Movimentos I

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ESTUDANDO OS MOVIMENTOS 
Prof. Luiz Fernando Mackedanz 
Física I – 2ª semana 
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias 
O que veremos neste capítulo: 
 O movimento de objetos que se deslocam em linha reta, em uma dimensão. 
 Os conceitos de posição, deslocamento e distância. 
 Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um objeto se deslocando 
em linha reta. 
 Como computar a velocidade e a aceleração de objetos se deslocando em 
linha reta. 
 A descrição matemática do movimento com aceleração constante. 
 A queda livre sem a resistência do ar. 
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Posição 
 Vetores de movimento unidimensional têm apenas 
uma componente, por hora a componente x 
 Use o símbolo x para denotar o vetor posição 
 Nota: não colocamos setas em vetores 1D 
 Todos os vetores posição são medidos em relação à origem do sistema de 
coordenadas, que pode ser escolhida arbitrariamente 
 O vetor x pode ser positivo ou negativo (seu módulo, no entanto, é sempre positivo) 
 Exemplos de vetores posição 1d adequados (unidades m do SI, + ou -) 
 
 
 O vetor posição é uma função de tempo 
 Notação do vetor posição dependendo do tempo: x(t) 
 Notação: Vetor x em algum tempo específico t1: x(t1)=x1 
0 
x 
x 
X(t) 
t 
t1 
X(t1) 
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Representação gráfica 
 Exemplo: Um carro se move por uma estrada (vista superior) 
 Quando o carro passa pelo ponto azul, começamos a contar o tempo e a marcar sua 
posição em intervalos de tempo regulares 
Caso 1: velocidade constante Caso 2: acelerando Caso 3: parando 
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 
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Gráficos do vetor posição 
 Podemos considerar somente a 
localização do centro do carro e obter 
um gráfico vetor posição x tempo 
Típico de movimento com velocidade constante 
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Deslocamento 
 Deslocamento = diferença entre a posição final e a posição inicial, 
 
 
 
 O deslocamento é um vetor, assim como a posição; ele pode ser negativo 
 O deslocamento é independente da localização da origem do sistema de 
coordenadas (ao contrário da posição) 
 O deslocamento de um ponto b para um ponto a é exatamente o negativo de ir 
do ponto a ao ponto b: 
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Distância 
 No movimento unidimensional, a distância é o valor absoluto da componente x 
do vetor deslocamento 
 
 
 Para o movimento em várias dimensões, calculamos o comprimento do vetor 
deslocamento conforme mostrado no Capítulo 1 
 A distância é sempre positiva (ou 0) 
 Distância é uma escalar, deslocamento é um vetor 
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Exemplo: viagem de ida e volta (1) 
 A distância entre Des Moines, Iowa e Iowa City é de 113,5 milhas ou 182,6 km 
 Uma linha reta com uma boa aproximação 
 
 
 
 
 Questão: 
 Se fizermos uma viagem de Des Moines a Iowa City e de volta a Des Moines, qual a 
distância total e o deslocamento total desta viagem? 
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 Resposta: 
 Distância: distância total = soma da 
distância de Des Moines a Iowa City 
mais a distância de Iowa City a Des Moines. 
Cada distância é 182,6 km => distância total 
da viagem de ida e volta é 2*182,6 km, 365,2 km. 
 Deslocamento: 
 Considere a origem do sistema de coordenadas como Des Moines (e importa onde a 
colocamos?) => xD= 0 km 
 O vetor posição de Iowa City tem então o valor xI=+182,6 km. 
 O vetor deslocamento para ir de Des Moines a Iowa City 
 
 O vetor deslocamento para a viagem de volta 
 
 O deslocamento total da viagem de ida e volta é a soma dos dois deslocamentos 
Exemplo: viagem de ida e volta (2) 
x 
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 Velocidade média 
 Deslocamento dividido pelo intervalo de tempo que ele levou para ocorrer 
 
 
 Velocidade (instantânea) 
 Obtida por meio de um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima 
de zero 
Vetor velocidade 
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 Aceleração Média 
 Mudança de velocidade dividida pelo intervalo de tempo 
 
 
 Aceleração (instantânea) 
 Obtida por meio de um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima 
de zero 
Vetor aceleração 
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Lembretes de cálculo (da matemática básica) 
 Polinômios: 
 
 Funções trigonométricas: 
 
 Exponenciais, logaritmos: 
 
 Regra do produto: 
 
 Regra da cadeia: 
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Exemplo: velocidade (1) 
 Durante o intervalo de tempo de 0 a 10s, o vetor posição de um carro na 
estrada é dado por 
 
 Questão: Qual é o seu vetor velocidade? 
 Resposta: Tire a derivada 
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Exemplo: velocidade (2) 
 Gráfico de 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nota: a posição é mínima quando a velocidade é zero! 
 Esperado pelo cálculo 
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Velocidade escalar 
 Velocidade escalar é o valor absoluto do vetor velocidade 
 Velocidade é um vetor, velocidade escalar é o módulo 
 Relação com a distância 
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Exemplo: percursos de natação (1) 
 Suponha que uma nadadora termine 
os primeiros 50 m dos 100 m em nado 
livre em 38,2 s. Assim que ela chega 
ao lado oposto da piscina de 50 m de 
comprimento, ela volta e nada até o 
ponto de partida em 42,5 s. 
 Questão: 
 Qual a velocidade média e a 
velocidade escalar média da nadadora 
para a ida do início até o lado oposto 
da piscina, a volta e o percurso total? 
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Exemplo: percursos de natação (2) 
Resposta: 
 Primeira parte: 
 A nadadora começa em x = 0 e nada até x = 50 m. 
Ela leva 38,2 s. 
 Velocidade média 
 
 
 Velocidade escalar média 
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Exemplo: percursos de natação (3) 
 Segunda parte: 
 A nadadora começa em x = 50 m e nada até 
x = 0 m. Ela leva 42,5 s. 
 Velocidade média 
 
 
 Velocidade escalar média 
! 
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 Todo o percurso: 
 A nadadora começa em x = 0 m, nada até x = 50 m, e nada de volta até 0. Ela leva 
38,2 s + 42,5 s = 80,7 s. 
 Velocidade média: 0 
 Deslocamento é 0 
 Também podemos encontrar isso calculando a média ponderada pelo tempo 
 
 
 Velocidade escalar média: use a distância =100m e o tempo total 
 
 
 
 (temos outra vez o mesmo resultado obtido através da média ponderada) 
Exemplo: percursos de natação (4) 
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Exemplo: 100 m rasos 
 Recorde mundial de Carl Lewis, no Campeonato Mundial de Atletismode 1991 
Ajuste: v =11,58 m/s 
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Relações inversas 
 Comece com a definição v=dx/dt e integre ambos os lados: 
 
 
 
 
 É possível encontrar a posição, se sabemos a velocidade em função do tempo 
e a posição em t=0 
 Integração similar para obter a velocidade a partir da aceleração 
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Movimento linear com aceleração constante 
 Do que se trata? 
 Já vimos grande parte dos casos! 
 Use a fórmula da integral e deixe a = constante: 
 
 
 
 Integre a velocidade para encontrar o vetor posição: 
A velocidade é linear no tempo 
A posição é quadrática no tempo 
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Velocidade média 
 Se a velocidade depende linearmente do tempo, qual a velocidade média no 
intervalo de t0 a t? 
 Resposta: 
Então, entre 0 e t: 
V(t) 
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Posição e velocidade média 
 Comece com: e 
 
 Obtemos: 
 Agora multiplique ambos os lados por t e some x0: 
 
 
 
 Obtemos x(t) na integração: 
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Expressão para v2 
 Resolva para o tempo e obtenha: 
 
 Substitua este resultado na expressão da posição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Subtraia x0 de ambos os lados e multiplique por a: 
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Expressão para v2 (cont.) 
 Resultado: 
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Resumo: cinco equações cinemáticas 
 Movimento unidimensional com aceleração constante: 
 
 
 
 
 
 
 Resolvem praticamente qualquer problema unidimensional 
 
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Exemplo: decolagem de avião (1) 
 Experimento: medir a aceleração durante a decolagem de um avião 
 Resultado: Aceleração constante é uma boa aproximação 
a = 4,3 m/s2 
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Exemplo: decolagem de avião (2) 
Questão 1: 
 Presumindo uma aceleração constante de a =4,3 m/s2, começando do repouso, 
qual é a velocidade de decolagem da aeronave alcançada depois dos 18s? 
Resposta 1: 
 A aeronave acelera de um ponto de partida parado: 
velocidade inicial é igual a 0 
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Exemplo: decolagem de avião (3) 
 Questão 2: 
 Que distância o avião percorreu até a decolagem? 
 Resposta 2: 
A pista principal no 
aeroporto de Lansing 
tem 7500 pés 
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Vetores de posição, velocidade e aceleração 
 Relacionados por derivadas e integrais 
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Resumo: cinco equações cinemáticas 
 Movimento unidimensional com aceleração constante: 
 
 
 
 
 
 
 Resolvem praticamente qualquer problema unidimensional 
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Exemplo: corrida de dragster (1) 
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias 
 Acelerando a partir do repouso, um carro de corrida de dragster pode atingir 
333,2 milhas por hora (= 148,9 m/s), um recorde estabelecido em 2003, no 
final de um quarto de milha (= 402,3 m). Para este exemplo, vamos considerar 
aceleração constante. 
Questão 1: 
Qual é o valor da aceleração? 
 
Resposta 1: 
 Neste caso, é conveniente usar 
 e solucionar a aceleração 
Exemplo: corrida de dragster (2) 
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias 
Questão 2: 
Quanto tempo leva para que o carro de corrida complete um quarto de milha do 
ponto de partida? 
Resposta 2: 
Como a velocidade final é de 148,9 m/s, a velocidade média é 
 
Agora podemos usar 
 
 
 
A resposta verdadeira, medida na pista é t  4,5 s 
 A pressuposição de aceleração constante não está correta 
Exemplo: corrida de dragster (3)