Circuitos Unidade 4

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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Podemos dizer que a evolução da civilização humana dependeu, em grande parte, da sua capacidade de
conseguir controlar e distribuir a energia. A eletricidade é um modo muito bom de fazer a energia chegar às
nossas casas, empresas e indústrias.
A energia contida, por exemplo, na água de uma represa pode ser convertida em energia elétrica e fornecida
através das linhas de transmissão a todos nós. Mas, você deve estar pensando: como essa energia pode ser
transportada através das linhas de transmissão? Como ela se relaciona com a indução em uma bobina?
Calma! Logo você compreenderá.
Nesta aula, aprenderemos o que é indutância mútua, quais são as convenções do ponto para bobinas e como
se realiza a conexão de bobinas em série aditiva e subtrativa.
Está pronto para ver como funciona a indução mútua e como ela pode ser aplicada? Então, mãos à obra! Bons
estudos!
Aula 1
CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ACOPLADOS
Olá, estudante! Podemos dizer que a evolução da civilização humana dependeu, em grande parte, da sua
capacidade de conseguir controlar e distribuir a energia. 
CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS
 Aula 1 - Conceitos básicos de circuitos acoplados
 Aula 2 - Energia em um circuito acoplado
 Aula 3 - Acoplamento magnético em um transformador
 Aula 4 - Transformadores reais
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
01/12/2025, 21:01 wlldd_251_u4_cir_ele_ava
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INTRODUÇÃO À INDUTÂNCIA E POLARIDADE
Caro estudante, um dos grandes problemas que as companhias de energia enfrentaram é como conseguir
transportar a energia elétrica que foi produzida em uma usina até as cidades e, por consequência, até as
nossas casas, comércio e indústria. Fica claro que a solução seria através dos cabos, mas isso também seria
um problema, pois existem companhias elétricas que distribuem energia para muitos estados brasileiros.
Pense quanta energia seria perdida desde a produção até a chegada aos locais. É muita energia! Para resolver
isso, descobriram um modo de diminuir essa perda, e o meio escolhido e usado até hoje é reduzir a tensão
elétrica/corrente elétrica. Assim, as companhias elétricas aumentaram a voltagem nas linhas de transmissão.
Porém, a voltagem entregue nas nossas casas não pode ser muito alta, já que os equipamentos
eletrodomésticos operam com tensões da ordem de 127 V e 220 V. Desse modo, para diminuir a tensão ao
chegar às cidades, é utilizado o que chamamos de transformador, que é responsável por aumentar ou reduzir
a tensão.
O transformador é um dispositivo que foi projetado especificamente para produzir o efeito de indutância
mútua entre duas ou mais bobinas. Ele tem como base o conceito de acoplamento magnético, pois usa
bobinas acopladas magneticamente para transferir energia de um circuito para outro. Além disso, é um
elemento fundamental para os sistemas de geração de energia elétrica, já que tem a propriedade de elevar ou
abaixar as tensões e/ou as correntes alternadas (Alexander; Sadiku, 2013). Mas, o que é indutância mútua? E o
que vem a ser acoplamento magnético?
Quando dois indutores ou bobinas estiverem muito próximos um do outro, o fluxo magnético que é
provocado pela corrente em uma bobina se associará à outra bobina, induzindo, desse modo, uma tensão
nessa última bobina. Esse fenômeno é chamado de indutância mútua, e é medida em henrys (H) (Alexander;
Sadiku, 2013).
A tensão induzida só acontece quando o fluxo do campo magnético está mudando de intensidade em relação
ao fio, assim, a indutância mútua entre duas bobinas só pode acontecer com tensão CA, e não com tensão em
corrente contínua (CC).
A polaridade da tensão mútua é feita examinando a orientação ou o modo particular pelo qual as bobinas são
enroladas fisicamente, bem como através da Lei de Lenz, junto à regra da mão direita. Porém, como não é
conveniente mostrar os detalhes construtivos das bobinas em um esquema elétrico, o modo mais simples de
mostrar a polaridade é através da aplicação da convenção do ponto em análise de circuitos.
A convenção do ponto é definida do seguinte modo: caso uma corrente entre pelo terminal da bobina
marcado com um ponto, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina será positiva no
terminal da segunda bobina que foi marcado com um ponto (Alexander; Sadiku, 2013).
É importante ficar claro que, no circuito, os pontos já estão marcados ao lado das bobinas, de modo que não é
necessário ficarmos preocupados em inseri-los. Isso já facilita e muito as nossas análises.
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INDUTÂNCIA MÚTUA
Caro estudante, consideraremos um único indutor e uma bobina com N espiras. Quando a corrente i flui
através dessa bobina, é produzido um fluxo magnético ϕ em torno dela, conforme a Figura 1.
Figura 1 | Fluxo magnético produzido por uma única bobina com N espiras
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 494).
Conforme a Lei de Faraday, a tensão v induzida na bobina é proporcional ao número de espiras N e à
velocidade de variação do fluxo magnético ϕ do seguinte modo:
(1)
O fluxo ϕ é produzido pela corrente i; assim, qualquer variação em ϕ é provocada por uma variação na
corrente. Portanto, a Equação (1) pode ser reescrita como:
(2)
Ou
(3)
A Equação (3) apresenta a relação tensão-corrente para o indutor, e a indutância L do indutor é determinada
através da Equação (4), ou seja:
(4)
A indutância é normalmente chamada de autoindutância, pois ela relaciona a tensão induzida em uma bobina
por uma corrente variável no tempo na mesma bobina. Agora, ao invés de uma bobina, consideraremos duas
bobinas com autoindutâncias L1 e L2 muito próximas uma da outra, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2 | Indutância mútua M da bobina 2 em relação à bobina 1
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 495).
Consideraremos a bobina 1 com N espiras e a bobina 2 com N espiras. Outra consideração que faremos é
supor que não passa corrente pelo segundo indutor. Assim, o fluxo magnético ϕ proveniente da bobina 1
possui dois componentes: um componente ϕ , que atravessa apenas a bobina 1, e o outro componente ϕ ,
que está associado às bobinas 1 e 2. Desse modo, temos que:
(5)
Fisicamente, ambas as bobinas estão separadas, porém estão magneticamente acopladas. Como a totalidade
do fluxo ϕ percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1 é dada pela Equação (6):
(6)
O fluxo ϕ percorre somente a bobina 2. Portanto, a tensão induzida na bobina 2 é dada pela Equação (7):
(7)
Como os fluxos são causados pela corrente i que atravessa a bobina 1, a Equação (6) pode ser reescrita
conforme a Equação (8):
(8)
Onde é a autoindutância da bobina 1.
v = N
dϕ
dt
v = N
dϕ
di
di
dt
v = L di
dt
L = N
dϕ
di
21
1 2
1
11 12
ϕ1 = ϕ11 + ϕ12
1
v1 = N1
dϕ1
dt
12
v2 = N2
dϕ12
dt
1
v1 = N1
dϕ1
di1
di1
dt
= L1
di1
dt
L1 = N1
dϕ1
di1
di1
dt
01/12/2025, 21:01 wlldd_251_u4_cir_ele_ava
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De modo similar, a Equação (7) pode ser reescrita conforme a Equação (9): (9)
Em que M é conhecida como a indutância mútua da bobina 2 em relação à bobina 1 e é dada por (10):
(10)
O subscrito 21 na indutância mútua da bobina 2 em relação à bobina 1 indica que a indutância M relaciona a
tensão induzida na bobina 2 com a corrente na bobina 1. Assim, a tensão mútua no circuito aberto (ou tensão
induzida) na bobina 2 pode ser escrita através da Equação (11):
(11)
Agora, faremos a corrente i fluir pela bobina 2 e, na bobinaAcesso em: 24 nov.
2023.
SIMONE, G. A. Transformadores: teoria e exercícios. São Paulo: Saraiva, 2010. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536520452/. Acesso em: 22 nov. 2023.
Aula 5
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
Grupo A, 2013. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/. Acesso
em: 3 nov. 2023.
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https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536520452/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536520452/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2320-5/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536520452/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/1, não ter passagem de corrente, conforme
mostra a Figura 3.
Figura 3 | Indutância mútua M da bobina 1 em relação à bobina 2
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 496).
