Aula medidas de posição Estatística Básica I média

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Curso: Bacharelado em Estatística 
Turma: Estatística Básica –(1° período) 
Período: 2013/01 Data: 29/08/2012 
Professora: Vania C. Mota, Msc. 
Aluno (a): 
 
 
 
7 MEDIDAS DE POSIÇÃO 
Vimos até agora a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, 
gráficos e distribuições de frequências. 
Agora, vamos aprender o cálculo de medidas que possibilitem 
representar um conjunto de dados relativos à observação de 
determinado fenômeno de forma resumida. 
As medidas de posição são também chamadas medidas de 
tendência central, e estabelecem o valor em torno do qual os dados se 
distribuem. 
Vale a pena chamar a atenção que, para o cálculo dessas medidas, 
é necessário que a variável seja quantitativa. 
• As principais medidas de posição tendência central são a média, a 
mediana, e a moda. 
 
Há também as medidas de posição chamadas de separatrizes, 
dentre as quais se destacam a própria mediana, os quartis, os decis e os 
percentis. 
 
7.1 Média 
São as medidas de tendência central mais comumente utilizadas 
para descrever resumidamente uma distribuição de frequência. 
 
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA 
CAMPUS de JI - PARANÁ - RO 
A média também chamada de esperança matemática, valor 
esperado, ou ainda expectância, classifica-se em: 
 Média Aritmética Simples e ponderada; 
 Média Geométrica Simples e ponderada 
 Média Harmônica Simples e ponderada 
 
a) Média Aritmética Simples (Ma ou ) 
É dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e a 
frequência total (o número total de observações). 
- Para dados não agrupados temos: 
 
 
 
 
 
, onde 
 
 , é a soma dos resultados observados 
(i= 1, 2, ....,n) e n é o tamanho da amostra (ou população). nº de 
observações. 
(Obs: Quando estiver calculando a média populacional representamos por µ.) 
Exemplo: 
X: (1,3, 5, 7,9) 
 =5 
Este tipo de média aritmética será calculada quando os valores não 
estiverem tabulados, ou seja, quando aparecerem representados 
individualmente como é o caso dos dados brutos, por exemplo. 
 
Ex: Temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de idade, com dados 
referentes a seus pesos (em kg): 
23,0 20,0 22,0 19,0 25,0 28,2 24,0 21,0 27,0 21,0 
n = 10 
 = (23,0 +20,0 +22,0 +19,0 + 25,0 + 28,2 + 24,0 +21,0 +27,0 +21, 0)/10 
=⇒ = 23, 0 
Isso significa que o peso médio é de 23,0 kg. É claro que foram 
obtidos pesos de crianças desta idade que se encontram abaixo ou 
acima do valor médio. No entanto, a média representa um valor típico 
(Soares & Siqueira,1999). 
 
a.1). Média Aritmética Ponderada (Mp ou p) 
 
É utilizada quando as observações tiverem pesos diferentes que 
influenciam no valor da média. 
È indicada por: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 é a soma dos produtos de cada valor observado pelo seu 
respectivo peso. 
 
 
 é a soma dos pesos. 
 
Exemplo a.1.1): 
A classificação final de um determinado curso é a média ponderada 
(Mp) das classificações obtidas em três áreas: A, B e C. Um candidato 
obteve as seguintes classificações parciais: 
Área A= 17 pontos 
Área B= 24 pontos 
Área C= 20 pontos 
Sabendo que os pesos são 5 para a área A, 2 para a área B e 3 para a 
área C, determine a classificação do candidato. 
Resp. 19,3. 
 
 
Havendo uma representação tabular podemos considerar: 
Pesos=frequências absolutas. 
É a média aritmética calculada quando os dados estiverem 
agrupados em distribuições de frequência. Os valores x1, x2, ..., xn serão 
ponderados pelas respectivas frequências absolutas f1, f2, ..., fn. 
 
 Para dados tabulados (agrupados) sem intervalo de classe 
temos: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 é a soma dos produtos de cada resultado observado pela sua 
frequência absoluta simples. 
 
