Cálculo III (Lista IX)

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Lista IX (Cálculo III) 
 
 
1. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial. 
 
a. ( )
( )
6 0
0 1
0 1
y y y
y
y
 ′′ ′− − =

=
 ′ = −
 b. ( )
( )
3 2 0
0 1
0 0
y y y
y
y
 ′′ ′+ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( )3 21 4
5
t ty t e e−= + resp: ( ) 22 t ty t e e− −= − 
 
c. ( )
( )
2 2 0
0 0
0 1
y y y
y
y
 ′′ ′− + =

=
 ′ =
 d. ( )
( )
4 4 0
0 1
0 1
y y y
y
y
 ′′ ′− + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( )senty t e t= resp: ( ) 2 2t ty t e te= − 
 
e. ( )
( )
2 2 0
0 2
0 0
y y y
y
y
 ′′ ′− − =

=
 ′ =
 f. ( )
( )
2 5 0
0 2
0 1
y y y
y
y
 ′′ ′+ + =

=
 ′ = −
 
resp: ( ) ( ) ( )22 cosh 3 senh 3
3
t ty t e t e t= − resp: ( ) ( ) ( )12 cos 2 sen 2
2
t ty t e t e t− −= + 
 
g. ( ) ( )
( ) ( )
0
0 1, 0 0
0 1, 0 0
ivy y
y y
y y
 − =

′= =
 ′′ ′′′= =
 h. ( ) ( )
( ) ( )
4 0
0 1, 0 0
0 2, 0 0
ivy y
y y
y y
 − =

′= =
 ′′ ′′′= − =
 
resp: ( ) ( )coshy t t= resp: ( )cos 2y t= 
 
i. ( )
( )
0 1
0 2
y y t
y
y
 ′′ + =

=
 ′ = −
 j. ( )
( )
23 2 4
0 3
0 5
ty y y e
y
y
 ′′ ′− + =

= −
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )cos 3seny t t t t= + − resp: ( ) 2 27 4 4t t ty t e e te= − + + 
 
l. 
( )
( )
( )
9 cos 2
0 1
0 1
y y t
y
y
′′ + =

=
 ′ =
 m. ( )
( )
26 10
0 3
0 2
ty y y e
y
y
 ′′ ′− − =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1cos 2 cos 3 sen 3
5 5 3
y t t t t= + + resp: ( ) 2 2 319 5 18
10 2 5
t t ty t e e e−= − + 
 
n. 
( )
( )
( )
4 sen 3
0 0
0 0
y y t
y
y
′′ + =

=
 ′ =
 o. ( )
( )
5 6
0 1
0 1
ty y y e
y
y
 ′′ ′− + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )3 1sen 2 sen 3
10 5
y t t t= − resp: ( ) 2 31 1
2 2
t t ty t e e e= + − 
 
2. Use a transformada de Laplace para encontrar a solução geral da equação diferencial. 
 
a. 2 2 0y y y′′ ′− + = b. 6 0y y y′′ ′− − = 
resp: ( ) ( ) ( )1 2cos sent ty t c e t c e t= + resp: ( ) 2 31 2t ty t c e c e−= + 
 
c. 2 4 ty y y e−′′ ′+ + = 
resp: ( ) 21 2 2t t ty t c e c te t e− − −= + + 
 
d. ( )2 2 cosy y y t′′ ′− + = 
resp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2
4 cos sen cos sen
5 5
t ty t c e t c e t t t= + + − 
 
3. Suponha que 
( ) ( )
0
t
g t f dτ τ= ∫ . 
Se ( )G s e ( )F s são as transformadas de Laplace de ( )g t e ( )f t , respectivamente, mostre 
que 
( ) ( )
F s
G s
s
= . 
 
4. Ache a transformada de Laplace de cada função. 
 
a. ( )
( )2
0 se 0 2
2 se 2
t
f t
t t
≤ <
= 
− ≥
 b. ( ) 2
0 se 0 1
2 2 se 1
t
f t
t t t
≤ <
= 
− + ≥
 
resp: 
2
3
2 se
s
−
 resp: 
( )2
3
2se s
s
− +
 
 
c. ( ) ( ) ( ) ( )1 3 42 6f t u t u t u t= + − d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 33 2f t t u t t u t= − − − 
resp: 
3 42 6s s se e e
s
− − −+ −
 resp: 
( ) ( )2 3
2
1 1s ss e s e
s
− −− − +
 
 
e. ( ) ( )1 1f t t u t= − − 
resp: 
2
1 se
s
−−
 
 
 
 
 
5. Calcule. 
 
a. 1
3
se
s
−
−  
 
 
L b. 
2
1
2 2
se
s s
−
−  
 
+ − 
L 
resp: ( )( )21
1
1
2
u t t − resp: ( ) ( )( )2 2221
3
ttu t e e
− −− − 
 
c. 
( ) 21
2
2 1
2 2
ss e
s s
−
−  − 
 
− +  
L d. 
2
1
2
2
4
se
s
−
−  
 
− 
L 
resp: ( ) ( )222 cos 2tu t e t− − resp: ( ) ( )( )2 senh 2 2u t t − 
 
e. 
( )1
2
2
4 3
ss e
s s
−
−  − 
 
− +  
L 
resp: ( ) ( ) ( )2 11 cosh 1
t
u t e t
− − 
 
6. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial. 
 
a. 
( )
( )
( )
2
1
0 0
0 1
y y u t
y
y
π′′ + = −


=
 ′ =

 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 cos sen 1 cos
2
y t t t u t tπ
π  = − + − − −  
  
 
 
b. 
( )
( )
( )
103 2 1
0 0
0 0
y y y u t
y
y
′′ ′+ + = −

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )2 10 102 10
1 1 1 1
2 2 2 2
t tt ty t e e u t e e
− − − −− −  = + − − + − 
 
 
 
c. 
( )
( )
( )
23 2
0 0
0 1
y y y u t
y
y
′′ ′+ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2
1 1
2 2
t tt ty t e e u t e e
− − − −− −  = − + − + 
 
 
 
d. 
( )
( )
( )
3
0 1
0 0
y y u t
y
y
π′′ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )( )3cos 1 cos 3y t t u tπ π= + − − 
e. 
( )
( )
( )
2 8 4
0 0
0 0
y y u t
y
y
π′′ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )( )sen 2y t u t tπ π= − 
 
f. 
( ) ( ) ( )
( )
( )
4 sen sen
0 0
0 0
y y t u t t
y
y
π π′′ + = + −

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 12sen sen 2 2sen sen 2
6 6
y t t t u t t tπ= − − + 
 
g. 
( ) ( ) ( )
( )
( )
24 sen sen 2
0 0
0 0
y y t u t t
y
y
π π′′ + = − −

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
1
1 2sen sen 2
6
y t u t t tπ= − −