Prévia do material em texto

DISCIPLINA:
CONTROLE ANALÓGICO E 
DIGITAL
Professor: Luciano Bonato Baldissera
lucianobonato@bol.com.br
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - EGE
AULA 02
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS 
DINÂMICOS
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - EGE
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 2
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 3
INTRODUÇÃO
Análise de um sistema de controle:
• Obtenção de um modelo matemático
• Analise do desempenho do sistema a partir de vários métodos disponíveis
Sinais de Entrada
• Geralmente, não são conhecidos previamente
Projeto de sistemas de controle
• Deve-se ter uma base de comparação de desempenho de vários sistemas de
controle
• Deve-se detalhar os sinais de teste da entrada frente aos diversos tipos de
sistemas de controle
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 4
INTRODUÇÃO
Sinais de teste geralmente utilizados: degrau, rampa, parábola de
aceleração, impulso, sinal senoidal etc.
Determinação dos sinais típicos de teste:
Análise do comportamento da entrada que o sistema será submetido com
maior frequência sob condições normais de operação.
• Se são funções de tempo que variam gradualmente: rampa
• Se o sistema está sujeito a variações bruscas na entrada: impulso
Degrau: Pulso: Impulso:
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 5
INTRODUÇÃO
Normalmente um sistema possui duas respostas distintas a um sinal
inserido em sua entrada: A resposta transitória e a resposta estacionária.
𝑐 𝑡 = 𝐶𝑡𝑟 𝑡 + 𝐶𝑠𝑠 𝑡
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 6
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS
Modelo matemático
– Conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema
– Vários modelos podem ser construídos para um determinado sistema
– A dinâmica de muitos sistemas é representada por meio de equações
diferenciais obtidas através de leis físicas (Leis de ohm, Newton, Kirchhoff etc)
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 7
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS
• Deve-se conciliar a simplicidade do modelo matemático elaborado e a
precisão dos resultados da análise.
• Para a obtenção de um modelo matemático linear, as vezes torna-se
necessário desprezar certas não linearidades e parâmetros distribuídos
(desde que isto cause pequenos impactos na precisão dos resultados)
• Geralmente, constrói-se um modelo simplificado que leva à uma
percepção geral do sistema e, em seguida, são introduzidas sofisticações na
modelagem.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 8
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
A transformada de Laplace é um método utilizado para facilitar a resolução
de equações diferenciais lineares.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 9
LÓGICA DA APLICAÇÃO DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Exemplo:
•Multiplicação de dois números romanos, VI x XIV, com a resposta em número
romano.
Procedimento:
•Transformar estes números romanos em números arábicos: VI=6; XIV=14;
•Problema transformado: multiplicar 6 por 14 = 84;
•Converter a solução do problema transformado para a solução do problema
original:
• 84= LXXXIV : Transformação Inversa.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
1
0
LÓGICA DA APLICAÇÃO DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Resolução
Transformada
Inversa
Transformada
Aplicação da 
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
1
1
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
A transformada de Laplace é definida como:
Já a transformada inversa de Laplace que permite a obtenção de f(t) a
partir de F(s) é definida como:
Onde:
£ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 
0−
∞
𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
£−1 𝐹 𝑠 =
1
2𝜋𝑗
 
𝛼−𝑗∞
𝛼+𝑗∞
𝐹(𝑠)𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠 = 𝑓 𝑡 𝑢(𝑡)
𝑢 𝑡 = 1, 𝑝/t > 0
𝑢 𝑡 = 0, 𝑝/tpode ser visualizada mais facilmente pelo
exame do diagrama de blocos do que pelo exame do próprio sistema físico.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
2
3
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Um diagrama de blocos contem informações relativas ao
comportamento dinâmico, mas não inclui nenhuma informação sobre a
construção física do sistema.
• Em um diagrama de blocos, a fonte principal de energia não é mostrada
explicitamente
• O diagrama de blocos de um dado sistema não é único. Diferentes
diagramas de blocos podem ser desenhados para um dado sistema,
dependendo do ponto de vista da análise que se quer fazer.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
2
4
EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE BLOCOS
O esquemático abaixo representa um sistema de controle em malha
fechada, onde o sinal de um sensor de nível é enviado a um dispositivo
controlador que abre ou fecha a válvula de controle de acordo com o valor de
referência desejado para o nível do reservatório. Dado que a variação de nível
depende da vazão do processo, essa saída comanda indiretamente a entrada
de água no reservatório:
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
2
5
EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE BLOCOS
Os blocos controlador e válvula pneumática (atuador) compõem a lógica de
controle C(s), o bloco reservatório de água é a planta que deseja-se controlar
G(s), e o bloco flutuador é o sensor escolhido para monitorar o nível do
reservatório de água L(s).
