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DISCIPLINA:
CONTROLE ANALÓGICO E 
DIGITAL
Professor: Luciano Bonato Baldissera
lucianobonato@bol.com.br
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - EGE
AULA 14
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - EGE
06/11/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 2
06/11/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 3
INTRODUÇÃO
O que fazer quando não se tem acesso a um modelo
baseado em princípios físicos?
Por exemplo:
• Sistema é muito complexo
• Não se tem acesso a todos os subsistemas para saber
quais são os elementos envolvidos
• Como fazer o projeto sem dispor da função de
transferência do sistema?
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INTRODUÇÃO
• Técnicas desenvolvidas nas décadas de 1920, 30 e 40,
por cientistas como Black, Nyquist e Bode;
• Problema estudado nos Laboratórios Bell: amplificar um
sinal elétrico para o transmitir através de cabos.
• Sem recurso computacional: necessário projetos sem
muitos cálculos, através de gráficos e experimentos;
• Projeto usando a resposta em frequência tem formulação
matemática simples;
• Até hoje, técnicas estão entre as mais utilizadas na
indústria.
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MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
06/11/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 6
MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Método da Resposta em Frequência:
• Análise do sistema a partir da resposta em regime
permanente quando uma entrada senoidal é aplicada
• Determinação do modelo dinâmico de sistemas a partir
de resultados experimentais
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MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Sistema linear invariante no tempo, estável:
• Entrada: u(t)
• Saída: y(t)
Se u(t) é senoidal, a saída y(t) em regime permanente
será senoidal com:
• Mesma frequência
• Amplitude e ângulo de fase diferentes
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MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Considerando:
• u(t) = U.sen(ωt)
Onde U é a amplitude e ω a frequência do sinal de entrada.
A resposta em regime permanente será:
• yrp = Ysen(ωt +ф )
Onde Y=U|G(jω)| e ф=⦟G(jω) 
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MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Para entradas senoidais:
• |G(jω)| = relação de amplitudes da saída e da entrada.
• ⦟G(jω) = defasagem da senóide de saída com relação a 
senóide de entrada.
• G(jω) = Função de Transferência Senoidal
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico:
• Gráfico do logaritmo do modulo de G(jω)
• Gráfico do ângulo de fase de G(jω)
Em função da frequência de entrada “ω” em escala
logarítmica:
• Representação padrão: 20log |G(jω)|
• Unidade: dB (decibel)
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico:
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
• O gráfico, chamado de diagrama de Bode, fornece uma
exposição conveniente das respostas características em
frequência de um modelo de função de transferência.
• É constituído pelo módulo e a fase da resposta do
sistema em função da frequência ω.
• A escala no eixo X é logarítmica, visando possibilitar a
visualização das respostas diante de uma grande faixa de
frequências.
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Outras formas de representação:
Diagrama de Nyquist ou gráficos polares:
• Gráfico da parte imaginaria de G(jω) versus a parte real
de G(jω)
Imag [G(jω)] X Re[G(jω)]
Diagrama de Nichols/Black:
• Gráfico do módulo de G(jω) versus a fase de G(jω)
|G(jω)|x⦟G(jω)
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CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA DE BODE
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fatores básicos a serem considerados em uma função
de transferência arbitrária G(jω):
• Ganho K
• Fatores integral e derivativo:G(jω)
±𝟏
• Fatores de primeira ordem: (1+jω𝑻)±𝟏
• Fatores de segunda ordem:(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
±𝟏
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Ganho K:
• Logaritmo do módulo: 20logK
• Gráfico do módulo: reta horizontal de valor 20logK dB
• Gráfico da fase: ângulo de fase nulo
• Variação do ganho K: deslocamento da curva do módulo, 
não afetando o gráfico de fase.
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Ganho K:
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator integral: G(jω)
−𝟏
:
• Logaritmo do modulo 20log
1
𝑗𝜔
= −20logω.
• Gráfico do módulo: reta com inclinação -20dB/década,
cruzando 0 dB em ω=1 (em ω =0,01=+40).
• Ângulo de fase: constante e igual a -90 graus.
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator integral: G(jω)
−𝟏
:
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator derivativo: G(jω)
+𝟏
:
• Logaritmo do modulo 20log 𝑗𝜔 = 20logω.
• Gráfico do módulo: reta com inclinação 20dB/década,
cruzando 0 dB em ω=1.
• Ângulo de fase: constante e igual a 90 graus.
