Desenho Basico desenho geomtrico

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Desenho Básico 
Professora: Karla Cavalcanti 
karlarq@gmail.com 
Engenharia Civil 
A maioria das definições e dos exercícios aqui colocados foram tirados das apostilas de : 
BORGES, Aldan Nóbrega. Desenho Técnico. Governo Federal Ministério de Educação. Equipe SEDIS: Universidade Federal do Rio Grande do Norte. 
Engenharia Civil 1 
D
e
se
n
h
o
 
G
e
o
m
é
tr
ic
o
 
Desenho Básico 
DESENHO GEOMÉTRICO 
 
•É um conjunto de técnicas para construção 
de formas geométricas. 
 
•Representar figuras planas e resolver com 
régua e compasso, os problemas relativos à 
geometria plana. 
 
IMPORTÂNCIA: A precisão exigidas ao desenho geométrico torna-o aliado importante na 
aplicação de conceitos da geometria em áreas significativas do conhecimento humano, 
como a arquitetura, a engenharia, o desenho industrial, entre outros. 
GEOMETRIA PLANA 
 
•Geometria Plana é o estudo das 
propriedades relativas a pontos, linhas, 
planos e superfícies. 
DEFINIÇÕES 
•Com o desenvolvimento dos programas de desenho ajudado por computador 
(CAD), o desenho geométrico passou a ter mais importância levando-se em conta a 
imensa precisão dos programas de computadores. 
ELEMENTOS FUNDAMENTAIS DA GEOMETRIA 
Por serem considerados entes primitivos, o ponto, a reta e o plano, elementos 
fundamentais da Geometria, não possuem definição. 
Ponto 
Linha 
Reta 
Plano 
Ponto 
O ponto é representado graficamente pela interseção de duas entidades 
geométricas, tais como: duas retas; uma reta e um arco ou dois arcos. O ponto 
não tem dimensão e é indicado por letras maiúsculas (A, B, C...). 
Linha 
A linha é o resultado do deslocamento de um ponto no espaço ou num plano. Em 
desenho, é expressa graficamente pelo deslocamento do lápis sobre o papel. 
Desse modo, podemos interpretar a linha no mundo do desenho como sendo a 
trajetória descrita por um ponto ao se deslocar. Como vemos, a linha tem uma só 
dimensão: o comprimento. 
Dada a importância e características especiais deste ente geométrico e sua 
grande aplicação em Geometria e Desenho, faremos seu estudo de forma 
mais detalhada a seguir. 
Reta 
•A reta pode ser considerada como o 
resultado do deslocamento linear de um 
ponto, não possuindo, portanto, início e 
fim. 
 
•Possui apenas uma dimensão, o 
comprimento, e é representada 
graficamente por um traço retilíneo, 
cuja representação tem como indicação 
as letras minúsculas(a, b, c...). 
 
•Observe que a reta possui infinitos 
pontos, porém pode ser determinada 
por apenas dois pontos distintos (AB). 
 
•Podem ser traçadas infinitas retas que 
passam por um único ponto, portanto, 
podemos afirmar que um único ponto 
num plano define infinitas retas. 
 
 
 
 
r 
a 
Por uma reta passam infinitos planos. 
 
 
 
Plano 
•O Plano tem sua representação 
gráfica indicada por letras do 
alfabeto grego, tais como: alfa, 
beta, gama... 
 
•É importante ressaltar que, 
como a reta, o plano possui 
infinitos pontos. 
 
•Também, sabe-se que por três 
pontos não colineares – pontos 
que não pertencem a uma 
mesma reta – ou um ponto e 
uma reta, que não o contenha, 
também definem um plano. 
A SEMIRRETA 
•A semirreta pode ser entendida como o deslocamento linear de um 
ponto, sem variar a direção, entretanto, tem um ponto como origem. 
 
•Desse modo, a semirreta é infinita em apenas uma direção. 
 
•Assim sendo, pode-se afirmar que um ponto qualquer, pertencente a 
uma determinada reta, divide-a em duas semirretas. 
 
semirreta de origem no ponto A e que passa pelo ponto B (AB) 
 
semirreta de origem no ponto C e que passa pelo ponto D (CD) 
 
Um ponto qualquer, 
pertencente a uma reta, 
divide a mesma em 
duas semirretas 
A B M 
N 
Segmento AB Segmento MN 
•O segmento de reta é a porção de uma reta, a qual fica limitada por dois 
de seus pontos. 
 
•O segmento de reta é, portanto, limitado e podemos atribuir-lhe um 
comprimento. 
 
•Sua representação á dada pelos dois pontos que o limitam e que são 
chamados de extremidades do segmento 
O SEGMENTO DE RETA 
Sendo uma parte limitada da reta, o segmento pode ser medido. medir uma grandeza significa comparar, 
estabelecendo diferenças ou semelhanças. 
Exemplo de unidade de medida linear: O metro, seus múltiplos e submúltiplos. 
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 
•Ponto médio de um segmento de reta é o ponto desse 
segmento que o divide em dois segmentos congruentes. 
SEGMENTOS COLINEARES 
•São segmentos de reta que pertencem a uma mesma reta, a qual 
denominamos de reta suporte. 
A B C D 
r 
Segmento CD Segmento AB 
SEGMENTOS CONSECUTIVOS 
•São segmentos de reta dispostos um após o outro, cuja 
extremidade de um coincide com a extremidade do outro. 
•São retas que pertencem ao mesmo plano 
RETAS COPLANARES 
a 
r 
s 
t 
RETAS CONCORRENTES OU SECANTES 
•são retas coplanares que concorrem, isto é, cruzam-se num mesmo 
ponto. Por conseguinte, esse ponto é comum às duas retas. 
a 
r 
s 
A 
POSIÇÕES DE UMA RETA 
Horizontal - é a posição de uma reta que corresponde à linha do 
horizonte marítimo. 
c 
Vertical - é a posição de uma reta que corresponde à direção do 
fio de prumo¹. 
a 
1- Instrumento utilizado pelo pedreiro, cuja finalidade é a de alinhar verticalmente uma parede ou muro. 
Oblíqua ou inclinada – consiste na exceção às duas posições de reta 
mencionadas anteriormente. Isto significa dizer que a reta oblíqua ou 
inclinada não está nem na posição horizontal, nem na posição vertical. 
m 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS 
 Perpendiculares – São retas que se cruzam formando um ângulo reto, ou 
seja, igual a 90°(noventa graus). 
 
r 
s 
m 
n 
Paralelas – São retas que conservam entre si sempre a mesma distância, 
isto é, não possuem ponto em comum. 
r 
s 
m 
n 
p q 
Oblíquas ou Inclinadas – São retas que se cruzam formando um ângulo 
qualquer, diferente de 90°. 
r 
s 
m 
n 
MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO DE RETA 
•Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento e 
que passa pelo ponto médio desse segmento. 
DISTÂNCIAS 
Um outro assunto de grande relevância para nossa disciplina é a 
determinação das seguintes distâncias: 
a) Entre dois pontos: dados dois pontos A e B, chama-se de distância de A e B a 
medida do segmento AB, cuja notação é d(A,B). 
b) De um ponto a uma reta: consideremos um ponto P e uma reta r. Chama-se de 
distância de um ponto P a reta r, a medida do segmento que tem uma 
extremidade em P e a outra em r e que é perpendicular a r. A notação neste caso 
é d(P,r). 
r) 
c) Entre duas retas paralelas entre si: chama-se de distância de duas retas 
paralelas, a distância de um ponto qualquer de uma delas a outra reta. Sua 
notação é d(r, s). 
s) 
Utilizaremos apenas a régua e o compasso como instrumentos básicos de desenho 
para a resolução dos problemas geométricos propostos. Assim sendo, o traçado, a 
construção e as operações gráficas deverão dispensar o uso do par de esquadros 
durante todo nosso estudo que envolve diretamente o Desenho Geométrico. 
OPERAÇÕES BÁSICAS COM SEGMENTOS 
TRANSPORTE DE SEGMENTOS 
Transportar um segmento de reta significa traçar, sobre uma reta suporte, 
outro segmento que seja congruente ao primeiro. Operação esta bastante 
simples, em que o compasso é o instrumento extremamente útil no 
cumprimento dessa tarefa. 
APLICAÇÃO 1 
Dado o segmento de reta AB, transportá-lo para uma reta suporte r: 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suporte r; 
•Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto A sobre a reta r; 
•Com o auxílio do compasso,repouse sua ponta seca sobre A e sua ponta 
de grafite sobre B em AB dado; 
•Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior, 
centre-o em A e trace um arco, de tal maneira que cruze a reta r. 
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta AB, sobre a reta suporte 
r, cuja medida linear é exatamente a mesma do segmento AB dado 
graficamente. 
A(s) solução(ões) gráfica(s) deve(m) ser sempre destacada(s) com um traço 
mais forte (espesso). 
APLICAÇÃO 2 
Dada reta r, trace o segmento de reta AB, cuja medida é igual a 4,1cm. 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta suporte r; 
•Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto A sobre a reta r; 
•Com o auxílio do compasso e da régua, coloque sua ponta seca na 
graduação 0 (zero) da régua e a de grafite sobre a graduação 4,1cm; 
•Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior, 
centre-o em A e trace um arco, de tal maneira que cruze a reta r. 
 
