Álgebra Linear Respostas

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Questão Resposta
As matrizes A=[1m13] e B=[p-2-11] são inversas. Calcule os valores de m e p. m=2 e p=3
As notas dos alunos Mário, Ana e Carlos são: 6, 4 e 7, respectivamente, no primeiro bimestre em
português. Considerando as matérias de matemática, física e história a mais, diz-se que as
matérias de humanas s o 1/4 a mais das notas de portugu s e as de eztas s o 1/2 a menos. No
bimestre seguinte, as notas azuis aumentaram um ponto e as vermelhas dois pontos. Dê a matriz
das notas do segundo bimestre para estes três alunos e a média final como matriz unitária.
[768545.5545.58.579.75]´
[74.834.838.42]´
As transformações Lineares estão presentes em diversos sistemas dinâmicos lineares. A seguir
apresentamos algumas assertivas sobre transformações lineares. Considere as mesmas e
assinale a alternativa correta:
I - O princípio da superposição descrito pela equação abaixo é uma transformada linear
empregada em sistemas lineares:
T(c1v1+c2v2+...+cpvp) = c1T(v1 )+ c2T(v2 ) + ...+ cpT(vp);
II - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio
de T é o R3;
III - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio
de T é o R5;
IV - Se T é uma transformada linear, então T(0) = 0 e T(cv +du) = cT(v) + dT(u)
As afirmações I, II e IV são verdadeiras e a afirmação III falsa
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t = -A. Indique qual
matriz abaixo é anti-simétrica:
[0ab-a0c-b-c0]
Complete a afimativa, abaixo, com a opção correta:
Uma matriz A, n x n, é diagonalizável se, e somente se, ...
A possui n autovetores linearmente independentes
Complete a afirmativa abaixo com a alternativa correta:
Os vetores v1, v2, ... , vp em um Espaço Vetorial V formam uma base para V se ...
os vetores v1, v2, ... , vp geram V e são linearmente
independentes
Considere a matriz [1-312-hk] como sendo a matriz aumentada correspondente a um sistema de
equações lineares. Os valores de h e k, são tais que o sistema não tenha solução:
h = 6 e k ≠ 2
Considere a matriz A = [10-11-304-131]. Um dos 3 autovalores de A é λ = 1
Considere a matriz 3x3 A=[1a3526-2-1-3]. Determine o valor de a para que a matriz A não admita
inversa.
1
Considere a seguinte base do ℝ 3: β= {(1, 2, 3), (1, 1, 1),(a ,b, c)}.
Sabendo que as coordenadas do vetor (1, 4, 9), na base βsão (1, 2, 2) , determine o valor de (a+b-
c).
-3
Considere a Transformada Linear T(X) = AX tal que A = [231-252]Sendo B = [13327] a imagem
de X por T, o vetor X é
[51]
Considere as afirmações abaixo, em que S = { v1 , ... , vp } é um conjunto de vetores do espaço
vetorial V não trivial de dimensão finita
I - Se S é linearmente independente, então S é uma base para V
II - Se SpanS = V , então algum subconjunto de S é uma base para V
III - Um plano do R3 é um subespaço vetorial bidimensional
I e III são falsas, II é verdadeira
Considere as afirmações abaixo: I e III são verdadeiras, II é falsaConsidere as afirmações abaixo:
I - Se v1, ... ,v4 estão no R4 e v3 = 2 v1 + v2, então { v1 , v2 , v3, v4 } é linearmente
dependente.
II - Se v1, ... ,v4 estão no R4 e v1 não é múltiplo escalar de v2, então { v1 , v2 , v3, v4} é
linearmente independente
III - Se v1, ... ,v4 estão no R4 e { v1 , v2 , v3 } é linearmente dependente. então { v1 , v2 ,
v3, v4 } é, também, linearmente dependente.
 I e III são verdadeiras, II é falsa
Considere as afirmações
I - Se AB = I, então A é inversível
II - Se A é inversível e k é um número real diferente de zero, então (kA)-1= kA-1
III - Se A é uma matriz 3x3 e a equação AX = [100] tem solução única, então A é inversìvel
 I e II são falsas, III é verdadeira
Considere as afirmações, abaixo, sendo S = c um subconjunto de um espaço vetorial V, não
trivial de dimensão finita.
I - O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v1, ... , vp é um espaço vetorial
II - Se { v1, ... , vp-1 } gera V, então S gera V
III - Se { v1, ... , vp-1 } é linearmente dependente, então S também é.