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2
REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator derivativo: G(jω)
𝟏
:
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator de primeira ordem: (1+jω𝑻)−𝟏
• Logaritmo do módulo: 20log
1
1+jω𝑡
= −20𝑙𝑜𝑔 1 + 𝜔2𝑡2
• Para baixas frequências (ω >
1
𝑡
):
−20𝑙𝑜𝑔 1 + 𝜔2𝑡2 = −20 logω𝑡
• Gráfico: reta com inclinação -20dB/década, cruzando em
0 dB em ωb=
1
𝑡
(frequência de quebra).
• Gráfico do módulo: aproximação pelas duas retas
assintóticas.
• Correção: -3 dB em ωb.
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator de primeira ordem: (1+jω𝑻)−𝟏
O ângulo de fase: 
• ∅ = − tan−1𝜔𝑡
Gráfico de fase:
• 𝜔 = 0 → ∅ = 0
• 𝜔 =
1
𝑡
→ ∅ = −45º
• 𝜔 = ∞ → ∅ = −90º
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator de primeira ordem: (1+jω𝑻)−𝟏
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator de primeira ordem: (1+jω𝑻)𝟏
As curvas do modulo e ângulo de fase do fator 1+jω𝑻
são obtidas pelas curvas do fator 𝟏 = 1+jω𝑻 trocando-se o
sinal apenas:
20log 1+jω𝑡 = 20𝑙𝑜𝑔 1 + 𝜔2𝑡2
sendo o ângulo de fase:
∅ = tan−1𝜔𝑡
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fator de primeira ordem: (1+jω𝑻)𝟏
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fatores de segunda ordem:(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
±𝟏
Logaritmo do módulo:
20𝑙𝑜𝑔
1
1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
+
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
= −20𝑙𝑜𝑔 𝟏 +
𝝎²
𝝎𝒏²
2
+ 𝟐𝜹 +
𝝎
𝝎𝒏
2
Para baixas frequências (ωBonato
3
0
REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fatores de segunda ordem:(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
−𝟏
• Para altas frequências (ω ≫ 𝜔𝑛):
−20𝑙𝑜𝑔 1 +
𝜔2
𝜔𝑛
2
2
+ 2𝛿 +
𝜔
𝜔𝑛
2
= −20 𝑙𝑜𝑔
𝜔2
𝜔𝑛
2 = −40 log
𝜔
𝜔𝑛
• Gráfico: reta com inclinação -40 dB/década, cruzando
0dB em 𝜔𝑏 = 𝜔𝑛
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fatores de segunda ordem:(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
−𝟏
Frequência de ressonância: frequência na qual |G(jω)|
atinge o valor máximo
𝜔𝑟 = 𝜔𝑛(1 − 2𝜻 2)
Módulo do pico de ressonância Mr:
𝑀𝑟 = |G(jωr)|=
1
2𝛿 1 − 2𝜻 2
Se 𝛿→0 ⇒ Mr→∞
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2
REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fatores de segunda ordem:(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
−𝟏
O ângulo de fase: 
• ∅ = − tan−1
2𝜻 𝒋𝝎
𝝎𝒏
1−
𝝎
𝝎𝒏
2
Gráfico de fase:
• 𝜔 = 0 → ∅ = 0
• 𝜔 = 𝜔𝑟→ ∅ = −90+ sin−1
𝜻
1−𝜻 2
º
• 𝜔 = 𝜔𝑛→ ∅ = −90º
• 𝜔 = ∞ → ∅ = −180º
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3
REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fatores de segunda ordem:(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
−𝟏
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4
REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Fatores de segunda ordem:(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
−𝟏
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REPRESENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Passos para a determinação da resposta em frequência:
• Reescrever G(jω) como produto de fatores básicos;
• Identificar as frequências de quebra associadas a cada fator;
• Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo;
• Somar as curvas obtidas para cada fator básico;
• Efetuar as correções necessárias.
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EXEMPLO 1
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
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EXEMPLO 1:
Faça o esboço da resposta em frequência do sistema abaixo através
da representação pelo diagrama de Bode :
𝐺(𝑠) =
10(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠2 + 𝑠 + 2)
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EXEMPLO 1:
Diagrama de módulo:
1) Reescrever G(jω) como produto de fatores básicos;
2) Identificar as frequências de quebra associadas a cada fator;
3) Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo;
4) Somar as curvas obtidas para cada fator básico;
5) Efetuar as correções necessárias.
