Movimento Bidimensional II

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PARTE 2 
Exemplo: arremesso no beisebol 
 “Frozen rope” = expressão usada para descrever um arremesso 
especialmente forte da segunda ou terceira base para a primeira 
Questão: 
 Sabemos que não é possível arremessar uma bola em linha reta, 
mas sim seguindo uma parábola; qual o desvio da trajetória 
com relação a uma linha reta? 
 
Resposta: 
 Considere o arremesso a 90 mph = 40,2 m/s 
 Distância da segunda base para a primeira = 27,4 m = d12 
 Fórmula do alcance (em que R = d13) 
Exemplo: arremesso no beisebol (2) 
 Agora use este ângulo para obter a altura: 
 
 
 
 Aqui nós consideramos a altura de 6 pés = 1,83 m da qual a bola é 
arremessada. O meio da trajetória é em 57 cm de altura (~ 2 pés) 
 O arremesso da terceira base para a primeira tem a mesma velocidade: 
ângulo de lançamento 6,81° e altura máxima 1,16 m (~ 4 pés) acima 
do ponto em que a bola foi arremessada. 
Exemplo: rebatendo no beisebol 
Questão: 
 Se a bola é rebatida com um ângulo de lançamento de 35° e 
velocidade escalar inicial de 110 mph, que distância a bola 
percorrerá? Quanto tempo ela ficará no ar? Qual será sua velocidade 
escalar no pico da trajetória? Qual será sua velocidade escalar 
quando aterrissar? 
Resposta: (por ora, despreze a resistência do ar; voltaremos a ela mais 
tarde) 
 Converta em unidades do SI: v0 =110 mph = 49,2 m/s 
 
 Alcance: 
 
 Tempo no ar: 
Exemplo: rebatendo no beisebol (2) 
Resposta (cont.): 
 No pico da trajetória, a velocidade tem somente sua componente 
horizontal: 
 
 
 A velocidade escalar é a mesma na aterrissagem e no lançamento, 
aqui 
de 49,2 m/s 
 Lembre-se de que, em geral 
 E já que y=y0 quando a bola aterrisa, obtemos v=v0. 
“Atire” no macaco 
 Onde é preciso mirar, se quisermos acertar um macaco, considerando 
que ele soltará o galho que está segurando assim que ouvir o som do 
disparo da arma? 
Exemplo: atire no macaco 
 O macaco soltou-se de uma altura de 2,5 m, a bola foi lançada de uma 
altura de 1 m. A distância entre o arremessador e o macaco é de 4 m. 
 Questão: Se a bola é lançada com uma velocidade escalar inicial de 8 
m/s, em que altura o macaco será atingido? 
1 m 
2,5 m 
4 m 
 
Exemplo: atire no macaco (2) 
Resposta: 
 Primeiro, calculamos quanto tempo a bola leva para chegar até o 
macaco. Eles estão a 4 m de distância, e a bola se move a 8 m/s => 
leva 0,5 s para a bola encontrar o macaco (o fato de ambos estarem 
em queda livre no dado instante é irrelevante!) 
 Em segundo, podemos usar para a posição do macaco 
em queda. 
 
 Obtemos: 
y = 2,5 m-9,81·0,52/2 m 
 = 1,27 m 
1 m 
2,5 m 
4 m 
 
Movimento realista de projéteis 
 No que diz respeito ao movimento ideal de projéteis, bolas de praia e 
de beisebol tem a mesma trajetória 
 Resistência do ar: força de resistência, proporcional a v2 
 Leva a curvas balísticas 
 Exemplo: bolas de beisebol lançadas com 35º e 90 ou 110 mph 
Movimento realista de projéteis (2) 
 Rotação do projétil 
 A rotação de uma bola de futebol americano contribui para a sua 
estabilidade 
 No tênis, o topspin (efeito que se dá à bola ao atingi-la de baixo para cima) 
faz com que a bola caia mas rápido, e o backspin (efeito que causa rotação 
da bola para trás) faz com que a bola caia mais devagar do que o esperado 
pelo movimento ideal de projéteis 
 A propósito: a “bola rápida ascendente” não ascende de verdade; ela é, no 
entanto, arremessada com bastante backspin e cai mais devagar do que o 
esperado 
 Slide anterior: as curvas foram calculadas com um valor inicial de 
backspin realista de 2.000 rpm 
 O sidespin (efeito dado na lateral da bola) causa slices e hooks no golf e 
bolas curvas no beisebol 
 Causa de mudanças de trajetória devido à rotação: moléculas de ar se 
deslocando de maneira diferente na superfície do projétil em rotação 
Exemplo: problema da moeda (1) 
Primeira parte: movimento em linha reta com 
aceleração constante (eixo x = plano inclinado) 
Segunda parte: movimento ideal de projéteis 
Adquire velocidade ao longo do plano 
Exemplo: problema da moeda (2) 
 Movimento em linha reta 
 Movimento ideal de projéteis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (positivo) valor de x-x0 tal que y(x) = 0? 
 