I e II são verdadeiras , III é falsa
Considere as afirmações:
I - Se o sistema linear, representado por AX = B, tem mais de uma solução, então o mesmo vale
para o sistema AX = O .
II - O sistema AX = O tem solução trivial se, e somente se, não existem variáveis livres.
III - Se um sistema linear tem duas soluções distintas, então ele tem infinitas soluções.
I e III são verdadeiras, II é falsa. 
Considere as assertivas abaixo:
I - Se nenhum dos vetores de R3 no conjunto S = {v1, v2, v3} é um múltiplo escalar de um dos
outros vetores, então S é um linearmente independente;
II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o R5;
III - Se {u, v, w} é um conjunto linearmente independente, então u, v e w não estão no R2;
IV- Sejam u, v e w vetores não nulos do R5, v não é um múltiplo de u , e w não é uma
combinação linear de u e v. Então {u, v, w} é linearmente independente.
As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são
verdadeiras
Considere as seguintes transformações lineares T:R²->R² assim definidas:
um cisalhamento no plano, na direção do eixo dos x, de um fator α, dado pela matriz
canônica[1α01] uma rotação do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um
ângulo β, cuja matriz canônica é:[cosβ-senβsenβcosβ].
O vetor v=(3,2) experimenta sequencialmente: um cisalhamento horizontal de fator 2 e uma
[0-112] e (T1oT2)(3,2) = (-2,7)
O vetor v=(3,2) experimenta sequencialmente: um cisalhamento horizontal de fator 2 e uma
rotação de 900 no sentido anti-horário.
Encontre a matriz da transformação linear que representa a composta dessas duas operações e o
vetor resultante dessa sequência de operações.
Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a
alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
x = (2, -2, -5/2)
Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a
alternativa que indica a solução de 2u + v = 3w.
(-7, 2, 0)
Considere os vetores v1= (1, 2, 1), v2=(1, -1, 3) e v3= (1, 1, 4). Para que os mesmos formem uma
base de R3 é necessário que para qualquer u = (x, y,z) existam c1, c2 e c3 de modo que u =
c1v1 + c2 v2 +c3v3. Verifique se os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e quais os valores de
c1, c2 e c3 que satisfazem a equação vetorial
Os vetores v1 , v2 e v3 formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7
e c3= 6/7
Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com n equações e n variáveis.
Seja A a matriz dos coeficientes das variáveis deste sistema.
Se detA = 0 então pode-se garantir que:
 Este sistema não tem solução
Considere uma matriz A tal que A2 -4A=0. Encontre os autovalores da matriz A. A2 -4A=0 => A(A - 4I)=0 => A=0 ou A=4I
 Se A=[0000] => det(A -λI)= det[-λ00-λ]=λ2
Equação característica: λ2=0 => λ=0.
Se A=4[1001]=[4004] => det(A -λI)= det[4-λ004-λ]
Equação característica: (4 -λ)2=0 => λ=4.
Portanto λ=0 ou λ=4. 
Considere uma transformação linear T de R2 em R2 definida por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Seja A a
matriz associada à transformação linear em relação à base canônica. Uma matriz A é
diagonalizável se existe uma matriz não singular P, tal que P-1.A.P = D ,onde D é uma matriz
diagonal. Sabendo que essa matriz A é diagonalizável, apresente A5 utilizando a fatoração da
matriz A.
[5-1-21].[6500-1].[1717-2757]
Considere uma transformação linear T: ℝ3 → ℝ3 tal que T(x,y,z)= (x-2y,y+z,x-y+2z).Determine a
matriz dessa transformação na base canônica.
[1-200111-12]
Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais e sejam os seguintes
subconjuntos de V:
W1={A=[abcd]: det A≠0}
W2={A=[a0bc]}
W3={A=[abcd]: det A=1}
W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares}
W5={A=[abcd]:a,b,c,d são números racionais}
Selecione os subespaços vetoriais de V
W2 e W5
Dada a matriz A = [10-94-2] encontre o polinômio característico da matriz A. λ2-8λ+16
Dada a matriz A =[2111]
determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2
[ 0 0 6 ]
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que Ap = 0 diz-se que
A é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que Ap = 0, diz-se que A é uma
matriz nihilpotente de ¿índice¿ p.
Determine o índice da matriz 3 x3 nihilpotente A=[113526-2-1-3]
3
Dado o conjunto de vetores S = { ( 2, -5 ) , ( -1 , 3 ) } e sendo W o conjunto de todos os vetores
gerados por combinação linear dos vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) , denotado por W = Span { S } ,
os vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) estão em W
gerados por combinação linear dos vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) , denotado por W = Span { S } ,
marque a alternativa correta
Dados os vetores u = (1, -2, -3, -1, 0) e v = (9, -4, -2, 0, 3) de R5. Marque a alternativa abaixo que
indica as operações u + v, 3v e u - 2v , nessa ordem.
