordan 
O método de Gauss-Jordan é um método de escalonamento que consiste em aplicar operações elementares à matriz 
aumentada de um sistema, até que ela esteja na forma escalonada reduzida. A vantagem deste processo é que um 
sistema cuja matriz aumentada é uma matriz na forma escalonada reduzida tem solução imediata, enquanto que para 
resolver um sistema que está apenas na forma escalonada ainda é necessário fazer uma série de substituições para 
obter a solução final. 
Definição. Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando ela satisfaz as seguintes condições: 
1. O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula (chamado o pivô da linha) é igual a 1. 
2. O pivô da linha i + 1 ocorre à direita do pivô da linha i. 
3. Se uma coluna contém um pivô, então todas os outros elementos desta coluna são iguais a 0. 
 4. Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não-nulas. 
Relembrando as operações elementares: 
1. Trocar duas linhas da matriz de posição. 
2. Substituir uma linha da matriz pela mesma linha multiplicada por um escalar diferente de 0. 
 3. Substituir uma linha da matriz pela mesma linha somada a um m´múltiplo escalar de outra linha. 
Exemplo: As matrizes abaixo estão na forma escalonada reduzida. 
 
A solução de cada um destes sistemas é imediata: no primeiro sistema, x2 é uma variável livre, enquanto que no 
segundo x1 e x4 são ambas variáveis livres; os dois sistemas tem portanto infinitas soluções. O terceiro sistema não 
tem solução e o quarto sistema tem solução única. 
 
 
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 Já a matriz 
 
está apenas na forma escalonada, não na forma escalonada reduzida. 
O uso de operações elementares para transformar a matriz aumentada de um sistema na forma escalonada reduzida 
é ilustrado nos próximos exemplos. 
Exemplo: Resolva o sistema linear seguinte pelo método de Gauss-Jordan. 
 
A matriz aumentada deste sistema é: 
 
Passo 1: Encontrar o pivô da 1ª linha 
 
Passo 2: Zerar os outros elementos da 1ª coluna. 
 
Passo 3: Encontrar o pivô da segunda linha. 
 
Passo 4: Zerar os elementos da 2ª coluna. 
 
Logo, este sistema admite uma única solução, que é 
 
 
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Exemplo: Resolva o sistema linear seguinte pelo método Gauss-Jordan. 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear a seguir pelo método Gauss-Jordan. 
 
Caracterização dos Sistemas Lineares 
Um sistema linear pode ser: 
a) Possível (compatível, consistente), se possui solução. 
• Determinado: quando a solução é única; 
• Indeterminado: quando há infinitas soluções. 
b) Impossível (incompatível, inconsistente), se não possui solução. 
 
Regra de Cramer 
Este método é aplicado a sistemas com número de incógnitas e sistemas iguais. 
Devemos calcular a determinante da matriz incompleta (coeficientes) e depois substituímos os termos 
independentes, na respectiva coluna da incógnita a ser calculada. 
Seja o sistema :{
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
 
onde [
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
] é a matriz incompleta do sistema e 𝑐1 e 𝑐2 são os termos independentes do sistema. 
È possível definir o determinante da matriz incompleta sendo: 
𝐷 = [
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
] 
E dois determinantes para a matriz obitdos atrvés da troca de coeficientes x ou y pelos termos independentes, ou 
seja, 
 
 
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𝐷𝑥 = [
𝑐1 𝑏1
𝑐2 𝑏2
] 
𝐷𝑦 = [
𝑎1 𝑐1
𝑎2 𝑐2] 
Assim, temos que a solução do sistema é 
(𝑥, 𝑦) = (𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
) 
Este procedimento pode ser utilizado para resolver sistemas n×n , onde D≠0 . Assim, a solução de um sistema será 
dada por: 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 = (𝑥1 =
𝐷1
𝐷
, 𝑥2 =
𝐷2
𝐷
, 𝑥3 =
𝐷3
𝐷
, … , 𝑥𝑛 =
𝐷𝑛
𝐷
) 
 
 
Exemplos: 
a) {
2𝑥 + 3𝑦 = 7
𝑥 − 𝑦 = 1
 
 
 
 
b) {
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 7
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −5
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −1
 
 
Mais informações e exemplos em: 
 
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/10/escalonamento-ou-o-metodo-da-eliminacao.html 
 
https://www.youtube.com/watch?v=I1kexTz5GTM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Exercícios 5 
 
1) Resolva cada um dos seguintes sistemas usando o método de eliminação de Gauss. 
 
 
 
2) Utilizando o método de Gauss-Jordan resolva os sistemas: 
 
3) Utilizando a regra de Cramer, sempre que possível, resolva os sistemas: 
 
 
4) Considere o sistema 
 
 
Resolva-o utilizando: 
a) O método de eliminação de Gauss; 
b) O método de Gauss-Jordan; 
c) A regra de Cramer.