=> Equação quadrática de x para resolver 
Exemplo: problema da moeda (3) 
Referenciais em movimento 
 Até então: movemos a origem do sistema de coordenadas para uma 
localização conveniente para os cálculos 
 Exemplo: mudar x0 para que x0 = 0 no ponto de partida da trajetória de um 
projétil 
 Até agora sempre mantivemos o sistema de coordenadas na mesma 
localização durante o movimento que queremos 
descrever. 
 Mas existem algumas situações 
nas quais um sistema de 
coordenadas em movimento é 
necessário 
 Exemplo: Um avião aterrissando sobre 
um porta-aviões em movimento 
Exemplo: esteira rolante de aeroportos 
 Uma pessoa andando a uma velocidade , medida por um observador 
que move-se junto na esteira rolante 
 A superfície da esteira 
se move com em 
relação ao terminal. 
 As duas velocidades se 
somam como vetores 
 Velocidade de uma pessoa 
medida por alguém 
parado no terminal: 
wv
Referenciais em movimento 
 Exige que o referencial (=sistema de coordenadas) mova-se com 
velocidade constante em relação ao sistema de coordenadas que está 
em repouso 
 Então as acelerações medidas em ambos os referenciais são a mesma 
 Exemplo da esteira rolante de aeroportos novamente 
 Se 
 
 De obtemos: 
Três dimensões 
 Dois sistemas de coordenadas x,y,z e x’,y’,z’ que tem seus eixos 
paralelos 
e que se encontram em t=0 
 A origem de x’,y’,z’ move-se com 
velocidade constante em 
relação a x,y,z 
 Após um tempo t, a origem 
de x’,y’,z’ está localizada no 
 
 
 A adição dos vetores nos dá a 
transformação entre os referenciais 
Três dimensões (2) 
 Velocidades: 
 
 
 
 
 
 
 Acelerações: 
Aeronave em um vento transversal 
 Uma aeronave se move com uma velocidade escalar de 160 m/s no 
sentido nordeste. O vento está soprando a 32,0 m/s no sentido oeste 
Aeronave em um vento transversal (2) 
Uma aeronave se move com uma velocidade escalar de 160 m/s no 
sentido nordeste. O vento está soprando a 32,0 m/s no sentido oeste 
Questão: 
 Qual é o vetor velocidade – velocidade escalar e orientação – da 
aeronave em relação ao solo? 
Resposta: 
 Em um sistema de coordenadas que se move com o vento, a aeronave 
tem as componentes de velocidade: 
 
 
 
 Componentes de velocidade do vento: 
Aeronave em um vento transversal (3) 
 Some-as para encontrar a velocidade da aeronave em relação ao solo: 
 
 
 
 
 Sentido e módulo absolutos: 
 
 
 
 
 
(comparado com 160 m/s e 45°, uma redução de 21 m/s e um desvio 
de 9.4° do curso original) 
Aeronave em um vento transversal (4) 
Questão: 
 Qual o desvio de curso devido ao vento considerando que o avião voe 
por duas horas? 
Resposta: 
 Jeito mais fácil: perceba que o desvio de curso se dá devido à 
velocidade do vento (no sentido oeste) vezes 7.200 s: 
Dirigindo na chuva 
 Quando se dirige na chuva, é possível perceber que a chuva quase 
sempre vem na nossa direção. Por quê? 
 Mais uma vez, isto é consequência dos referenciais em movimento. 
Visão de um observador parado na rua Visão de dentro do carro 
-vcarro é a velocidade do referencial 
Exemplo: dirigindo na chuva Está chovendo e não há vento. Gotas de chuva de 0,8 polegadas de 
diâmetro (típicas) estão caindo com uma velocidade terminal de 14 
mph (6,26 m/s) 
 Um carro está dirigindo na chuva (a direção não importa!) a uma 
velocidade de 25 mph (11,2 m/s). Com qual ângulo em relação à 
horizontal a chuva bate no carro? 
Projéteis em referenciais em 
movimento 
 Tiro com arco: com o alvo a 25 m de distância, atire uma flecha com 
velocidade inicial de 90 m/s, na direção horizontal, mirada 
exatamente 
no centro do alvo. O alvo move-se a 3 m/s da esquerda para a direita. 
Questão: Onde a flecha acerta? 
Projéteis em referenciais em 
movimento (2) 
Resposta: 
 Leva t = 25m/(90m/s) = 0,28 s para a flehca chegar até o alvo 
 A flecha cai 0,5·9,81·0,282 m = 0,38 m 
 O movimento do alvo é um referencial em movimento => desvio lateral da 
flecha de vt = 3 m/s 0,28 s = 0,83 m 
Mire aqui! 
Travessia de balsa 
 O capitão de uma balsa quer viajar diretamente através de um rio 
que flui para leste com uma velocidade escalar de 1,07 m/s. Ele 
começa na margem sul do rio e quer chegar até a margem norte 
viajando em linha reta. O barco tem velocidade escalar de 6,34 m/s 
referente à água. Para qual direção, em graus, o capitão deve guiar o 
barco? Note que a 90º está o leste, a 180º está o sul, a 270º está o 
oeste, e a 360º está o norte.