Cálculo III (Lista XI)

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Lista XI (Cálculo III) 
 
 
1. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial. 
 
a. 
( )
( )
, 0 1
3 , 0 0
x y x x
y x y y
′ = − =

′ = − − =
 b. 
( ) ( )
( ) ( )
4 3 sen , 0 0
cos , 0 1
x y x t x
x y t y
′ ′− + = =

′ + = =
 
resp: 
( )
( )
( ) 2
2
1 t
t
x t t e
y t te
−
−
   +
=   
−  
 resp: 
( )
( ) ( )
0
cos
x t
ty t
   
=   
  
 
 
c. 
( ) ( )
( ) ( )
2 sen , 0 0
4 2 cos , 0 0
x x y t x
y x y t y
′ + + = =

′ − − = =
 d. 
( )
( )
, 0 0
1, 0 0
t
x y e x
y x y
′ + = =

′ + = =
 
resp: 
( )
( )
( )
( ) ( )
2sen 2
3sen 2cos 4 2
x t t t
y t t t t
−   
=   − − + +   
 resp: 
( )
( )
1 3 1
1
4 4 2
3 3 1
4 4 2
t t t
t t t
e e te
x t
y t
e e te
−
−
 − − + +  
=   
   − −
  
 
 
2. Use o método de eliminação para resolver os seguintes sistemas. 
 
a. 
3
2
x x y
y y
′ = − +
 ′ =
 b. 
3 2
3 4
x x y
y x y
′ = − +
 ′ = − +
 
resp: 
( )
( )
2
1 2
2
2
t t
t
x t c e c e
y t c e
−   +
=   
  
 resp: 
( )
( )
2 3
1 2
2 3
1 2
1
3
2
t t
t t
c e c e
x t
y t c e c e
−
−
 +   =   +    
 
 
c. 
3 4
2
x x y
y x y
′ = − −
 ′ = +
 
resp: 
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2
1 2 2 1
cos 2 sen 2
1
cos 2 sen 2
2
t
t
e c t c t
x t
y t e c c t c c t
−
−
 +
   =   − + + −    
 
 
d. 
4 2
2
x x y t
y x y
′ = + +
 ′ = − +
 
resp: 
( )
( )
2 3
1 2
2 3
1 2
1 1
3 18
2 5
2
3 9
t t
t t
c e c e t
x t
y t
c e c e t
 + − +  
=   
   − − − −
  
 
 
 
 
 
 
e. 
( )
( )
2 3 2sen 2
2 cos 2
x x y t
y x y t
′ = − +

′ = − −
 
resp: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
7 4
cos 2 sen 2
5 5
1 2 4
cos 2 sen 2
3 5 5
t t
t t
c e c e t t
x t
y t
c e c e t t
−
−
 + − −  
=   
   + − −
  
 
 
f. 
2 3
3 4 15
t
t
y x x y e
x y x y e
′ ′ − = + +

′ ′− = − +
 
resp: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2
1 2 1 2
3
cos 3 sen 3
5
1 1
cos 3 sen 3
3 5
t
t
c t c t e
x t
y t
c c t c c t e
 + −  
=   
   − + + +
  
 
 
g. 
5 2
2 8
x x y
y x y
′′ = − +
 ′′ = −
 
resp: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 2 3 4
1 2 3 4
cos 2 sen 2 cos 3 sen 3
1
cos 2 sen 2 2 cos 3 sen 3
2
c t c t c t c t
x t
y t c t c t c t c t
 + + +    =   + − +    
 
 
h. 
3 2 0
3 2 0
x y x
y x y
′′ ′− − =
 ′′ ′+ − =
 
resp: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
2 1 4 3
cos sen cos 2 sen 2
cos sen cos 2 sen 2
x t c t c t c t c t
y t c t c t c t c t
+ + +   
=   − + −   
 
 
3. Considere dois tanques interconectados. Inicialmente, o tanque 1 contém 60 litros de água 
e 01Q gramas de sal, enquanto o tanque 2 contém 100 litros de água e 
0
2Q gramas de sal. Um 
fluxo de água contendo 1q grama de sal por litro entra no tanque 1 a uma taxa de 3 litros por 
minuto. A solução sai do tanque 1 com uma vazão de 4 litros por minuto, da qual parte flui 
para o tanque 2 com uma vazão de 2 litros por minuto e outra parte escoa do sistema de 
tanques. Outro fluxo de água contendo 2q gramas de sal por litro entra no tanque 2 a uma 
taxa de 1 litro por minuto. A solução sai do tanque 2 com uma vazão de 3 litros por minuto, 
da qual parte flui para o tanque 1 com uma vazão de 1 litros por minuto e outra parte escoa do 
sistema de tanques. Sejam ( )1Q t e ( )2Q t , respectivamente, a quantidade de sal em cada 
tanque no instante t . Determine o sistema de equações diferenciais lineares e as condições 
iniciais do problema que modelam o sistema de fluxo de solução dos tanques. 
resp: 
( )
( )
0
1 1 1 2 1 1
0
2 2 1 2 2 2
1 1
3 , 0
15 100
1 3
, 0
30 100
Q q Q Q Q Q
Q q Q Q Q Q
 ′ = − + =

 ′ = + − =

 
 
 
 
4. Considere dois tanques interconectados. Inicialmente, o tanque 1 contém 30 litros de água 
e 25 gramas de sal, enquanto o tanque 2 contém 20 litros de água e 15 gramas de sal. Um 
fluxo de água contendo 1 grama de sal por litro entra no tanque 1 a uma taxa de 1,5 litros por 
minuto. A solução flui do tanque 1 para o tanque 2 com uma vazão de 3 litros por minuto. 
Outro fluxo de água contendo 3 gramas de sal por litro entra no tanque 2 a uma taxa de 1 
litro por minuto. A solução sai do tanque 2 com uma vazão de 4 litros por minuto, da qual 
parte flui para o tanque 1 com uma vazão de 1,5 litros por minuto e outra parte escoa do 
sistema de tanques. 
 
a. Sejam ( )1Q t e ( )2Q t , respectivamente, a quantidade de sal em cada tanque no instante t . 
Determine o sistema de equações diferenciais lineares e as condições iniciais do problema que 
modelam o sistema de fluxo de solução dos tanques. 
resp: 
( )
( )
1 1 2 1
2 1 2 2
3 1 3
, 0 25
2 10 40
1 1
3 , 0 15
10 5
Q Q Q Q
Q Q Q Q
 ′ = − + =

 ′ = + − =

 
 
b. Determine uma expressão para a quantidade de sal nos tanque 1 e 2 em função do tempo 
t . 
resp: 
( )
( )
1 1
20 4
1
1 1
2 20 4
165 29
42
8 8
55 29
36
4 4
t t
t t
e eQ t
Q t
e e
− −
− −
 
− + +  
 = 
    − − +  