Movimento Bidimensional I

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GALILEU E A QUEDA DOS CORPOS 
FÍSICA I - SEMANA 3 
Luiz Fernando Mackedanz 
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias 
Movimento em uma dimensão 
 Primeiro caso (capítulo anterior): movimento linear simples 
 Caso especial 1: movimento com aceleração 0 
 Caso especial 2: movimento com aceleração constante 
 2a: queda livre com a=-g 
 Outros casos para mais tarde: 
1) Movimento circular 
 Movimento em um plano bidimensional 
 Movimento 2D redutível a movimento 1D a partir da introdução de um novo conjunto 
de coordenadas ao plano (coordenadas polares) 
2) Oscilações de um objeto ligado a uma mola 
 Movimento devido à força que é proporcional ao deslocamento 
 = "Força restauradora" 
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Sistema de coordenadas 
 Em geral, usamos um sistema de coordenadas Cartesianas tridimensional, 
com os eixos x, y e z 
 O sistema de coordenadas deve ser 
 Ortogonal: ângulos de 90º entre cada par de eixos 
 Destro 
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Trabalhando com componentes 
 Vetor posição 
 
 Vetor velocidade 
 
 
 
 
 Vetor aceleração 
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Velocidade e aceleração em um plano 
 Uma diferença marcante entre velocidade ao longo de uma linha e velocidade 
em duas ou mais dimensões é que ela pode mudar de orientação e de 
módulo. 
 Qualquer mudança na velocidade gera aceleração, mesmo que o módulo da 
velocidade não se altere 
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Movimento de projéteis 
 Movimento 3D especial: a projeção horizontal (no plano xy) é uma linha reta 
<=> movimento em um plano 
 Podemos atribuir um novo 
sistema de coordenadas 
de forma que o eixo x deste 
sistema de coordenadas 
seja uma projeção horizontal da 
trajetória do eixo y, 
apontando diretamente para cima 
 Movimento 3D efetivamente 
 reduzido a 2D 
 Exemplo: a gravidade é a única força, agindo na direção do eixo z 
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Bola quicando 
 Fotografia com luz estroboscópica mostra a trajetória de uma bola no ar 
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Movimento de projéteis 2 
 Vetor posição 
 
 Vetor velocidade 
 
 Vetor aceleração 
 
 
 Dois tipos de movimento diferentes em duas direções: 
 Queda livre na direção vertical (eixo y) 
 Movimento com velocidade constante (= aceleração zero) na direção horizontal 
(eixo x) 
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Movimento ideal de projéteis 
 "Ideal" refere-se à ausência de qualquer resistência do vento ou outros 
efeitos de resistência. 
 Única força atuando: 
gravidade 
Foto / ilustração: 
Chris Hill arremessando 
um lance livre durante o 
"BasketBowl", em 2003 
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Independência de movimento xy 
 No movimento ideal de projéteis, o movimento nas componentes x e y 
independem entre si 
 Isto não é uma afirmação trivial 
 É preciso ser mostrada através de um experimento 
 Caso contrário, nossa descrição matemática precisará ser modificada 
 Só é verdade para o movimento ideal de projéteis se desprezamos a 
resistência do ar 
 Com a resistência do ar, a força de resistência é proporcional a v2, o que faz com 
que o movimento nas direções x e y dependa um do outro. 
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Equações para o movimento ideal de projéteis 
 Aceleração(a ser futuramente explicada) 
 
 Aceleração ao longo de cada eixo: 
 
 
 Movimento horizontal: velocidade constante 
 
 
 Movimento vertical: queda livre 
 
 
 Use a notação convencional: 
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Trajetória de voo 
 Vamos descrever a forma da trajetória no plano xy 
 
 
 
 Procedimento: resolva a equação para o tempo: 
 
 
 Agora acrescente isto ao y(t): 
 
 
 
 
 
 
 
 y = f(x2,x1,x0) => a forma da função é uma parábola 
0 0( ) xx t x v t 
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Trajetória de voo (2) 
 Simplifique: mova a origem para que x0=0 
 