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta AB, sobre a reta suporte 
r, cuja medida linear é exatamente 4,1cm. 
SOMA E DIFERENÇA ENTRE SEGMENTOS DE RETA 
Com base nos conhecimentos adquiridos no transporte de segmentos, 
podemos afirmar que somar (ou subtrair) dois ou mais segmentos de 
reta significa transportá-los consecutivamente sobre uma reta suporte, 
respeitando-se o acréscimo ou o decréscimo linear que essa operação 
proporciona, conforme estejamos operando uma soma ou uma 
subtração, respectivamente. 
APLICAÇÃO 
Dados os segmentos AB e CD, faça o que se pede a seguir: 
a) Sobre uma reta suporte s, determine a soma AB + CD. 
b) Sobre uma reta suporte u, determine a diferença AB - CD. 
a) 
b) 
MULTIPLICAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RETA POR UM ESCALAR (UM 
NÚMERO) 
A multiplicação de um segmento de reta por um número, nada mais é do 
que a soma consecutiva desse segmento por ele mesmo, quantas vezes 
sejam necessárias, de modo a atender ao número de vezes desejado. 
Dado o segmento de reta AB, trace o segmento de reta de medida igual a 
3 x AB: 
APLICAÇÃO 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta suporte s qualquer; 
•Com o auxílio da lapiseira, marque o ponto 1 sobre a reta s; 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e sua ponta 
de grafite sobre B, em AB dado; 
•Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior, centre-
o em 1 e trace um arco, de tal maneira que cruze a reta s, obtendo-se 2. 
•Repita a operação anterior por duas vezes, marcando consecutivamente a 
12 e a partir do ponto 2, o segmento de reta AB, conforme figura abaixo. 
 
 
 
Desse modo, obtemos o novo segmento de reta 14, sobre a reta suporte s, 
cuja medida linear corresponde graficamente a multiplicação solicitada. 
 
EXERCÍCIO: 
Qual deverá ser a medida do segmento de reta resultante da seguinte 
operação: (3 x s1) – (2 x s2), sabendo que s1 = 2,6cm e s2 = 1,8cm? 
DETERMINAÇÃO OU CONSTRUÇÃO DA RETA MEDIATRIZ 
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento 
e que passa pelo ponto médio desse segmento, dividindo-o, 
conseqüentemente, em dois segmentos consecutivos e congruentes. 
Determinar a Mediatriz do segmento de reta AB, dado: 
APLICAÇÃO 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre A e, com uma 
abertura qualquer do compasso, trace uma circunferência cujo raio seja 
maior do que a metade do segmento dado; 
•Conservando a abertura do compasso obtida na operação anterior, centre-
o em B e repita a operação anterior, observando que as circunferências se 
cruzam formando dois pontos: 1 e 2. 
•Os pontos 1 e 2, obtidos anteriormente, determinarão a reta Mediatriz 
desejada, tendo em vista que ambos, 1 e 2, se posicionam no plano de 
trabalho (folha) de modo que ficam eqüidistantes dos extremos do 
segmento de reta AB dado. 
•Passando por 1 e 2, trace a reta Mediatriz (m) solicitada. 
 
 
A reta Mediatriz 
(m) determina, ao 
cruzar com o 
segmento de reta 
AB dado, o Ponto 
Médio (M) desse 
segmento e o 
divide em dois 
segmentos 
congruentes (AM e 
MB). 
A Mediatriz de um 
dado segmento de 
reta AB é o Lugar 
Geométrico dos 
pontos eqüidistantes 
dos extremos desse 
segmento, ou seja, 
dos pontos A e B. 
Lugar Geométrico, 
por sua vez, é o lugar 
onde todos os pontos 
de uma figura, e 
somente eles, gozam 
de certas 
propriedades. 
DEFINIÇÃO DE ÂNGULO 
Ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas que têm a 
mesma origem. 
•Vértice - é o ponto de origem 
comum das duas semirretas. 
 
•Lado – é cada uma das 
semirretas. 
 
•Abertura - é a região 
compreendida entre as duas 
semirretas. Ela define a região 
angular, que é a região que 
delimita o próprio ângulo. 
ELEMENTOS DO ÂNGULO 
Um ângulo é representado, por exemplo, por AÔB, BÔA, Ô, ou ainda 
uma letra grega. 
REPRESENTAÇÃO DE UM ÂNGULO 
A unidade de medida mais empregada para medir ângulos é o grau. Um 
grau corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais. Seus 
submúltiplos são: o minuto e o segundo, cujas relações são, 
respectivamente: 1º=60’ e 1’=60”. 
CLASSIFICAÇÃO DE UM ÂNGULO 
Um ângulo se classifica, quanto à abertura dos lados, em: 
 
•Reto, quando a sua abertura mede 90º; 
 
•Agudo, quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º; 
 
•Obtuso, quando sua medida é maior que 90º e menor que 180º; 
 
•Raso ou de meia volta, quando mede 180º; 
 
•De volta inteira, quando mede 360º; 
 
•Nulo, quando não existe abertura, ou seja, mede 0º. 
POSIÇÕES RELATIVAS DE ÂNGULOS 
Dois ou mais ângulos podem ocupar posições particulares entre si, as 
quais recebem nomes específicos, tais como: 
 
•Ângulos consecutivos, quando possuem em comum o vértice e um 
dos lados.; 
•Ângulos adjacentes são, antes de mais nada, ângulos consecutivos, e 
que não têm pontos internos comuns. 
•Ângulos complementares, quando a soma de suas medidas é igual a 
90º; 
•Ângulos suplementares, quando a soma de suas medidas é igual a 
180º; 
•Ângulos replementares, quando a soma de suas medidas é igual a 
360º. 
A Bissetriz de um ângulo é a 
semirreta que tem origem no vértice 
do ângulo e o divide em dois ângulos 
adjacentes e congruentes 
OPERAÇÕES BÁSICAS COM ÂNGULOS 
Utilizaremos apenas a régua e o compasso como instrumentos básicos 
de desenho para a resolução dos problemas geométricos propostos. 
Assim sendo, o traçado, a construção e as operações gráficas deverão 
dispensar o uso do par de esquadros durante todo nosso estudo que 
envolve diretamente o Desenho Geométrico. 
Transporte o ângulo AÔB dado para a semirreta de origem G, dada: 
APLICAÇÃO 
TRANPORTE DE ÂNGULOS 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre O e, com 
uma abertura qualquer, trace um arco de circunferência maior que a 
abertura do ângulo dado, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
•Com essa operação, encontramos os pontos 1 e 2, os quais determinam, 
graficamente, uma corda do arco de circunferência traçado. Observando 
atentamente, percebemos que a corda 12 corresponde à abertura do ângulo 
dado; 
 
•Com o auxílio do compasso, trace outro arco de mesmo raio, tomando G como 
ponto de origem e, logo em seguida, transporte a corda 12 para o ponto 3, 
encontrando, assim, o ponto 4. 
 