Nesse caso, o fluxo magnético ϕ proveniente da bobina 2 é formado pelo fluxo ϕ , que atravessa somente a
bobina 2, e o fluxo ϕ , que atravessa as duas bobinas. Assim, conforme a Equação (12), temos:
(12)
Todo fluxo ϕ percorre a bobina 2, assim, a tensão induzida na bobina 2 é igual a (13):
(13)
Onde é a autoindutância da bobina 2.
Nesse caso, somente o fluxo ϕ percorre a bobina 1. Desta forma, a tensão induzida na bobina 1 é dada por
(14):
(14)
Onde M é a indutância mútua da bobina 1 em relação à bobina 2 e é dada pela equação (15):
(15)
A tensão mútua de circuito é dada pela Equação (16):
(16)
Assim, temos que (17):
(17)
Onde M é a indutância mútua entre as duas bobinas, e a sua unidade é dada em henrys (H).
POLARIDADE DE REFERÊNCIA E CONEXÕES ADITIVA E SUBTRATIVA
Caro estudante, a polaridade de referência da tensão mútua dependerá do sentido em que está a referência
da corrente indutora e dos pontos das bobinas acopladas. A convenção do ponto é utilizada para indicar de
que modo os fios estão enrolados no núcleo da bobina. Quando o sentido de referência da corrente em um
enrolamento é com a corrente entrando na extremidade do enrolamento assinalada com um ponto, ela
produz uma tensão na bobina acoplada, que é positiva no terminal com o ponto. Do mesmo modo, quando
uma corrente é definida de modo a entrar no terminal sem o ponto de uma bobina, ela produz uma tensão na
bobina acoplada, que será positiva no terminal sem o ponto (Dorf; Svoboda, 2016).
Note, na Figura 4, que o sinal da tensão mútua v é determinado pela polaridade de referência pelo sentido de
i . Observe que i entra pelo terminal marcado com um ponto na bobina 1, assim, v é positiva no terminal
marcado com um ponto na bobina 2. Nessa situação, a tensão mútua é positiva.
Figura 4 | Convenção do ponto: tensão mútua positiva
v2 = N2
dϕ12
di1
di1
dt = M21
di1
dt
21
M21 = N2
dϕ12
di1
21
v2 = M2
di1
dt
2
12
2 22
21
ϕ2 = ϕ21 + ϕ22
2
v2 = N2
dϕ2
dt = N2
dϕ2
di2
di2
dt = L2
di2
dt
L2 = N2
dϕ2
di2
21
v1 = N1
dϕ21
dt = N1
dϕ21
di2
di2
dt = M12
di2
dt
12
M12 = N1
dϕ21
di2
v1 = M12
di2
dt
M12 = M21 = M
2
1 1 2
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Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 497).
A Figura 5 mostra a corrente i entrando pelo terminal pontuado da bobina 1 e v é negativa no terminal
marcado com um ponto na bobina 2. Assim, a tensão mútua é negativa.
Figura 5 | Convenção do ponto: tensão mútua negativa com i entrando
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 497).
A Figura 6 apresenta a corrente i entrando pelo terminal sem ponto da bobina 2, assim, a polaridade real da
tensão v induzida tem sinal positivo no terminal sem ponto da bobina 1. Porém, a polaridade de referência
adotada para v possui o sinal trocado em relação à polaridade da tensão induzida. Assim, a tensão mútua é
negativa.
Figura 6 | Convenção do ponto: tensão mútua negativa com i entrando
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 497).
A Figura 7 apresenta a corrente i entrando pelo terminal sem ponto da bobina 2. Desse modo, a tensão
induzida v possui polaridade positiva no terminal sem ponto da bobina 1. Assim, a polaridade da tensão
induzida coincide com a polaridade de referência adotada, por essa razão o sinal de v é positivo.
Figura 7 | Convenção do ponto: tensão v positiva
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 497).
As bobinas podem estar ligadas através de uma conexão séria aditiva ou subtrativa. A concordância ou
discordância entre os sentidos dos enrolamentos das bobinas é representada de acordo com a regra do
ponto.
Observe, na Figura 8, que as bobinas estão ligadas através de uma conexão série aditiva. Como os sentidos
das correntes nas duas bobinas são positivos do ponto para a outra extremidade, os fluxos magnéticos
gerados no núcleo comum serão concordantes, e o acoplamento, positivo. Assim, a indutância total das
bobinas ilustradas na Figura 8 é dada pela Equação (17).
(17)
Figura 8 | Conexão série aditiva
1 2
1
2
1
1
2
2
1 
1 
1
L = L1 + L2 + 2M
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Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 498).
Na Figura 9, os sentidos das correntes são contrários entre si, tendo como referência a extremidade onde se
localiza o ponto. Quando isso acontece, os fluxos magnéticos gerados são discordantes. Como resultado, o
núcleo e o acoplamento entre as bobinas são subtrativos ou negativos. Assim, a indutância total das bobinas
ilustradas na Figura 9 é dada pela Equação (18).
(18)
Figura 9 | Conexão série subtrativa
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 498).
É mais simples resolver circuitos com indutores magneticamente acoplados escrevendo as equações das
malhas ao invés de escrever as equações nodais.
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! Na prática, usamos o termo indutância para indicar a autoindutância. Como você já sabe, nos
circuitos magneticamente acoplados, a autoindutância relaciona a tensão induzida em uma bobina e a
corrente que flui através dela. Já a indutância mútua relaciona a tensão induzida em uma bobina e a corrente
que flui pela outra bobina. Assim, convidamos você para assistir a este vídeo resumo e saber um pouco mais
sobre a indutância mútua e como resolver um circuito com indutores magneticamente acoplados. Vamos lá?
Bons estudos!
 Saiba mais
Olá, estudante!
Vamos aprender um pouco mais sobre o assunto que acabamos de estudar? O Trabalho de Conclusão de
Curso (TCC) Modelagem dinâmica de Conversores CC-CC elevadores de alto ganho é um bom começo!
Esse trabalho trata de identificar e modelar dinamicamente topologias de conversores CC-CC elevadores
que fazem uso de indutor acoplado e de células multiplicadoras de tensão. Vamos realizar essa
importante leitura? Então, mãos à obra!
L = L1 + L2 − 2M
Aula 2
ENERGIA EM UM CIRCUITO ACOPLADO
Olá, estudante! Como você já sabe, circuitos são definidos como magneticamente acoplados quando dois
deles, sem contato entre si, se relacionam através de um campo magnético que foi gerado por um
desses circuitos.
01/12/2025, 21:01 wlldd_251_u4_cir_ele_ava
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https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/200021
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Como você já sabe, circuitos são definidos como magneticamente acoplados quando dois deles, sem contato
entre si, se relacionam através de um campo magnético que foi gerado por um desses circuitos. Agora,
estudaremos como podemos determinar a energia armazenada em bobinas que estão acopladas
magneticamente. Assim, nesta aula, aprenderemos como a energia em um indutor é armazenada, o que é
coeficiente de acoplamento e como ele se relaciona com o indutor. Por fim, estudaremos algumas aplicações
por meio de exercícios. 
Está preparado para compreender como os indutores são aplicados nos circuitos elétricos e magnéticos?
Então, vamos aprender! Bons estudos!
COEFICIENTE DE ACOPLAMENTO
Caro estudante, na prática, utilizamos o termo indutância para designar a autoindutância, e já estamos
familiarizados com aqueles circuitos que possuem componentes que apresentam a propriedade da
autoindutância, que são os indutores. Agora, aprenderemos como se comportam os indutores acoplados, os
quais são muito utilizados nos circuitos de corrente alternada (CA).
Começaremos a análise dos indutores acopladosatravés da Figura 1, a qual apresenta dois fios enrolados em
um núcleo constituído de material magnético. Observe!
Figura 1 | Dois fios enrolados em um mesmo núcleo construído com material magnético
Fonte: Dorf e Svoboda (2016, p. 525).
Nesses casos, temos que os enrolamentos estão acoplados magneticamente. Quando aplicamos uma tensão
a um dos enrolamentos, conforme a Figura 1, surge uma tensão no outro enrolamento do seguinte modo: a
tensão de entrada v (t) faz com que uma corrente i (t) atravesse o enrolamento 1. Nessas condições, a
corrente e a tensão estão relacionadas através da Equação (1) (Dorf; Svoboda ,2016):
(1)
Onde L é a autoindutância do enrolamento 1.
A corrente i (t) produz um fluxo magnético no núcleo, que está relacionado com a corrente através da
Equação (2):
(2)
Onde c1 é uma constante que depende das propriedades magnéticas e da geometria do núcleo, e N1 é o
número de espiras do enrolamento 1.
