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DISCIPLINA:
CONTROLE ANALÓGICO E 
DIGITAL
Professor: Luciano Bonato Baldissera
lucianobonato@bol.com.br
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - EGE
AULA 16
DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS E A 
TRANFORMADA Z
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - EGE
19/11/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 2
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INTRODUÇÃO
Atualmente têm-se modernas teorias de controle para
sistemas contínuos no tempo, as quais foram suficientes
para provocar uma revolução nos processos industriais.
Aliado a isto, os microcomputadores e microcontroladores
possibilitaram a criação de sistemas de controle mais
precisos que os controladores analógicos.
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INTRODUÇÃO
Entretanto, a migração dos sistemas contínuos para
os sistemas discretos (analógicos para digitais) restringiu
a velocidade de operação dos sistemas de controle.
Estas restrições estão sendo melhoradas com a
evolução dos microcomputadores, o que está possibilitando
cada vez mais que os projetistas de controladores digitais
cheguem mais próximos de sistemas com desempenhos
considerados ideais, possibilitando aplicações de alto nível.
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INTRODUÇÃO
O controle de sistemas físicos através de
microcomputadores, micro controladores ou DSP’s está
se tornando cada vez mais comum, pois possibilita a
obtenção de desempenhos extremamente satisfatórios.
A aplicação do controle computadorizado possibilita a
otimização de inúmeros sistemas de controle, sendo
encontrado em carros, aviões, trens, sistemas industriais,
equipamentos eletroeletrônicos domésticos etc.
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INTRODUÇÃO
https://www.youtube.com/watch?v=Jky9I1ihAkg
https://www.youtube.com/watch?v=fZviogggh5M
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INTRODUÇÃO
• Os microcontroladores e os DSP’s por exemplo,
possibilitam a automação industrial em altos estágios
(controle de manufatura), como também, em estágios mais
baixos a nível de chão de fábrica (controle de conversores
de frequência, acionamento de máquinas elétricas, sistemas
de controle de movimento etc.).
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INTRODUÇÃO
Mesmo apesar de o controle microprocessado ou
computadorizado utilizar para operação geralmente sinais
analógicos oriundos de sensores e transdutores e técnicas
de controle analógico já estudadas, o processamento por
estes elementos e a ação de controle é efetuada de modo
digital.
Com isto, dizemos que processamento dos sinais e as 
ações de controle são baseadas em controle digital. 
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INTRODUÇÃO
O controle digital baseia-se em um sistema discreto,
onde a transformada de Laplace é substituída por uma
transformada Z.
Entretanto, para se utilizar sistemas de controle digitais
torna-se necessário o uso de técnicas específicas para o
controle digital, mesmo apesar dos sistemas basearem-se
na maioria das teorias de controle analógico.
Outro quesito é que como os controladores possuem
precisão finita, cuidados extras são necessários para
assegurar o correto funcionamento dos conversores e não
gerar efeitos indesejados ou não planejados.
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VANTAGENS E DESVANTAGENS DOS 
CONTROLADORES DIGITAIS
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VANTAGENS DOS CONTROLADORES DIGITAIS
• Alta flexibilidade para alterar o projeto do controlador,
alternando somente o software.
• Capacidade de tomada de decisão.
• Possibilidade de realizar um volume maior de cálculos.
• Possibilidade de implementação de controladores mais
sofisticados, com a regulação adaptativa, e melhores do
que controles analógicos similares.
• Possibilidade de inicialização e ajustes automáticos
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DESVANTAGENS DOS CONTROLADORES DIGITAIS
• Processamento lento – a implementação de uma função
em microcomputador é mais lenta do que um controle
efetuado com hardware analógico/digital dedicado.
• Erro de quantização – a conversão de sinais
(Analógico/Digital) gera erros de quantização.
• Dificuldade de acesso aos sinais de software – os
microcomputadores não possibilitam um acesso fácil aos
sinais de software para monitoramento.
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PRINCIPAIS CONCEITOS RELACIONADOS A 
SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAIS
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PRINCIPAIS CONCEITOS
Controladores contínuos (analógicos)
São construídos usando componentes eletrônicos
analógicos tais como, resistores, capacitores e
amplificadores operacionais.
