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I LISTA DE EXERCI´CIOS A´LGEBRA LINEAR I Prof.: Joselito de Oliveira Universidade Federal de Roraima Departamento de Matema´tica 28/11/2015 1. Seja α = {(1, 0); (0, 1)} e β = {(1, 2); (2, 3)} bases do R2. Encontre a matriz mudanc¸a de base: (a) Da´ base α para a base β; (b) Da´ base β para a base α. 2. Sejam α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. (a) Prove que α e β sa˜o bases do R3. (b) Encontre a matriz mudanc¸a de base, da base α para a base β. (c) Encontre a matriz mudanc¸a de base, da base β para a base α. 3. O conjunto α = {(1, 1), (1,−1), (0, 2)} forma uma base para o R2 Jus- tifique sua resposta. 4. (a) Seja α = {(2, 4,−3), (0, 1, 1), (0, 1,−1)}, prove que: i. α gera o espac¸o vetorial R3. ii. α e´ linearmente independente. iii. α e´ uma base para o R3? Justifique sua resposta. (b) Encontre a matriz de transic¸a˜o da base canoˆnica para a base α. 1 5. Seja W um subespac¸o do espac¸o vetorial dos polinoˆmios P (R). Se W = [x3 + 2x2 − 2x+ 1, x3 + 2x2 − x+ 4, 2x3 + x2 − 7x− 7]: (a) Encontre uma base de W . (b) Qual e´ a dimensc¸a˜o de W? 6. Encontre uma base e a dimensa˜o do espac¸o soluc¸a˜o do sistema:: x+ 2y − 2z − 2r − s = 0 x+ 2y − z + 3r − 2s = 0 2x+ 4y − 7z + r + s = 0. 7. Prove que α = {(1, 1), (−1, 2)} e´ uma base do R2. 8. (a) Mostre que α = {ex, e2x} e´ linearmente independente. (b) Encontre um espac¸o W gerado por α. (c) Qual a dimensa˜o de W . 9. Sejam U e W subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V de dimen- c¸a˜o finita. Prove que dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ). 10. Considere o conjunto F(R) = {f : R→ R | func¸a˜o real}. Prove que: (a) F(R) com as operac¸o˜es usuais de soma e produto de uma func¸a˜o por um escalar e´ um espac¸o vetorial. (b) P(R) = {f : R→ R | f(−x) = f(x), func¸a˜o par} e´ um subespac¸o vetorial de F(R). (c) I(R) = {f : R → R | f(−x) = −f(x), func¸a˜o ı´mpar} e´ um subespac¸o vetorial de F(R). (d) F(R) = P(R)⊕ I(R). 11. Escreva a matriz E = ( 3 1 −1 −1 ) como combinac¸a˜o linear das matrizes A1 = ( 1 1 1 0 ) , A2 = ( 0 0 1 1 ) e A3 = ( 0 2 0 −1 ) . 2 12. (a) Seja C([a, b]) = {f : [a, b] → R | f func¸a˜o cont´ınua}, com as operac¸o˜es de soma de func¸o˜es e produto de uma func¸a˜o por um escalar, prove que C([a, b]) e´ um o espac¸o vetorial. (b) Prove que L1([a, b]) := {f ∈ C([a, b]) | ∫ b a f(x)dx < ∞} e´ um subespac¸o vetorial de C([a, b]). 13. Seja V um espac¸o vetorial e W um subespac¸o de V . Prove que: se dimV = dimW enta˜o V = W . 3
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