Numeros Complexos Forma Algebrica e Trigonometrica-Gabarito-Lista_02

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
NÚMEROS COMPLEXOS 
FORMA ALGÉBRICA E TRIGONOMÉTRICA – LISTA 02 
 
Profº Georges Cherry Rodrigues 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - GABARITO 
 
1) Represente os seguintes números no plano: 
 
a) P1 = 2+3i b) P2 = 4-i c) P3 = -3-4i d) P4 = -1+2i e) P5 = -2i 
 
Solução. Representando cada número complexo como pontos no plano Argand-Gauss, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos: 
 
a) 4+3i b) 2-2i c) 3+i d) 3 e)2i f) a+bi 
 
Solução. Aplicando a fórmula do módulo e identificando os valores de cosseno e seno, temos: 
 
a) 
525916)3()4(34 22  i
; º8,36
5
3
5
4
cos
:)( 











sen
zArg 
b) 
22844)2()2(22 22  i
; º315
2
2
22
2
2
2
22
2
cos
:)( 














sen
zArg 
c) 
1019)1()3(3 22  i
; º4,18
10
1
10
3
cos
:)( 












sen
zArg 
d) 
39)3(3 2 
; º0
0
3
0
1
3
3
cos
:)( 











sen
zArg 
e) 
24)2(2 2 i
; º90
1
2
2
0
2
0
cos
:)( 











sen
zArg 
e) 
2222 )()( bababia 
; 
a
b
arctg
ba
b
sen
ba
a
zArg 














22
22
cos
:)( 
3) Obtenha o produto w = 
z z z1 2 3. .
 onde: 
 
a) 
z i
z i
z i
1
2
3
16 160 160
5 325 325
308 308
 
 
 
(cos sen )
(cos sen )
cos sen
 
 
 
 b) 
)43sen43(cos6
)31sen31(cos4
)14sen14(cos3
3
2
1



iz
iz
iz



 
 
Solução. Aplicando a fórmula do produto entre complexos na forma trigonométrica e encontrando a 
primeira determinação positiva, se necessário, temos: 
 
a) 
)7373.(cos80)793793.(cos80..
)]308º325º160()308º325º160)[cos(1)(5).(16(..
321
321


isenisenzzz
isenzzz

 
 
b) 
)8888.(cos72..
)]43º31º14()43º31º14)[cos(6)(4).(3(..
321
321


isenzzz
isenzzz

 
 
4) Sendo z= 
2
4 4
(cos sen )
 
 i
, determine z
2
, z
3
 e z
4
. 
Solução. Aplicando a fórmula da potência na forma trigonométrica dos complexos, temos: 
 
i) 
  )
22
(cos2)
4
.2
4
.2.(cos2)
44
(cos2
2
2
2  isenisenisenz 






 
ii) 
  )
4
3
4
3
(cos22)
4
.3
4
.3.(cos2)
44
(cos2
3
3
3  isenisenisenz 






 
iii) 
  )(cos4)
4
.4
4
.4.(cos2)
44
(cos2
4
4
4  isenisenisenz 






 
OBS: Repare que 
)
44
(cos2

isenz 
representado na forma algébrica seria 
iz 1
. O cálculo de 
z
2
, z
3
 e z
4
 poderia ser feito nesta forma. No caso deste exercício, representando os resultados na forma 
algébrica teríamos: 
i) 
iiisenz 2)0.(2)
22
(cos22 
 
ii) 
iiisenz 22)
2
2
2
2
(22)
4
3
4
3
(cos223 
. 
iii) 
4)01(4)(cos44   isenz 
5) Determine o módulo e o argumento do número 
z 4
 para os complexos: 
 
a) z = 3(cos125+isen125) b) z = 2(cos300º + isen300º) 
 
Solução. Aplicando a fórmula da potência na forma trigonométrica dos complexos e encontrando a 
primeira determinação positiva, se necessário, temos: 
 
a) 
   







º140
81
)º140º140(cos81
)º500º500(cos81)]º125).(4()º125).(4.[cos(3)º125º125(cos3
4
444


isenz
isenisenisenz
 
b) 
   







º120
16
)º120º120(cos16
)º1200º1200(cos16)]º300).(4()º300).(4.[cos(2)º300º300(cos2
4
444


isenz
isenisenisenz
 
6) Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica ou trigonométrica. 
 
 a) 
( )1 3 8 i
 b) 
( )3 6 i
 
 
Solução. Escreve-se os números entre parênteses na forma trigonométrica e calculam-se as potências. 
 