É importante entender que o número de espiras de um enrolamento é o número de vezes que o fio é
enrolado no núcleo. O fluxo magnético ϕ está concentrado no núcleo, o qual possui uma seção reta A. A
tensão do enrolamento 1 está relacionada ao fluxo através da Equação (3):
(3)
Combinando as equações (1) e (3), temos que:
(4)
Note que o fluxo ϕ também atravessa o segundo enrolamento, onde induz uma tensão v . Desse modo, a
tensão v está relacionada ao fluxo através da Equação (5):
(5)
1 1
v1 = L1
di1
dt
1
1
ϕ = c1N1i1
v1 = N1
dϕ
dt = N1
d
dt (c1N1i1) = c1N
2
1
di1
dt
L1 = c1N
2
1
2
2
v2 = N2
dϕ
dt = cMN1N2
di1
dt = M di1
dt
01/12/2025, 21:01 wlldd_251_u4_cir_ele_ava
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=LUANCCOSTA%40HOTMAIL.COM&usuarioNome=LUAN+CARLOS+COSTA&disciplinaDescricao=&atividadeId=4616819&atividadeDescric… 7/26
Onde c é uma constante que depende das propriedades magnéticas do núcleo, N é o número de espiras do
segundo enrolamento e M é um número positivo que recebe o nome de indutância mútua. Podemos calcular
M pela Equação (6):
(6)
A unidade de indutância mútua é o henry (H).
Os indutores acoplados, normalmente, são limitados às aplicações em que a corrente não é contínua, pois os
seus enrolamentos se comportam como curtos-circuitos para correntes CC.
A polaridade da tensão v em relação à polaridade de v dependerá de como os fios estão enrolados no
núcleo. Há dois casos possíveis de como os fios estejam enrolados, conforme mostra as figura 2(a) e 2(b). Note
que a diferença entre elas está no sentido que o fio 2 está enrolado no núcleo. Na Figura 2(a), as duas
correntes entram nas extremidades marcadas com pontos, e na Figura 2(b), uma das correntes entra na
extremidade assinalada com um ponto e a outra entra na extremidade que não está assinalada com um
ponto (Dorf; Svoboda, 2016).
Figura 2 | Símbolo usado para representar os indutores acoplados
Fonte: Dorf e Svoboda (2016, p. 525).
As duas indutâncias L e L e a indutância mútua M dependem das propriedades magnéticas, da geometria do
núcleo e do número de espiras dos enrolamentos. Combinando as equações 4 e 5, podemos escrever a
Equação (7):
(9)
No próximo bloco, veremos como encontrar a potência instantânea absorvida pelos indutores e a energia no
indutor. Então, vamos lá!
POTÊNCIA INSTANTÂNEA E ENERGIA
Caro estudante, agora que já sabemos o que é e como calcular o coeficiente de acoplamento, conheceremos a
potência instantânea absorvida pelos indutores acoplados. Para isso, analisaremos a Equação (10) (Dorf;
Svoboda, 2016):
(10)
Observe, na Equação (10), o sinal de ± em M. O −M é utilizado quando uma corrente entra na extremidade de
uma das bobinas que não está assinalada com um ponto, e a outra corrente entra na extremidade da outra
bobina que está assinalada com um ponto. Em tempo, nota-se também que +M é utilizado nos demais casos.
Para encontrarmos a energia armazenada nos indutores acoplados, basta integrar a potência absorvida pelos
indutores através da Equação (11). Assim, temos:
(11)
Do mesmo modo que na potência, o −M é utilizado quando uma corrente entra na extremidade de uma das
bobinas que não está assinalada com um ponto, e a outra corrente entra na extremidade da outra bobina que
está assinalada com um ponto. Em tempo, nota-se também que +M é utilizado nos demais casos.
Para determinar qual é o máximo valor de M em termos de L e L , utilizaremos a Equação (11). Os indutores
acoplados são componentes passivos, desta forma, a energia armazenada deve ser maior ou igual a zero.
Assim, o valor limite de M é encontrado quando w = 0 na Equação (11) do seguinte modo:
(12)
A condição limite para o valor limite de M é quando uma das correntes entra na extremidade assinalada com
um ponto e a outra corrente entra na extremidade que não está assinalada com um ponto.
M 2
M = cMN1N2
2 1
1 2
k = M
√L1L2
p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t)
p(t) = (L1
d
dt i1(t) ± M d
dt i2(t))i1(t) + (L2
d
dt i2(t) ± M d
dt i1(t))i2(t)
p(t) = L1i1(t) d
dt
i1(t) ± M d
dt
(i1(t)i2(t)) + L2i2(t) d
dt
i2(t)
w(t) =
t
∫
−∞
p(τ)dτ = 1
2 L1i1
2 + 1
2 L2i2
2 ± Mi1i2
1 2
1
2 L1i1
2 + 1
2 L2i2
2 − Mi1i2 = 0
01/12/2025, 21:01 wlldd_251_u4_cir_ele_ava
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Agora, somaremos e subtrairemos o termo à Equação (12). Isso é preciso para obtermos um
termo que seja um quadrado perfeito. Assim, temos (Dorf; Svoboda, 2016):
(13)
É importante lembrar que o termo que é um quadrado perfeito pode ser positivo ou nulo, mas nunca
negativo. Assim, para que w ≥ 0, é necessário que:
(14)
Com isso, o valor máximo de M é .
Observando a Equação (14), concluímos que o coeficiente de acoplamento de indutores acoplados não pode
ser maior que 1 e não pode ser negativo, pois L , L e M não podem ser negativos. Portanto, o menor valor
possível para o coeficiente de acoplamento é quando k é igual a zero, que corresponde à situação na qual não
há acoplamento.
Nessas condições, o coeficiente de acoplamento satisfaz a desigualdade, conforme mostra a Equação (15):
(15)
Para os transformadores dos sistemas de distribuição de energia elétrica, k tem o valor próximo a 1. Já nos
circuitos de rádio e televisão, k possui um valor muito menor que 1.
Quando todo o fluxo produzido por uma bobina atravessar a outra bobina, k = 1, e o acoplamento é de 100%,
ou seja, as bobinas estão perfeitamente acopladas. Para k 0,5, as bobinas estão firmemente acopladas (Alexander; Sadiku, 2013).
APLICANDO OS CONCEITOS DE CIRCUITOS ACOLADOS
Caro estudante, resumidamente, temos que o coeficiente de acoplamento k é uma medida do acoplamento
magnético entre duas bobinas, onde , ou, de modo equivalente, (Alexander;
Sadiku, 2013).
A Figura 3 apresenta a vista em corte transversal dos enrolamentos livremente acoplados (a) e firmemente
acoplados (b).
Figura 3 | Enrolamentos: livremente acoplados (a) e firmemente acoplados (b)
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 504).
Os transformadores de núcleo de ar, que são utilizados nos circuitos de radiofrequência, são livremente
acoplados. Por outro lado, os transformadores de núcleo de ferro são usados em sistemas de energia elétrica,
pois são firmemente acoplados.
Agora, vamos fazer um exemplo de como aplicar a teoria estudada sobre os circuitos acoplados? Então, mãos
à obra!
Determinaremos o coeficiente de acoplamento e verificaremos se as bobinas estão perfeitamente acopladas,
livremente acopladas ou firmemente acopladas. Além disso, calcularemos a energia armazenada nos
indutores acoplados no circuito da Figura 4 no instante t = 1s, com fonte igual a v = 60cos (4t + 30 ) V.
Figura 4 | Circuito magnético utilizado para o exemplo proposto
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 504).
i1i2 = √L1L2
(√ L1
2 i1 − √ L2
2 i2)
2
+ i1i2(√L1L2 − M) = 0
√L1L2 ≥ M
√L1L2
1 20 ≤ k ≤ 1
0 ≤ k ≤ 1 0 ≤ M ≤ √L1L2
o
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Primeiramente, calcularemos o coeficiente de acoplamento, que é dado pela equação .
Observando a Figura 4, notamos que L1=5H, L2=4H e M=2,5H. Substituindo os valores, temos:
.
Como k>0,5, as bobinas estão firmemente acopladas.
Para determinar a energia armazenada, precisamos, primeiramente, obter o valor da corrente. Porém, para
determinar o valor da corrente, precisamos obter o equivalente no domínio da frequência do circuito. Para
converter a fonte, faremos: .