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EXEMPLO 1:
1º Reescrever "G(jω)" como produto de fatores básicos:
𝐺(𝑠) =
10(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠2 + 𝑠 + 2)
=
10(𝑗𝜔 + 3)
𝑗𝜔(𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔2 + 𝑗𝜔 + 2)
A partir da equação podemos decompor em:
𝐺(𝑠) = 10. 𝑗𝜔 + 3 .
1
𝑗𝜔
.
1
(𝑗𝜔 + 2)
1
(𝑗𝜔2 + 𝑗𝜔 + 2)
A partir das equações obtidas é possível a decomposição em fatores básicos:
𝐺(𝑠) = 10.3
𝑗𝜔
3
+ 1 .
1
𝑗𝜔
.
1
2(
𝑗𝜔
2
+ 1)
1
2(
𝑗𝜔
2
2
+
𝑗𝜔
2
+ 1)
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EXEMPLO 1:
1º Reescrever "G(jω)" como produto de fatores básicos:
Decompondo e simplificando temos:
𝐺(𝑠) = 10.3
𝑗𝜔
3
+ 1 .
1
𝑗𝜔
.
1
2(
𝑗𝜔
2 + 1)
1
2(
𝑗𝜔
2
2
+
𝑗𝜔
2 + 1)
𝐺(𝑠) =
10.3
2.2
.
1
𝑗𝜔
.
𝑗𝜔
3
+ 1 .
1
𝑗𝜔
2 + 1
.
1
𝑗𝜔
2
2
+
𝑗𝜔
2 + 1
𝐺(𝑠) = 7,5.
1
𝑗𝜔
.
𝑗𝜔
3
+ 1 .
1
𝑗𝜔
2 + 1
.
1
𝑗𝜔
2
2
+
𝑗𝜔
2 + 1
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4
1
EXEMPLO 1:
1º Reescrever "G(jω)" como produto de fatores básicos:
Fator 1
(ganho k)
Fator 3
(1º ordem)
Fator 2
(integral)
Fator 4
(1º ordem)
𝐺(𝑠) = 7,5.
1
𝑗𝜔
.
𝑗𝜔
3
+ 1 .
1
𝑗𝜔
2
+ 1
.
1
𝑗𝜔
2
2
+
𝑗𝜔
2
+ 1
Fator 5
(2º ordem)
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2
EXEMPLO 1:
2º Identificar as frequências de quebra associadas a cada fator:
(ganho k)Fator 1 = 7,5
(1º ordem)
(integral)
Fator 3 =
𝑗𝜔
3
+ 1
Fator 2 =
1
𝑗𝜔
Fator 4 =
1
𝑗𝜔
2
+ 1
(1º ordem)
Apenas ganho 20log(7,5)=17,501dB
𝟂=3 Rad/s
Ponto de quebra em 3Rad/s 
Após aumenta 20dB por década
Queda de 20 dB por década cruzando em 0dB no
ponto 𝟂=1 Rad/s
𝟂=2 Rad/s
Ponto de quebra em 2Rad/s 
Após cai 20dB por década
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3
EXEMPLO 1:
2º Identificar as frequências de quebra associadas a cada fator:
Fator 5 =
𝑗𝜔
2
2
+
𝑗𝜔
2
+ 1 (2º ordem)
Rearranjando:
Assim:
(1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
−𝟏
1 +
𝑗𝜔
2
+
𝑗𝜔
2
2
= (1+2𝜻
𝒋𝝎
𝝎𝒏
) +
𝒋𝝎
𝝎𝒏
𝟐
)
−𝟏 𝝎𝒏 = 𝟐
2𝜻
𝝎𝒏
=
1
2
𝜻 =
𝝎𝒏
2.2
𝜻 =
2
4
= 0,35
𝝎𝒏 = 𝟏, 𝟒𝟏
𝜻 = 0,35
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4
4
EXEMPLO 1:
• 3º Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo;
Fator 1 = 7,5
20log(7,5)=17,501dB
F
o
n
te
: 
U
S
P
 -
A
d
ri
a
n
o
 A
. 
G
. 
S
iq
u
e
ir
a
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4
5
EXEMPLO 1:
• 3º Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo;
(integral)Fator 2 =
1
𝑗𝜔
Queda de 20 dB por década
cruzando em 0dB no ponto
𝟂=1 Rad/s
F
o
n
te
: 
U
S
P
 -
A
d
ri
a
n
o
 A
. 
G
. 
