1 ANO - Teoria dos Conjuntos - 2008

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Teoria dos Conjuntos
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Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.
Exemplos - Conjunto
O conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.
 O conjunto de todos os números inteiros.
 O conjunto de todos os números reais que é solução da equação x2 – 16 = 0.
Em geral, utilizamos letras latinas maiúsculas para representar conjuntos. A, B, C, ..., Z.
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Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.
Exemplos – Elemento
Pedro é um elemento do conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.
 7 é um elemento do conjunto dos números inteiros.
 +4 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0.
Em geral, utilizamos letras latinas minúsculas para representar elementos. a, b, c, ..., z.
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Conjuntos – Conceitos iniciais
Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.
Exemplos – Pertinência
Pedro pertence ao conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.
 7 pertence ao conjunto dos números inteiros.
 +4 pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0.
Utilizamos o símbolo  “pertence” e  “não pertence” para relacionar elemento e conjunto.
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Notações de Conjuntos
Um conjunto pode ser representado:
Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;
Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;
Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.
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Exemplo
Representar o conjunto V das vogais. 
 V = {a, e, i, o, u}
 V = {x; x é vogal}
 como no diagrama ao lado
a
e
i
o
u
V
 No caso a  V, mas m  V.
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Observação
Há conjuntos com apenas:
Um único elemento, chamados conjuntos unitários;
Nenhum elemento, chamados conjunto vazio;
Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos.
O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } e Ø.
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Exemplos
A = {x; x é inteiro positivo, par e primo}
	A = {2}
B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2}
	B = { } = Ø
C = {a; a é número natural ímpar e primo}
	C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
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Observação
Se dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos (não importando a ordem em que eles aparecem), dizemos que eles são conjuntos iguais.
Se x  A ⇒ x  B
Se x  B ⇒ x  A
A = {x; x é inteiro positivo e x < 4}
B = {2, 3, 1}
	A = {1, 2, 3} = B.
A = B ⇔
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Exemplo
A = Conjunto das letras da palavra TRATOR
B = Conjunto das letras da palavra ATOR
	
	A = {t, r, a, o}
	B = {a, t, o, r}
	A = B
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Subconjuntos
Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que:
A está contido em B (símbolo: A ⊂ B);
B contém A (símbolo: B ⊃ A);
A é subconjunto de B;
A é parte de B.
B
A
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Exemplo
A = {x  ℕ; x < 4}
B = {x  ℝ; x(x – 1) = 0}
	A = {0, 1, 2, 3}	e	B = {0, 1}
	Podemos afirmar que B é um subconjunto de A (B ⊂ A). 
A
B
0
1
2
3
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Observação – subconjuntos
Se um conjunto A é igual a um conjunto B (A = B), então A ⊂ B e B ⊂ A.
Se A ≠ B, A ≠ Ø e A ⊂ B, dizemos que A é subconjunto próprio de B.
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (Ø ⊂ A, para todo A)
O vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
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Exemplo
Encontrar todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}. 
Com 0 elemento → Ø
Com 1 elemento → {1}, {2}, {3}
Com 2 elementos → {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
Com 3 elementos → {1, 2, 3}
Dizemos que Ø e A = {1, 2, 3} são subconjuntos triviais de A. Os outros são os subconjuntos próprios de A.
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Observação – subconjuntos
Chamamos de conjunto das partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A.
Exemplo
A = {1, 2, 3}
Subconjuntos de A:
	 Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
n(P(A)) = 2n(A)
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Exemplo
Se um conjunto A tem n elementos e 128 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?
2n = 128
⇒ 2n = 27
⇒ n = 7
Logo, o conjunto A tem 7 elementos.
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Operações com Conjuntos
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Operações com Conjuntos
A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados.
Definimos as operações a seguir:
União;
Interseção;
Diferença;
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União dos Conjuntos A e B (A  B)
É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A, ou a B ou a ambos os conjuntos.
A  B = {x; x  A ou x  B}
B
A
Podemos generaliza a operação união para três ou mais conjuntos.
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Exemplo
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:
	a) A  B.
	b) A  B  C.
a) A  B =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
b) A  B  C =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A  B  C = (A  B)  C = A  (B  C).
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Interseção dos Conjuntos A e B (A  B)
É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B.
A  B = {x; x  A e x  B}
B
A
Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.
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Exemplo
Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:
	a) A  B.
	b) A  C.
	c) A  B  D.
a) A  B =
{0, 5}
b) A  C =
Ø
Logo, A e C são disjuntos
c) A  B  D =
{0}
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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
A – B = {x; x  A e x  B}
B
A
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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
B – A = {x; x  B e x  A}
B
A
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Exemplos
Dados os conjuntos 
	A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, vamos obter:
	a) A – B.
	b) B – A.
a) A – B =
{1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} =
b) B – A =
{2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} =
Em geral A – B ≠ B – A.
{1, 3, 5}
{6}
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Exemplos
Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e
	B = {x natural, menor que 10 / x é primo}.
	Determine A  B, A  B, A – B e B – A.
A = {0, 2, 4, 6, 8}
B = {2, 3, 5, 7}
A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A  B = {2}
B
A
2
0
4
6
8
3
5
7
A – B = {0, 4, 6, 8}
B – A = {3, 5, 7}
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Complemento de um Conjunto
No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B ⊂ A), a diferença A – B pode ser chamada, também, complementar de B em relação a A (∁AB).
B ⊂ A ⇒ A – B = ∁AB
A
B
A – B
O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A.
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Exemplos
Dados os conjuntos 
	X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter ∁YX.
∁YX = Y – X =
{1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} =
{3, 5}
Se A = {x  ℝ; x > 2}, A está contido no universo ℝ. Obter ∁A.
∁A = A =
{x  ℝ; x ≤ 2}
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Exemplos
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} estão contidos no universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, determinar o conjunto ∁A  B.
∁A = U – A =
{f, g, h}
∁A  B =
{f, g, h}  {d, e, f, g} =
{f, g}
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Número de elementos da união de conjuntos
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Número de elementos da união de conjuntos
Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A  B e A  B. Observe:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
n(A  B) = número de elementos da união
n(A) = número de elementos do conjunto A
n(B) = número de elementos do conjunto B
n(A  B) = número de elementos da interseção
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Exemplos
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A  B = {4, 5, 6}
Podemos comprovar que:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
8 = 6 + 5 – 3 
B
A
2
1
4
6
5
3
8
7
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Exemplos
O conjunto A tem 8 elementos; o conjunto B, 13 elementos; o conjunto A  B, 5 elementos. Determinar o número de elementos do conjunto A  B.
B
A
5
8 – 5 = 3
13 – 5 = 8
n(A  B) = 3 + 5 + 8 = 16 
(A – B)
(B – A)
A  B
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Exemplos
Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor do Grêmio?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido em Porto Alegre?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são gremistas e Porto-alegrenses.
P
G
x
36 – x 
28 – x
36 – x + x + 28 – x = 42 
(G – P)
(G – P)
G  P
⇒ 64 – x = 42
⇒ x = 22