Agora, converteremos os valores dos indutores e do capacitor:
Para 5H: 
Para 4H: 
Para M=2,5H: 
Para C=1/16F: 
O circuito equivalente no domínio da frequência é apresentado na Figura 5
Figura 5 | Circuito equivalente no domínio da frequência
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 504).
Agora, realizaremos a análise de malhas, começando pela malha 1, ou seja:
Realizaremos o mesmo procedimento para a malha 2. Com isso, temos:
Agora, substituindo I =-1,2I na equação da malha 1, obtemos:
Em seguida, calcularemos I1, substituindo I2 na equação da segunda malha, ou seja:
Por fim, passaremos os valores das correntes I e I para o domínio do tempo:
k = M
√L1L2
k = M
√L1L2
= 2,4
√5⋅4
= 2,4
√20
= 0,54
60 cos(4t + 30∘) = 60∠30∘ e ω = 4rad/s
jωL1 → j4 ⋅ 5 → j20Ω
jωL2 → j4 ⋅ 4 → j16Ω
jωM → j4 ⋅ 2,5 → j10Ω
1
jωC → 1
j4⋅ 1
16
→ 1
j 1
4
→ 4
j → 4⋅j
j⋅j → 4⋅j
j2 → 4j
−1 → −j4Ω
−60∠30∘ + 10I1 + j10I2 + 20jI1 = 0
10I1 + j10I2 + 20jI1 = 60∠30∘
(10 + 20j)I1 + j10I2 = 60∠30∘
−4jI2 + j16I2 + 10jI1 = 0
10jI1 + (j16 − 4j)I2 = 0
10jI1 + 12jI2 = 0
10jI1 = −12jI2
I1 = −12jI2
10j
I1 = −1,2I2
1 2
(10 + 20j)I1 + j10I2 = 60∠30∘
(10 + 20j)(−1,2I2) + j10I2 = 60∠30∘
(−10 ⋅ 1,2I2 − 20j ⋅ 1,2I2) + j10I2 = 60∠30∘
−12I2 − j24I2 + j10I2 = 60∠30∘
−12I2 − j14I2 = 60∠30∘
2I2(−6 − 7j) = 60∠30∘
I2 = 60∠30∘
2(−6−7j)
I2 = 30∠30∘
(−6−7j)
Módulo : √(−6)2 + (−7)2 = 9,22A
Fase : arctg −7
−6 = 49,4∘ = 49,4 − 180 = −130.6∘
I2 = 30∠30∘
9,22∠−130.6∘
I2 = 30
9,22 ∠30∘ + 130,6
I2 = 3,25∠160,6∘A
I1 = −1,2I2
I1 = −1,2(3,25∠160,6∘)
I1 = −3,9∠160,6∘
I1 = 3,9∠160,6∘ − 180∘
I1 = 3,9∠ − 19,4∘A
1 2
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O próximo passo é substituir as condições iniciais fornecidas no enunciado, isto é, t = 1s, nas equações das
correntes I e I . Para isso, converteremos 4t (ou seja, 4rad/s em graus) do seguinte modo:
Com o valor em graus, podemos calcular os valores das correntes I e I substituindo o valor de 229,3° nas
equações:
Com os valores de I e I , podemos calcular o valor da energia total armazenada nos indutores acoplados
através da equação:
O que você achou deste exemplo? Muitos cálculos matemáticos? Muitas conversões matemáticas? Porém,
muito interessante, não acha? Esperamos que você tenha entendido. Bons estudos
VÍDEO RESUMO
Olá, estudante! Como você já sabe, o coeficiente de acoplamento é uma medida do acoplamento magnético
entre duas bobinas O valor do coeficiente de acoplamento é definido entre 0 e 1 e depende, principalmente,
da proximidade entre as bobinas, do material do núcleo ao qual elas estão enroladas e das suas orientações.
Assim, convidamos você para assistir a este vídeo resumo e saber um pouco mais sobre o acoplamento
magnético e a energia no indutor. Vamos lá? Bons estudos!
 Saiba mais
Olá, estudante!
Vamos aprender um pouco mais sobre o assunto que acabamos de estudar? O artigo Análise da
eficiência energética de bobinas indutivamente acopladas para dispositivos implantáveis é um bom
começo!
Esse artigo trata do estudo da eficiência na transmissão de energia de bobinas indutivamente acopladas,
com frequência de ressonância de 125 kHz, para aplicação em dispositivos médicos implantáveis. Vamos
realizar esta importante leitura? Então, mãos à obra!
I1 = 3,9 cos(wt + ϕ) → 3,9 cos(4t − 19,4∘)A
I2 = 3,25 cos(wt + ϕ) → 3,25 cos(4t + 160,6∘)A
1 2
4⋅180
3,14 = 229,3∘
1 2
I1 = 3,9 cos(229,3∘ − 19,4∘)
I1 = 3,9 cos(209,9∘)
I1 = 3,9 ⋅ (−0,87)
I1 = −3,39A
I2 = 3,25 cos(229,3∘ + 160,6∘)
I2 = 3,25 cos(389,6∘)
I2 = 3,25 ⋅ 0,87
I2 = 2,83A
1 2
w = 1
2 L1i1
2 + 1
2 L2i2
2 + Mi1i2
w = 1
2 5 ⋅ msup+ 1
2 4 ⋅ msup+ 2,5 ⋅ (−3,39) ⋅ (2,83)
w = 28,73 + 16,02 − 23,98
w = 20,77J
Aula 3
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO EM UM TRANSFORMADOR
Olá, estudante! Você sabia que o fenômeno de indução mútua está presente nas ruas da sua cidade? É
só olhar para algum poste que possua um transformador. 
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https://www.canal6.com.br/cbeb/2014/artigos/cbeb2014_submission_640.pdf
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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Você sabia que o fenômeno de indução mútua está presente nas ruas da sua cidade? É só olhar para algum
poste que possua um transformador. De uma maneira simples, o transformador é um dispositivo que recebe
uma determinada tensão de entrada e a altera para uma tensão de saída diferente. Essa mudança pode ser
um aumento ou uma diminuição na tensão. Os transformadores são empregados para finalidades muito
diversas, por exemplo, para reduzir a tensão dos circuitos de energia convencionais, para operar dispositivos
de baixa tensão, como os brinquedos e alguns eletrodomésticos, para aumentar a tensão dos geradores
elétricos para que a energia elétrica consiga ser transmitida por longas distâncias.
Assim, nesta aula, aprenderemos o que são transformadores, as diferenças entre os transformadores lineares
e os transformadores ideais e o que é reflexão de impedâncias.
Está preparado para compreender como os transformadores usam a indução mútua? Então, vamos aprender!
Bons estudos!
INTRODUÇÃO AO TRANSFORMADOR
Caro estudante, o transformador é um equipamento utilizado em muitos tipos de circuitos elétricos e
eletrônicos. O transformador opera com valores baixos de sinais presentes em aparelhos eletrônicos até
valores altos que estão presentes nos sistemas de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica. Ele
trabalha também com os mais diversas valores de tensões, correntes e frequências, e a sua construção é
relativamente simples, pois não possui peças móveis ou desgastáveis, tendo um alto tempo de vida (Simone,
2010).
O transformador pode ficar suspenso em uma estrutura de transmissão ou de distribuição de energia elétrica,
ficando exposto às condições climáticas, cumprindo sua finalidade sem requerer muita atenção, pois a sua
manutenção é considerada simples e restrita.
A eficiência do transformador é relativamente alta, e o fato de sua vida ser prolongada compensa o seu custo
inicial aparentemente alto. Um transformador pode servir para (Simone, 2010):
Mudança de níveis tanto de tensão quanto de corrente em um sistema elétrico, sem ter alteração na
frequência da onda fundamental. O transformador está presente nas redes de distribuição de energia,
dos ramais de fornecimento, das redes de transmissão e das usinas geradoras de energia elétrica. No
Brasil, normalmente, é utilizada a Classe de Tensão de Isolamento de 15 kV, para a distribuição primária,
e a classe de 0,6 kV, para a distribuição secundária em relação ao consumidor residencial, comercial e de
pequenas fábricas.