Controladores discretos (digitais)
Utilizam computadores digitais, usualmente mP, mC ou
DSPs como hardware de I/O necessário para implementar
os controladores.
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PRINCIPAIS CONCEITOS
Conversão A/D – é a conversão de um sinal analógico
contínuo no tempo em um sinal digital composto por um
conjunto de bits.
Conversão D/A – é a conversão de um sinal composto por
um conjunto de bits (digital) em um sinal contínuo no tempo
(analógico).
Amostragem – é a transformação de um sinal contínuo no
tempo em um sinal discreto.
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PRINCIPAIS CONCEITOS
Período de amostragem – é o tempo em que as variáveis
são medidas e chegam ao computador. Sistemas de
controle digital, algumas vezes, tem períodos de
amostragem que variam ou então diferentes períodos de
amostragem para diferentes caminhos de realimentação;
Robustez – um sistema que tem boa rejeição a distúrbios e
baixa sensibilidade paramétrica é dito robusto;
Interrupção – usualmente existe um relógio como parte do
computador que fornece um pulso de T segundos.
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PRINCIPAIS CONCEITOS
Resposta satisfatória – quando a saída da planta y(t) é
forçada a seguir a entrada de referência apesar de
distúrbios na planta [w(t)] e/ou ruídos no sensor [v(t)] e/ou
mudança nos parâmetros de planta (regulação);
Rejeição a distúrbios – é dito de um sistema que tem boa
regulação na presença de sinais de distúrbio;
Baixa sensibilidade paramétrica – é dito de um sistema
que tem boa regulação mesmo frente a alterações
paramétricas de planta.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
• Um sinal contínuo no tempo é um sinal definido sobre
uma faixa de tempo contínuo.
• Um sinal analógico é um caso especial de um sinal
contínuo no tempo.
• A amplitude pode assumir uma faixa contínua de
valores ou pode assumir somente um número finito de
valores distintos.
• Neste caso, é possível a amostragem destes sinais.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
• Todos os sistemas digitais operam em termos de
“amostragem” da saída medida da planta, ao contrário
de medir um sinal contínuo;
• A dinâmica representada pelo controlador é
implementada por equações algébricas recursivas
denominadas equações diferença;
• Um sistema é dito recursivo quando sua saída y(n) no
instante n depende dos últimos valores de saída, tais
como: y(n-1), y(n-2),...
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS - QUANTIZAÇÃO
• Quantização – processo de representação de uma
variável por um conjunto de valores distintos.
• Os valores distintos resultantes são chamados
valores quantizados;
• A saída do A/D pode ser armazenada na forma lógica
digital consta de um número finito de dígitos(comumente lógica binária).
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
• Sinal em tempo discreto – sinal definido somente em
instantes discretos do tempo.
• Sinal de dados amostrados - em um sinal discreto, se a
amplitude pode assumir uma faixa contínua de valores,
então o sinal é chamado sinal de dados amostrados;
• Um sinal amostrado - pode ser gerado amostrando um
sinal analógico em instantes discretos de tempo;
• Sinal digital - é um sinal discreto no tempo com
amplitude quantizada;
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
O processo de digitalização de sinais envolve a captura
do sinal analógico, a amostragem, a quantização e por fim,
a geração do sinal digitalizado.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
Processo de amostragem de um sinal analógico:
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
Sistemas discretos
Sistemas de controle discretos no tempo, são sistemas
de controle nos quais uma ou mais variáveis podem mudar
somente a instantes discretos de tempo (kT ou tk
(k=0,1,2...), tempo no qual alguma medição física é
realizada ou a memória de um computador é lida;
Sistemas de dados amostrados:
Tem ambos os sinais, discretos e contínuos e
comumente é importante estar habilitado para calcular a
resposta contínua no tempo.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
Os sistemas de controle em tempo discreto são,
comumente, lineares e invariantes no tempo.
Um sistema é dito invariante no tempo, ou
estacionário, se uma variação (shift) na entrada resulta em
somente uma variação na saída.
