Calculo 2 - Resumo Teorema Green, Stokes, Divergente, Superficies Parametrizadas

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Vitor Carneiro Nolli Moura 
 
Teorema de Green 
Relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C 
e uma integral dupla na região D do plano delimitada por C. 
Notação: 
É usada algumas vezes para 
indicar que a integral está 
sendo calculada no sentido 
positivo da curva fechada C. 
 
∬ 𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 𝑑𝐴 
 D 
Podemos calcular, por exemplo, o trabalho, a área quando Qx – Py = 1. 
 
Rotacional e Divergente 
Rotacional: 
Se F= Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em IR3 e as derivadas parciais são 
contínuas, então o rotacional de F (rot F) é o campo vetorial definido por: 
 
O rotacional de F pode ser calculado fazendo o produto vetorial entre o operador 
diferencial vetorial e o campo vetorial F: 
Dessa forma, se F é 
conservativo, significa 
que: 
rot F = 0 
 
 
O nome rotacional está associado às rotações. As partículas em um fluido, 
por exemplo, tendem a rodar em torno do eixo que aponta na direção de 
rot F(x,y,z). Se rot F = 0 no ponto P, então o fluido não gira em P e F é chamado 
irrotacional em P. 
Vitor Carneiro Nolli Moura 
 
Divergente: 
Se F= Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em IR3, então o divergente de F é uma 
função de três variáveis definida por: 
 
Se o campo F vetorial possuir derivadas parciais de segunda ordem contínuas, 
então div rot F = 0. O nome divergente pode ser entendido no contexto da 
mecânica dos fluidos. Se F(x,y,z) é a velocidade do fluido, então div F(x,y,z) 
representa a taxa de variação total (com relação ao tempo) da massa do fluido 
escoando do ponto (x,y,z), por unidade de volume. Se div F = 0, então F é 
chamado incompressível. 
Formas vetoriais do Teorema de Green: 
 
Na primeira, se F é o campo de velocidade de um fluido, então a expressão 
indica a circulação de F em C. 
Na segunda, a expressão é o fluxo de F através de C e mede a quantidade de 
material que sai da região limitada por C. 
Superfícies parametrizadas e suas áreas 
Podemos escrever uma superfície por uma função vetorial r(u,v): 
 
chamada superfícies parametrizada e cujas equações paramétricas são: 
 
A superfície S é traçada pela ponta do vetor posição r(u,v) quando (u,v) se move 
na região D. 
 
 
Vitor Carneiro Nolli Moura 
 
Planos tangentes 
Tomando a superfície parametrizada como foi mostrado acima, podemos 
determinar o plano tangente a ela da seguinte forma: 
Primeiro tomamos as derivadas parciais de r em relação a u e v: 
 
Se ru x rv não é 0, então a superfície S é dita lis (sem “bicos”). Para uma superfície 
lisa, o plano tangente é calculado fazendo o produto vetorial de ru e rv. 
ru x rv = ||
𝑖 𝑗 𝑘
𝑑𝑥(𝑢,𝑣)
𝑑𝑢
𝑑𝑦(𝑢,𝑣)
𝑑𝑢
𝑑𝑧(𝑢,𝑣)
𝑑𝑢
𝑑𝑥(𝑢,𝑣)
𝑑𝑣
𝑑𝑥(𝑢,𝑣)
𝑑𝑣
𝑑𝑥(𝑢,𝑣)
𝑑𝑣
|| = vetor normal do plano tangente. 
A equação do plano por fim é dada por: 
i(x-x0) + j(y-y0) + k(z-z0) = 0, onde i,j,k foram encontrados em ru x rv. 
Exemplo: Sendo o vetor n = -2vi -4uj +4uvk, a equação do plano tangente no 
ponto (1,1,3) e os valores de u=1 e v=1, é dada por: 
-2(x-1) – 4(y-1) + 4(z-3) = 0  x + 2y -2z + 3 = 0 
Área de superfície 
Se uma superfície parametrizada lisa S é dada pela equação: 
r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k, (u,v) ϵ D e S é coberta uma única vez quando 
(u,v) varre todo o domínio D dos parâmetros, então a área da superfície S é: 
𝐴(𝑆) = ∬‖𝐫u x 𝐫v‖ 𝑑𝐴
 
𝐷
 
 
Nos casos em que z = f(x,y), x=x e y=y, temos que: 
 
 
Vitor Carneiro Nolli Moura 
 
Integrais de superfície 
Superfícies parametrizadas: 
Se as componentes são contínuas e ru e rv são não nulos e não paralelos no 
interior de D, pode ser mostrado que: 
 
Essa fórmula nos permite calcular a integral de superfície, convertendo-a em 
uma integral dupla sobre o domínio dos parâmetros D. Quando usamos essa 
fórmula, precisamos lembrar que f(r(u,v)) deve ser calculada escrevendo-se 
x=x(u,v), y=y(u,v) e z=z(u,v) na fórmula de f(x,y,z). 
Superfícies orientadas: 
Superfície S que tem um plano tangente em todos os pontos (x,y,z) sobre S 
(exceto nos ponto da fronteira). Em cada ponto (x,y,z) existem dois vetores 
normais unitários n1 e n2 = -n1. Se for possível escolher um vetor normal unitário 
n em cada ponto (x,y,z) de modo que n varie continuamente sobre s, então S é 
chamada superfície orientada, e a escolha de n fornece a S uma orientação. 
 
Se S for uma superfície orientada lisa na forma paramétrica pela equação vetorial 
r(u,v), então ela está automaticamente associada à orientação do vetor normal 
unitário: 
 A orientação oposta é dada por –n. 
 
Para uma superfície fechada, isto é, uma superfície 
que seja a fronteira de uma região sólida E, a convenção é que a orientação 
positiva é aquela para a qual os vetores normais apontam para fora de E, e os 
vetores normais que apontam para dentro correspondem à orientação negativa. 
 
Positiva . Negativa 
 
 
 
Vitor Carneiro Nolli Moura 
 
Integrais de superfície de campos vetoriais 
 
Essa definição diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre S é 
igual à integral de superfície de sua componente normal em S. Se r(u,v) é uma 
função vetorial dada, temos: 
onde D é o 
domínio dos 
parâmetros. 
 
A integral representa o fluxo de F em S. 
Teorema de Stokes 
Pode ser visto como uma versão em dimensão maior do Teorema de Green. O 
Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S 
com uma integral em torno da curva fronteira C (que é uma curva no espaço). 
Essa curva C no espaço é fechada, simples, suave por partes e orientada 
positivamente e S é lisa por partes e orientada, tal que C é o bordo ou fronteira 
de S. Sendo assim, o Teorema de Stokes é dado por: 
Ele nos diz que a integral de linha 
em torno da curva fronteira de S da 
componente tangencial de F é igual 
à integral de superfície da 
componente normal do rotacional 
de F. Dizemos que C está orientada 
positivamente se ao caminharmos 
sobre C com a cabeça na direção e 
sentido do normal de S, a superfície 
permanece à nossa esquerda. 
 
 
 
 
 
Vitor Carneiro Nolli Moura 
 
Teorema do Divergente 
Seja E uma região sólida e seja S a superfície fronteira de E, orientada 
positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funções componentes 
tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. 
Sob as condições dadas, o fluxo de F 
pela superfície fronteira de E é igual à 
integral tripla do divergente de F em E. 
Seja F = Pi + Qj + Rk, então: 
∭ 𝑑𝑖𝑣 𝐹 𝑑𝑉
 
𝐸
= ∭ 𝑃𝑥 
 
𝐸
+ 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 𝑑𝑉