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Questão Resposta As matrizes A=[1m13] e B=[p-2-11] são inversas. Calcule os valores de m e p. m=2 e p=3 As notas dos alunos Mário, Ana e Carlos são: 6, 4 e 7, respectivamente, no primeiro bimestre em português. Considerando as matérias de matemática, física e história a mais, diz-se que as matérias de humanas s o 1/4 a mais das notas de portugu s e as de eztas s o 1/2 a menos. No bimestre seguinte, as notas azuis aumentaram um ponto e as vermelhas dois pontos. Dê a matriz das notas do segundo bimestre para estes três alunos e a média final como matriz unitária. [768545.5545.58.579.75]´ [74.834.838.42]´ As transformações Lineares estão presentes em diversos sistemas dinâmicos lineares. A seguir apresentamos algumas assertivas sobre transformações lineares. Considere as mesmas e assinale a alternativa correta: I - O princípio da superposição descrito pela equação abaixo é uma transformada linear empregada em sistemas lineares: T(c1v1+c2v2+...+cpvp) = c1T(v1 )+ c2T(v2 ) + ...+ cpT(vp); II - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R3; III - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R5; IV - Se T é uma transformada linear, então T(0) = 0 e T(cv +du) = cT(v) + dT(u) As afirmações I, II e IV são verdadeiras e a afirmação III falsa Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t = -A. Indique qual matriz abaixo é anti-simétrica: [0ab-a0c-b-c0] Complete a afimativa, abaixo, com a opção correta: Uma matriz A, n x n, é diagonalizável se, e somente se, ... A possui n autovetores linearmente independentes Complete a afirmativa abaixo com a alternativa correta: Os vetores v1, v2, ... , vp em um Espaço Vetorial V formam uma base para V se ... os vetores v1, v2, ... , vp geram V e são linearmente independentes Considere a matriz [1-312-hk] como sendo a matriz aumentada correspondente a um sistema de equações lineares. Os valores de h e k, são tais que o sistema não tenha solução: h = 6 e k ≠ 2 Considere a matriz A = [10-11-304-131]. Um dos 3 autovalores de A é λ = 1 Considere a matriz 3x3 A=[1a3526-2-1-3]. Determine o valor de a para que a matriz A não admita inversa. 1 Considere a seguinte base do ℝ 3: β= {(1, 2, 3), (1, 1, 1),(a ,b, c)}. Sabendo que as coordenadas do vetor (1, 4, 9), na base βsão (1, 2, 2) , determine o valor de (a+b- c). -3 Considere a Transformada Linear T(X) = AX tal que A = [231-252]Sendo B = [13327] a imagem de X por T, o vetor X é [51] Considere as afirmações abaixo, em que S = { v1 , ... , vp } é um conjunto de vetores do espaço vetorial V não trivial de dimensão finita I - Se S é linearmente independente, então S é uma base para V II - Se SpanS = V , então algum subconjunto de S é uma base para V III - Um plano do R3 é um subespaço vetorial bidimensional I e III são falsas, II é verdadeira Considere as afirmações abaixo: I e III são verdadeiras, II é falsaConsidere as afirmações abaixo: I - Se v1, ... ,v4 estão no R4 e v3 = 2 v1 + v2, então { v1 , v2 , v3, v4 } é linearmente dependente. II - Se v1, ... ,v4 estão no R4 e v1 não é múltiplo escalar de v2, então { v1 , v2 , v3, v4} é linearmente independente III - Se v1, ... ,v4 estão no R4 e { v1 , v2 , v3 } é linearmente dependente. então { v1 , v2 , v3, v4 } é, também, linearmente dependente. I e III são verdadeiras, II é falsa Considere as afirmações I - Se AB = I, então A é inversível II - Se A é inversível e k é um número real diferente de zero, então (kA)-1= kA-1 III - Se A é uma matriz 3x3 e a equação AX = [100] tem solução única, então A é inversìvel I e II são falsas, III é verdadeira Considere as afirmações, abaixo, sendo S = c um subconjunto de um espaço vetorial V, não trivial de dimensão finita. I - O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v1, ... , vp é um espaço vetorial II - Se { v1, ... , vp-1 } gera V, então S gera V III - Se { v1, ... , vp-1 } é linearmente dependente, então S também é. I e II são verdadeiras , III é falsa Considere as afirmações: I - Se o sistema linear, representado por AX = B, tem mais de uma solução, então o mesmo vale para