Casamento de impedâncias utilizado nos sistemas de sonorização, de audiofrequência ou de
radiofrequência. Outra função é a encontrada nos circuitos de radiocomunicações,para casar a
impedância de um sonofletor com a da linha de transmissão de sinais, e nos sistemas de sonorização,
para que a transmissão de energia se faça em condições de máxima transferência de potência e para que
a qualidade do som não seja perdida com a atenuação de uma faixa ou de toda uma gama de
frequências.
Isolação elétrica que possui dois ou mais estágios em planta elétrica de centro de avaliação médica,
equipamentos de laboratório de pesquisa, transmissão e geração de sinais, centro de processamento de
dados, computação, eletrônica, entre outros. Outra função dos transformadores é nos circuitos que têm
como objetivo eliminar interferências eletromagnéticas, bloqueando os sinais de corrente contínua ou de
frequências muito diferentes da fundamental, oferecendo segurança aos equipamentos e dispositivos
elétricos ligados àquela fonte de energia elétrica.
É muito comum uma unidade transformadora ajustar as tensões e correntes, bem como isolar, eletricamente,
dois ou mais circuitos elétricos. A Figura 1 apresenta alguns tipos de transformadores.
Figura 1 - Lorem ipsum dolor sit amet
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Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 504).
Qualquer que seja a finalidade do transformador, os princípios básicos não se alterarão, mesmo que as suas
características funcionais possam se diferenciar.
TRANSFORMADOR LINEAR
Caro estudante, o transformador é um tipo de dispositivo magnético que tem o seu princípio de
funcionamento baseado no fenômeno da indutância mútua. Geralmente, ele é um dispositivo de quatro
terminais, formado por duas (ou mais) bobinas acopladas magneticamente.
A Figura 2 apresenta um circuito no qual a bobina que está ligada diretamente à fonte de tensão é chamada
de enrolamento primário, e a bobina ligada à carga recebe o nome de enrolamento secundário.
As resistências R e R no circuito representam as perdas (dissipação de potência) nas bobinas. Um
transformador é linear quando as bobinas forem enroladas em um material magneticamente linear, ou seja,
um material para o qual a permeabilidade magnética é constante. Alguns exemplos desses materiais são: ar,
plástico, baquelite e madeira. Normalmente, a maioria dos materiais é magneticamente linear. Os
transformadores lineares são utilizados em aparelhos de rádio e TV, podendo ser com núcleo de ar (ou não).
Figura 2 | Transformador linear
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 506).
Vamos ver como obtemos a impedância de entrada ZENT vista da fonte?
A impedância de entrada é muito importante, pois tem como objetivo controlar o comportamento do circuito
primário. Desse modo, aplicaremos a Lei de Kirchhoff nas duas malhas da Figura 2, obtendo, com isso, a
Equação (1), referente à malha da esquerda do circuito da Figura 2, e a Equação (2), referente à malha da
direita do circuito da Figura 2 (Alexander; Sadiku, 2013).
(1)
(2)
Substituindo (2) em (1), obtemos a impedância de entrada, conforme a Equação (3) (Alexander; Sadiku, 2013):
1 2
−V + R1I1 + jωL1I1 − jωMI2 = 0
I1(R1 + jωL1) − jωMI2 = V
ZLI2 + R2I2 + jωL2I2 − jωMI1 = 0
−jωMI1 + I2(ZL + R2 + jωL2) = 0
I2 = jωMI1
ZL+R2+jωL2
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(3)
Observe que a impedância de entrada possui dois termos, em que o termo refere-se à
impedância primária. Já o termo refere-se ao acoplamento entre os enrolamentos primário e
secundário. É como se essa impedância fosse refletida para o primário, assim, ela é conhecida como
impedância refletida ZR, ou impedância acoplada, conforme mostra a Equação (4) (Alexander; Sadiku, 2013):
(4)
A análise de circuitos acoplados magneticamente não é tão simples, por esse motivo, é conveniente substituir
um circuito acoplado magneticamente por um sem acoplamento magnético. Desse modo, podemos substituir
o transformador linear na Figura 3 por um circuito T ou π, que não possui indutância mútua (Alexander;
Sadiku, 2013). Observe!
Figura 3 | Circuito com transformador linear
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 507).
A Figura 4 apresenta o circuito T equivalente, no qual La, Lb e Lc são dados pela Equação (5):
(5)
Figura 4 | Circuito T equivalente
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 507).
A Figura 5 apresenta o circuito π equivalente, no qual LA, LB e LC são dados pela Equação (6):
(6)
Figura 5 | Circuito π equivalente
I1(R1 + jωL1) − jωMI2 = V
I2 = jωMI1
ZL+R2+jωL2
I1(R1 + jωL1) − jωM( jωMI1
ZL+R2+jωL2
) = V
I1(R1 + jωL1) − j2ω2M 2I1
ZL+R2+jωL2
= V
I1(R1 + jωL1) + ω2M 2I1
ZL+R2+jωL2
= V
I1(R1 + jωL1 + ω2M 2
ZL+R2+jωL2
) = V
ZENT = V
I1
= R1 + jωL1 + ω2M 2
ZL+R2+jωL2
R1 + jωL1
ω2M 2
ZL+R2+jωL2
ZR = ω2M 2
ZL+R2+jωL2
La = L1 − M
Lb = L2 − M
Lc = M
LA = L1L2−M 2
L2−M
LB = L1L2−M 2
L1−M
LC = L1L2−M 2
M
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Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 507).
Observe, nas figuras 4 e 5, que os indutores não estão magneticamente acoplados, assim, os cálculos se
tornam mais simples.
TRANSFORMADOR IDEAL
Caro estudante, veremos como é o comportamento de um transformador ideal. Esse transformador ideal
possui algumas características (Simone, 2010):
Não possui relutância magnética.
Não possui dispersão de fluxo.
Não possui perdas no ferro e no cobre.
É magneticamente linear.
A Figura 6 apresenta um transformador ideal formado por dois enrolamentos distribuídos ao redor de um
núcleo magneticamente ideal.
Figura 6 | Transformador ideal
Fonte: Simone (2010, p. 54).
Agora, podemos escrever as equações acopladas sob a condição de que o mesmo fluxo passa através de cada
enrolamento, assim, temos as equações (7) e (8) (Irwin; Nelms, 2013):
(7)
(8)
Assim, dividindo a Equação (7) pela (8), temos:
(9)
A Lei de Ampère resulta em (10) (Irwin; Nelms,2013):
(10)
Onde H é a intensidade do campo magnético e a integral é avaliada ao longo da trajetória fechada percorrida
ao longo do núcleo transformador. Em um núcleo magnético ideal com permeabilidade infinita, a intensidade
do campo magnético é igual a zero, assim, temos que:
(11)
Note que, ao dividirmos a equação por N1 e multiplicarmos por v1, o resultado será (12):
(12)
Substituindo no segundo termo em (12), temos que:
(13)
Desta forma, a potência total no componente é nula, o que significa que não ocorrem perdas em um
transformador ideal. O símbolo utilizado para o transformador ideal é apresentado na Figura 7
v1(t) = N1
dϕ
dt
v2(t) = N2
dϕ
dt
v1
v2
=
N1
dϕ
dt
N2
dϕ
dt
= N1
N2
∮ H ⋅ dl = ifechado = N1i1+N2i2
N1i1 + N2i2 = 0
N1i1 = −N2i2
i1
i2
= − N2
N1
N1i1 + N2i2 = 0
N1i1 + N2i2 = 0
v1
N1i1+N2i2
N1
= 0
v1i1 + N2
N1
v1i2 = 0
v1 = N1
N2
v2
v1i1 + N2
N1
v1i2 = 0
v1i1 + N2
N1
N1
N2
v2i2 = 0
v1i1 + v2i2 = 0
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Figura 7 | Símbolo de um transformador ideal: (a) correntes primária e secundária entrando nos condutores assinalados por pontos; (b)
corrente primária entrando no condutor assinalado por ponto e corrente secundária saindo do condutor assinalado por ponto
Fonte: Irwin e Nelms (2013, p. 419).
As equações que representam um transformador ideal são dadas por (14):
(14)
Os níveis de tensão, corrente e impedância podem variar através de um transformador, porém o nível de
potência permanecerá constante. Na prática,os transformadores não possuem a indicação dos pontos. Na
verdade, eles possuem marcas específicas que são conceitualmente equivalentes aos pontos.
Vamos ver como se calcula a impedância de entrada em um transformador ideal? Para isso, consideraremos o
transformador representado no circuito da Figura 8.