(10, -6, 1, -1, 3), (27, -12, -6, 0, 9) e (-17, 6, 7, -1, -6)
Dados os vetores: v1 = [22-1] , v2 = [341] , v3 = [121] e v4 = [284] , marque a alternativa correta v4 é combinação linear de v1 , v2 e v3
Determinar os autovetores da matriz abaixo:
2 2
1 3
v = (2, 1) e u = (1, 1)
Determine a matriz inversa da matriz C abaixo. -2 3 -1
 1 -3 1
-1 -2 -1 
Determine a representação matricial do operador do R2 -à R2 em relação à T(x, y)=(4x, 2y -x) e
base canônica.
 4 0
-1 2
Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes.
[2013] [-1102]
5
Determine A-1.
A=[21-102152-3]
 [8-1-3-51210-1-4]
Duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Generalize todas as matrizes [abcd] que comutam
com[1101]
[ab0a]
Durante um campeonato regional de futebol, para a verificação da pontuação das vitórias de cada
time, foram utilizadas matrizes para a contabilização dos pontos. Para verificar o total de vitórias
de uma das equipes, foi necessário aplicar os conceitos de produto de matrizes. Calcule o total
de vitórias da equipe A sabendo-se que isso deve ser feito produto entre a segunda linha da
matriz M e a primeira coluna da matriz N. As matrizes são dadas a seguir :
Para a verificação dos pontos da equipe A deve-se fazer o
produto da segunda linha da matriz M pela primeira coluna da
matriz N, logo: P = 3.4 + 1.1 + 0.2 = 13. A equipe A obteve 13
vitórias.
Durante um torneio de matemática, uma das questões propostas dizia que a soma das idades de
duas pessoas totaliza 96 anos e que a diferença entre as idades dessas pessoas é igual a 20.
Abaixo está representado o sistema referente a essa situação. É correto afirmar que a idade da
pessoa mais velha corresponde a :
58 anos
É possível utilizar-se do conceito de multiplicação de matrizes para o entendimento de um plano
de montagem: Uma indústria de automóveis produz carros X e Y nas versões standard, luxo e
superluxo. Na montagem desses carros são utilizadas as peças A, B e C. Para certo plano de
montagem são fornecidas as seguintes tabelas:
Com certeza será necessário multiplicar a matriz de peças
pela matriz dos tipos de carros. Assim, temos:
[433562] x [243325]=[172227212234182828]
Então, a matriz resultado é a que deve ser usada no
planejamento.
Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados
segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a
matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes ao
custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha
representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem
o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se
afirmar que os custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a:
102 e 63
Encontre os autovalores da matriz triangular inferior A.
A = [1200-12305-8-14]
λ1= 1/2 , λ2= 2/3, λ3= -1/4
Escreva o vetor v = (5,-2) como combinação linear dos vetores v1=(1,-1) e v2=(1,0). 2v1+3v2
Indique qual opção determina a inversa da matriz A=[101121020]: não existe inversa para matriz A.
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta.
 (I) O conjunto {1} não é uma base de R.
 (II) O conjunto {(1,-1), (-2,2),(1,0)} é uma base de R2.
 (III) O conjunto A = {(1,2,3), (0,1,2), (0,0,1)} é uma base de R3.
III, apenas
Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz A.
A = [-2-152]
λ1 = i , λ2= -i
Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática,
física e química.
Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as linhas referentes aos alunos,
determine a soma dos elementos a12, a22,a32 da matriz A.
15
Nas matrizes
A1=[223552181520411442] e A2=[273161405043213719], 
cada elemento aij da matriz Ap representa o número de alunos que um professor i aprovou
numa turma j durante o ano p. Assim, durante os dois anos considerados, quantos alunos o
professor 2 aprovou da turma 3?
63
Nas teorizações sobre diagonalização de matrizes temos o Teorema:
Uma matriz A, n x n, é diagonalizável se, e somente se, A pode ser fatorada na forma A = P. D.
P-1 , sendo:
P uma matriz invertível, tal que as colunas de P são n autovetores de A, linearmente
independentes e,
D uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são os autovalores de A
associados, respectivamente, aos autovalores de P.