o sistema AX = O . II - O sistema AX = O tem solução trivial se, e somente se, não existem variáveis livres. III - Se um sistema linear tem duas soluções distintas, então ele tem infinitas soluções. I e III são verdadeiras, II é falsa. Considere as assertivas abaixo: I - Se nenhum dos vetores de R3 no conjunto S = {v1, v2, v3} é um múltiplo escalar de um dos outros vetores, então S é um linearmente independente; II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o R5; III - Se {u, v, w} é um conjunto linearmente independente, então u, v e w não estão no R2; IV- Sejam u, v e w vetores não nulos do R5, v não é um múltiplo de u , e w não é uma combinação linear de u e v. Então {u, v, w} é linearmente independente. As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são verdadeiras Considere as seguintes transformações lineares T:R²->R² assim definidas: um cisalhamento no plano, na direção do eixo dos x, de um fator α, dado pela matriz canônica[1α01] uma rotação do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um ângulo β, cuja matriz canônica é:[cosβ-senβsenβcosβ]. O vetor v=(3,2) experimenta sequencialmente: um cisalhamento horizontal de fator 2 e uma [0-112] e (T1oT2)(3,2) = (-2,7) O vetor v=(3,2) experimenta sequencialmente: um cisalhamento horizontal de fator 2 e uma rotação de 900 no sentido anti-horário. Encontre a matriz da transformação linear que representa a composta dessas duas operações e o vetor resultante dessa sequência de operações. Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w. x = (2, -2, -5/2) Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução de 2u + v = 3w. (-7, 2, 0) Considere os vetores v1= (1, 2, 1), v2=(1, -1, 3) e v3= (1, 1, 4). Para que os mesmos formem uma base de R3 é necessário que para qualquer u = (x, y,z) existam c1, c2 e c3 de modo que u = c1v1 + c2 v2 +c3v3. Verifique se os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e quais os valores de c1, c2 e c3 que satisfazem a equação vetorial Os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7 Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com n equações e n variáveis. Seja A a matriz dos coeficientes das variáveis deste sistema. Se detA = 0 então pode-se garantir que: Este sistema não tem solução Considere uma matriz A tal que A2 -4A=0. Encontre os autovalores da matriz A. A2 -4A=0 => A(A - 4I)=0 => A=0 ou A=4I Se A=[0000] => det(A -λI)= det[-λ00-λ]=λ2 Equação característica: λ2=0 => λ=0. Se A=4[1001]=[4004] => det(A -λI)= det[4-λ004-λ] Equação característica: (4 -λ)2=0 => λ=4. Portanto λ=0 ou λ=4. Considere uma transformação linear T de R2 em R2 definida por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Seja A a matriz associada à transformação linear em relação à base canônica. Uma matriz A é diagonalizável se existe uma matriz não singular P, tal que P-1.A.P = D ,onde D é uma matriz diagonal. Sabendo que essa matriz A é diagonalizável, apresente A5 utilizando a fatoração da matriz A. [5-1-21].[6500-1].[1717-2757] Considere uma transformação linear T: ℝ3 → ℝ3 tal que T(x,y,z)= (x-2y,y+z,x-y+2z).Determine a matriz dessa transformação na base canônica. [1-200111-12] Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais e sejam os seguintes subconjuntos de V: W1={A=[abcd]: det A≠0} W2={A=[a0bc]} W3={A=[abcd]: det A=1} W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares} W5={A=[abcd]:a,b,c,d são números racionais} Selecione os subespaços vetoriais de V W2 e W5 Dada a matriz A = [10-94-2] encontre o polinômio característico da matriz A. λ2-8λ+16 Dada a matriz A =[2111] determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2 [ 0 0 6 ] Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que Ap = 0 diz-se que A é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que Ap = 0, diz-se que A é uma matriz nihilpotente de ¿índice¿ p. Determine o índice da matriz 3 x3 nihilpotente A=[113526-2-1-3] 3 Dado o conjunto de vetores S = { ( 2, -5 ) , ( -1 , 3 ) } e sendo W o conjunto de todos os vetores gerados por combinação linear dos vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) , denotado