Figura 8 | Circuito do transformador ideal utilizado para ilustrar a impedância de entrada
Fonte: Irwin e Nelms (2013, p. 419).
As equações dadas em (14) podem ser reescritas como (15):
(15)
Conforme a Figura 8, Z é dada por (16):
(16)
Nessas condições, a impedância de entrada é dada por (17):
(17)
Note, na Equação (17), que V e I foram substituídos pelo conjunto de equações de (15) e V /I por Z .
A impedância Z é refletida no circuito primário através da razão de espiras. A razão de espiras é definida
como (18):
(18)
Com isso, as equações de definição do transformador ideal para essa configuração são dadas por (19) (Irwin;
Nelms, 2013):
(19)
I1
I2
= N2
N1
V1
V2
= N1
N2
I1 = N2
N1
I2
V1 = N1
N2
V2
L
ZL = V2
I2
ZENT = V1
I1
ZENT =
N1
N2
V2
N2
N1
I2
→ N1
N2
V2
N1
N2
⋅ 1
I2
ZENT = ( N1
N2
)
2
⋅ V2
I2
ZENT = ( N1
N2
)
2
⋅ ZL
1 1 2 2 L
L
n = N2
N1
V1 = V2
n
I1 = nI2
ZENT = ZL
n2
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É importante ficar atento ao utilizar essas equações, pois os sinais das tensões e das correntes são
dependentes das referências indicadas no circuito e suas relações com os pontos.
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! Como você já sabe, tanto os indutores acoplados como os transformadores são formados por
enrolamentos acoplados magneticamente. Em um transformador, os princípios básicos não se alterarão,
mesmo que a suas características funcionais possam se diferenciar. Assim, convidamos você para assistir a
este vídeo resumo e saber um pouco mais sobre os transformadores ideais e lineares. Vamos ao vídeo? Bons
estudos!
 Saiba mais
Olá, estudante!
Vamos aprender um pouco mais sobre o assunto que acabamos de estudar? O artigo intitulado O
transformador: teoria, construção e análise do rendimento é um bom começo! Esse artigo trata de modo
detalhado as etapas da construção de um transformador do tipo nuclear e de que forma as medidas
elétricas podem ser utilizadas para a obtenção dos parâmetros de relevância. Ele descreve também a
teoria física para o modelo de um transformador real, o qual, teoricamente, pode ser tratado como um
transformador ideal inserido em um circuito equivalente com impedâncias. Vamos realizar essa
importante leitura? Então, mãos à obra!
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Um transformador ideal é um tipo de transformador sem perdas e que possui coeficiente de acoplamento
unitário, em que as bobinas primária e secundária possuem autoindutâncias infinitas. Você saberia dizer o
que é um transformador real? E um autotransformador? Será que o princípio de funcionamento é igual para
todos os tipos de transformadores?
Calma! Logo, todas essas perguntas serão respondidas. Nesta aula, aprenderemos o que são transformadores
reais e trifásicos e como funcionam os autotransformadores.
Está preparado para ver as diferenças entre os transformadores reais, trifásicos e autotransformadores? 
Então, mãos à obra! Bons estudos!
TRANSFORMADOR E AUTOTRANSFORMADOR
Caro estudante, uma das utilizações mais importantes do transformador é pelas empresas de geração de
energia elétrica, as quais, usualmente, geram uma tensão conveniente, utilizando, com isso, um
transformador elevador de tensão para aumentar a tensão, a fim de que a energia possa ser transmitida em
alta tensão e baixa corrente através das linhas de transmissão. Por outro lado, quando instalados próximo das
instalações dos consumidores residenciais, são caracterizados como transformadores abaixadores de tensão.
Estes, por sua vez, reduzem a tensão de 13,8 kV para 220V/127V. Mas, o que é um transformador abaixador e
um transformador elevador?
O transformador abaixador de tensão é aquele em que a tensão no secundário é menor que a tensão no
primário. No entanto, um transformador elevador de tensão é justamente ao contrário, ou seja, a tensão no
secundário é maior que a tensão no primário.
Quando a relação de transformação, n, for igual a 1, o transformador recebe o nome de transformador de
Aula 4
TRANSFORMADORES REAIS
Olá, estudante! Um transformador ideal é um tipo de transformador sem perdas e que possui coeficiente
de acoplamento unitário, em que as bobinas primária e secundária possuem autoindutâncias infinitas.
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https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2021-0413
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isolamento. Se n>1, o transformador é um elevador de tensão, pois a tensão é aumentada do primário para o
secundário, ou seja, V >V , mas, se nI2
I1
I2
= N2
N1+N2
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A Figura 3 apresenta um circuito autotransformador elevador, em que a Equação (4) fornece a relação entre
V e V :
(4)
Figura 3 | Autotransformador elevador
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 518).
(5)
O tamanho físico e o estilo dos transformadores mudaram muito nos últimos anos. Antigamente, eles eram
padronizados na cor preta e, atualmente, já possuem um universo de cores e de formas.
O tamanho dos transformadores varia desde um pequeno paralelepípedo até uma casa com grandes
dimensões, como são os transformadores empregados em usinas geradoras de energia elétrica e nas
subestações transformadoras. Os transformadores de força são mais caros e possuem perdas ao
desempenharem sua função. Porém, eles possuem vantagens que compensam essas perdas ou quaisquer
outras análises econômicas. Uma das vantagens é a transmissão de tensões da ordem de 15 kV (Simone,
2010).
Para a transmissão de energia trifásica, é preciso realizar ligações do transformador compatíveis com
operações trifásicas, sendo que essas ligações podem ser realizadas de dois modos: ligando os
transformadores trifásicos, formando o que chamamos de banco de transformadores, ou usando um
transformador trifásico especial.
É importante ficar claro que, para a mesma potência nominal em kVA, um transformador trifásico sempre será
menor e mais barato que três transformadores monofásicos. É importante ressaltar que, ao utilizar os
transformadores monofásicos, é essencial garantir que eles possuam a mesma relação de espiras (n) para
atingir um sistema trifásico equilibrado. A Figura 4 apresenta um transformador trifásico utilizado em
subestações de energia.
Figura 4 | Transformador de potência trifásico
Fonte: Irwin e Nelms (2013, p. 451).
Há quatro modos-padrão de se ligar três transformadores monofásicos ou um transformador trifásico para
operações trifásicas, que são: estrela-estrela, triângulo-triângulo, estrela-triângulo e triângulo-estrela
(Alexander; Sadiku, 2013).
Para qualquer uma desses quatro tipos ligações, a potência aparente total S , a potência real P e a potência
reativa Q são obtidas através das equações (6), (7) e (8):
 (6)
 (7)
 (8)
Onde, respectivamente, V e I são iguais à tensão de linha V e a corrente de linha I para o primário, ou a
tensão de linha V e a corrente de linha I para o secundário.
É importante ficar atento que, para cada uma das quatro conexões, V I = V I , pois a potência, em um
1 2
V1
V2
= N1
N1+N2
I1
I2
= N1+N2
N1
= N1
N1
+ N2
N1
= 1 + N2
N1
T T
T
ST = √3VLIL
PT = ST cos θ = √3VLIL cos θ
QT = ST sen θ = √3VLIL sen θ
L L Lp Lp
Ls Ls
Ls Ls Lp Lp
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transformador ideal, deve ser conservada.
TRANSFORMADOR TRIFÁSICO
Caro estudante, um transformador de potência pode ser definido como um transformador que opera com
altas tensões e correntes na rede em um sistema de potência. Esse tipo de transformador é utilizado,
principalmente, para aumentar ou diminuir o nível de tensão entre o gerador e os circuitos de distribuição.
Um transformador de potência possui dois ou mais enrolamentos que são acoplados magneticamente através
de um núcleo. Uma corrente variável em um enrolamento cria um fluxo magnético variável no núcleo, o qual
induz uma tensão variável nos outros enrolamentos. A relação das tensões nos enrolamentos primário e
secundário depende do número de voltas em cada enrolamento.
Os transformadores de potência são classificados como dispositivos estáticos e passivos, pois não possuem
partes móveis ou rotativas e não geram nem consomem energia elétrica; apenas a transferem de um circuito
para outro. Os transformadores de potência podem operar com alta eficiência e confiabilidade por longos
períodos.
Vamos ver como ligar três transformadores monofásicos ou um transformador trifásico para operações
trifásicas? 