Um sistema é dito linear se neste sistema é possível a
aplicação do princípio da superposição.
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PROCESSO DE DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS
Para digitalizar um sinal analógico, são necessárias no
mínimo quatro etapas:
1) Filtragem anti-aliasing
2) Amostragem
3) Quantização
4) Codificação
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS - NYQUIST
Segundo o Teorema de Nyquist, a frequência de
amostragem de um sinal analógico, para que este possa
posteriormente ser reconstituído com o mínimo de perda de
informação, deve ser igual ou maior a duas vezes a maior
frequência do espectro desse sinal.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS - NYQUIST
A figura abaixo mostra um sinal senoidal sendo
amostrado com taxas próximas ao limite de Nyquist.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS - AMOSTRAGEM
• Nenhum sinal digital pode apresentar componentes
com frequências acima de fs/2. (Teorema de Nyquist)
• Se o sinal analógico a ser digitalizado tiver
componentes acima de fs/2, estas devem ser
eliminadas antes da amostragem.
• Se isto não for feito, ocorre o efeito de aliasing, que
consiste na transposição dos sinais de alta frequência
para a região compreendida entre 0 e fs/2, causando
distorção do sinal.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS - ALIASING
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – FILTRAGEM ANTI ALIASING
Conforme o Teorema de Nyquist, a quantidade de
amostras por unidade de tempo de um sinal, chamada taxa
ou frequência de amostragem, deve ser maior que o
dobro da maior frequência contida no sinal a ser
amostrado, para que possa ser reproduzido integralmente
sem erro de aliasing.
A metade da frequência de amostragem é
chamada frequência de Nyquist e corresponde ao limite
máximo de frequência do sinal que pode ser reproduzido.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – FILTRAGEM ANTI ALIASING
Como não é possível garantir que o sinal não
contenha sinais acima deste limite (distorções,
interferências, ruídos, etc...), é necessário filtrar o sinal
com um filtro passa baixas com frequência de corte igual
(ou menor) a frequência de Nyquist, ou filtro anti-aliasing.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
Após a filtragem, no processo de digitalização de sinais,
deve ser efetuada a quantização, que é o processo de
atribuição de valores discretos para um sinal cuja amplitude
varia entre infinitos valores.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
O sinal analógico amostrado, em forma de amostras ou
pulsos PAM (pulsos modulados em amplitude), ainda
analógicos, é quantificado em valores representados por
uma quantidade finita pré determinada. Esta conversão é
feita por um circuito chamado conversor analógico-digital
A/D ou ADC.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
Na prática, cada amostra ou pulso PAM é transformado
em um valor predefinido de n bits.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
• Por exemplo, com n=8 bits é possível representar 256
valores diferentes (0 a 255).
• Para facilitar, vamos supor que os pulsos PAM são
limitados entre 0 e 255 Volts.
• Um pulso qualquer pode ter como valor real 179,3V, mas
terá de ser quantizado como tendo 179V ou 180 V, pois
não é possível representar 179,3V com 8 bits. O valor
quantizado (para mais ou para menos) depende dos
valores dos níveis de decisão no projeto do ADC.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
Teremos então um erro, no caso de -0,3V ou +0,7V
respectivamente, chamado erro de quantização.
Esta falta ou excesso no valor do sinal provoca o
surgimento de um sinal aleatório, chamado ruído de
quantização.
Se prova matematicamente que a máxima relação
sinal/ruído de quantização possível é da ordem de:
S/N max=6n , onde n é o numero de bits.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
Por exemplo:
• 8 bits: S/N de quantização máximo=48dB
• 16 bits : S/N de quantização máximo = 96 dB
Esta relação só é atingida para um sinal de valor
máximo Vmax. Se o sinal V for menor, por ex. 1/10 do
máximo, a relação S/N será 100 vezes pior ou 20 dB
menor, e assim por diante.
S/N de quantização = 1,76 + 6,02.n - 20 log(Vmax/V)
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – ERRO DE QUANTIZAÇÃO
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – ERRO DE QUANTIZAÇÃO
Para contornar este novo problema, que faz com que
sinais fracos tenham baixa S/N (relação sinal/ruído), usam-
se quantizações não lineares ou não uniformes, onde os
níveis de quantização não são iguais, mas são muito
pequenos para sinais pequenos e maiores para sinais
maiores, provocando o efeito de compressão.