 
•Trace uma semirreta de origem G, passando pelo ponto 4 e destaque a 
solução do problema com um traço mais forte e com a indicação do ângulo 
transportado, conforme podemos observar abaixo: 
 
•O ângulo 4Ô3 é a solução do problema, tendo em vista que é congruente ao 
ângulo AÔB. 
Da mesma forma que podemos somar ou subtrair segmentos de 
reta, as operações aritméticas em pauta se aplicam aos ângulos.Todo o procedimento resolutivo e soluções ocorrem de forma 
completamente gráfica, atendendo à finalidade do Desenho 
Geométrico. 
SOMA E DIFERENÇA ENTRE ÂNGULOS 
APLICAÇÃO (SOMA) 
Determine o ângulo resultante da soma AÔB + CÔD. 
 
•Com o auxílio do compasso, transporte o ângulo AÔB para a semirreta 
de origem Z; 
 
•Consecutivamente, transporte o ângulo CÔD, adjacente ao ângulo 
AÔB, conforme podemos ver na figura abaixo. 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
O ângulo 2Z3 é, portanto, a solução do problema. 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
•Igualmente a soma, transporte, 
com o auxílio do compasso, o 
ângulo AÔB para a semirreta de 
origem Z; 
 
•Consecutivamente, transporte o 
ângulo CÔD. Observe que a 
marcação do ângulo CÔD ocorre no 
sentido horário, tendo em vista que 
queremos obter um ângulo 
resultante da subtração de ângulos; 
 
•O ângulo 2Z3 é, portanto, a 
solução do problema. 
 
APLICAÇÃO (DIFERENÇA) 
Determine o ângulo resultante da diferença AÔB - CÔD. 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
APLICAÇÃO 1 
Dado o ângulo beta, conforme a figura abaixo, traçar a sua bissetriz: 
 
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre a origem O 
e, com qualquer abertura, trace um arco, de modo que este cruze os 
lados de beta, determinando os pontos 1 e 2; 
 
Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre 1 e, com 
qualquer abertura, trace um arco, em busca de um ponto equidistante 
de 1 e 2; 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre 2 e, com a 
mesma abertura do compasso utilizada no passo anterior, trace um arco 
que cruze o arco determinado anteriormente, encontrando o ponto 3; 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a semirreta que tem origem 
em O e passa por 3. Esta, portanto, é a solução do problema. 
APLICAÇÃO 2 
Traçar a bissetriz de um ângulo formado por duas retas não 
paralelas entre si, cujo encontro dessas retas (vértice do ângulo) é 
desconhecido. 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta transversal 
qualquer, determinando, assim, os pontos 1, e 2, e os ângulos alfa, 
beta, gama e delta. 
 
•Utilizando-se da bissetriz como ferramenta, determine os pontos de 
interseção entre as bissetrizes (Pb1 e Pb2); 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta que passa por Pb1 e 
Pb2, a qual será a solução do problema, conforme pode ser observado 
na última figura demonstrativa. 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS 
Daremos início construindo o ângulo de 60°, tendo em vista que este é um 
ângulo básico para o traçado dos demais ângulos que serão construídos 
adiante. 
APLICAÇÃO 01 
Construir um ângulo de 60° a partir da origem da semi reta OA dada. 
Aproveitando a construção do ângulo de 60°, construir o ângulo de 
30°. 
O A 
r 
s 
r 
s 
r 
s 
α β 
γ δ 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre a origem O da 
semi reta dada e, com qualquer abertura, trace um arco bastante 
generoso (ângulo obtuso), determinando o ponto 1 nessa semirreta; 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre o ponto 1 e, 
com a mesma abertura, trace um arco em busca de encontrar o ponto 2. 
Observe que o segmento de reta 12 é congruente ao raio do primeiro arco 
traçado, significando que o ângulo 2Ô1 mede 60º, pois o triângulo 2Ô1 é 
equilátero; 
 
•Traçando a bissetriz do ângulo de 60º, iremos obter o ângulo de 30º, 
conforme pode ser observado na última figura demonstrativa abaixo. 
 
APLICAÇÃO 02 
Construir um ângulo de 90º e outro de 75º a partir da origem da semi 
reta OA dada. 
O A 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
Exercício sala de aula: fazer o passo a passo da operação gráfica. 
75° = 60° + 15° = 90° - 15° 
EXERCÍCIO CASA: 
Com base nas aplicações anteriores, trace semirretas e, a partir de cada origem 
dessas semirretas, construa os ângulos de 45º, 105º, 120º, 135º, 150º e 165º, 
respectivamente. 
TRAÇADO DE RETAS PERPENDICULARES ENTRE SI 
APLICAÇÃO 01 
Por um ponto A, dado, traçar uma reta perpendicular à reta r dada. Neste 
caso, o ponto A pertence à reta r 
A 
r 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre o ponto A 
dado e, com qualquer abertura, trace dois arcos de modo que os 
mesmos cruzem a reta r dada, determinando os pontos 1 e 2, 
eqüidistantes de A; 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre o ponto 1 e, 
com abertura qualquer – desde que seja maior que a metade do 
segmento 12 -, trace um arco em busca de encontrar o ponto 3. Repita 
essa operação a partir do ponto 2, utilizando-se da mesma abertura 
anterior do compasso; 
 
•Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 3 e A, a qual é a solução 
do problema, como pode ser vista na última figura demonstrativa. 
Observe que a reta solução é a mediatriz do segmento de reta 12. 
Por um ponto A, dado, traçar uma reta perpendicular à reta r dada. Neste caso, 
o ponto A não pertence à reta r 
APLICAÇÃO 02 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre o ponto A 
dado e, com uma abertura maior do que a distância de A à r, trace um 
arco de modo que cruze a reta r e determine os pontos 1 e 2, 
eqüidistantes de A. 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre o ponto 1 
e, com abertura qualquer – desde que seja maior que a metade do 
segmento 12 -, trace um arco em busca de encontrar o ponto 3. 
Repita essa operação a partir do ponto 2, utilizando-se da mesma 
abertura anterior do compasso; 
 
•Por fim, trace a reta determinada pelos pontos 3 e A, a qual é a 
solução do problema, como pode ser vista na última figura 
demonstrativa. Observe que a reta solução é a mediatriz do segmento 
de reta 12. 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
Traçar, a partir da origem da semirreta OA dada, uma reta perpendicular. 
Neste caso, a reta perpendicular a ser traçada deve ser levantada a partir da 
construção do ângulo de 90°. 
APLICAÇÃO 03 
O A 
TRAÇADO DE RETAS PARALELAS ENTRE SI 
Traçar uma reta paralela a reta r e que passe pelo ponto A dado. Neste 
caso, utilizaremos o transporte de ângulos como ferramenta. 
APLICAÇÃO 01 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta transversal 
qualquer à reta r dada que passe pelo ponto A, determinando, assim, o 
ponto 1; 
 
•Com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre o ponto 1 e, 
com abertura qualquer, trace um arco que cruze a reta r e a reta 
transversal, determinando os pontos 2 e 3; 
 
•Repita a operação passada, tomando o ponto A como origem. Desse 
modo, determinamos o ponto 3’; 
 
•Com a abertura igual ao segmento de reta 23, trace um arco com 
origem em 3’ até encontrar o ponto 2’; 
 
•Por fim, trace a reta determinada pelos pontos A e 2’, a qual é a solução 
do problema, como pode ser vista na última figura demonstrativa. 
 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
Traçar uma reta paralela à reta r e que passe pelo ponto A dados. Neste 
caso, tomaremos como base o conhecimento em quadriláteros e suas 
principais propriedades . 
APLICAÇÃO 02 
 
•Com o auxílio do compasso, trace um arco com abertura maior que 
a distância entre o ponto A e a reta r dados, tomando o ponto A 
como centro e cruzando a reta r, determinando, assim, o ponto 1; 
 
•Repita a operação passada, tomando o ponto 1 como origem. 
Desse modo, o arco passa pelo ponto A e, ao cruzar a reta r, 
determina o ponto 2; 
 
•Com abertura 2A, centre o compasso em 1 e trace um arco que 
determine o ponto 3; 
 
•Por fim, trace a reta determinada pelos pontos A e 3, a qual é a 
solução do problema, como pode ser vista na última figura 
demonstrativa. 
 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
DIVISÃO DE SEGMENTOS 
Dividir um segmento de reta em partes iguais significa dizerque esse 
segmento será dividido em segmentos de retas congruentes entre si. 
Dividir o segmento de reta AB em 4 (quatro) partes iguais. 
APLICAÇÃO 01 
 