A primeira conexão é a conexão estrela-estrela (Figura 5), em que a tensão de linha V no primário, a tensão
de linha V no secundário e as correntes de linha I no primário e I no secundário estão relacionadas com o
transformador através da relação de espiras por fase, conforme mostram as equações (9) e (10):
Figura 5 | Conexão estrela-estrela de um transformador trifásico
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 521).
A segunda conexão que veremos é a conexão triângulo-triângulo (Figura 6). Neste caso, as equações (9) e (10)
também são utilizadas para as tensões de linha e para as correntes de linha.
Essa conexão é muito importante, pois, caso um dos transformadores for retirado para algum reparo ou
alguma manutenção, os outros dois formam um triângulo aberto, o qual é capaz de fornecer tensões trifásicas
em um nível reduzido do transformador trifásico original.
Figura 6 | Conexão triângulo-triângulo de um transformador trifásico
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 521).
A terceira conexão é a conexão estrela-triângulo (Figura 7). Neste caso, as equações (9) e (10) são um pouco
diferentes, tendo em vista o fator proveniente dos valores de linha-fase. Nestas condições, temos:
(11)
(12)
Figura 7 | Conexão estrela-triângulo de um transformador trifásico
Lp
Ls Lp Ls
VLs = nVLp
ILs =
ILp
n
√3
VLs =
nVLp
√3
ILs =
√3ILp
n
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Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 521).
Por fim, a quarta conexão é a triângulo-estrela (Figura 8), em que a tensão e a corrente de linha são dadas,
respectivamente, por (13) e (14):
(13)
(14)
Figura 8 | Conexão triângulo-estrela de um transformador trifásico
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 521).
Os transformadores de potência podem ser categorizados com base em diferentes critérios, como a
construção, a função e a sua aplicação. Alguns dos tipos comuns de transformadores de potência são:
Transformadores elevadores e abaixadores: usados para aumentar ou diminuir o nível de tensão de
uma fonte CA.
Transformadores monofásicos e trifásicos: usados para lidar com fontes CA monofásicas ou trifásicas.
Dois enrolamentos e autotransformadores: esses tipos de transformadores possuem dois
enrolamentos separados ou um enrolamento comum para os circuitos primário e secundário.
Transformadores de distribuição e potência: o transformador de distribuição é usado para reduzir a
tensão para distribuição a usuários domésticos ou comerciais, e o transformador de potência para
aumentar ou diminuir a tensão para transmissão entre estações geradoras e subestações.
Transformadores de instrumento: utilizados para medir altas tensões e correntes em um circuito,
reduzindo-as para valores mais baixos, que podem ser medidos por instrumentos convencionais.
Transformadores resfriados a óleo e do tipo seco: os transformadores resfriados a óleo usam óleo
mineral como meio de resfriamento que circula através de radiadores ou trocadores de calor. Já os do
tipo seco usam ar como meio de resfriamento que flui através de aberturas de ventilação ou
ventiladores.
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! Como você já sabe, um transformador de potência é um dispositivo estático que transfere
energia elétrica de um circuito para outro sem alterar a frequência. Ele funciona com base no princípio da
indução eletromagnética e pode aumentar ou diminuir o nível de tensão de uma fonte de corrente alternada
(CA). Os transformadores de potência são essenciais para a transmissão, distribuição e utilizaçãode energia
elétrica em diversos setores. Assim, convidamos você para assistir a este vídeo resumo e saber um pouco
mais sobre os transformadores trifásicos e os autotransformadores. Está pronto? Bons estudos!
VLs = n√3VLp
ILs =
ILp
n√3
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 Saiba mais
Olá, estudante!
Vamos aprender um pouco mais sobre o assunto que acabamos de estudar? O artigo Modelo de
transformador trifásico de distribuição para estudos de fluxo de potência e curto-circuito é um bom
começo! Esse texto propõe um modelo matemático para representar transformadores em estudos de
fluxo de potência e curto-circuito utilizando coordenadas de fase. O transformador trifásico é
representado por uma matriz de admitância obtida através da análise de seu circuito magnético
equivalente em sistemas reais e em pequenos sistemas. Para que pudesse ser constatada a eficiência do
modelo proposto, foram realizadas simulações em sistemas testes fornecidos pelo IEEE, em sistemas
reais e em pequenos sistemas desenvolvidos em laboratório. Vamos realizar essa importante leitura?
Então, mãos à obra!
 CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS
Caro estudante, o transformador é um dispositivo amplamente utilizado tanto no domínio elétrico quanto
eletrônico. É um dispositivo eletromagnético que segue o princípio básico do eletromagnetismo descoberto
por Michael Faraday. O transformador foi projetado especificamente para produzir o efeito de indutância
mútua entre duas ou mais bobinas, ou seja, tem como base o conceito de acoplamento magnético, pois utiliza
bobinas acopladas magneticamente para transferir energia de um circuito para outro. Além disso, os
transformadores são elementos fundamentais para os sistemas de geração de energia elétrica para elevar ou
abaixar tensões ou correntes alternadas (Alexander; Sadiku, 2013).
Quando dois indutores ou duas bobinas estiverem próximos um do outro, o fluxo magnético que é provocado
pela corrente em uma bobina se associará à outra bobina, induzindo, desse modo, uma tensão nessa última
bobina. Esse fenômeno chama-se indutância mútua e é medida em henrys (H) (Alexander; Sadiku, 2013).
A tensão induzida magneticamente só acontecerá quando o fluxo do campo magnético muda de intensidade
em relação ao fio, desta forma, a indutância mútua entre duas bobinas só pode acontecer
com tensão/corrente alternada.
A convenção do ponto é utilizada para indicar de que modo os fios estão enrolados no núcleo da bobina. A
convenção do ponto é definida do seguinte modo: quando uma corrente entra pelo terminal da bobina
marcado com um ponto, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina será positiva no
terminal da segunda bobina que foi marcado com um ponto (Alexander; Sadiku, 2013). Em um circuito, os
pontos já estão marcados ao lado das bobinas, de modo que não é necessário nos preocupar em como inseri-
los.
Vamos ver alguns casos de aplicação da convenção do ponto? Então, mãos à obra!
Note, na Figura 1, que o sinal da tensão mútua v é determinado pela polaridade de referência e pelo sentido
de i . Observe que i entra pelo terminal marcado com um ponto na bobina 1, assim, v é positiva no terminal
marcado com um ponto na bobina 2. Nessa situação, a tensão mútua é positiva.
Figura 1 | Convenção do ponto: tensão mútua positiva
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 497).
2
1 1 2
Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
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https://conteudo.colaboraread.com.br/202502/WHITE_LABEL/CIRCUITOS_ELETRICOS_AVANCADOS/LIVRO/U4/Modelo%20de%20transformador%20trif%C3%A1sico%20de%20distribui%C3%A7%C3%A3o%20para%20estudos%20de%20fluxo%20de%20pot%C3%AAncia%20e%20curto-circuito
https://www.researchgate.net/profile/Andre-Marcato/publication/267389448_MODELO_DE_TRANSFORMADOR_TRIFASICO_DE_DISTRIBUICAO_PARA_ESTUDOS_DE_FLUXO_DE_POTENCIA_E_CURTO-CIRCUITO/links/552fa8980cf22d437171153c/MODELO-DE-TRANSFORMADOR-TRIFASICO-DE-DISTRIBUICAO
https://www.researchgate.net/profile/Andre-Marcato/publication/267389448_MODELO_DE_TRANSFORMADOR_TRIFASICO_DE_DISTRIBUICAO_PARA_ESTUDOS_DE_FLUXO_DE_POTENCIA_E_CURTO-CIRCUITO/links/552fa8980cf22d437171153c/MODELO-DE-TRANSFORMADOR-TRIFASICO-DE-DISTRIBUICAO
Observe, agora, a Figura 2, na qual a corrente i entra pelo terminal pontuado da bobina 1, e v é negativa no
terminal marcado com um ponto na bobina 2. Desse modo, a tensão mútua é negativa.
Figura 2 | Convenção do ponto: tensão mútua negativa
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 497).
Tanto os indutores acoplados como os transformadores são formados por enrolamentos acoplados
magneticamente. Os transformadores são dispositivos utilizados para abaixar ou aumentar as tensões e as
correntes elétricas, sendo formados por dois enrolamentos (primário e secundário) e envolvidos por um
núcleo metálico (material ferromagnético, por exemplo). A passagem de uma corrente elétrica alternada no
enrolamento primário induz à formação de uma corrente elétrica alternada no enrolamento secundário. A
proporção entre as correntes primária e secundária dependerão da relação entre o número de espiras em
cada um dos enrolamentos.