a) Calculando módulo e argumento: 
- 
2431)3()1(31 22  i
; º300
2
3
2
1
cos
:)( 











sen
zArg 
- 
   
 
  ébricaAiii
ou
ricaTrigonométiseni
isenisenisen
lg3128128
2
3
2
1
.25631
º240º240(cos25631
)º2400º2400(cos256)]º300).(8()º300).(8.[cos(2)º300º300(cos2
8
8
88











 
 
b) Calculando módulo e argumento: 
- 
2413)1()3(3 22  i
; º30
2
1
2
3
cos
:)( 











sen
zArg 
- 
   
 
    ébricaAii
ou
ricaTrigonométiseni
isenisenisen
lg640.1.643
)º180º180(cos643
)º180º180(cos64)]º30).(6()º30).(6.[cos(2)º30º30(cos2
6
6
66



 
 
OBS: A opção de representar o número na forma trigonométrica antes de calcular a potência agilizou os 
cálculos. A escolha em todo caso é de cada um. Experimente calcular somente na forma algébrica e 
verifique se houve mais ou menos dificuldade. 
 
7) Dado o número complexo z = cos 45 + isen 45º calcule: w = z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 
 
Solução. Observe que o valor de “w” representa uma soma de seis termos da progressão geométrica de 
razão “z”. Temos: 
i) 
)1.(
2
2
º45º45cos iisenz 
 ii) 
iiiiiz 




















 )121.(
4
2
)21.(
4
2
)1.(
2
2 22
2
2
 
 
iii) 
)1(
2
2
)).(1(
2
2
. 23 iiizzz 
 iv) 
1)).((. 2224  iiizzz
 
 
v) 
)1(
2
2
)1).(1(
2
2
. 45 iizzz 
 vi) 
    iizz  3326
 
 
Logo, 
2
2
2
2
1
)(
2
2
2
2
)1(
2
2
2
2
)(
2
2
2
2
iw
iiiiiw






































 
 
8) Escreva as expressões abaixo na forma 
bia 
: 
a) 
iiii )36()4( 
 b)  
 2
2
3
2
i
i


 c) 
i
i
54
3


 
 
a) 
iiiiiiiiii 67634364)36()4( 2 
 
b)  
 
 
 
 
 
 
 
 
2100
255025
10
55
.
3
326
.
3
3
.
3
2
3
2 2
22
22
22
2
2
iiii
i
iii
i
i
i
i
i
i







 




















 
c)  
    41
197
2516
197
54
541512
54
54
.
54
3
22
2 ii
i
iii
i
i
i
i 










 
 
09) Escrevendo o complexo 
31
1
i
i
z



, calcule os valores do módulo e do argumento. 
 
Solução. Escrevendo o numerador e o denominador na forma complexa e dividindo, temos: 
 
i) 
4
7
2
1
2
1
cos
211)1()1(1 22













sen
i 
ii) 
3
2
3
2
1
cos
2431)3()1(31 22













sen
i 
Logo, 


























































12
17
)(
2
2
12
17
12
17
cos.
2
2
34
7
34
7
cos.
2
2
33
cos.2
4
7
4
7
cos.2
31
1





zArg
z
isenz
isen
isen
isen
i
i
z
. 
 
 
10) Qual é a forma algébrica do número complexo 
z
 representado na figura . 
Solução. Observe que a figura representa um círculo de raio 
32
e centro na 
origem. O complexo marcado está 30º acima de 180º. Logo no sentido anti-
horário ele está no ângulo de 150º. 
O número é 
)º150º150.(cos32 isenz 
 ou 







6
5
º
6
5
cos.32

isenz
 e 
sua representação algébrica é 
iiz 33
2
3
2
3
.32 









 
 
11) A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. 
Sabendo-se que 
8BF
, determine as formas algébrica e trigonométrica dos 
números complexos cujos afixos são os pontos 
B
 e 
D
. 
 
Solução. Se 
8BF
então a circunferência possui raio 4. Os ângulos centrais do 
octógono medem 360º ÷ 8 = 45º. Observando as posições dos afixos, temos que B 
está em 45º e D em 135º. Logo: 
 
i) Ponto B: 
ébricaaiiz
ricatrigonométisenz
lg2222
2
2
2
2
.4
)º45º45.(cos4










 
 
ii) Ponto D: 
ébricaaiiz
ricatrigonométisenz
lg2222
2
2
2
2
.4
)º135º135.(cos4









