Transformada de Laplace   Teoremas e Exercicios Resolvidos
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Transformada de Laplace Teoremas e Exercicios Resolvidos


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1 Introduc¸a\u2dco
A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equac¸o\u2dces diferencias lineares com
coeficientes constantes, ou seja, equac¸o\u2dces da forma
ay\u2032\u2032 + by\u2032 + cy = f(t), para a, b, c \u2208 R
Para isso, a equac¸a\u2dco diferencial e´ inicialmente transformada pela transformada de Laplace
numa equac¸a\u2dco alge´brica. Depois resolve-se a equac¸a\u2dco alge´brica e finalmente transforma-se
de volta a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco alge´brica na soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco diferencial inicial.
A transformada de Laplace de uma func¸a\u2dco f : [0,\u221e)\u2192 R e´ definida por
L(f)(s) = F (s) =
\u222b
\u221e
0
e\u2212stf(t)dt.
para todo s \u2265 0 em que a integral acima converge. Representaremos a func¸a\u2dco original por
uma letra minu´scula e a sua varia´vel por t, e a sua transformada de Laplace pela letra
correspondente maiu´scula e a sua varia´vel. Por exemplo, as transformadas de Laplace das
func¸o\u2dces f(t), g(t) e h(t) sera\u2dco representadas por F (s), G(s) e H(s), respectivamente.
Exemplo 1. A transformada de Laplace da func¸a\u2dco f : [0,\u221e)\u2192 R definida por f(t) = 1
e´ dada por
F (s) =
\u222b
\u221e
0
e\u2212st 1 dt =
e\u2212st
\u2212s
\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
= lim
T\u2192\u221e
e\u2212sT
\u2212s \u2212
e\u2212s0
\u2212s = 0\u2212
e\u2212s0
\u2212s =
1
s
, para s > 0.
Exemplo 2. Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da func¸a\u2dco
f : [0,\u221e)\u2192 R definida por f(t) = eat e´ dada por
F (s) =
\u222b
\u221e
0
e\u2212st eat dt =
\u222b
\u221e
0
e\u2212(s\u2212a)t dt =
e\u2212(s\u2212a)t
a\u2212 s
\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
= 0\u2212e
\u2212(s\u2212a)0
a\u2212 s =
1
s\u2212 a, para s > a.
Exemplo 3. Seja a uma constante real. Vamos determinar a transformada de Laplace
das func¸o\u2dces f : [0,\u221e)\u2192 R dada por f(t) = cos at e g : [0,\u221e)\u2192 R dada por g(t) = sen at.
Para isso, vamos calcular a transformada de Laplace da func¸a\u2dco
h : [0,\u221e)\u2192 R definida por h(t) = eiat.
H(s) =
\u222b
\u221e
0
e\u2212st eiat dt =
\u222b
\u221e
0
e\u2212(s\u2212ia)t dt =
e\u2212(s\u2212ia)t
\u2212(s\u2212 ia)
\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
= lim
T\u2192\u221e
e\u2212sT (cos aT + i sen aT )\u2212 e
\u2212(s\u2212ia)0
\u2212(s\u2212 ia) = 0\u2212
e\u2212(s\u2212ia)0
ia\u2212 s
=
1
s\u2212 ia, para s > 0.
Calculamos a acima a transformada de Laplace de
h(t) = eiat = cos at + i sen at = f(t) + ig(t)
H(s) = L(h)(s) =
\u222b
\u221e
0
e\u2212st (cos at + i sen at) dt = L(f)(s) + iL(g)(s) = F (s) + iG(s)
Comparando a parte real (imagina´ria) do lado direito com a parte real (imagina´ria) do
lado esquerdo da igualdade obtemos
F (s) = Re{ 1
s\u2212 ia} = Re{
s + ia
(s\u2212 ia)(s + ia)} =
s
s2 + a2
, para s > 0
G(s) = Im{ 1
s\u2212 ia} = Im{
s + ia
(s\u2212 ia)(s + ia)} =
a
s2 + a2
, para s > 0.
Exemplo 4. Seja n um inteiro positivo. Vamos calcular a transformada de Laplace da
func¸a\u2dco f : [0,\u221e)\u2192 R dada por fn(t) = tn, para n = 0, 1, 2, . . .