Desse modo, para A = [72-41], cujos autovalores são 5 e 3 , com autovetores associados v1 = (
1, -1 ) e v2 = ( 1, -2 ), respectivamente temos:
P = [11-1-2] e D = [5003]
No nosso dia a dia, seja no trabalho ou até mesmo em casa, podemos representar as
informações obtidas e relacioná-las de forma organizada que permita uma melhor interpretação.
Uma agência de automóveis registrou suas vendas, durante o quarto trimestre: 106 Gols, 40
Zafiras e 12 Passats no 1o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o mês, no último mês
A=[1064012100226864020]
Zafiras e 12 Passats no 1o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o mês, no último mês
foram 86 Gols, 40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas por mês e transforme-a em
matriz.
O cálculo de A x B , sendo A = [1 2 3] e B = [-3 0 -2]t , é obtido por: [1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)] = [ -9] = -9 
O número de autovalores racionais da matriz A = [0 -1 0 0 0 1 -4 -17 8], é: 1
O número de autovalores reais associados a matriz A = [-2 -1 5 2] é igual a : 0
O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica
caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de processamento que possuem
velocidades de produção diferentes e são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de
acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as
máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas:
2, 3, 1
O sistema de equações (a-2) x + 2y = 4 e 3x -3y = 9 tem como representação gráfica no plano
cartesiano duas retas paralelas. O valor de a é :
0
O sistema de equações 2 x + y = 3 e 4 x + 2y = 5 , representa no plano cartesiano um par de
retas:
paralelas distintas
O valor de k para que as equações ( k - 2 ) x + 3y = 4 e 2x + 6y = 8 , represente no plano
cartesiano um par de retas coincidentes é:
k = 3
Os autovalores de [00005200-1] são λ1 = 0 , λ2 = 5 , λ3 = -1
Para a matriz A = [233-6] , temos como polinômio característico e autovalores p2(λ) = λ2 + 4λ - 21 ; λ1 = -7 e λ2 = 3 
Para conseguir passar para a fase seguinte de um campeonato que envolve raciocínio
matemático,os participantes tiveram que encontrar os valores de a, b, c e d das matrizes abaixo.
Somente passaram para a fase seguinte os participantes que acertaram a questão e obtiveram
para a, b, c e d, respectivamente, os seguintes valores :
0, 2, 1, 2
Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) é combinação linear de u = (3, 0, 2) e de v = (2, -1, -5) K = -12
Para qual(is) valor(es) da constante K o sistema, abaixo indicado, não tem solução.
 x - y = 5
 2x - 2y = K
K ≠ 10
Para que o sistema de equações (a-1) x + 3 y = 5 e 3 x + 6 y = 10 , represente no sistema
cartesiano retas coincidentes , o valor de a deve ser igua a:
a = 2,5
Para que o sistema de equações (a-2) x + 3y = 4 e 2x-6y =10 tenha representação gráfica de
retas concorrentes, devemos ter:
a diferente de 1
Para que o sistema de equações ax + 2y = 3 e x + y = 5 , represente no plano cartesiano um par
de retas paralelas o valor de a deve ser:
a = 2
Pela análise das relações entre vetores do conjunto S = {V1,V2}, em que V1 = (1, 0, 1) e V2 = (2,
0, 2), defina e explique se os mesmos são LI ou LD.
São LD, pois um é múltiplo escalar do outro.
Pelo método da determinação de uma base de autovetores, verifique se o operador linear abaixo λ = 1+V2, v = (x, V2x); λ = 1-V2,v = (x -V2x); o operador éPelo método da determinação de uma base de autovetores, verifique se o operador linear abaixo
é diagonalizável.
T(x,y) = (x + y, 2x + y)
λ1= 1+V2, v1 = (x, V2x); λ2= 1-V2,v2 = (x1-V2x); o operador é
diagonaizável, os autovalores são distintos logo os autovetores
formam uma base para R².
Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo formam uma base do R3 {(1, 1, 1), ( 1, 2, 3), ( 2, -1, 1)}
Qual a condição para K, para que os vetores sejam Linearmente Independentes? v1 = (1, -2, K);
v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, -1, -2).
K ≠ -5
Resolva a equação abaixo, sabendo que o elemento A é a matriz dada.
