Relação do fator de amortecimento

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Relação do fator de amortecimento (ζ) e características dos pólos 
 
Considere a forma canônica do polinômio característico de um sistema de segunda ordem: 
𝒔𝟐 + 𝟐𝜻𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐 = 𝟎 
 
as raízes (pólos) são 
𝒔 = −𝜻𝝎𝒏 ±𝝎𝒏√𝜻
𝟐 − 𝟏. 
 
Criticamente amortecido (ζ = 1) 
• Condição: 𝜁 = 1. 
• Pólos: raízes reais idênticas (polo duplo): 
𝑠 = −𝜔𝑛(multiplicidade 2). 
 
• Característica do tempo de resposta: não há overshoot (oscilações). É o caso mais 
rápido possível de chegar ao regime permanente sem oscilar — ou seja, alcança a 
posição final sem ultrapassagem e mais rapidamente que qualquer ζ>1. 
• Resposta temporal típica: inclui termos do tipo (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒−𝜔𝑛𝑡devido à multiplicidade 
do polo, o que pode causar uma aproximação mais “suave” do que um simples 
expoente único. 
Sobreamortecido (ζ > 1) 
• Condição: 𝜁 > 1. 
• Pólos: duas raízes reais distintas e negativas: 
𝒔𝟏,𝟐 = −𝝎𝒏 ⁣(𝜻 ± √𝜻𝟐 − 𝟏), ambas com parte real negativa (assintoticamente estável). Uma 
raiz tem magnitude maior (decai mais rápido), a outra menor (decai mais devagar). 
• Característica do tempo de resposta: sem overshoot (sem oscilações), porém mais 
lento para atingir o regime permanente do que o caso crítico (ζ=1). A resposta é soma 
de dois termos exponenciais reais 𝐴𝑒𝑠1𝑡 + 𝐵𝑒𝑠2𝑡; o termo associado ao polo mais 
lento domina o comportamento em tempos longos, tornando a resposta mais lenta. 
Observações adicionais 
• Tanto o caso crítico quanto o sobreamortecido não apresentam overshoot — ao 
contrário do caso subamortecido (𝜁 0e 𝜔𝑛 > 0, as partes reais dos pólos são 
negativas → sistema assintoticamente estável. 
• Para sistemas de ordem superior, padrões semelhantes se aplicam localmente: pólos 
reais e negativos implicam resposta puramente exponencial decrescente; pólos reais 
repetidos introduzem termos multiplicados por 𝑡(atenuando mais lentamente). 
• Resumindo a comparação prática: 
a) ζ = 1 (crítico): velocidade ótima sem overshoot (rápido e sem oscilar). 
b) ζ > 1 (sobreamortecido): sem overshoot, mas mais lento; dois pólos reais e 
distintos.