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Álgebra Linear Lista I

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I LISTA DE EXERCI´CIOS
A´LGEBRA LINEAR I
Prof.: Joselito de Oliveira
Universidade Federal de Roraima
Departamento de Matema´tica
28/11/2015
1. Seja α = {(1, 0); (0, 1)} e β = {(1, 2); (2, 3)} bases do R2. Encontre a
matriz mudanc¸a de base:
(a) Da´ base α para a base β;
(b) Da´ base β para a base α.
2. Sejam α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
(a) Prove que α e β sa˜o bases do R3.
(b) Encontre a matriz mudanc¸a de base, da base α para a base β.
(c) Encontre a matriz mudanc¸a de base, da base β para a base α.
3. O conjunto α = {(1, 1), (1,−1), (0, 2)} forma uma base para o R2 Jus-
tifique sua resposta.
4. (a) Seja α = {(2, 4,−3), (0, 1, 1), (0, 1,−1)}, prove que:
i. α gera o espac¸o vetorial R3.
ii. α e´ linearmente independente.
iii. α e´ uma base para o R3? Justifique sua resposta.
(b) Encontre a matriz de transic¸a˜o da base canoˆnica para a base α.
1
5. Seja W um subespac¸o do espac¸o vetorial dos polinoˆmios P (R). Se
W = [x3 + 2x2 − 2x+ 1, x3 + 2x2 − x+ 4, 2x3 + x2 − 7x− 7]:
(a) Encontre uma base de W .
(b) Qual e´ a dimensc¸a˜o de W?
6. Encontre uma base e a dimensa˜o do espac¸o soluc¸a˜o do sistema::
x+ 2y − 2z − 2r − s = 0
x+ 2y − z + 3r − 2s = 0
2x+ 4y − 7z + r + s = 0.
7. Prove que α = {(1, 1), (−1, 2)} e´ uma base do R2.
8. (a) Mostre que α = {ex, e2x} e´ linearmente independente.
(b) Encontre um espac¸o W gerado por α.
(c) Qual a dimensa˜o de W .
9. Sejam U e W subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V de dimen-
c¸a˜o finita. Prove que
dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).
10. Considere o conjunto F(R) = {f : R→ R | func¸a˜o real}. Prove que:
(a) F(R) com as operac¸o˜es usuais de soma e produto de uma func¸a˜o
por um escalar e´ um espac¸o vetorial.
(b) P(R) = {f : R→ R | f(−x) = f(x), func¸a˜o par} e´ um subespac¸o
vetorial de F(R).
(c) I(R) = {f : R → R | f(−x) = −f(x), func¸a˜o ı´mpar} e´ um
subespac¸o vetorial de F(R).
(d) F(R) = P(R)⊕ I(R).
11. Escreva a matriz E =
(
3 1
−1 −1
)
como combinac¸a˜o linear das matrizes
A1 =
(
1 1
1 0
)
, A2 =
(
0 0
1 1
)
e A3 =
(
0 2
0 −1
)
.
2
12. (a) Seja C([a, b]) = {f : [a, b] → R | f func¸a˜o cont´ınua}, com as
operac¸o˜es de soma de func¸o˜es e produto de uma func¸a˜o por um
escalar, prove que C([a, b]) e´ um o espac¸o vetorial.
(b) Prove que L1([a, b]) := {f ∈ C([a, b]) | ∫ b
a
f(x)dx < ∞} e´ um
subespac¸o vetorial de C([a, b]).
13. Seja V um espac¸o vetorial e W um subespac¸o de V . Prove que: se
dimV = dimW enta˜o V = W .
3

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