•Com o auxílio do compasso, encontre o ponto médio do segmento de 
reta AB, doravante denominado P1. Ao encontrar P1, o segmento reta 
AB fica dividido em duas partes iguais; 
 
•Com o auxílio do compasso, encontre o ponto médio do segmento de 
reta AP1, doravante denominado Pm2. Ao encontrar Pm2, o segmento 
reta AP1 fica dividido em duas partes iguais; 
 
•Com o auxílio do compasso, encontre o ponto médio do segmento de 
reta P1B, doravante denominado P3. Ao encontrar P3, o segmento de 
reta P1B fica dividido em duas partes iguais; 
 
•Observemos, por fim, que o segmento de reta AB foi dividido em 4 
partes iguais, conforme solicitado no enunciado do problema. Esse 
resultado pode ser visto na última figura demonstrativa 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
Dividir o segmento de reta AB em 3 (três) partes iguais. 
APLICAÇÃO 02 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma semirreta, a partir 
do ponto A, formando um ângulo qualquer com o segmento de reta 
a ser dividido; 
 
•Como temos que dividir o segmento dado em 3 partes iguais, 
marcamos, consecutivamente, 3 arcos com raio qualquer, porém, 
congruentes entre si, obtendo-se os pontos 1, 2 e 3; 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta que passe 
pelos pontos B e 3, os quais são extremos dos segmentos em 
operação; 
 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
•Transporte o ângulo Alfa, cuja origem é o ponto 3, para os pontos 2 e 1. 
Esse transporte de ângulos gera retas (r2 e r3), paralelas a r1 que 
interceptam o segmento de reta AB de forma a dividi-lo em 3 segmentos 
congruentes e consecutivos; 
 
•Por fim, podemos afirmar que os segmentos A1’, 1’2’ e 2’B 
correspondem a 1/3 do segmento AB, a qual é a solução do problema, 
como pode ser vista na última figura demonstrativa. 
EXERCÍCIO: 
EXERCÍCIO: 
 
Dividir o segmento de medida igual a 7cm em 5(cinco) partes proporcionais a 
1(um). 
POLÍGONOS 
É uma figura plana, fechada, formada por segmentos de reta 
consecutivos não colineares. Polígonos é uma palavra formada pela 
fusão de duas expressões: Poli, que tem origem grega e significa vários 
e, Gono, de mesma origem, significando ângulos. 
 
Existem dois tipos de polígonos; o Convexo (figura 01) e o Côncavo 
(figura 02). Trabalharemos, no entanto, apenas com os polígonos do 
tipo Convexo. 
Os polígonos são constituídos pelos seguintes elementos (figura 03): 
 
•Lados (a, b, c, d e e), Vértices (A, B, C, D e E), ângulos internos (Ex.:108º) e 
ângulos externos (Ex.:72º ); 
•Perímetro: é a soma das medidas de seus lados (2P= a + b + c +d +e); 
•Diagonal: todo segmento de reta com extremidades em dois vértices não 
consecutivos de um polígono. 
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO 
Quanto ao número de lados, os polígono são denominados: 
 
Número de lados Nome 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
13 Tridecágono 
14 Tetradecágono 
15 Pentadecágono 
16 Hexadecágono 
17 Heptadecágono 
18 Octadecágono 
19 Eneadecágono 
20 Icoságono 
NOMENCLATURA 
Um polígono convexo é regular quando tem todos os lados congruentes e 
todos os ângulos internos congruentes entre si. Apresentamos abaixo 
alguns exemplos de polígonos regulares: 
 
•Quadrilátero regular: Quadrado; 
•Hexágono regular; 
•Triângulo regular: Equilátero. 
POLÍGONO REGULAR 
O polígono que tem lados congruentes é denominado equilátero. 
O polígono que tem os ângulos congruentes é denominado equiângulo. 
TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 
TRIÂNGULOS 
Triângulo é o polígono de três lados e três ângulos (figura 04). Nesse 
contexto, é importante destacar que Polígono é a reunião de uma 
poligonal fechada simples com o seu interior. 
Os triângulos são formados pelos seguintes elementos (figura 05): 
•Lados (a, b e c), Vértices (A, B e C) e ângulos internos (68º, 48º, 64º) e 
externos (132º,116º ,112º ); 
•Perímetro: é a soma das medidas de seus lados; (2P = a + b + c); 
•Área: é a medida da superfície ou região interna limitada pelos seus lados. 
ELEMENTOS FORMADORES 
TEOREMAS 
 
•Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é 
igual a 180 ° (figura 06). 
 
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo qualquer é igual à 
soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (figura 
07). 
 
•Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados. 
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIMENSÃO DOS LADOS 
 
•Triângulo Escaleno: não possui lados congruentes: a ≠ b ≠ c. Nesse 
contexto, é importante destacar que um triângulo que não possui lados 
congruentes, não possui, também, ângulos internos congruentes. 
 
•Triângulo Isósceles: possui dois lados congruentes a=b. Nesse contexto, é 
importante destacar o seguinte: 
 
 
I. O ângulo compreendido entre os lados congruentes é o ângulo do 
vértice do triângulo isósceles; 
 
II. O lado oposto ao ângulo do vértice é a base do triângulo isósceles; 
 
III. Os ângulos da base são congruentes. 
 
 
•Triângulo Equilátero: possui os três lados congruentes a=b=c. Ressalta-se 
que os três ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes 
entre si. Daí se deduz que cada um deles mede 60°. 
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À NATUREZA DOS ÂNGULOS 
 
•Triângulo Acutângulo: 
possui os três ângulos 
internos agudos. 
~ ~ 
 
•Triângulo Retângulo: possui um 
ângulo interno reto. Observe 
que, num Triângulo Retângulo, o 
lado oposto ao ângulo reto é 
denominado hipotenusa e os 
lados que formam o ângulo reto 
são denominados catetos. 
 
•Triângulo Obtusângulo: possui 
um ângulo interno obtuso 
CEVIANAS 
Ceviana é todo segmento de reta que tem extremidade num vértice 
qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta 
suporte do lado oposto a esse vértice. 
CEVIANAS NOTÁVEIS 
 
Mediana: é toda ceviana 
que tem extremidade no 
ponto médio de um lado; 
 
Bissetriz interna: é toda 
ceviana que divide um 
ângulo interno em dois 
ângulos adjacentes e 
congruentes; 
 
Altura: é toda ceviana 
perpendicular a um lado ou 
ao seu suporte. 
Nesse contexto, é importante enfatizar o seguinte: 
 
I. A Altura é a única ceviana que pode ser externa (no triângulo 
obtusângulo), ou mesmo coincidir com um lado (no triângulo retângulo). 
 
II. A Mediana, a Bissetriz interna e a Altura, relativas a um mesmo vértice, 
são cevianas distintas, mas as três coincidem quando relativas à base de 
um triângulo isósceles, e nesse caso estão ainda contidas na mediatriz da 
base. 
PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 
Para qualquer triângulo valem as seguintes propriedades: As três 
medianas, as três Bissetrizes internas, as retas suportes das três alturas e 
as mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto. Esses pontos de 
encontro das cevianas notáveis e das mediatrizes são denominados 
pontos notáveis. 
 
•Baricentro: é o ponto onde concorrem as 
medianas de um triângulo qualquer, e está 
ligado ao centro de gravidade da figura. 
 
I. Propriedade: O baricentro de um triângulo 
divide cada mediana na razão de 2 para 1 a 
partir do vértice. 
 
•Incentro: é o ponto onde concorrem as 
bissetrizes internas de um triângulo qualquer. 
 
I. Propriedade: O incentro é o centro da 
circunferência inscrita num triângulo. 
 
•Ortocentro: é o ponto onde concorrem as retas suportes das alturas de um 
triângulo qualquer. 
 
O Ortocentro pode ser interno (no Triângulo Acutângulo), externo (no triângulo 
obtusângulo) ou coincidente com um vértice(no triângulo retângulo). 
DICA: Quando se trata de desenhar as três medianas, as três bissetrizes ou as 
três alturas, basta construir duas delas, pois a terceira passa pelo vértice 
restante e pelo ponto de interseção das duas primeiras. 
 
•Circuncentro: é o ponto onde concorrem as mediatrizes dos lados de um 
triângulo qualquer. 
 