por W = Span { S } , os vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) estão em W gerados por combinação linear dos vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) , denotado por W = Span { S } , marque a alternativa correta Dados os vetores u = (1, -2, -3, -1, 0) e v = (9, -4, -2, 0, 3) de R5. Marque a alternativa abaixo que indica as operações u + v, 3v e u - 2v , nessa ordem. (10, -6, 1, -1, 3), (27, -12, -6, 0, 9) e (-17, 6, 7, -1, -6) Dados os vetores: v1 = [22-1] , v2 = [341] , v3 = [121] e v4 = [284] , marque a alternativa correta v4 é combinação linear de v1 , v2 e v3 Determinar os autovetores da matriz abaixo: 2 2 1 3 v = (2, 1) e u = (1, 1) Determine a matriz inversa da matriz C abaixo. -2 3 -1 1 -3 1 -1 -2 -1 Determine a representação matricial do operador do R2 -à R2 em relação à T(x, y)=(4x, 2y -x) e base canônica. 4 0 -1 2 Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes. [2013] [-1102] 5 Determine A-1. A=[21-102152-3] [8-1-3-51210-1-4] Duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Generalize todas as matrizes [abcd] que comutam com[1101] [ab0a] Durante um campeonato regional de futebol, para a verificação da pontuação das vitórias de cada time, foram utilizadas matrizes para a contabilização dos pontos. Para verificar o total de vitórias de uma das equipes, foi necessário aplicar os conceitos de produto de matrizes. Calcule o total de vitórias da equipe A sabendo-se que isso deve ser feito produto entre a segunda linha da matriz M e a primeira coluna da matriz N. As matrizes são dadas a seguir : Para a verificação dos pontos da equipe A deve-se fazer o produto da segunda linha da matriz M pela primeira coluna da matriz N, logo: P = 3.4 + 1.1 + 0.2 = 13. A equipe A obteve 13 vitórias. Durante um torneio de matemática, uma das questões propostas dizia que a soma das idades de duas pessoas totaliza 96 anos e que a diferença entre as idades dessas pessoas é igual a 20. Abaixo está representado o sistema referente a essa situação. É correto afirmar que a idade da pessoa mais velha corresponde a : 58 anos É possível utilizar-se do conceito de multiplicação de matrizes para o entendimento de um plano de montagem: Uma indústria de automóveis produz carros X e Y nas versões standard, luxo e superluxo. Na montagem desses carros são utilizadas as peças A, B e C. Para certo plano de montagem são fornecidas as seguintes tabelas: Com certeza será necessário multiplicar a matriz de peças pela matriz dos tipos de carros. Assim, temos: [433562] x [243325]=[172227212234182828] Então, a matriz resultado é a que deve ser usada no planejamento. Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes ao custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se afirmar que os custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a: 102 e 63 Encontre os autovalores da matriz triangular inferior A. A = [1200-12305-8-14] λ1= 1/2 , λ2= 2/3, λ3= -1/4 Escreva o vetor v = (5,-2) como combinação linear dos vetores v1=(1,-1) e v2=(1,0). 2v1+3v2 Indique qual opção determina a inversa da matriz A=[101121020]: não existe inversa para matriz A. Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. (I) O conjunto {1} não é uma base de R. (II) O conjunto {(1,-1), (-2,2),(1,0)} é uma base de R2. (III) O conjunto A = {(1,2,3), (0,1,2), (0,0,1)} é uma base de R3. III, apenas Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz A. A = [-2-152] λ1 = i , λ2= -i Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática, física e química. Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as linhas referentes aos alunos, determine a soma dos elementos a12, a22,a32 da matriz A. 15 Nas matrizes A1=[223552181520411442] e A2=[273161405043213719], cada elemento aij da matriz Ap representa o número de alunos que um professor i aprovou numa turma j durante o ano p. Assim, durante os dois anos considerados, quantos alunos o professor 2 aprovou da turma 3? 