X = A2 + 2(A.A) + A.A-1
 4 6 -6
-6 4 3 
 2 12 4 
Resolva o sistema linear não homogêneo e determineo valor da soma das incógnitas: x+2y+2z=-1
x+3y+2z=3
x+3y+z=4
-4
Se A é uma matriz nxn, então, por definição, o traço de A, denotado por Tr (A) é a soma de
todos os elementos da diagonal principal, isto é, 
 Tr (A) = a11 + a22 + ... + ann
Assim sendo, marque a alternativa correta:
Tr (A) ≠ Tr (A -1) 
Seja v = (-3, -1, 2), w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas alternativas abaixo os escalares x, y e
z de modo que w + r = v.
x = 1, y = 1 e z = 0
Seja a matriz A = [51-41] . Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz de A. λ = 3
Seja A uma matriz 3x3 tal A² = A. Encontre os autovalores de A. λ=0 ou λ=1
Seja T uma transformação linear tal que T(1,0,0) = (1,2,1), T(0,1,0) = (3,5,2) e T(0,1,1) = (-1,-2,-1).
Determine uma base para N(T)(núcleo de T).
Base deN(T)={(1,1,1)}.
Seja T:ℝ2→ℝ3 uma transformação linear.
Considere as seguintes afirmações:
 I) T é certamente injetora.
II) T é certamente não sobrejetora.
III) T(0)=0
 
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmação(ões):
II
Seja u = (1,1,0) , w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas alternativas abaixo os escalares x, y e z
de modo que w - r = u.
x = 3, y = 3 e z = -2
Seja um operador definido por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Apresente a matriz P que diagonaliza a
matriz do operador.
[P] = [15-12]
Um conjunto de p vetores { v1, v2, ... , vp} é dito linearmente independente se, e somente se,
na equação:
 a1v1 + a2v2 + ... + apvp = O, onde O é o vetor nulo e ai , i = 1, 2, ... , p são escalares, temos:
a1 = a2 = ... = ap = 0 como única solução
Um dos autovalores associados a matriz A = [1 3 4 2] , é: 5
Um subconjunto X não vazio de um espaço vetorial V é chamado conjunto linearmente
dependente (L.D.), se existe um número finito de vetores V1, . . . ,Vk ∈ X e escalares a1, . . . , ak,
não todos nulos, tais que a1V1 + . . . + akVk = 0. Neste caso, dizemos que os elementos de X são
linearmente dependentes (L.D.). Diante desta afirmativa, defina o conjunto linearmente
Um subconjunto X não vazio de um espaço vetorial V é
linearmente independente se, e somente se, qualquer
subconjunto finito de X é linearmente independente.
∈
linearmente dependentes (L.D.). Diante desta afirmativa, defina o conjunto linearmente
independente.
Uma criança economizou a quantia de R$500,00 guardando cédulas de um, cinco e dez reais,
num total de 95 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais eram
iguais. Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais a criança economizou?
45
Uma matriz e sua transposta têm o mesmo polinômio característico quando a ordem dessas
matrizes for:
qualquer ordem
Uma rotação é uma transformação do plano que pode ser descrita pela transformação linear
T:ℝ2 →ℝ2 dada pela matriz [cosθ-senθsenθcosθ], onde θ é o ângulo de rotação no sentido anti-
horário.
Considere θ=(π)rd.
Seja ABC um triângulo de vértices A(0,0); B(2,0) e C(2, 2).
Aplique uma rotação de πrd ao triângulo ABC e encontre as coordenadas dos vértices do
triângulo transformado.
Considere A1 = T(A) =[cos(π4)-
sen(π4)sen(π4)cos(π4)][00]=[22-222222][00]
Logo A1 =(0,0)
B1 = T(B) =[cos(π4)-sen(π4)sen(π4)cos(π4)][20]=[22-
222222][20]
Logo B1 =(1,1)
C1 = T(C) =[cos(π4)-sen(π4)sen(π4)cos(π4)][22]=[22-
222222][22]
Logo C1 =(0,2)
Uma Transformação linear é um mapeamento de um espaço vetorial V para um espaço vetorial
W. Qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Seja um vetor (x1 ,x2) e
considere as transformações realizadas pelas matrizes abaixo. Quais as transformações sobre os
pontos (x1 ,x2), no plano:
A = [1 00-1] B = [-100-1] C = [0-11 0] D = [1000]
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2, x1), (x1, 0)
Verifique se a transformação T: R2 → R3, onde T(x,y) = (2x, x + y, 0) é uma transformação linear. Sejam u = (x,y) e v = (x1,y1) vetores quaisquer do R2 e seja k
um escalar real. Então
T(u + v) = T(x + x1 , y + y1) = (2.( x + x1 ), x + x1 + y + y1, 0) e
T(u) + T(v) = T(x + x1) + T(y + y1) = (2x, x + y, 0) + (2x1, x1 +
y1, 0). Logo, é uma transformação linear.