Fn(s) =
\u222b
\u221e
0
e\u2212st tndt =
tnest
\u2212s
\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
\u2212 n\u2212s
\u222b
\u221e
0
e\u2212st tn\u22121dt
=
n
s
\u222b
\u221e
0
e\u2212st tn\u22121dt =
n
s
Fn\u22121(s)
Aplicando-se recursivamente a fo´rmula obtida obtemos
Fn(s) =
n(n\u2212 1)
s2
Fn\u22122(s) =
n(n\u2212 1) . . . 1
sn
F0(s)
mas F0(s) =
1
s
e´ a transformada de Laplace da func¸a\u2dco constante 1, ou seja, F0(s) =
1
s
.
Assim, a transformada de Laplace de fn(t) = t
n, para n = 0, 1, 2, . . . e´
Fn(s) =
n!
sn+1
, para s > 0.
Para calcular a transformada de Laplace de outras func¸o\u2dces vamos usar as propriedades
que apresentamos a seguir.
Teorema 1 (Linearidade). Se a transformada de Laplace de f(t) e´ F (s), para s > a1,
e a transformada de Laplace de g(t) e´ G(s), para s > a2, enta\u2dco para constantes \u3b1 e \u3b2
L(\u3b1f + \u3b2g)(s) = \u3b1L(f)(s) + \u3b2L(g)(s) = \u3b1F (s) + \u3b2G(s), para s > max{a1, a2}.
Teorema 2 (1o. Teorema de Deslocamento). Seja a uma constante. Se a transfor-
mada de Laplace da func¸a\u2dco f : [0,\u221e) \u2192 R e´ F (s), para s > c, enta\u2dco a transformada de
Laplace da func¸a\u2dco
g(t) = eatf(t)
e´
G(s) = F (s\u2212 a), para s > a + c
Exemplo 5. Sejam a e b constantes. Usando o Teorema anterior obtemos que a trans-
formada de Laplace de f : [0,\u221e)\u2192 R dada por f(t) = ebt cos at e´ dada por
F (s) =
s\u2212 b
(s\u2212 b)2 + a2 , para s > a.
Exemplo 6. Sejam a e b constantes. Usando o Teorema anterior obtemos que a trans-
formada de Laplace de f : [0,\u221e)\u2192 R dada por f(t) = ebt sen at e´ dada por
F (s) =
a
(s\u2212 b)2 + a2 , para s > a.
Exemplo 7. Seja a um constante e n um inteiro positivo. Usando o Teorema anterior
obtemos que a transformada de Laplace de f : [0,\u221e)\u2192 R dada por f(t) = eat tn e´ dada
por
F (s) =
n!
(s\u2212 a)n+1 , para s > a.
Exemplo 8. Seja a uma constante. Pelo Teorema anterior a transformada de Laplace
do cosseno hiperbo´lico de at, f(t) = cosh at =
eat + e\u2212at
2
, e´ dada por
F (s) =
1
2
1
s\u2212 a +
1
2
1
s + a
=
s
s2 \u2212 a2 , para s > |a|.
Exemplo 9. Seja a uma constante. Pelo Teorema anterior a transformada de Laplace
do seno hiperbo´lico de at, f(t) = senh at =
eat \u2212 e\u2212at
2
, e´ dada por
F (s) =
1
2
1
s\u2212 a \u2212
1
2
1
s + a
=
a
s2 \u2212 a2 , para s > |a|.
Exemplo 10. Se a transformada de Laplace de uma func¸a\u2dco f(t) e´
F (s) =
s + 3
s2 \u2212 3s + 2
enta\u2dco vamos determinar a func¸a\u2dco f(t). Para isso vamos decompor F (s) em frac¸o\u2dces parci-
ais. O denominador de F (s) tem duas ra´\u131zes reais s = 1 e s = 2. Assim,
F (s) =
s + 3
(s\u2212 1)(s\u2212 2) =
A
s\u2212 1 +
B
s\u2212 2 ,
em que A e B sa\u2dco constantes a determinar. Multiplicando F (s) por (s\u22121)(s\u22122) obtemos
s + 3 = A(s\u2212 2) + B(s\u2212 1) = (A + B)s + (\u22122A\u2212B)
Comparando os termos de mesmo grau obtemos
1 = A + B e 3 = \u22122A\u2212B
de onde obtemos que A = \u22124 e B = 5. Assim,
F (s) =
s + 3
(s\u2212 1)(s\u2212 2) = \u22124
1
s\u2212 1 + 5
1
s\u2212 2
e a func¸a\u2dco cuja transformada e´ F (s) e´
f(t) = \u22124et + 5e2t.
Exemplo 11. Se a transformada de Laplace de uma func¸a\u2dco f(t) e´
F (s) =
s\u2212 3
s2 + 4s + 4
enta\u2dco vamos determinar a func¸a\u2dco f(t). O denominador de F (s) tem somente uma raiz
real, s = 2. Podemos reescrever F (s) da seguinte forma
F (s) =
s\u2212 3
(s + 2)2
=
s + 2\u2212 5
(s + 2)2
=
s + 2
(s + 2)2
+
\u22125
(s + 2)2
=
1
s + 2
\u2212 5 1
(s + 2)2
.
Observando a Tabela na pa´gina 20, usando o 1o. Teorema do deslocamento e o Teorema
da Linearidade vemos que a func¸a\u2dco cuja transformada de Laplace e´ F (s) e´ dada por
f(t) = e\u22122t \u2212 5e\u22122tt.
Exemplo 12. Se a transformada de Laplace de uma func¸a\u2dco f(t) e´
F (s) =
s\u2212 2
2s2 + 2s + 2
enta\u2dco vamos determinar a func¸a\u2dco f(t). Completando quadrados podemos reescrever F (s)
da seguinte forma
F (s) =
s\u2212 2
2s2 + 2s + 2
=
s\u2212 2
2[s2 + s + 1]
=
s\u2212 2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]
=
s + 1/2\u2212 5/2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]
=
s + 1/2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]
\u2212 5/2
2[(s + 1/2)2 + 3/4]
=
1
2
s + 1/2
(s + 1/2)2 + 3/4
\u2212 5
4
1
(s + 1/2)2 + 3/4
=
1
2
s + 1/2
(s + 1/2)2 + 3/4
\u2212 5
2
\u221a
3
\u221a
3/2
(s + 1/2)2 + 3/4
Observando a Tabela na pa´gina 20, usando o 1o. Teorema do deslocamento e o Teorema
da Linearidade vemos que a func¸a\u2dco cuja transformada de Laplace e´ F (s) e´ dada por
f(t) =
1
2
e\u2212t/2 cos
(\u221a
3
2
t
)
\u2212 5
2
\u221a
3
e\u2212t/2sen
(\u221a
3
2
t
)
.
2 Soluc¸a\u2dco de Problemas de Valor Inicial
Dizemos que uma func¸a\u2dco f : [0,\u221e) \u2192 R e´ seccionalmente cont´\u131nua ou cont´\u131nua
por partes se f(t) e´ cont´\u131nua em [0,\u221e) exceto possivelmente em um nu´mero finito de
pontos, nos quais os limites laterais existem.
Teorema 3 (Derivac¸a\u2dco). (a) Suponha que f : [0,\u221e) \u2192 R seja deriva´vel com f \u2032(t)
seccionalmente cont´\u131nua. Enta\u2dco
L(f \u2032)(s) = sF (s)\u2212 f(0),
em que F (s) e´ a transformada de Laplace de f(t).
(b) Suponha que f : [0,\u221e) \u2192 R seja deriva´vel duas vezes com f \u2032\u2032(t) seccionalmente
cont´\u131nua. Enta\u2dco
L(f \u2032\u2032)(s) = s2F (s)\u2212 sf(0)\u2212 f \u2032(0),
em que F (s) e´ a transformada de Laplace de f(t).
Exemplo 13. Seja a uma constante. Seja f(t) = t sen at. Vamos determinar F (s).
f \u2032(t) = sen at + at cos at
f \u2032\u2032(t) = 2a cos at\u2212 a2t senat = 2a cos at\u2212 a2f(t)
Assim, aplicando-se a transformada