Uniforme
Não uniforme
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – ERRO DE QUANTIZAÇÃO
Por exemplo, na telefonia digital é usada quantização
logarítmica, conhecida como a lei A ou a lei Mi (μ) por
exemplo. Estas técnicas pioram um pouco a máxima S/N
atingível, mas em compensação melhoram muito a S/N
para sinais fracos.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
Mas e como quantizar valores de tensão negativos?
Também existem varias formas. O exemplo seguinte mostra
o caso para arquivos digitais de sons no formato *.WAV
com 8 bits :
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃOComo eixo vertical da figura é graduado no valor das
amostras quantizadas com 8 bits (0 a 255), o eixo de
tensão, 0 Volts, é deslocado (offset) para 128.
Podemos assim representar valores do sinal de -127 até
-1 com os valores 0 a 127, e os valores de 0 a até 128 com
os valores de 128 a 256.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – QUANTIZAÇÃO
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – RUIDO NA QUANTIZAÇÃO
A diferença entre o sinal analógico original e sua
versão quantizada é chamada de ruído de quantização.
Assim, quantizar um sinal analógico corresponde a
adicionar uma certa quantidade de ruído.
Quanto menos bits usamos na quantização, mais
grosseira ela fica, e portanto temos mais ruído
adicionado.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – RUIDO NA QUANTIZAÇÃO
A variância do ruído de quantização é dada por
Var[Q] = (LSB)²/12.
O termo LSB é o passo de quantização, e representa a
distância entre um nível de quantização e outro. Este é
dado por
𝑽𝒎𝒂𝒙
𝟐𝒏
, onde Vmax é a excursão máxima do sinal e
n é o número de bits usados na quantização.
Uma outra figura estatística muito usada para análise
deste ruído é o desvio padrão do ruído de quantização,
que é dado pela raiz quadrada da variância.
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DISCRETIZAÇÃO DE SINAIS – CODIFICAÇÃO
Ao final, os valores quantizados precisam ser codificados
em sequências de bits, pois um sinal digital binário só pode
ter dois valores diferentes "0" ou "1". Assim, é efetuada a
codificação resultando em valores binários de n bits.
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SISTEMAS DIGITAIS EM MALHA FECHADA
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
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SISTEMAS DIGITAIS EM MALHA FECHADA
• Um sinal discreto é uma sequência de valores
organizados no tempo;
• Pode ser representado por função do tipo x(kT) onde k é
a variável tempo discreto e T denota o intervalo de
tempo entre dois valores consecutivos de x(kT);
• Sistemas contínuos manipulam sinais analógicos e são
representados por equações diferenciais;
• Sistemas discretos manipulam sequências e são
representados por equações recursivas ou diferença;
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SISTEMAS DIGITAIS EM MALHA FECHADA
0 ,)0()(
v
I(0) com 0)()(
)0( com 0)()(
/
0
0



 teItI
R
tItRCI
vvtRItv
RCt
cc
Circuito RC – Resposta amostrada:
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SISTEMAS DIGITAIS EM MALHA FECHADA
Se f = f(z), então ztrans(f) retorna uma função de w.
F = F(w)
Por definição a transformada z é
F = ztrans(f,w) computes the z-transform F as a function of w instead of the 
default variable z.
F = ztrans(f,k,w) computes the z-transform and lets you specify that f is a 
function of k and L is a function of w.
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SISTEMAS DIGITAIS EM MALHA FECHADA
Deve-se considerar que a amostragem de dados tem um
efeito incomum sobre o desempenho de um sistema com
realimentação em malha fechada, uma vez que a
estabilidade e a resposta transitória são agora
dependentes da taxa de amostragem.
Se esta for muito lenta, o sistema pode ser instável,
uma vez que os valores não estão sendo atualizados o
rápido suficientemente.