 
 
 
 
 
 Inclua 
 
 
 Resultado: 
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Trajetória de voo (3) 
 Confirmação visual 
Chafariz no terminal do Aeroporto Metropolitano de 
Detroit Wayne County (DTW) 
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v(t) 
 Olhe para as componentes de x e y separadamente 
 A componente horizontal da 
velocidade permanece constante 
no tempo -> linha horizontal 
 A componente vertical cai com o 
tempo, com declividade -g 
 Nota: se a velocidade vertical 
inicia positiva, ela vai atingir 
um ponto em que será 0. 
v(t) 
t 
vx(t) vx0 
vy(t) 
vy0 
t = vy0/g 
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v(t) e trajetória 
 Sobreponha imagens dos vetores velocidade em uma trajetória com diferentes 
tempos 
 Setas verdes: 
 componente horizontal de v 
 Setas vermelhas: 
 componente vertical de v 
 Setas azuis: 
 vetor velocidade 
 Importante: 
o vetor velocidade 
forma uma tangente 
em cada ponto da trajetória 
Nota: no ápice da trajetória, 
vy troca de sinal 
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Análise do movimento de projéteis 
 No filme abaixo, lançamos uma bola e observamos sua trajetória no que diz 
respeito ao sistema de coordenadas xy em cm 
y 
(c
m
) 
x (cm) 
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Análise do movimento de projéteis (2) 
 Verificamos a posição da bola em cada quadro e fazemos um gráfico com 
os resultados 
Quadro 1 
t = 0 s 
Quadro 7 
t = 0,2 s 
Quadro 14 
t = 0,47 s 
Quadro 21 
t = 0,67 s 
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Análise do movimento de projéteis (2) 
 Podemos calcular a velocidade como uma função de tempo 
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Dependências em relação à velocidade (1) 
 Qual a dependência do módulo do vetor velocidade sobre o tempo e as 
coordenadas? 
 
 
 Dependência das coordenadas: 
 
 
 Módulo do vetor velocidade: 
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Dependências em relação à velocidade (2) 
 Use o resultado e insira a dependência em relação à coordenada y sobre 
o tempo, 
 
 
 
Resultado: 
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 Ponto de partida: trajetória 
 
 
 Obtenha a derivada de y referente a x: 
 
 
 
 Encontre a raiz da derivada para determinar o ponto de máximo e mínimo: 
 
Altura máxima e trajetória 
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Altura máxima e trajetória 
 Ponto de partida:trajetória 
 
 
 Obtenha a derivada de y referente a x: 
 
 
 
 Encontre a raiz da derivada para determinar o ponto de máximo e mínimo: 
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Altura máxima e trajetória (2) 
 Resultado: 
 
 
 Nos convença de que a 
2a derivada é menor 
do que 0: 
 
 
 
 
 xH é mesmo o ponto onde a altura máxima é atingida 
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Altura máxima e trajetória (3) 
Questão: Qual é a altura máxima? 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 Visto que , finalmente encontramos: 
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Ilustração 
 Represente a altura máxima H como função do ângulo de lançamento (para 
uma dada v0) 
 
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Alcance 
 O alcance, R, de um projétil é definido como a distância horizontal entre o 
ponto de lançamento e o ponto onde o projétil atinge a mesma altura de onde 
começou, y(R)=y0: 
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Alcance 
 O alcance, R, de um projétil é definido como a distância horizontal entre o 
ponto de lançamento e o ponto onde o projétil atinge a mesma altura de onde 
começou, y(R)=y0: 
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Alcance máximo 
 Em qual ângulo o alcance máximo é atingido (para uma dada v0)? 
 Obtenha a derivada de R referente ao ângulo: 
 
 
 
 
 É 0 quando 
 Ou seja, o lançamento deve ser a 45 graus 
 Sendo assim, o alcance máximo de um projétil ideal é: 
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Ilustração 
 Represente o alcance como uma função do ângulo de lançamento