Cálculo I Gabarito Lista 3

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Gabarito Lista 3
Exerc´ıcio 1. Se f(0) = 0 enta˜o 0 e´ um ponto fixo de f . Se f(1) = 1 enta˜o 1
e´ ponto fixo de f . Se f(0) 6= 0 e f(1) 6= 1 enta˜o f(0) > 0 e f(1) < 1, pois o
contra-domı´nio de f e´ o intervalo [0, 1]. Neste caso, teremos g(0) = f(0) > 0 e
g(1) = f(1) − 1 < 0. Assim, como g e´ uma func¸a˜o cont´ınua, pelo Teorema do
valor intermedia´rio, existira´ um elemento a ∈ [0, 1] tal que g(a) = f(a)− a = 0.
Ou seja, f(a) = a e enta˜o a e´ um ponto fixo de f .
Exerc´ıcio 2. A derivada de f no ponto 1 existe se, e somente se, existe o limite
lim
∆x→0
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
. Este limite existe se, e somente se, exitem os limites
laterais
lim
∆x→0−
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
e lim
∆x→0+
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
Temos, lim
∆x→0−
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
= lim
∆x→0−
(1 + ∆x)− 1− 0
∆x
= 1.
lim
∆x→0+
(1 + ∆x)2
3
− 1
3
− 0
∆x
= lim
∆x→0+
(1 + ∆x)2 − 1
3∆x
= lim
∆x→0+
1 + 2∆x+ ∆x2 − 1
3∆x
=
lim
∆x→0+
∆x(2 + ∆x)
3∆x
=
2
3
. Logo, na˜o existe f ′(1).
Exerc´ıcio 3. Soluc¸a˜o:
a) y′ = 6x5 − 9x2 + 5
b) y′ = − pi
x2
c) y′ =
√
x2 + 1 +
x2√
x2 + 1
d) y′ = 2cos(2x+ 2)
e) y′ = ex(cosx− senx)
f) y′ =
5
2
√
5x
g) y′ =
x2(3 + 2x)
(1 + x)2
h) y′ =
6lnx
x
i) y′ = 3cos3x− 2senx · cosx
1
j) y′ =
3
cos2x
= 3sec2x
k) y′ = 2tgx · sec2x
l) y′ =
2x+ 3
3 3
√
(x2 + 3x)2
m) y′ =
ex(x− 3)− 1
(x− 2)2
n) y′ =
xcosx− senx
x2
o) y′ = − 1
2x2
Exerc´ıcio 4. Soluc¸a˜o:
a) vm = 10
m
s
b) v = 7
m
s
Exerc´ıcio 5. f ′(−1) = 1.
Exerc´ıcio 6. y = 5x− 16.
Exerc´ıcio 7. f ′(2) = 3.
2