Cálculo III (Lista II)

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Lista II (Cálculo I) 
 
 
1. Resolva a equação diferencial de variáveis separáveis. 
 
a. 
2x
y
y
′ = b. 
( )
2
31
x
y
y x
′ =
+
 
resp: 2 33 2y x c− = ; 0y ≠ resp: 2 33 2ln 1y x c− + = ; 1x ≠ − ; 0y ≠ 
 
c. ( )2sen 0y y x′ + = d. 
23 1
3 2
x
y
y
−′ =
+
 
resp: 0y = , ( )1 cosy x c− + = ; 0y ≠ resp: 2 33y y x x c+ − + = ; 3
2
y ≠ − 
 
e. ( ) ( )2 2cos cos 2y x y′ = 
resp: ( )2 1
4
y n
π
= ± + ; n∈ℕ , ( ) ( )2tg 2 2 sen 2y x x c− − = ; ( )cos 2 0y ≠ 
 
f. ( )
1
2 21xy y′ = − 
resp: 1y = ± ; 0x ≠ , ( )sen lny x c= + ; 0x ≠ ; 1y < 
 
g. 
x
y
dy x e
dx y e
−−
=
+
 h. 
2
21
dy x
dx y
=
+
 
resp: ( )2 2 2 y xy x e e c−− + − = ; 0yy e+ ≠ resp: 3 33y y x c+ − = 
 
2. Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita. 
 
a. ( ) 21 2y x y′ = − , ( ) 10
6
y = − b. 
1 2x
y
y
−
′ = , ( )1 2y = − 
resp: ( ) 2
1
6
y x
x x
=
− −
 resp: ( ) 22 2 4y x x x= − − + 
 
c. 0xxdx ye dy−+ = , ( )0 1y = d. 
2dr r
dθ θ
= , ( )1 2r = 
resp: ( ) ( )2 1 1xy x x e= − − resp: ( ) 2
1 2ln
r θ
θ
=
−
 
 
e. 
2
2x
y
y x y
′ =
+
, ( )0 2y = − f. 
3
21
xy
y
x
′ =
+
, ( )0 1y = 
resp: ( ) 22ln 1 4y x x= − + + resp: ( )
2
1
3 2 1
y x
x
=
− +
 
 
g. 
2
1 2
x
y
y
′ =
+
, ( )2 0y = h. 
( )2
3
1
4
x x
y
y
+
′ = , ( ) 10
2
y = − 
resp: ( ) 21 1 4 15
2 2
y x x= − + − resp: ( )
2 1
2
x
y x
+
= − 
 
i. 
23
2 5
xx e
y
y
−′ =
−
, ( )0 1y = j. 
3 4
x xe e
y
y
− −′ =
+
, ( )0 1y = 
resp: ( ) 35 13
2 4
xy x x e= − − + resp: ( ) 3 1 65 8 8
4 4
x xy x e e−= − + − − 
 
l. ( ) ( )sen 2 cos 3 0x dx y dy+ = , 
2 3
y
π π  = 
 
 
resp: ( )
( )( )2arcsen 3cos
3
x
y x = 
 
3. Resolva a equação 
dy ay b
dx cy d
+
=
+
, 
onde a , b , c e d são constantes. 
resp: 
2
ln
c ad bc
x y ay b k
a a
−
= + + + ; 0a ≠ ; 0ay b+ ≠ 
 
4. Considere a equação 
4dy y x
dx x y
−
=
−
. 
 
a. Mostre que a equação pode ser escrita como 
4
1
y
x
y
x
dy
dx
−
=
−
. 
 
b. Substituindo a variável y por uma nova variável v definida por 
y
v
x
= , a equação será 
separável em x e v . Determine a solução da equação. 
resp: 
3
2 2y x y x c+ − = 
 
5. Determine a solução geral para a equação diferencial linear dada. 
 
a. 23 ty y t e−′ + = + b. 2 22 ty y t e′ − = 
resp: ( ) 2 31
3 9
t tty t e ce− −= − + + resp: ( )
3 2
2
3
t
tt ey t ce= + 
 
c. 1ty y te−′ + = + d. ( )3cos 2yy t
t
′ + = ; 0t > 
resp: ( )
2
1
2
t
tt ey t ce
−
−= + + resp: ( ) ( ) ( )
3cos 2 3sen 2
4 2
t t c
y t
t t
= + + 
e. 2 3 ty y e′ − = f. ( )2 senty y t′ + = ; 0t > 
resp: ( ) 23 t ty t e ce= − + resp: ( ) ( ) ( )2
sen cost t t c
y t
t
− +
= 
 
g. 
2
2 2 ty ty te−′ + = h. ( ) ( ) 22 21 4 1t y ty t −′+ + = + 
resp: ( )
2 22 t ty t t e ce− −= + resp: ( ) ( )
( )22
arctg
1
t c
y t
t
+
=
+
 
 
i. 2 3y y t′ + = j. 2 tty y t e−′ − = 
resp: ( ) 23 6
t
y t t ce
−
= − + resp: ( ) ty t te ct−= − + 
 
l. ( )5sen 2y y t′ + = m. 22 3y y t′ + = 
resp: ( ) ( ) ( )sen 2 2cos 2 ty t t t ce−= − + resp: ( ) 2 23 12 24
t
y t t t ce
−
= − + + 
 
6. Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita. 
 
a. 22 ty y te′ − = , ( )0 1y = b. 22 ty y te−′ + = , ( )1 0y = 
resp: ( ) ( ) 22 1 3t ty t t e e= − + resp: ( )
( )2 21
2
tt e
y t
−−
= 
 
c. 22 1ty y t t′ + = − + , ( ) 11
2
y = ; 0t > d. 
( )
2
cos2 t
y y
t t
′ + = , ( ) 0y π = ; 0t > 
resp: ( )
4 3 2
2
3 4 6 1
12
t t t
y t
t
− + +
= resp: ( ) ( )2
sen t
y t
t
= 
 
e. 22 ty y e′ − = , ( )0 2y = f. ( )2 senty y t′ + = , 1
2
y
π  = 
 
 
resp: ( ) ( ) 22 ty t t e= + resp: ( ) ( ) ( )
2
4
2
1 sen cost t t
y t
t
π − + −
= 
 
g. 3 24 tt y t y e−′ + = , ( )1 0y − = h. ( )1ty t y t′ + + = , ( )( )ln 2 1y = 
resp: ( ) ( )4
1 tt e
y t
t
−+
= − resp: ( ) 1 2
tt e
y t
t
−− +
= 
 
7. Considere o problema de valor inicial 
2
1
3 2
t
y y′ + = − , ( ) 00y y= . 
Determine o valor de 0y para o qual a solução toca, mas não cruza, o eixo t . 
resp: 
4
3
0
9 21
8 8
y e= − + 
 
8. Determine a solução de 
1
y
dy
dt e t
=
−
, ( )1 0y = . 
Sugestão: Considere t , e não y , como a variável dependente. 
Observação: ( )cosh
2
y ye e
y
−+
= . 
resp: ( ) ( )arccoshy t t= 
 
9. 
 
a. Mostre que ( ) 2tt eφ = é uma solução de 2 0y y′ − = e que ( )y c tφ= é também uma 
solução desta equação para qualquer valor da constante c . 
 
b. Mostre que ( ) 1t
t
φ = é uma solução de 2 0y y′ + = para 0t > , mas ( )y c tφ= não é uma 
solução desta equação a menos que 0c = ou 1c = . 
 
Observe que a equação da parte (a) é linear, enquanto da parte (b) é não-linear. 
 
10. Mostre que se ( )y tφ= é uma solução de ( ) 0y p t y′ + = , então ( )y c tφ= é também 
solução para qualquer valor da constante c . 
 
11. Seja ( )1y y t= uma solução de 
( ) 0y p t y′ + = , 
e seja ( )2y y t= uma solução de 
( ) ( )y p t y g t′ + = . 
Mostre que ( ) ( )1 2y y t y t= + é também solução da equação 
( ) ( )y p t y g t′ + = . 
 
12. Considere o seguinte método de solução de uma equação linear geral de primeira ordem 
( ) ( )y p t y g t′ + = . 
 
a. Se ( )g t é identicamente nula, mostre que a solução é 
( )p t dt
y ce
−∫= , 
onde c é uma constante. 
 
b. Se ( )g t não é identicamente nula, suponha que a solução é da forma 
( ) ( )p t dty h t e−∫= , 
onde ( )h t é uma função de t . Substituindo y por seu valor na equação diferencial, mostre 
que ( )h t deve satisfazer à condição 
( ) ( ) ( )p t dth t g t e∫′ = . 
 
 
 
13. Determine a solução geral para a equação diferencial de Bernoulli dada. 
 
a. 3
y
y y
x
′ + = b. 3 3y xy x y′ + = 
resp: 2 2 22 1xy cx y+ = resp: 
22 2 2 2 1xx y y ce y+ + = 
 
c. 2 2 0xy y x y′ + + = d. ( ) ( ) ( )( )2cos cos1 seny y x y x x′− = − 
resp: 2 1x y cxy+ = resp: 
( )
( ) ( )
sen
1
sec tg
x y cy
x x
+
=
+
 
 
e. 2 32 0x y xy y′ + − = f. 2y ay by′ = − 
resp: 
2
4 22 1
5
y
cx y
x
+ = resp: 1ax
by
ce y
a
+ = 
 
g. 2 33 1 0y y ay x′ − − − = h. 3y ay by′ = − 
resp: 2 3 2 1axa y ax a a ce− − − + = resp: 
2 2
2
1
ax
by cy
a e
+ = 
 
i. 12 nnxy y xy +′ + = 
resp: 2 1n nxy cx y+ =