I. Propriedade: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um 
triângulo. 
Circuncentro pode ser interno (no triângulo Acutângulo), externo (no 
triângulo obtusângulo) ou pertencer a um lado (no triângulo retângulo). 
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS 
Construir um triângulo equivale a determinar três pontos não colineares 
no plano. 
Um triângulo fica bem determinado em forma e tamanho quando dele 
são conhecidos três elementos, sendo pelo menos um deles linear, isto 
é, um lado ou uma altura ou uma mediana, etc. 
 
Casos particulares - Triângulos Notáveis 
 
I. Triângulo retângulo: dado uma condição (um ângulo), são 
necessários dois elementos; 
 
II. Triângulo Isósceles: dado uma condição (dois lados congruentes), 
são necessários dois elementos; 
 
III. Triângulo Equilátero: dado duas condições (ângulos e lados 
congruentes), é necessário um elemento; 
PROPRIEDADES 
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO 
A medida de cada um de seus lados é sempre menor que a soma das 
medidas dos outros dois lados. 
NORMAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO 
 
I. Imagina-se o problema já resolvido e faz-se uma figura-rascunho onde 
comparecem, além do contorno do triângulo propriamente dito, todos 
os elementos dados (alturas, medianas, etc.); 
 
II. Destacam-se os elementos dados com uma tonalidade mais 
acentuada; 
 
III. Estuda-se a figura-rascunho em busca de propriedades que permitam 
obter os vértices; 
 
IV. Determinadas tais propriedades, passa-se à construção. 
APLICAÇÃO 01 
Dados os lados a, b, e c, construa um Triângulo Qualquer: 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta suporte r; 
 
•Marque o ponto A sobre r e transporte para esta reta, com auxílio do compasso, o lado 
c, através de um arco, cujo raio é congruente à c; 
 
•Observe que nesse momento dispomos dos vértices A e B do triângulo qualquer a ser 
construído. Assim sendo, busquemos o vértice C da seguinte forma: com o auxílio do 
compasso, repouse sua ponta seca sobre A e, com abertura igual à b, trace um arco 
acima de r; com o auxílio do compasso, repouse sua ponta seca sobre B e, com abertura 
igual à a, trace um arco acima de r, de forma que cruze o arco traçado anteriormente; 
 
•Observe que nesse momento encontramos o vértice C. Ligando os vértices A, B e C, 
construímos o triângulo qualquer solicitado; 
 
•Por fim, destaque a solução do problema com um traço mais forte (espesso). 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
APLICAÇÃO 02 
Construir um Triângulo, conhecendo um lado a e os dois ângulos 
adjacentes B e C. 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta suporte r e marque o 
ponto J sobre a citada reta; 
 
•Transporte para J, com auxílio do compasso, o lado a, determinando, assim, 
o ponto K; 
 
 
•Transporte para J, com auxílio do compasso, o ângulo A e para o ponto K, o 
ângulo B; 
 
•Prolongue os lados dos ângulos transportados e obtenha o ponto P; 
 
•Observe que nesse momento dispomos dos vértices P, J e K, determinando, 
desse modo, o triângulo requerido; 
 
•Por fim, destaque a solução do problema com um traço mais forte 
(espesso). 
 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
APLICAÇÃO 03 
Construir um Triângulo Eqüilátero, conhecendo seu perímetro (2P). 
 
•Com auxílio do compasso e aplicando os conhecimentos anteriormente adquiridos em 
relação à divisão de segmentos em parte iguais, divida o segmento de reta dado (2P) em 
três partes iguais. 
 
•Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta suporte r; 
 
•Marque o ponto B sobre r e transporte para esta reta, a partir de B e com auxílio do 
compasso, um dos lados do triângulo, cuja medida você acabou de encontrar (2P/3); 
 
•Observe que nesse momento dispomos dos vértices B e C do triângulo equilátero a ser 
construído. Assim sendo, busquemos o vértice A da seguinte forma: com o auxílio do 
compasso, repouse sua ponta seca sobre B e, com abertura igual à 2P/3, trace um arco 
acima de r. Repita essa operação, tomando o ponto A como origem do segundo arco a ser 
traçado, de forma que cruze o arco anterior; 
 
•Observe que nesse momento encontramos o vértice A. Assim sendo, ligando os vértices 
A, B e C, construímos o triângulo equilátero solicitado; 
 
•Por fim, destaque a solução do problema com um traço mais forte (espesso). 
 
 
OPERAÇÃO GRÁFICA 
Quadrilátero é o polígono de quatro lados (ver figura abaixo). Nesse 
contexto, é importante lembrar que Polígono é a reunião de uma 
poligonal fechada simples com o seu interior. 
QUADRILÁTEROS 
CLASSIFICAÇÃO DOS QUADRILÁTEROS 
 
I.Paralelogramo: Retângulo; Quadrado; Losango e Rombóide. 
 
II.Trapézio: Trapézio Escaleno, Trapézio Isósceles e Trapézio 
Retângulo. 
Paralelogramo é o quadrilátero de lados opostos paralelos e 
diagonais que se cruzam no ponto médio 
PARALELOGRAMO 
Trapézio é o quadrilátero que apresenta apenas dois lados paralelos, 
chamados de bases. 
TRAPÉZIO 
Trapézio Escaleno é aquele em que todos os lados e ângulos possuem 
medidas diferentes. 
 
•Trapézio Escaleno 
 
•Trapézio Isósceles 
Trapézio Isósceles é aquele em que os lados não paralelos são iguais. 
 
•Trapézio Retângulo 
Trapézio Retângulo é aquele que apresenta dois ângulos retos 
Um quadrilátero pode ser entendido como uma composição de dois 
triângulos. Para construí-lo é necessário conhecer CINCO elementos (de um 
quadrilátero), dos quais, pelo menos um deve ser linear. Com TRÊS deles, 
constrói-se um dos Triângulos em que o quadrilátero fica dividido por uma 
de suas diagonais, e com os outros DOIS determina-se o QUARTO vértice. 
PROPRIEDADES 
 
CASOS PARTICULARES – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
 
I. Trapézio: 4 dados para construí-lo, pois 1 já é conhecido, AB//CD; 
 
II. Paralelogramo Qualquer: 3 dados para construí-lo, pois 2 já são conhecidos, 
AB//CD e BC//AD; 
 
III. Retângulo: 2 dados para construí-lo, pois 3 já são conhecidos, AB//CD, BC//AD 
e que seus ângulos são retos; 
 
IV. Losango: 2 dados para construí-lo, pois 3 já são conhecidos, AB//CD, BC//AD e 
os lados são congruentes; 
 
V. Quadrado: 1 dado para construí-lo, pois 4 já são conhecidos, AB//CD, BC//AD, 
os lados são congruentes entre si e os ângulos são congruentes entre si - retos. 
Exercício: 
1. Construir um Quadrado conhecendo-se seu lado. 
2. Construir um Losango, dados o lado (l) e a diagonal 
maior (d1) . 
•Circunferência é o lugar geométrico 
em que todos os pontos, e somente 
eles, têm a mesma distância de um 
ponto no plano denominado centro 
(O), que é o raio. 
 
 
 
• Círculo, por sua vez, é a reunião da 
circunferência com a região interior a 
ela. 
 
 
 
• A cada uma das partes do círculo 
limitada por um diâmetro, denomina-se 
Semicírculo. 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA E DO CÍRCULO 
•Corda: qualquer segmento que tem as extremidades em dois pontos 
de uma circunferência. 
 
•Diâmetro: qualquer corda que passe pelo centro de uma 
circunferência. 
 
•Ângulo central: ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. 
 
•Arco: Intersecção da circunferência com um ângulo central qualquer. 
DETERMINAÇÃO DO CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA 
Lembre-se que: 
 
•Três pontos não colineares em 
um plano determinam uma 
circunferência. 
 
•O circuncentro é o centro da 
circunferência circunscrita a 
um triângulo. 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 
•Exterior:reta e circunferência 
não possuem ponto comum. 
 
 
 
 
•Tangente: reta e circunferência 
possuem um ponto comum 
(ponto de tangência). 
 
 
 
 
•Secante: reta e circunferência 
possuem dois pontos comuns. 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS 
•Exteriores: não possuem ponto comum. 
 