63 Nas teorizações sobre diagonalização de matrizes temos o Teorema: Uma matriz A, n x n, é diagonalizável se, e somente se, A pode ser fatorada na forma A = P. D. P-1 , sendo: P uma matriz invertível, tal que as colunas de P são n autovetores de A, linearmente independentes e, D uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são os autovalores de A associados, respectivamente, aos autovalores de P. Desse modo, para A = [72-41], cujos autovalores são 5 e 3 , com autovetores associados v1 = ( 1, -1 ) e v2 = ( 1, -2 ), respectivamente temos: P = [11-1-2] e D = [5003] No nosso dia a dia, seja no trabalho ou até mesmo em casa, podemos representar as informações obtidas e relacioná-las de forma organizada que permita uma melhor interpretação. Uma agência de automóveis registrou suas vendas, durante o quarto trimestre: 106 Gols, 40 Zafiras e 12 Passats no 1o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o mês, no último mês A=[1064012100226864020] Zafiras e 12 Passats no 1o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o mês, no último mês foram 86 Gols, 40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas por mês e transforme-a em matriz. O cálculo de A x B , sendo A = [1 2 3] e B = [-3 0 -2]t , é obtido por: [1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)] = [ -9] = -9 O número de autovalores racionais da matriz A = [0 -1 0 0 0 1 -4 -17 8], é: 1 O número de autovalores reais associados a matriz A = [-2 -1 5 2] é igual a : 0 O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas: 2, 3, 1 O sistema de equações (a-2) x + 2y = 4 e 3x -3y = 9 tem como representação gráfica no plano cartesiano duas retas paralelas. O valor de a é : 0 O sistema de equações 2 x + y = 3 e 4 x + 2y = 5 , representa no plano cartesiano um par de retas: paralelas distintas O valor de k para que as equações ( k - 2 ) x + 3y = 4 e 2x + 6y = 8 , represente no plano cartesiano um par de retas coincidentes é: k = 3 Os autovalores de [00005200-1] são λ1 = 0 , λ2 = 5 , λ3 = -1 Para a matriz A = [233-6] , temos como polinômio característico e autovalores p2(λ) = λ2 + 4λ - 21 ; λ1 = -7 e λ2 = 3 Para conseguir passar para a fase seguinte de um campeonato que envolve raciocínio matemático,os participantes tiveram que encontrar os valores de a, b, c e d das matrizes abaixo. Somente passaram para a fase seguinte os participantes que acertaram a questão e obtiveram para a, b, c e d, respectivamente, os seguintes valores : 0, 2, 1, 2 Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) é combinação linear de u = (3, 0, 2) e de v = (2, -1, -5) K = -12 Para qual(is) valor(es) da constante K o sistema, abaixo indicado, não tem solução. x - y = 5 2x - 2y = K K ≠ 10 Para que o sistema de equações (a-1) x + 3 y = 5 e 3 x + 6 y = 10 , represente no sistema cartesiano retas coincidentes , o valor de a deve ser igua a: a = 2,5 Para que o sistema de equações (a-2) x + 3y = 4 e 2x-6y =10 tenha representação gráfica de retas concorrentes, devemos ter: a diferente de 1 Para que o sistema de equações ax + 2y = 3 e x + y = 5 , represente no plano cartesiano um par de retas paralelas o valor de a deve ser: a = 2 Pela análise das relações entre vetores do conjunto S = {V1,V2}, em que V1 = (1, 0, 1) e V2 = (2, 0, 2), defina e explique se os mesmos são LI ou LD. São LD, pois um é múltiplo escalar do outro. Pelo método da determinação de uma base de autovetores, verifique se o operador linear abaixo λ = 1+V2, v = (x, V2x); λ = 1-V2,v = (x -V2x); o operador éPelo método da determinação de uma base de autovetores, verifique se o operador linear abaixo é diagonalizável. T(x,y) = (x + y, 2x + y) λ1= 1+V2, v1 = (x, V2x); λ2= 1-V2,v2 = (x1-V2x); o operador é diagonaizável, os autovalores são distintos logo os autovetores formam uma base para R². Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo formam uma base do R3 {(1, 1, 1), ( 1, 2, 3), ( 2, -1, 1)} Qual a condição para K, para que os vetores sejam Linearmente Independentes? v1 = (1, -2, K); v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, -1, -2). K ≠ -5 Resolva a equação abaixo, sabendo que o elemento A é a matriz dada. X = A2 + 2(A.A) + A.A-1 4 6 -6 -6 4 3 2 12 4 Resolva o sistema linear não homogêneo e determineo valor da soma das incógnitas: x+2y+2z=-1 x+3y+2z=3 x+3y+z=4 -4 Se A é uma matriz nxn, então, por definição, o traço de A, denotado por Tr (A) é a soma de todos os elementos da diagonal principal, isto é, Tr (A) = a11 + a22 + ... + ann Assim sendo, marque a alternativa correta: Tr (A) ≠ Tr (A -1) Seja v = (-3, -1, 2), w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas alternativas abaixo os escalares x, y e z de modo que w + r = v. x = 1, y = 1 e z = 0 Seja a matriz A = [51-41] . Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz de A. λ = 3 Seja A uma matriz 3x3 tal A² = A. Encontre os autovalores de A. λ=0 ou λ=1 Seja T uma transformação linear tal que T(1,0,0) = (1,2,1), T(0,1,0) = (3,5,2) e T(0,1,1) = (-1,-2,-1). Determine uma base para N(T)(núcleo de T). Base deN(T)={(1,1,1)}. Seja T:ℝ2→ℝ3 uma transformação linear. Considere as seguintes afirmações: I) T é certamente injetora. II) T é certamente não sobrejetora. III) T(0)=0 Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmação(ões): II Seja u = (1,1,0) , w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas alternativas abaixo os escalares x, y e z de modo que w - r = u. x = 3, y = 3 e z = -2 Seja um operador definido por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Apresente a matriz P que diagonaliza a matriz do operador. [P] = [15-12] Um conjunto de p vetores { v1, v2, ... , vp} é dito linearmente independente se, e somente se, na equação: a1v1 + a2v2 + ... + apvp = O, onde O é o vetor nulo e ai , i = 1, 2, ... , p são escalares, temos: a1 = a2 = ... = ap = 0 como única solução Um dos autovalores associados a matriz A = [1 3 4 2] , é: 5 Um subconjunto X não vazio de um espaço vetorial V é chamado conjunto linearmente dependente (L.D.), se existe um número finito de vetores V1, . . . ,Vk ∈ X e escalares a1, . . . , ak, não todos nulos, tais que a1V1 + . . . + akVk = 0. Neste caso, dizemos que os elementos de X são linearmente dependentes (L.D.). Diante desta afirmativa, defina o conjunto linearmente Um subconjunto X não vazio de um espaço vetorial V é linearmente independente se, e somente se, qualquer subconjunto finito de X é linearmente independente. ∈ linearmente dependentes (L.D.). Diante desta afirmativa, defina o conjunto linearmente independente. Uma criança economizou a quantia de R$500,00 guardando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 95 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais eram iguais. Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais a criança economizou? 45 Uma matriz e sua transposta têm o mesmo polinômio característico quando a ordem dessas matrizes for: qualquer ordem Uma rotação é uma transformação do plano que pode ser descrita pela transformação linear T:ℝ2 →ℝ2 dada pela matriz [cosθ-senθsenθcosθ], onde θ é o ângulo de rotação no sentido anti- horário. Considere θ=(π)rd. Seja ABC um triângulo de vértices A(0,0); B(2,0) e C(2, 2). Aplique uma rotação de πrd ao triângulo ABC e encontre as coordenadas dos vértices do triângulo transformado. Considere A1 = T(A) =[cos(π4)- sen(π4)sen(π4)cos(π4)][00]=[22-222222][00] Logo A1 =(0,0) B1 = T(B) =[cos(π4)-sen(π4)sen(π4)cos(π4)][20]=[22- 222222][20] Logo B1 =(1,1) C1 = T(C) =[cos(π4)-sen(π4)sen(π4)cos(π4)][22]=[22- 222222][22] Logo C1 =(0,2) Uma Transformação linear é um mapeamento de um espaço vetorial V para um espaço vetorial W. Qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Seja um vetor (x1 ,x2) e considere as transformações realizadas pelas matrizes abaixo. Quais as transformações sobre os pontos (x1 ,x2), no plano: A = [1 00-1] B = [-100-1] C = [0-11 0] D = [1000] (x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2, x1), (x1, 0) Verifique se a transformação T: R2 → R3, onde T(x,y) = (2x, x + y, 0) é uma transformação linear. Sejam u = (x,y) e v = (x1,y1) vetores quaisquer do R2 e seja k um escalar real. Então T(u + v) = T(x + x1 , y + y1) = (2.( x + x1 ), x + x1 + y + y1, 0) e T(u) + T(v) = T(x + x1) + T(y + y1) = (2x, x + y, 0) + (2x1, x1 + y1, 0). Logo, é uma transformação linear.
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