S
iq
u
e
ir
a
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4
6
EXEMPLO 1:
• 3º Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo;
(1º ordem)Fator 3 =
𝑗𝜔
3
+ 1
Ponto de quebra em 3Rad/s 
Após aumenta 20dB por década
F
o
n
te
: 
U
S
P
 -
A
d
ri
a
n
o
 A
. 
G
. 
S
iq
u
e
ir
a
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4
7
EXEMPLO 1:
• 3º Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo;
F
o
n
te
: 
U
S
P
 -
A
d
ri
a
n
o
 A
. 
G
. 
S
iq
u
e
ir
a
Fator 4 =
1
𝑗𝜔
2 + 1
(1º ordem)
Ponto de quebra em 2Rad/s 
Após cai 20dB por década
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4
8
EXEMPLO 1:
• 3º Desenhar as curvas assintóticas no gráfico do módulo;
F
o
n
te
: 
U
S
P
 -
A
d
ri
a
n
o
 A
. 
G
. 
S
iq
u
e
ir
a
Fator 5 =
𝑗𝜔
2
2
+
𝑗𝜔
2
+ 1
(2º ordem)
𝝎𝒏 = 𝟏, 𝟒𝟏
𝜻 = 0,35
Ponto de quebra em 1,41Rad/s 
Após cai 40dB por década
Com amortecimento no ponto 
de quebra de 𝜻 = 0,35
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EXEMPLO 1:
• 4º Somar as curvas obtidas para cada fator básico:
F
o
n
te
: 
U
S
P
 -
A
d
ri
a
n
o
 A
. 
G
. 
S
iq
u
e
ir
a
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5
0
EXEMPLO 1:
• 5º Efetuar as correções necessárias – Diagrama de módulo final:
F
o
n
te
: 
U
S
P
 -
A
d
ri
a
n
o
 A
. 
G
. 
S
iq
u
e
ir
a
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5
1
EXEMPLO 1:
Diagrama de fase:
Fator 1 = 7,5 • Gráfico da fase: ângulo de fase nulo
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5
2
EXEMPLO 1:
Diagrama de fase:
(integral)Fator 2 =
1
𝑗𝜔
• Ângulo de fase: constante e igual a -90 graus.
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5
3
EXEMPLO 1:
Diagrama de fase:
(1º ordem)Fator 3 =
𝑗𝜔
3
+ 1
Gráfico de fase:
• 𝜔 = 0 → ∅ = 0
• 𝜔 =
1
𝑡
→ ∅ = 45º
• 𝜔 = ∞ → ∅ = 90º
3𝑅𝑎𝑑/𝑠
∅ = 45º
3𝑅𝑎𝑑/𝑠 ∅ = 90º
𝜔 = ∞
𝜔 = 0
∅ = 0
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5
4
EXEMPLO 1:
Diagrama de fase:
(1º ordem)Fator 4 =
1
𝑗𝜔
2 + 1
Gráfico de fase:
• 𝜔 = 0 → ∅ = 0
• 𝜔 =
1
𝑡
→ ∅ = −45º
• 𝜔 = ∞ → ∅ = −90º
2𝑅𝑎𝑑/𝑠
∅ = −45º
2𝑅𝑎𝑑/𝑠
∅ = −90º
𝜔 = ∞
𝜔 = 0
∅ = 0
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5
EXEMPLO 1:
Diagrama de fase:
Fator 5 =
𝑗𝜔2
2
+
𝑗𝜔
2
+ 1 (2º ordem)
Gráfico de fase:
• 𝜔 = 0 → ∅ = 0
• 𝜔 = 𝜔𝑟 → ∅ = −90+ sin−1
𝜻
1−𝜻 2
º
• 𝜔 = 𝜔𝑛→ ∅ = −90º
• 𝜔 = ∞ → ∅ = −180º
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EXEMPLO 1:
06/11/2021
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EXERCÍCIOSControle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
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Exercício 1
Faça o esboço da resposta em frequência do sistema abaixo através
da representação pelo diagrama de Bode :
𝐺(𝑠) =
100(𝑠 + 5)
𝑠(𝑠 + 10)
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Exercício 2
Faça o esboço da resposta em frequência do sistema abaixo através
da representação pelo diagrama de Bode :
𝐺(𝑠) =
100
(𝑠 + 30)
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Exercício 3
Faça o esboço da resposta em frequência do sistema abaixo através
da representação pelo diagrama de Bode :
𝐺(𝑠) =
100(𝑠 + 1)
(𝑠 + 10)(𝑠 + 100)
06/11/2021
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ELABORAÇÃO DE EXERCÍCIOS
PRÓXIMA AULA:
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato