Conservação de Energia

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CONSERVAÇÃO DA 
ENERGIA MECÂNICA 
Prof. Luiz Fernando Mackedanz 
Energia mecânica 
 Definição: A energia mecânica (também chamada de “energia mecânica total”) 
é a soma da energia cinética e da energia potencial 
 
 
 Definição: Um sistema isolado é um sistema de objetos que exercem 
forças entre si, mas para os quais nenhuma força externa causa mudanças 
de energia 
 Nenhuma energia é transferida para dentro ou para fora do sistema 
Conservação de energia 
 Para qualquer processo mecânico dentro de um sistema isolado que envolve 
apenas forças conservativas, a energia mecânica total é conservada, ou seja, 
permanece constante no tempo. 
 
 
 
 Um modo alternativo de escrever o mesmo resultado: 
 
 
 A lei da conservação de energia total é uma pedra fundamental em toda a 
física. Outras leis de conservação (do momento linear, do momento angular, de 
cargas, do número bariônico, ...) virão 
Conservação de energia - derivada 
 Para forças conservativas, encontramos: 
 
 Este trabalho também é igual à mudança na energia cinética 
 
 Ao combinar estes dois resultados encontramos 
 
 
 Agora usamos e obtemos: 
Conservação de energia - considerações 
 Nós não fizemos referência particular a qualquer caminho; uma vez que a força 
tem que ser conservativa para a energia de conservação, este resultado tem de 
ser independente do caminho 
 Não é preciso saber quaisquer detalhes sobre a força conservativa para que 
seja possível usar a conservação de energia 
 Um objeto em queda livre próximo a superfície da terra não é propriamente um 
sistema isolado. Mas ainda podemos aplicar conservação de energia, porque 
 o objeto + a Terra formam um sistema isolado, e 
 mudanças na energia cinética e no movimento da Terra devido a reordenação 
deste objeto podem ser desprezados 
 Todas as mudanças na energia cinética e potencial são para este objeto 
Exemplo: defendendo o castelo (1) 
 Defenda o castelo contra invasores! Atire rochas com uma catapulta com velocidade de 
lançamento de 14,2 m/s, do pátio sobre os muros do castelo até os invasores em frente 
ao castelo, a uma elevação de 7,20 m abaixo do pátio. 
Questão: 
 Qual é a velocidade com que as rochas 
atingirão os invasores? 
Resposta: 
 Jeito mais difícil: Encontre o ângulo de 
lançamento apropriado para evitar o muro; 
decomponha o vetor velocidade inicial em 
componentes; resolva para a componente 
y da velocidade como uma função do tempo 
ou da altitude, Seguindo a trajetória do 
impacto; obtenha a raiz quadrada da soma 
dos quadrados das componentes 
da velocidade 
Resposta: 
 Jeito bem mais fácil: use a conservação de energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Insira os números 
Exemplo: defendendo o castelo (2) 
Conservação de energia - massa em uma mola (1) 
 Energia potencial para uma massa em uma mola 
 
 
 Energia mecânica total: 
 
 
 No deslocamento máximo (=amplitude, x=A), a massa é invertida 
=> v=0 => K=0 neste momento 
 Então descobrimos o importante resultado que a energia em simples oscilações 
harmônicas é 
Conservação de energia - massa em uma mola (2) 
 Energia mecânica total: 
 
 
 Resolva para a a velocidade como uma função de deslocamento 
 
 
 
 
 Nota: Não precisamos resolver a equação do movimento para chegar a este 
resultado! A conservação de energia sozinha foi suficiente. 
Conservação de energia - massa em uma mola (3) 
A bola de canhão humana (1) 
 Uma das atrações de circo mais populares é a “bola de canhão humana”, 
na qual uma pessoa é arremessada de um barril longo 
 Antes que os irmãos italianos Zacchini inventassem o canhão de ar comprimido 
para arremessar bolas de canhão humanas na década de 1920, 
o inglês George Farini usava um canhão carregado por mola para esse 
propósito desde os anos 1870 
 Suponha que alguém queira recriar a bola de canhão humana de Farini usando 
uma mola dentro de um barril 
 Pressuponha que o barril tenha 4,00 m de comprimento, e que você tenha 
que comprimir a mola em 3,30 m 
 Além disso, o barril está apontando verticalmente em direção ao teto do 
auditório, onde a uma altura de 7,50 m acima da cabeça há uma barra 
que nossa bola de canhão humana (de altura 1,75 m e massa 68,4 kg) 
tem que segurar no topo de sua trajetória 
A bola de canhão humana (2) 
Questão 1: 
 Qual é o valor da constante elástica necessária para realizar esse feito? 
Resposta 1: 
 Vamos considerar a conservação de energia em diferentes instâncias. À esquerda 
mostramos a posição de equilíbrio inicial da mola com a bola de canhão humana 
em repouso sobre ela (a). 
Então a força externa comprime 
a mola em 3,30 m (b). 
 Quando a mola é solta, a 
bola de canhão é acelerada e tem uma 
velocidade no momento em que ela passa 
da posição de equilíbrio da mola (c) 
 Desta posição, ele precisa subir 
7,50 m e chegar ao local no topo com 
velocidade zero (d) 
A bola de canhão humana (3) 
 Como sempre, temos liberdade de escolher o ponto zero para a energia 
potencial gravitacional de modo arbitrário 
 Preferimos definir o potencial gravitacional como sendo zero na posição 
de equilíbrio da mola 
 No ponto (b) temos energia cinética 
zero, e as energias potenciais da 
força elástica e da gravidade. 
Portanto, a energia total neste 
instante é 
 