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
2
6
EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE BLOCOS
Assim, através da análise do diagrama de blocos do sistema é possível
elaborar a função de transferência do sistema que relaciona a entrada com a
saída.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
2
7
EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE BLOCOS
Após a análise apresentada no quadro, podemos definir o sistema como
uma função de transferência H(s), a partir do diagrama de blocos obtido.
𝐻 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺′(𝑠)
1 + 𝐺′ 𝑠 𝐿(𝑠)
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
2
8
POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a
resposta forçada e a resposta natural. Embora diversas técnicas, como a
solução de equações diferenciais ou a aplicação da transformada de Laplace
permitam calcular essa resposta, tais técnicas são trabalhosas e consomem
muito tempo. O uso de polos e zeros e de sua relação com a resposta de
sistemas no domínio do tempo simplifica e torna mais rápida a análise.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
2
9
POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Polos
• Denominam-se Polos de uma função de transferência os valores da variável
complexa S, da Transformada de Laplace, que levam o valor da função de
transferência tender ao infinito;
• Quaisquer raízes do denominador da função de transferência que são
comuns às raízes do numerador.
O polo da função apresentada é -5
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
0
POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Zeros
• São chamados de zeros os valores da variável complexa s, da Transformada
de Laplace que anulam o valor da função de transferência;
• São quaisquer raízes do numerador da função de transferência que são
comuns às raízes do denominador.
O zero da função apresentada é -2
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
1
POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Zero 
Polo
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
2
POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
3
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – EXEMPLO LIVRO
Determine a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor,
Vc(s), à tensão de entrada, V(s), no circuito da figura:
E
x
e
m
p
lo
2
.6
–
P
á
g
in
a
3
9
–
N
is
e
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
4
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – EXEMPLO LIVRO
Em qualquer problema, o projetista deve primeiro decidir quais devem ser
as variáveis de entrada e de saída. No caso do circuito temos:
Neste circuito, diversas variáveis poderiam ter sido escolhidas como a
saída, por exemplo, a tensão no indutor, a tensão no capacitor, a tensão ou a
corrente no resistor. O enunciado do problema, entretanto, é claro neste caso:
a tensão no capacitor Vc(s) é a saída do sistema, e a tensão V(s) é
considerada a entrada do nosso sistema.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
5
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – EXEMPLO LIVRO
Para a resolução deste sistema, é possível a aplicação da lei de Kirchhoff
das tensões, a LKT, a partir dos modelos matemáticos dos respectivos
componentes:
𝑽𝒄(𝒕) =
𝟏
𝑪
 
𝒕𝟎
𝒕
𝑰(𝒕)𝒅𝒕 +𝑽𝑪(𝒕=𝟎)
𝑽𝑳(𝒕) = 𝑳.
𝒅𝑰(𝒕)
𝒅𝒕
𝑽𝑹(𝒕) = 𝑹. 𝑰(𝒕)
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
6
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – EXEMPLO LIVRO
Assim, somando as tensões ao longo da malha, a partir da aplicação da
LKT, e admitindo condições iniciais nulas, produz-se a equação íntegro-
diferencial para este circuito:
Trocando-se as variáveis de corrente para carga, utilizando i(t) = dq(t)/dt, é 
obtido o seguinte: 
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
7
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – EXEMPLO LIVRO
Da relação tensão-carga para um capacitor, temos que:
Substituindo q(t) por C.Vc(t) nas equação da malha temos: 
𝑞 = 𝐶. 𝑉𝑐(𝑡)
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
8
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – EXEMPLO LIVRO
Aplicando a transformada de Laplace, admitindo condições iniciais nulas,
reorganizando os termos e simplificando, resulta:
Resolvendo para a função de transferência, VC(s)/V(s), obtemos
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
3
9
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – EXEMPLO LIVRO
Assim, podemos representar o sistema da figura pelo seu modelo
matemático, o qual tem como entrada tensão da fonte e como saída a tensão
no capacitor. Em um sistema de controle este sistema poderia ser representado
pelo seguinte bloco com sua respectiva função de transferência:
Este bloco pode ser considerado por exemplo um sistema de controle em
malha aberta, onde uma entrada de tensão V(s) resulta em um comportamento
da tensão Vc(s) expresso pela função inserida no bloco.
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 40
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - EXEMPLO DE OBTENÇÃO EM UM SISTEMA
Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido.
Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem
misturada e escoa do tanque na mesma taxa que entra. Quanto sal haverá no
tanque:
a) Para um tempo t qualquer (criar o modelo do sistema)
b) Para t = 20 minutos
c) Para t = 30 minutos
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 41
EXEMPLO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido.
Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem
misturada e escoa do tanque na mesma taxa que entra. Quanto sal haverá no
tanque:
a) Para um tempo t qualquer (criar o modelo do sistema)
Para modelarmos o sistema precisamos verificar a
taxa de saída de sal em função do tempo:
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂(𝒕𝒆) − 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒂í𝒅𝒂(𝐭𝐬)
No instante inicial temos:
𝑡𝑆 =
)𝑦(𝑡
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
.
10l
min
=
)𝑦(𝑡
1000𝑙
.
10l
min
=
)𝑦(𝑡
100
𝑡𝐸 = 0kg.
10l
min
= 0kg/min
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 42
EXEMPLO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido.
Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem
misturada e escoa do tanque na mesma taxa queentra. Quanto sal haverá no
tanque:
a) Para um tempo t qualquer (criar o modelo do sistema)
Substituindo na fórmula:
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂(𝒕𝒆) − 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒂í𝒅𝒂(𝐭𝐬)
Temos:
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
0kg
min
−
)𝑦(𝑡
100
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −
)𝑦(𝑡
100
∴ 𝒅𝒚 = −
)𝑦(𝑡
100
𝒅𝒕 ∴
𝒅𝒚
)𝒚(𝒕
= −
𝒅𝒕
100
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 43
EXEMPLO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido.
Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem
misturada e escoa do tanque na mesma taxa que entra. Quanto sal haverá no
tanque:
a) Para um tempo t qualquer (criar o modelo do sistema)
A partir da equação integra-se dos dois lados:
Assim:
𝒅𝒚
)𝒚(𝒕
= −
𝒅𝒕
100
 
𝒅𝒚
)𝒚(𝒕
= −
𝒅𝒕
100
𝒍𝒏 𝒚 = −
t
100
+ C
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 44
EXEMPLO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido.
Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem
misturada e escoa do tanque na mesma taxa que entra. Quanto sal haverá no
tanque:
a) Para um tempo t qualquer (criar o modelo do sistema)
Podemos eliminar o ln aplicando-se a exponencial:
Para encontrarmos a constante C podemos considerar
que no instante 0 a quantidade de sal (y) no tanque é de
15kg. Assim:
𝒚 = 𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎. 𝒆+𝑪𝒆𝒍𝒏 𝒚 = 𝒆−
t
100+C
𝒚 = 𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎. 𝒆+𝑪 𝟏𝟓𝒌𝒈 = 𝒆−
𝟎
𝟏𝟎𝟎. 𝒆+𝑪 = 𝟏. 𝒆+𝑪 𝒆+𝑪 = 𝟏𝟓𝒌𝒈
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 45
EXEMPLO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido.
Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem
misturada e escoa do tanque na mesma taxa que entra. Quanto sal haverá no
tanque:
a) Para um tempo t qualquer (criar o modelo do sistema)
Finalizando o modelo matemático que representa o
sistema no domínio do tempo é:
Se desejarmos encontrar o modelo no domínio da
frequência podemos apenas aplicar a transformada
inversa de Laplace. Assim:
𝒚 𝒕 = 𝟏𝟓. 𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎
𝒚(𝒕) = 𝟏𝟓. 𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎 𝒚(𝒔) =
𝟏𝟓
𝒔 +
𝟏
𝟏𝟎𝟎
13/08/2021 Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato 46
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - EXEMPLO DE OBTENÇÃO EM UM SISTEMA
Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido.
Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem
misturada e escoa do tanque na mesma taxa que entra. Quanto sal haverá no
tanque:
b) Para t = 20 minutos
c) Para t = 30 minutos
𝒚 𝒕 = 𝟏𝟓. 𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟓. 𝒆−
𝟐𝟎𝒎𝒊𝒏
𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟐, 𝟐𝟖𝒌𝒈 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍
𝒚 𝒕 = 𝟏𝟓. 𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟓. 𝒆−
𝟑𝟎𝒎𝒊𝒏
𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝒌𝒈 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍
13/08/2021
4
7
Exercícios
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
13/08/2021
4
8
EXERCÍCIOS:
1) Qual a vantagem na utilização a transformada de Laplace em sistemas de
controle?
2) O que são os polos e zeros de uma função de transferência?
3) O que é a resposta natural de um sistema? E a resposta forçada?
4) Qual a finalidade da utilização de um diagrama de blocos para a
representação de sistemas e controle?
5) Defina função de transferência.
6) Qual é a relação que deve ser feita para a elaboração da função de
transferência de um sistema?
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato
13/08/2021
4
9
PROJETO E REPRESENTAÇÃO DE 
SISTEMAS DE CONTROLE
PRÓXIMA AULA:
Controle Analógico e Digital - Prof. Luciano Bonato