O número de enrolamentos de uma bobina determina a tensão enviada do condutor primário para o
secundário. A proporção de voltas (enrolamentos) na bobina primária e o número de voltas na bobina
secundária decide a magnitude da tensão. Os transformadores abaixadores têm menos voltas na bobina
secundária do que no primário, enquanto os transformadores elevadores têm mais enrolamentos na bobina
secundária do que no primário.
As tensões primárias e secundárias somente terão a mesma fase quando o arranjo dos enrolamentos for do
mesmo tipo, por exemplo, estrela/estrela. Esquemas de ligação diferentes produzem rotações de fase entre
as tensões primárias e secundárias.
REVISÃO DA UNIDADE
Olá, estudante! 
Como você já sabe, o transformador é um dispositivo que foi projetado especificamente para produzir o efeito
de indutância mútua entre duas ou mais bobinas, ou seja, tem como base o conceito de acoplamento
magnético. Assim, convidamos você para assistir a este vídeo e reforçar o seu aprendizado sobre os
acoplamentos magnéticos e os transformadores elétricos. Bom vídeo!
ESTUDO DE CASO
O aumento na demanda de energia elétrica está aliado ao crescente aumento da população mundial. Isso
acontece devido ao nosso modo de vida moderno, o qual exige cada vez mais dos sistemas elétricos de
energia, seja para carregar um dispositivo eletrônico, seja para atender à necessidade de se manter a energia
ininterrupta de uma produção ou até mesmo carregar um carro elétrico. Desse modo, é necessário um estudo
e aprimoramento constante no setor de energia elétrica. Os transformadores são dispositivos elétricos que
possuem uma grande importância no campo da engenharia, pois são responsáveis pela transformação de
sistemas de tensões e de correntes elétricas alternadas.
Os transformadores, geralmente, apresentam um enrolamento primário e outro secundário, porém é possível
apresentarem também um enrolamento terciário, que dependerá do tipo de aplicação. Eles são formados,
normalmente, por condutores de cobre isolados com esmalte/verniz. As bobinas dos enrolamentos podem
ser fabricadas de diversos modos, como as bobinas de discos, helicoidais ou chapas retas. Nos enrolamentos
dos transformadores circulam grandes magnitudes de correntes, assim, nesses enrolamentos, há um alto
aquecimento.
O sistema elétrico de potência transporta grandes blocos de energia e realiza essa função elevando e
abaixando a tensão em diferentes pontos. Isso é realizado através dos transformadores de potência,que são
transformadores, normalmente do tipo trifásico, construídos especificamente para aplicações de alta, média e
baixa tensão.
Após essa introdução, vamos ao estudo de caso: uma conceituada empresa de distribuição de energia elétrica
abriu um processo seletivo muito concorrido para contratar um responsável técnico para trabalhar em uma
das áreas mais importantes da empresa: a área de sistemas elétricos de potência.
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Dentre centenas de candidatos, você foi um dos dois selecionados, o que é uma grande vitória. O problema é
que a empresa só possui uma vaga e, para decidir quem ficará com ela, o responsável pela seleção
encaminhará você e o outro candidato para o supervisor responsável pela vaga.
O gerente responsável pela contração pediu para você fazer um relatório completo sobre o funcionamento
dos transformadores. Nesse relatório, você deve explicar como o transformador trabalha e como a energia
elétrica chega às residências. Lembre-se de que a sua vaga depende do conteúdo desse relatório, então,
capriche! 
 Reflita
Caro estudante, um transformador tem uma vasta gama de aplicações. Por esse motivo, é normal que
cada aplicação necessite de alguns fatores específicos para cada situação. Um transformador é muito
importante como um equipamento auxiliar em diferentes tipos de circuitos elétricos e eletrônicos. A
construção de um transformador é relativamente simples, pois ele não possui peças móveis ou
desgastáveis. Com isso, pode-se dizer que os transformadores possuem longo tempo de vida útil. O
transformador pode ser instalado de modo suspenso em uma estrutura de transmissão ou de
distribuição de energia elétrica, podendo ficar exposto às diversas condições climáticas e, mesmo assim,
cumprir sua finalidade sem precisar de nenhum tipo de cuidado extra.
Os transformadores podem ser utilizados nos circuitos elétricos em vários níveis de tensão, desde
microvolts presentes em circuitos eletrônicos até em altas tensões utilizadas em sistemas de potência
(que podem chegar à ordem de quilovolts).
Um transformador pode ajustar tensões e correntes e isolar, eletricamente, dois ou mais circuitos
elétricos. A figura a seguir apresenta alguns tipos de transformadores.
Figura 3 | Diferentes tipos de transformadores: (a) transformador de potência de núcleo seco com enrolamento de cobre e (b)
transformadores de áudio
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 504).
Qualquer que seja a finalidade do transformador, os princípios básicos não se alterarão, mesmo que as
suas características funcionais possam se diferenciar.
RESOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO
Os transformadores têm a função de transferir energia elétrica de um circuito elétrico para outro através da
indução eletromagnética mútua. A finalidade principal é converter um nível de tensão por um outro nível de
tensão (maior ou menor), porém com a mesma frequência operacional. Se não fossem os transformadores,
não seria possível a ampla transmissão, distribuição e utilização da energia elétrica.
O transformador foi projetado especificamente para produzir o efeito de indutância mútua entre duas ou
mais bobinas, ou seja, o seu funcionamento é baseado no conceito de acoplamento magnético, pois utiliza
bobinas acopladas magneticamente para transferir energia de um circuito para outro. Os transformadores
são dispositivos fundamentais para os sistemas de geração de energia elétrica, pois têm a capacidade de
elevar ou abaixar tensões ou correntes alternadas (CA).
Um transformador básico é formado por dois enrolamentos em torno de um núcleo de ferro e ligadas entre si
através do fluxo magnético. O enrolamento que recebe a energia da alimentação é chamado de enrolamento
primário. Já o enrolamento que fornece energia para a carga é chamado de enrolamento secundário.
Quando dois indutores ou bobinas estão muito próximos um do outro, o fluxo magnético provocado pela
corrente em uma bobina se associa à outra bobina, induzindo, desse modo, uma tensão nessa última bobina.
Esse fenômeno é chamado de indutância mútua. A tensão induzida magneticamente só acontece quando o
fluxo do campo magnético está mudando de intensidade em relação ao fio. Assim, a indutância mútua entre
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duas bobinas só acontece com tenção CA, e não com tensão/corrente contínua (CC).
O transformador pode ser elevador ou abaixador. Quando a transformação é realizada com um aumento da
tensão, o transformador é chamado de transformador elevador. Por outro lado, quando a tensão é reduzida,
o transformador é chamado de transformador abaixador. Os transformadores realizam essa mudança na
tensão CA com perdas muito baixas de potência.
Uma das grandes vantagens dos transformadores é gerar energia em um nível de tensão conveniente, para
que, depois, essa tensão seja elevada para níveis bastante altos, que são adequados para transmissão a
longas distâncias. Para fins de utilização, é necessário abaixar novamente a tensão.
RESUMO VISUAL
Fonte: elaborada pelo autor.
Aula 1
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
Grupo A, 2013. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/. Acesso
em: 3 nov. 2023.
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2016. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521631309/. Acesso em: 3 nov. 2023.
Aula 2
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
Grupo A, 2013. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/. Acesso
em: 11 nov. 2023.
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2016.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521631309/. Acesso em: 11 nov. 2023.
Aula 3
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
Grupo A, 2013. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/. Acesso
em: 16 nov. 2023.
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2013.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2320-5/. Acesso em: 17 nov.
REFERÊNCIAS
01/12/2025, 21:01 wlldd_251_u4_cir_ele_ava
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=LUANCCOSTA%40HOTMAIL.COM&usuarioNome=LUAN+CARLOS+COSTA&disciplinaDescricao=&atividadeId=4616819&atividadeDescri… 25/26
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521631309/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521631309/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2320-5/
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
2023.
SIMONE, G. A. Transformadores: teoria e exercícios. São Paulo: Saraiva, 2010. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536520452/. Acesso em: 17 nov. 2023.
Aula 4
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
Grupo A, 2013. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551730/. Acesso
em: 22 nov. 2023.
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2013.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2320-5/.