•Tangentes externas: têm um ponto comum e o centro de uma não está na região 
•interior da outra. 
 
•Secantes externas: têm dois pontos comuns e o centro de uma não está na região 
•interior da outra. 
 
•Secantes internas: têm dois pontos comuns e o centro de uma está na região 
interior da outra. 
 
•Tangentes internas: têm um ponto comum e o centro de uma está na região interior 
da outra. 
 
•Excêntrica: não existe ponto comum e uma está na região interior da outra. 
 
•Concêntricas: têm raios de medidas diferentes e centros coincidentes. 
 
•Coincidentes: têm raios de mesma medida e centros coincidentes. 
Exteriores Tangentes externas Secantes externas 
Secantes internas Tangentes internas Excêntrica 
Concêntricas Coincidentes 
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA 
Divisão em número par (2, 4, 8, 16, 32 etc.) 
 
2 partes iguais 
 
•Para dividirmos uma Circunferência em 2 partes iguais basta, com o auxílio 
da lapiseira e da régua, traçar uma reta qualquer que passe pelo centro da 
referida Circunferência. Observe que ao dividirmos uma Circunferência em 
duas parte iguais, determinamos dois semicírculos. 
4 partes iguais 
 
•Para dividirmos uma Circunferência em 4 partes iguais basta construir, 
geometricamente e com auxílio do compasso, uma reta perpendicular à reta 
traçada anteriormente, a qual dividiu a Circunferência em 2 partes iguais, de 
modo que passe pelo centro da Circunferência em pauta. 
8 partes iguais 
 
•Para dividirmos uma Circunferência em 8, 16, 32... partes iguais basta 
traçar, geometricamente e com auxílio do compasso, bissetrizes dos 
ângulos formados anteriormente. 
Divisão em 06 (seis) parte iguais (caso particular) 
•Para dividir uma Circunferência em 6 partes iguais basta marcar pontos sobre a 
Circunferência dada através de arcos cuja abertura do compasso corresponda a 
segmentos de retas congruentes ao raio dessa Circunferência, tendo em vista 
que a corda de uma Circunferência, cuja medida é congruente ao raio, 
corresponde ao ângulo de 60°. Ao dividirmos 360° por 60°, dividiremos a 
Circunferência em 6 partes iguais. 
 
Divisão em 05 (cinco) partes iguais (caso particular) 
I5é congruente ao lado de um 
Pentágono Regular Inscrito nessa 
Circunferência. 
Dividir a circunferência em 2 
partes iguais. 
Perpendicular passando pelo 
centro. 
Achar o ponto médio 
Com a abertura MC achar o 
ponto N 
Divisão em n partes iguais (Processo Geral de Rinaldini) 
APLICAÇÃO 
Dada a circunferência de centro O, divida-a em 7 partes iguais, 
utilizando-se do Processo Geral de Rinaldini: 
Esse processo se aplica à divisão de circunferência em qualquer 
número de partes iguais. 
Perpendicular passando pelo 
centro. 
Com as aberturas AB e BA achar 
os pontos C e D 
Dividir AB em 7 partes iguais. 
Trace retas que passem por C e 
pelos pontos ímpares existentes 
no diâmetro recém dividido em 7 
partes iguais. 
Ache os pontos 1’, 2’ e 3’. 
Repita a operação anterior 
passando pelo ponto D. 
Destaque a solução do problema 
com um traço mais forte 
(espesso) 
TANGÊNCIA 
Há dois tipos de Tangência. A Tangência entre Circunferência e Reta e a 
Tangência entre Circunferências. 
Sabemos que uma reta é dita tangente quando possui apenas um ponto 
em comum com a circunferência. Esse ponto é denominado Ponto de 
Tangência e toda reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de 
tangência. Esse raio é denominado de normal da tangente 
TANGÊNCIA ENTRE CIRCUNFERÊNCIA E RETA 
TANGÊNCIA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
Quanto à Tangência entre duas circunferências, devemos saber que: 
 
•duas circunferências são tangentes entre si quando têm apenas um 
ponto comum, que também é denominado ponto de tangência; 
 
•nas circunferências tangentes entre si, os centros e o ponto de tangência 
são alinhados, ou seja, são colineares; 
 
•as circunferências tangentes entre si podem ser internas ou externas; 
 
•uma circunferência é interna quando seu centro está na região interna 
de outra circunferência; 
 
•uma circunferência é externa quando seu centro está na região externa 
de outra circunferência. 
Podemos dizer que uma Circunferência é Tangente Externa a uma outra 
Circunferência, quando: 
Podemos dizer que uma Circunferência é Tangente Interna a uma outra 
Circunferência, quando 
Neste caso, é importante saber que: 
 
•o centro da circunferência e o ponto de tangência estão em uma mesma 
reta suporte; 
 
•a reta tangente e o raio formam um ângulo de 90° entre si no ponto de 
tangência. 
REGRAS DE TANGÊNCIA ENTRE CIRCUNFERÊNCIA E RETA 
REGRAS DE TANGÊNCIA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
Neste caso, é importante saber que: 
 
•os centros das circunferências e o ponto de tangência estão em uma 
mesma reta suporte; 
 
•as circunferências tangentes podem ser internas(C1 e C2) ou externas (C1 
e C3 ou C2 e C3); 
 
•o centro da circunferência e o ponto de tangência estão em uma mesma 
reta suporte; 
CONSTRUÇÃO DE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES ENTRE SI 
APLICAÇÃO 01 
Dada a circunferência de centro P, traçar a reta tangente m que passa 
pelo ponto A: 
Dada a reta t e o ponto O não-pertencente a t, construir a circunferência de 
centro O, tangente à reta t: 
APLICAÇÃO 02 
Dada a circunferência de centro O e ponto P, pertencente a essa circunferência, 
construir uma circunferência tangente externa à circunferência dada, sabendo 
que o raio da circunferência a ser construída mede 1,8cm e P é ponto de 
tangência das duas circunferências: 
APLICAÇÃO 03 
APLICAÇÃO 04 
Construir a circunferência tangente externa à circunferência de centro R, 
de modo que passe pelos pontos M e N, e que M seja ponto de tangência 
Lembre-se que: 
•A mediatriz de qualquer corda de 
uma circunferência passa pelo seu 
centro. 
•Os centros e o ponto de tangência 
de duas circunferências tangentes 
entre si estão sempre alinhados, ou 
seja, pertencem a uma mesma reta 
suporte 
Centro da circunferência 
tangente 
APLICAÇÃO 05 
Construir as retas tangentes à curva passando pelo ponto P. 
C 
P 
C 
P 
C 
P 
C 
P 
M M 
M 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
3 
4 
APLICAÇÃO 06 
Unir duas circunferências por retas tangentes interiores. 
1. Com centro em O traçar dentro da circunferência maior uma 
circunferência com raio (r + r’). 
O 
1 
O’ 
O 
O’ 
2. Encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências. 
O 
O’ 
P 
3. Traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os 
pontos 1 e 2 na circunferência de raio (r + r’). 
2 
1 
4. Ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O, encontrando T e T´ sobre a 
circunferência de raio r. 
O 
O’ 
2 
1 
T 
T’ 
5. Traçar paralelas as retas OT E OT´ na circunferência menor (r’) passando 
por O’, encontrando os pontos 3 e 4. 
O 
O’ 
2 
1 
T 
T’ 
3 
4 
6. Traçar uma paralela a reta 1O´ passando por 3 e uma paralela a reta 2O´ 
passando por 4. 
 
7. 3T E 4T´são as tangentes pedidas. 
 
O 
O’ 
2 
1 
T 
T’ 
3 
4 
Unir duas circunferências por tangentes exteriores. 
APLICAÇÃO 07 
1. Com o centro em O traçar dentro da circunferência maior uma 
circunferência com raio (r – r’). 
O 
O’ 
O 
O’ 
2. Encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências. 
O 
O’ 
P 
3. Traçar com centro em Pe raio PO uma circunferência, encontrando os 
pontos 1 e 2 na circunferência de raio (r – r’). 
4. Ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O, encontrando T e T´ sobre a 
circunferência de raio r. 
1 
2 
O 
O’ 
P 
1 
2 
T’ 
T 
5. Traçar paralelas as retas OT e OT´ na circunferência menor (r’), encontrando 
os pontos 3 e 4. 
O 
O’ 
P 
1 
2 
T’ 
T 3 
4 
6. Traçar paralelas as retas 1O´ e 2O´ passando pelos pontos 4 e 3 
respectivamente. 
O 
O’ 1 
2 
T’ 
T 3 
4 
7. As retas T4 e T´3 são as tangentes pedidas. 
Concordar duas linhas de mesma ou de diferente espécie é reuni-las de 
modo tal que nos pontos de encontro não haja fratura. 
 
