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Prova 1 - Me´todos Matema´ticos em Biologia I Professor: Alan Prata Obs.: Todas as questo˜es devem ser justificadas! Exerc´ıcio 1. Determine a derivada das func¸o˜es abaixo: (1,0 ponto) a) f(x) = x3 + 2 lnx b) f(x) = e−x cos(2x + 1) Exerc´ıcio 2. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = 3 √ x no ponto de abscissa 8. (1,0 ponto) Exerc´ıcio 3. Sabe-se que r e´ uma reta perpendicular a` reta 3x + y = 3 e tangente ao gra´fico de f(x) = x3. Determine r. (1,0 ponto) Exerc´ıcio 4. Calcule: (2,0 pontos) a) arcsin ( 1 2 ) b) arctan(−1) c) limx→∞ e3x x2 d) lim x→1 x4 − 2x3 + 2x− 1 x2 − 2x + 1 Exerc´ıcio 5. Aplique o teste da derivada primeira para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o f(x) = xe − x2 8 . (1,0 ponto) Exerc´ıcio 6. Estude a func¸a˜o f(x) = e − x2 2 com relac¸a˜o a` concavidade e pontos de inflexa˜o. (1,0 ponto) Exerc´ıcio 7. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 3 − x 2 2 − 2x + 1. (2,0 pontos) 1. Ache os pontos cr´ıticos de f . 2. Aplique o teste da derivada primeira para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa func¸a˜o. 3. Aplique o teste da derivada segunda e determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos da func¸a˜o. 4. Estude a concavidade do gra´fico de f e encontre seus pontos de inflexa˜o. Exerc´ıcio 8. Use o Teorema do Valor Me´dio para mostrar que se f ′(x) > 0 para todo x em (a, b), enta˜o a func¸a˜o f sera´ estritamente crescente em [a, b]. (1,0 ponto) 1
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