 
 é a soma das frequências absolutas observadas. 
 
Exemplo a. 1.2): 
Determine a média aritmética da seguinte distribuição: 
Xi fi 
9 1 
10 3 
14 5 
15 1 
 Resp. 12,4 
 
 
 
 Para dados tabulados (agrupados) com intervalo de classe 
temos: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 i = é o ponto médio da classe i, ou seja, 
 
 
. 
 é a soma dos produtos de cada ponto médio de uma 
classe pela sua frequência absoluta simples. 
 
 
 é a soma das frequências absolutas observadas. 
 
Exemplo a. 1.3): 
Determine a da seguinte distribuição: 
Classes fi 
2 4 3 
4 6 5 
6 8 10 
8 10 5 
10 12 3 
Total 26 
 
Resp. = 7. 
####################################################### 
DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA 
Definição: Denominamos desvio em relação à média, e indicamos por di, 
a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores observados e 
média aritmética do conjunto de valores, ou seja: 
di = xi - . 
PROPRIEDADES DA MÉDIA 
P.1- A soma dos desvios (di) em relação à média é sempre igual a zero. 
 
 
 
 
 . 
 
P.2 – Somando ou subtraindo-se uma constante k a cada valor 
observado, a média do novo conjunto de dados ficará somado ou 
subtraído da constante K, em relação à média inicial. 
 
 
P.3 – Multipicando ou dividindo-se cada valor observado por uma 
constante k a nova média ficará multipicada ou dividida por K. 
 
 
 
 
P.4 – A soma dos quadrados dos desvios em relação a uma constante k 
será mínima se k = . 
 
 é mínimo k=0. 
Exemplo: 
X: (1,3, 5, 7,9) 
 =5 
Resolva para k = 4 ≠ e para k = 5 = 
 
 . 
 
 
 
 
 
b)Média Geométrica ( g ou Mg) 
a.1) Simples 
 
 
 
 (Obs. ) 
 
Exemplo: 
X= {2,4,8} 
Resp. 
 
b.2) Ponderada 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Xi fi 
1 2 
3 4 
5 3 
7 1 
Total n=10 
 
Resp. 3.05 
 
c) Média Harmônica ( h ou Mh) 
c.1) Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
X= {2,4,9} 
Resp. 
 
c.2) Ponderada 
As frequências com que os números aparecem na amostra devem 
ser utilizados, em virtude de fornecerem a ponderação (peso) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Xi fi 
1 2 
3 4 
5 3 
7 1 
Total n=10 
 
Resp. 
########################################################## 
DESIGUALDADE ENTRE MÉDIAS 
A média geométrica de um conjunto de n valores positivos é sempre 
maior ou igual à média harmônica e menor ou igual à média aritmética, 
ou seja: . 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Os pesos em kg de 6 novilhos nelore foram os seguintes: 184, 193, 198, 204, 196, 207. 
Pede-se: 
a) a)Qual foi o desvio do 2º animal em relação à média? Explique o que ele significa; 
b) b)Mostre que a soma dos desvios é nula; 
c) c)Transforme os dados em arrobas. Qual é a constante de transformação? Encontre a média em arrobas 
partindo daquela obtida em (a); 
d) d)Adicione 20 em cada dado e encontre a média. Confronte o resultado com o obtido em (a). Qual a 
propriedade envolvida? 
e) E)Calcule a SQD em relação à média e em relação a 196. Discuta os resultados e tire conclusões. 
 
 
 
2) Um pesquisador da área de Ciência de alimentos examinou juntamente com sua equipe um lote de 150 
caixas de banana maçã escolhidas aleatoriamente em um carregamento de 10000 caixas, no CEASA de BH,anotando o número de pencas com “empedramento”. Os resultados foram os seguintes: 
Nº de pencas empedradas (Xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 ou mais 
Nº de caixas (fi) 38 37 25 20 16 10 4 0 
Pergunta-se: 
a) Qual o número médio de pencas por caixa? 
b) Qual deverá ser o nº total de pencas empedradas no carregamento?