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SISTEMAS DIGITAIS EM MALHA FECHADA
O fato de que os sinais são amostrados em intervalos
especificados e mantidos faz com que o desempenho do
sistema varie com variações da taxa de amostragem.
Basicamente, então, o efeito do controlador digital sobre
o sinal vem dessa amostragem e manutenção do sinal.
Portanto, para modelar sistemas de controle digital,
deve-se obter uma representação matemática desse
processo do amostrador e do segurador.
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A TRANSFORMADA Z
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TRANSFORMADA Z
A transformada de Laplace é uma transformada muito útil
para a engenharia de controle, como visto anteriormente.
Entretanto, ela é utilizada para a análise de sistemas
contínuos no tempo, não sendo possível a sua aplicação
direta em sistemas discretos.
Para analisar sistemas de controle discretos, deve-se
aplicar os critérios da transformada de Laplace em um sinal
discreto, porém o resultado será a transformada Z.
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TRANSFORMADA Z
A transformada Z é uma forma de “vincular” sinais
discretos com sistemas de controle, e funciona de forma
parecida com a transformada de Laplace, onde o sinal
discreto complexo exponencial 𝑧𝑘, em que 𝑧 é um número
complexo, possui função similar à exponencial complexo de
um sinal no tempo contínuo 𝑒𝑠𝑡.
F
o
n
te
: 
N
is
e
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TRANSFORMADA Z
A transformada de Laplace e a transformada Z são
técnicas paralelas, a primeira é usada em sistemas
contínuos e a segunda em sistema discretos
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
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TRANSFORMADA Z
Uma F(z) pode ser transformada em f(kT) ou uma f(kT)
pode ser transformada em F(z). Alternativamente, podemos
escrever:
Fazendo um paralelo com o desenvolvimento da
transformada de Laplace, podemos construir uma tabela
relacionando f(kT), ao valor da função amostrada no tempo
nos instantes de amostragem, com F(z).
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EXEMPLOS DE PARES DE TRANSFORMADA Z
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TRANSFORMADA Z
A transformada de Laplace é dada por:
Esta transformada pode ser mudada para transformada
Z em três passos:
1. Muda-se os sistemas contínuos para discretos;
2. Reescreve-se o termo exponencial;
3. Troca-se as variáveis r e w por z;
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
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2
TRANSFORMADA Z
1. Muda-se os sistemas contínuos para discretos
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
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3
TRANSFORMADA Z
2. Reescreve-se o termo exponencial;
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
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TRANSFORMADA Z
3. Troca-se as variáveis r e 𝟂 por z;
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
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5
TRANSFORMADA Z
A função de transferência fica na forma:
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
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PLANO Z
O plano s é representado em sistema de coordenadas
retangulares, enquanto o plano z está em coordenadas
polares.
• No eixo imaginário do plano s obtém-se a curva de
resposta em frequência de um sistema contínuo.
• No eixo imaginário do plano s, temos s=0. Da relação
𝜎=−ln(𝑟), temos que 𝑟 = 1.
• Portanto, o eixo imaginário no plano s, torna-se um
círculo de raio unitário no plano z.
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
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PLANO S x PLANO Z
F
o
n
te
: 
G
a
b
ri
e
l 
K
o
v
a
lh
u
k
Regiões Estáveis
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EXEMPLO
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Exemplo
Considere o sinal x[n]:
Faça um esboço deste sinal e determine a equação que o
representa no domínio Z através da transformada Z.
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ExemploConsidere o sinal x[n]:
Faça um esboço deste sinal e determine a equação que o
representa no domínio Z através da transformada Z.
Considerando a equação têm-se que
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Exemplo
Considere o sinal x[n]:
Faça um esboço deste sinal e determine a equação que o
representa no domínio Z através da transformada Z.
Representando o 
sinal no tempo 
discreto temos:
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Exemplo
Considere o sinal x[n]:
Faça um esboço deste sinal e determine a equação que o
representa no domínio Z através da transformada Z.
Aplicando a transformada Z têm que que:
o termo com valor 5, para n = –1 desaparece pois está à esquerda da origem 
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LABORATÓRIO
PRÓXIMA AULA:
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato