Prova 03 UNICAMP 2014 Turma A 2014 Com Gabarito

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Soluc¸a˜o da Prova III (sexta-feira)
(Cada setinha (X) vale 0.1)
1. Definindo a func¸a˜o g(x) =
∫ x
a
arccos2 u
(1− u2)2 duX, temos que f(x) = g(cos 3x)X− g(cosx)X.
Portanto, pela regra da cadeia, temos f ′(x) = g′(cos 3x)X · (− sen 3x)X · 3X −
g′(cos x)X(− sen x)X, onde, pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo,Xg′(x) = arccos
2 xX
(1− x2)2X.
Portanto,
f ′(x) = −3arccos
2(cos 3x)
(1− cos2 3x)2 sen 3xX+
arccos5(cosx)
(1− cos2 x)2 sen xX
= −3(3x)
2 sen 3x
sen4 3x
+
x2 sen x
sen4 x
X= x2
(
1
sen3 x
− 27
sen3 3x
)
X. (1.5)
2a. I =
∫
x2√
3x3 + 8
dx. Substituic¸a˜o: u = 3x3 + 8X ⇒ u′ = 9x2X ⇒ du = 9x2dxX, ou
seja, x2dx = 1
9
duX. Assim, temos I =
1
9
∫
1√
u
duX=
1
9
∫
u−1/2 duX=
1
9
u1/2
1/2
X+ CX=
2
9
√
u+ CX=
2
9
√
3x3 + 8 + CX. (1.0)
2b. I =
∫
sen4 x cos5 x dx =
∫
sen4 x cos4 x cos x dxX. Substituic¸a˜o: u = sen xX ⇒ du =
cos xdxXfornece I =
∫
u4(1−u2)2duX=
∫
(u4−2u6+u8)duX= u
5
5
X−2u
7
7
X+
u9
9
X+CX=
1
5
sen5 x− 2
7
sen7 x+
1
9
sen9 x+ CX. (1.0)
2c. I =
∫ √
9− 16x2
x2
dx. Substituic¸a˜o trigonome´trica: x = 3
4
sen uX ⇒ dx = 3
4
cos u duX
e
√
9− 16x2 = 3 cos uX. Isso fornece I =
∫
3 cos u(
3
4
sen u
)2 34 cos u duX= 4
∫
cot2 u duX=
4
∫ (
1
sen2 u
− 1
)
duX= −4 cot uX−4u+CX= −4 cot(arcsen(4x
3
))−4 arcsen(4x
3
)+CX=
−4
√
1
sen2(arcsen(4x
3
))
− 1 − 4 arcsen(4x
3
) + C = −4
√
(
3
4x
)2 − 1 − 4 arcsen(3x
4
) + C =
−
√
9− 16x2
x
− 4 arcsen(3x
4
) + CX. (1.0)
3. I =
∫
8x+ 5
(x2 + 4x+ 8)(x− 1) dx. Integral de func¸a˜o racional ⇒ Frac¸o˜es parciais:
8x+ 5
(x2 + 4x+ 8)(x− 1) =
Ax+ B
x2 + 4x+ 8
X+
C
x− 1X=
(Ax+ B)(x− 1) + C(x2 + 4x+ 8)
(x2 + 4x+ 8)(x− 1) ⇒
8x+ 5 = (Ax+B)(x− 1) +C(x2 + 4x+ 8) = (A+C)x2 + (−A+B + 4C)x−B + 8CX.
Estas expresso˜es precisam ser iguais para todo x. Isto fornece treˆs equac¸o˜es:
Em x = 1: 8 · 1 + 5 = 0 + C(12 + 4 · 1 + 8) = 13CX⇒ C = 1X.
Em x = 0: 5 = −B + 8CX= −B + 8 ⇒ B = 3X.
Coeficiente de x2: 0 = A+ CX= A+ 1 ⇒ A = −1X.
1
Portanto, I =
∫ −x+ 3
x2 + 4x+ 8
dx︸ ︷︷ ︸
I1
+
∫
1
x− 1 dx︸ ︷︷ ︸
I2
X. (1.0)
Na primeira integral I1, o termo linear do numerador precisa ser modificado de modo a
representar a derivada do denominador.
Como (x2 + 4x+ 8)′ = 2x+ 4, podemos escrever −x+ 3 = −1
2
(2x+ 4) + 5X.