As concordâncias nada mais são que aplicações dos casos de tangência, 
passando o ponto de tangência a se chamar ponto de concordância, e o 
centro de cada circunferência tangente às retas ou a outras circunferências a 
se chamar centro de concordância. 
CONCORDÂNCIA 
REGRAS DE CONCORDÂNCIA ENTRE ARCO E RETA 
 
•A reta é tangente ao arco no ponto de concordância; 
 
•O centro do arco(O) e o ponto de concordância(C) estão em uma mesma 
reta suporte(f); 
 
•A reta(s) e o raio do arco(ro) formam 90° no ponto de concordância(C). 
REGRAS DE CONCORDÂNCIA ENTRE ARCOS 
 
•Os arcos admitem num ponto qualquer, uma tangente comum. 
 
•Os centros dos arcos(O1 e O2) e o ponto de concordância(C) 
estão em uma mesma reta suporte(a); 
 Mesmo sentido Sentidos opostos 
• Espiral é uma curva que gira em torno de um ponto central, afastando-se ou 
aproximando-se deste ponto, dependendo do sentido em que se percorre a curva. 
 
CURVAS ABERTAS - ESPIRAIS 
• É uma curva plana e 
aberta, constituída de 
arcos concordantes com 
mesmo sentido, e que se 
amplia em torno de seus 
centros. 
APLICAÇÃO - ESPIRAL DE DOIS CENTROS A e B 
• Dado o segmento AB; 
a) Prolongamos AB nos dois sentidos. 
b) Com centro em B e o raio BA traçamos o arco AC. 
c) Com centro em A e o raio AC, traçamos o arco CD. 
d) Com centro em B e raio BD, traçamos o arco DE e assim por diante. 
• Os arcos sempre serão construído 
com centro em A e B. 
APLICAÇÃO – ESPIRAL COM TRÊS CENTROS A, B e C 
a) Prolongamos os três lados do triângulo determinado num mesmo sentido. 
b) Centro em A e raio AB, traçamos o arco BD 
c) Centro em C e raio CD, traçamos o arco DE. 
 
d) Centro em B e raio BE, traçamos o arco EF e assim por diante. 
• Os arcos sempre serão construído com centro em A, B e C. 
APLICAÇÃO – ESPIRAL DE QUATRO CENTROS A, B, C e D 
a) Traçamos o quadrilátero ABCD, prolongamos todos os seus lados num 
mesmo sentido. 
b) Centro em A e raio AD, traçamos arco D1. 
c) Centro em B e raio B1, traçamos arco 12 
d) Centro em C e raio C2, traçamos arco 23. 
e) Centro em D e raio D3, traçamos arco 34 e assim por diante. 
APLICAÇÃO 01 
Concordar a semi-reta PR com o arco de circunferência de 2,5 cm de raio, 
sabendo que R é o ponto de concordância. 
1 
2 
3 
Concordar a semi-reta MA com um arco que passa pelo ponto P. 
APLICAÇÃO 02 
1 
2 
3 
4 
APLICAÇÃO 03 
Concordar o arco da circunferência (M;AM) com um arco da 
circunferência de 3,5 cm de raio, sabendo que A é o ponto de 
concordância e os arcos concordantes têm sentidos opostos. 
APLICAÇÃO 04 
Ligar duas paralelas com um arco. 
 
1. Traçar duas retas paralelas. 
2. Traçar uma reta perpendicular às retas determinando os pontos 1 e 2. 
3. Através da mediatriz de 12 e encontrar o ponto O, que será o centro 
do arco de concordância do segmento 12. 
1 
2 
O 
APLICAÇÃO 04 
Unir duas retas convergentes através de um arco de raio conhecido. 
1. Traçar duas retas inclinadas s e t. 
2. Traçar retas paralelas às retas s e t, distantes desta a medida do raio. 
3. O ponto de encontro entre as retas traçadas será O, centro do arco 
de concordância. 
r 
r 
r 
O 
t 
s 
Concordar duas retas concorrentes por arcos de raios arbitrários 
 
1. Traçar das retas concorrentes r e s. 
2. Traçar a bissetriz do ângulo agudo formado por r e s. 
3. Traçar retas perpendiculares a r ou s, nos pontos de concordância 
desejados, suas interseções com a bissetriz serão os centros dos arcos 
procurados. 
APLICAÇÃO 05 
APLICAÇÃO 06 
 
Ligar duas retas paralelas com uma curva em forma de s. 
 
1. Trace as retas paralelas AB e CD como mostra a figura. 
2. Unir BC, traçar perpendiculares às retas em B e C, nos sentidos 
mostrados na figura. 
3. Determinar o ponto T (ponto de tangência dos arcos) – arbitrado ou 
pode-se conhecer um dos raios. 
4. Traçar mediatrizes dos segmentos BT e CT, determinando os pontos O e 
O´ (centro dos arcos de concordância) sobre as perpendiculares que 
partem de B e C. 
Ligar duas retas convergentes com uma curva em forma de s. 
APLICAÇÃO 07 
1. Trace duas retas na disposição mostrada na figura. traçar retas 
perpendiculares nas extremidades das retas dadas. 
2. Arbitrar raio (r) desenhando um arco com centro sobre uma das 
perpendiculares. 
3. Repetir a medida do raio sobre a outra perpendicular determinando 1. 
ligar 1 a C´, determinar sua mediatriz. 
4. Onde a mediatriz toca a outra perpendicular determina-se O, centro do 
outro arco de concordância. 
5. Ligar OC´ para determinar o ponto T de concordância dos arcos. 
6. Com o centro em C´ e abertura C´T traçar o arco C´T. Com centro em O 
e abertura OT traçar o outro arco formando o S pedido. 
Concordar 2 arcos através de um outro com raio dado (r). 
 
1. Marque dois pontos O e O’. Com centro em O e raio R + r, marcar um 
arco. 
2. Com centro em O’ e raio R’+ r, marcar outro arco. 
3. O ponto onde os arcos se encontram é o ponto C (centro do arco de 
concordância com raio r.). 
4. T e T’ são os pontos de concordância das circunferências. 
APLICAÇÃO 08 
Concordar duas semi-retas paralelas de mesmo sentido, por meio de dois 
arcos em concordância. 
 
1. Trace duas retas paralelas na disposição mostrada na figura. 
2. Trace pelos pontos A e B as perpendiculares r e s respectivamente. 
3. Determinar o ponto E com a mediatriz do segmento AB. 
4. Pelo ponto E traçar uma paralela as semi-retas dadas, Com centro em E e 
abertura EB traçar uma circunferência e determinar o ponto F na paralela. 
5. Traçar a mediatriz de FA e encontrar o ponto O na reta r, centro do arco AF. 
6. Traçar a mediatriz de FB e achar o ponto O’ na reta s, centro do arco FB. 
APLICAÇÃO 09 
CÔNICAS– ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA 
•O cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do 
vértice sobre o plano da base é o ponto central da base. Ele pode ser 
chamado também de cone de revolução, por ser formado pela 
rotação de um triangulo retângulo em volta de um de seus catetos. 
•As cônicas são obtidas pela interseção de um plano com um cone 
circular reto de duas folhas. 
 