 No ponto (c) temos apenas energia 
cinética e energia potencial zero 
A bola de canhão humana (4) 
 Uma vez que a bola de canhão humana atinge o topo, ela tem apenas 
energia potencial gravitacional e nenhuma energia cinética 
 
 
 A conservação de energia exige que 
a energia total permaneça a mesma. 
Igualando a primeira e a terceira 
expressão, obtemos 
 
 
 De acordo com o problema proposto 
 
A bola de canhão humana (5) 
 Então, encontramos a constante elástica necessária 
 
 
 
Questão 2: 
 Qual é a velocidade que a bola de canhão humana atinge quando passa da posição 
de equilíbrio da mola? 
Resposta: 
 Já determinamos que nossa escolha de origem implica que, neste instante, a bola 
de canhão humana tem apenas energia cinética 
 Ajustando essa energia cinética igual à energia potencial atingida no topo, encontramos 
Trapézio (1) 
Questão: 
 Uma trapezista começa seu movimento com o trapézio em repouso a um ângulo 
de 45 graus em relação à vertical. Seu balanço tem comprimento de 5,00 m. Qual 
é sua velocidade no ponto mais baixo da trajetória? 
Resposta: 
 Resolvemos o problema da velocidade 
como uma função do ângulo para este 
problema em geral, e então inserimos 
os números 
 Inicialmente temos apenas energia 
potencial gravitacional 
 Normalizamos esta energia potencial 
para que seja zero no ponto mais baixo 
do arco 
 De acordo com a figura, a energia potencial na deflexão máxima é 
 
 
 Esse também é o valor para a 
energia mecânica total 
porque pela definição temos 
energia cinética zero no 
ponto de deflexão máxima 
assim como na mola 
 Para qualquer outra deflexão, a 
energia é a soma das energias 
cinéticas e potenciais 
Trapézio (2) 
Trapézio (3) 
 Solucionando essa equação para a velocidade (=valor absoluto da 
velocidade), obtemos: 
 
 
 
 
 Para nossas condições iniciais 
 
 
 Inserindo os números, 
encontramos: 
Bloco impulsionado de uma mesa 
 Um bloco (m = 1,35 kg) é empurrado por uma mola (k = 560 N/m, 
inicialmente comprimida em 0,11 m) presa à parede, deslizad = 0,65 m 
pela mesa (nenhum atrito, por ora), e depois cai h = 0,76 m no chão 
 Questão: Que velocidade o bloco terá 
quando atingir o solo? 
Resposta: 
Conservação de energia para forças 
não conservativas 
 A energia mecânica total não é conservada para forças não conservativas 
 Para onde vai a energia? 
 Alguma parte ou a maior parte da energia é transformada em calor ou em 
vibrações internas 
 Ainda é possível escrever uma equação para a energia total 
 
 
 Energia total = soma de todas as formas de energia, é sempre totalmente 
conservada em um sistema isolado 
 Ainda podemos fazer cálculos com energias com forças não conservativas 
subtraindo o trabalho feito por estas forças da energia mecânica total 
Bloco impulsionado de uma mesa (1) 
 Um bloco (m = 1,35 kg) é empurrado por uma mola (k = 560 N/m, 
inicialmente comprimida em 0,11 m) presa à parede, desliza d = 0,65 m 
pela mesa (µ= 0.16), e depois cai h = 0,76 m no chão 
Questão: 
 Que velocidade o bloco terá quando atingir o solo? 
Resposta: 
 Use a conservação de energia novamente, 
mas subtraia o trabalho feito pela força 
de atrito da energia mecânica total 
 Energia com a qual o bloco atinge a borda 
da mesa: Força vezes a distância 
Bloco impulsionado de uma mesa (2) 
 Agora faça o mesmo cálculo de energia que antes, mas use 
 , que usamos no caso livre de atrito. 
 Resultado: 
 
 
 
 
 
 Por que passar pela etapa intermediária 
e não simplesmente usar 
 
 Foi preciso ter certeza de que o bloco não ficaria preso em cima da mesa! 
Curva de energia potencial 
 Analogia aceitável: trilhos de uma montanha-russa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Velocidade dada por: 
U(x) 
x 
Despreze 
(pequena) 
força de atrito 
Potencial e força 
 Opte por normalizar U para que o 
menor valor seja 0. (arbitrário!) 
 Pontos de equilíbrio: x1, x2, x3: a força 
neles é 0. 
 Para pontos de equilíbrio estáveis (x1, 
x3), pequenas perturbações resultam em 
pequenas oscilações ao redor do ponto 
de equilíbrio; para pontos de 
equilíbrio instável (x2), pequenas 
perturbações resultam em um 
movimento de aceleração que se 
distancia do ponto de equilíbrio. 
dF/dx<0 
dF/dx>0 
Estável 
Instável 
Pontos de inflexão 
 Quatro diferentes valores de E, mesma 
U(x) como anteriormente, figura mais 
abaixo: energia cinética resultante 
como função de x para estas 4 
energias 
 
 Pontos de inflexão = pontos onde a 
energia cinética é 0 
 E1: nenhum ponto de inflexão 
 E2: ponto de inflexão em a 
 E4: pontos de inflexão em e, e f. Preso! 
 E3: ponto de inflexão em d, e preso 
entre b e c