Assim, I1 = −1
2
∫
2x+ 4
x2 + 4x+ 8
dx︸ ︷︷ ︸
I11
+5
∫
1
x2 + 4x+ 8
dx︸ ︷︷ ︸
I12
X.
A primeira destas integrais, I11, fornece I11 = ln(x
2 + 4x+ 8)X+ C11.
Na segunda destas integrais, I12, rescrevemos o denominador, completando o quadrado
de acordo com x2 +4x+8 = x2 +2 · 2 · x+22 +4 = (x+2)2 +4X= 4
[(
x+ 2
2
)2
+ 1
]
X.
Assim, substituic¸a˜o: u =
x+ 2
2
X⇒ du = 1
2
dxXfornece:
I12 =
1
4
∫
1
u2 + 1
2 duX=
1
2
arctan uX+ C12 =
1
2
arctan
x+ 2
2
X+ C12. (1.0)
Portanto, I1 = −1
2
I11 + 5I12 = −1
2
ln(x2 + 4x+ 8) +
5
2
arctan
x+ 2
2
+ C1X.
A integral I2 e´ pode ser facilmente integrada, resultando em I2 = ln |x− 1|X+ C2.
Desta forma, obtemos
I = I1 + I2 = −1
2
ln(x2 + 4x+ 8) +
5
2
arctan
x− 1
2
+ ln |x− 1|+ CX.
Assim, a integral determinada e´
∫
0
−2
8x+ 5
(x2 + 4x+ 8)(x− 1) dx =
−1
2
ln(x2 + 4x+ 8) +
5
2
arctan
x+ 2
2
+ ln |x− 1|
∣∣∣∣0
−2
X = −1
2
ln(02 + 4 · 0 + 8) +
5
2
arctan
0 + 2
2
+ln |0−1|−
(
−1
2
ln[(−2)2 + 4(−2) + 8] + 5
2
arctan
−2 + 2
2
+ ln | − 2− 1|
)
=
−1
2
ln 8 +
5
2
arctan 1 + ln 1 +
1
2
ln 4− 5
2
arctan 0− ln 3 = 5
8
pi − 1
2
ln 2− ln 3X. (0.5)
(2.5)
4. Os gra´ficos de f(x) = ax e g(x) = x2 − 3x se inter-
ceptam em ax = x2 − 3xX, i.e., x2 + (a + 3)x = 0X,
ou seja, x = 0 e x = a+ 3X. Como g(x)<f(x)Xneste
intervalo, temos A =
∫ a+3
0
X
(
ax− (x2 − 3x)) dxX
=
∫ a+3
0
(−x2 + (a+ 3)x) dxX
=
(
−x
3
3
X+
a+ 3
2
x2X
)∣∣∣∣a+3
0
X
=
(
−1
3
(a+ 3)3 +
a+ 3
2
(a+ 3)2
)
− 0X
=
1
6
(a+ 3)3Xu.a.
0
0
x
y
y=ax
y=x2−3x
Precisamos enta˜o
1
6
(a+ 3)3 = 36X, ou seja, (a+ 3)3 = 6 · 36X.
Tirando a ra´ız cu´bica, obtemos (a+ 3) = 6 ⇒ a = 3X. (1.5)
2
5. Volume: Cascas cil´ındricas: Integrac¸a˜o ao longo do
eixo x de func¸o˜es rotacionadas em torno do eixo
y: V = 2pi
∫ b
a
r[f(x) − g(x)] dxX, onde a e b sa˜o
os limites de integrac¸a˜o, aqui x = 0Xe x = pi
2
X, e
onde f(x) e g(x) sa˜o as func¸o˜es que delimitam a
a´rea, aqui f(x) = sen xXe g(x) = 0X. O raio r de
rotac¸a˜o e´ dado pela distaˆncia ao eixo de rotac¸a˜o,
i.e., temos r = xX.
Assim, V = 2pi
∫ pi
2
0
x[sen(x)− 0] dxX. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x=0
x=pi/2
y=sin x
x
y
Integrac¸a˜o por partes, com f = x ⇒ f ′ = 1Xe g′ = sen x ⇒ g = − cos xX. Assim, V =
2pi
[
−x cos x
∣∣∣pi2
0
X−
∫ pi
2
0
1(− cos x) dxX
]
= 2pi
[
−pi
2
cos
pi
2
− 0 cos 0X+
∫ pi
2
0
cos dxX
]
=
2pi
[
0 + sen x
∣∣∣pi2
0
X
]
= 2pi(1− 0) = 2piX. (1.5)
3