Se o plano secante for perpendicular ao eixo de uma superfície cônica de 
revolução, a curva obtida pela interseção é uma circunferência. Por 
consequência é uma curva definida cônica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para imaginarmos outras possibilidades de seções produzindo outros tipos de 
curvas, que serão também chamadas de cônicas, usaremos como apoio o 
seguinte teorema: 
Teorema de Apollonius¹: 
 
“A seção feita em uma 
superfície cônica de revolução 
por um plano será uma elipse, 
uma parábola ou uma 
hipérbole, segundo o plano 
secante faça com o eixo da 
superfície cônica um ângulo 
que seja superior , igual ou 
inferior ao semi-ângulo do 
vértice da superfície cônica de 
revolução” 
α° > β° - elipse 
α 
β 
α 
α 
α° = β° - parábola 
α° < β° - hipérbole 
¹Álvaro josé Rodrigues. Geometria Descritiva. VolumeII: Projetividades, Curvas e Superfícies - 1968. Rio de Janeiro. Ed. Ao LivroTécnico S.A. pp.108. 
Circunferência 
Elipse 
Parábola 
Hipérbole 
ELIPSE 
A elipse é uma curva cônica, isto significa que ela é formada com os 
pontos que pertencem simultaneamente a um cone e a um plano que 
o seccionou (cortou) 
•Quando um cone circular reto 
é secionado por um plano 
obliquo ao eixo e que forma 
com este eixo um ângulo maior 
que o ângulo que a geratriz 
forma com o eixo os pontos 
que pertencem tanto ao plano 
como ao cone formam uma 
elipse. 
 
•Elipse - curva plana, fechada e 
simétrica. 
 
ELEMENTOS 
EIXO DA ELIPSE - é a linha em relação a qual os vários pontos da curva são simétricos dois a dois. 
A elipse apresenta dois eixos ortogonais, um que passa pelos focos e é chamado de eixo maior e 
outro que é perpendicular e passa pelo centro denominado eixo menor. 
 
CENTRO DA ELIPSE - é o ponto de cruzamento dos dois eixos. 
 
VÉRTICES - são os pontos extremos dos seus eixos ortogonais, ou seja, os pontos A; A’; B e B’. 
Conclui-se, portanto que, toda elipse possui apenas quatro vértices. 
 
RAIOS VETORES - são os segmentos que ligam um ponto qualquer da curva aos focos. A soma de 
dois raios vetores de determinado ponto da curva é constante, e sempre igual ao eixo maior da 
elipse. 
 
P – ponto qualquer da elipse 
F – pontos fixos do plano (focos) 
PF e PF´ - raios vetores 
AA´ - eixo maior 
FF´ - distância focal 
AA´> FF´ 
FF´ pertence à mesma reta que AA´, e 
possuem pontos médios coincidentes. 
 
•A bissetriz do ângulo formado pelos 
raios vetores é a reta normal a curva. A 
reta tangente a curva em determinado 
ponto é a reta perpendicular a reta 
normal no mesmo ponto. 
 
RÉGRA 
A soma das distâncias 
de qualquer ponto da 
elipse a dois pontos 
fixos (chamados focos) 
é sempre igual a seu 
eixo maior. 
PF + PF´ = AA´ 
FALSA ELIPSE - Oval regular alongada 
•É uma representação simplificada da elipse. 
 
•É traçada por 4 arcos de circunferência. 
a) Dado o segmento AB, traçamos a mediatriz AB. 
b) Dividimos OA e OB ao meio, achamos C e D. 
c) Com raio CD e centro em C fazemos os arco. Com o mesmo raio e centro 
em D marcamos os pontos E e F. 
d) Traçamos os triângulos eqüiláteros CDE e CDF. E prolongamos os lados 
dos triângulos. 
e) Com o centro em C e raio CA, traçamos o arco GAH e com o centro em D 
e raio DB, traçamos o arco IBJ. 
f) Com o centro em E, raio EH, traçamos o arco HJ e com centro em F, raio FG, 
traçamos o arco GI. 
HIPÉRBOLE 
A hipérbole é uma curva cônica, isto significa que ela é formada com os 
pontos que pertencem simultaneamente a um cone e a um plano que o 
seccionou (cortou). 
•Quando um cone circular reto é 
secionado por um plano obliquo 
ao eixo do cone e formando com 
este eixo um ângulo menor que 
o ângulo que a geratriz forma 
com o eixo, podendo até ser 
paralelo a ele, os pontos que 
pertencem tanto ao plano como 
ao cone formam uma hipérbole. 
 
•É uma curva plana, geométrica 
e infinita (aberta), de dois 
ramos. 
 
A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole a dois pontos 
fixos situados no mesmo plano (focos da hipérbole) é constante. 
 
PF – PF´ = AA´ 
EIXO DA HIPÉRBOLE - é a linha que contém os focos. 
 
FOCOS - são os dois pontos fixos da hipérbole. 
 
VÉRTICES - são os pontos que a hipérbole tem em 
comum com o eixo. 
 
RAIOS VETORES - são os segmentos que ligam um 
ponto qualquer da curva aos focos. 
 
ASSÍNTOTAS - retas em que os ramos da hipérbole são 
tangentes no infinito. 
 
A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores é a 
reta tangente à curva. 
. 
 
ELEMENTOS 
RÉGRA 
r 
r 
b) Para se determinar um ponto M qualquer da curva, toma-se um 
ponto qualquer C da reta r exterior ao segmento FF’. 
 
Construir uma hipérbole dada a constante AA’ e a distancia focal FF’. 
 
a) Tomamos OA = OA’ = metade de AA’ e OF = OF’ = metade de FF’. 
c) Com raio AC e centro em F, e raio A’C e centro em F’, traçamos as 
circunferências. E marcamos M e N, ponto da hipérbole. 
d) Marcamos outro ponto na reta r (sendo os pontos marcados entre C e F). 
 
e) Traçamos arcos: 
 - Com raio AE, e centro em F. 
 - Com raio A’E e centro em F’. Traçamos arcos para cima e para baixo da 
reta r, teremos os pontos 1 e 2. 
r 
f) Escolhemos outro ponto (G) entre E e F. 
g) Traçamos arcos: 
 - Com raio AG, e centro em F. 
 - Com raio A’G e centro em F’. Traçamos arcos para cima e para baixo 
da reta r (ponto 3 e 4). 
r 
h) Unindo-se esses pontos teremos uma curva da hipérbole. 
r 
 i) Para construir a outra curva , utilizamos os mesmos pontos C, E, G. 
 - Com raio AC e centro em F’, marcamos o arco. 
 - Com raio A’C e centro em F, marcamos outro arco. Teremos o 
ponto 5 e 6. 
r 
 j) Utilizando os pontos E e G. Teremos os pontos 7, 8 , 9 ,10. 
 l) Unindo-se esses pontos teremos a hipérbole. 
PARÁBOLA 
A parábola é uma curva cônica, isto significa que ela é formada com os 
pontos que pertencem simultaneamente a um cone e a um plano que 
o seccionou (cortou). 
•Quando um cone circular reto é 
secionado por um plano paralelo 
a uma geratriz e obliquo ao eixo 
do cone os pontos que 
pertencem tanto ao plano como 
ao cone formam uma parábola. 
 
•A parábola é uma curva plana 
aberta e seus ramos podem ser 
prolongados ao infinito. 
FOCO - é o ponto fixo da parábola. 
 
EIXO - é o eixo de simetria da parábola. 
 
DIRETRIZ - é uma reta perpendicular ao eixo e passa 
por O. 
 
VÉRTICE - é o ponto que a parábola tem em comum 
com o eixo 
ELEMENTOS 
RÉGRA 
A distância de qualquer ponto da 
parábola a um ponto fixo (chamados 
foco) é sempre igual a distância deste 
ponto a uma reta (chamada diretriz). 
O segmento OF é chamado Parâmetro da curva onde 
V situa-se no ponto médio deste segmento. 
 
A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores é a 
reta tangente à curva. 
 a) Dado o ponto A e reta r, traçamos a perpendicular a reta passando por A (reta s). 
b) Marcamos o ponto B qualquer sobre a reta s, e traçamos uma paralela a reta r. 
c) Com o centro em A e raio BO, cortamos a paralela em C e C’ (estes são dois 
pontos da parábola). 
d) Marcamos outro ponto (D) na reta s e traçamos uma paralela a reta r, passando 
por esse ponto (D). 
e) Com o centro em A e o raio DO, cortamos a paralela, marcamos 1 e 2. 
f) Repetimos os procedimentos d) e e). Teremos quantos pontos quiser. O ponto 3 
é o vértice, com EO=AO/2. 
g) Unimos os pontos, teremos a parábola. 
 
 
BORGES, Aldan Nóbrega. Desenho Técnico. Governo Federal Ministério de Educação. Equipe SEDIS: Universidade Federal do Rio Grande do 
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REFERÊNCIAS