Cálculo I Lista 5

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Lista 5 - Me´todos Matema´ticos em Biologia I
Exerc´ıcio 1. Do ponto A, situado numa das margens de um rio de 100m de
largura, deve-se levar energia ele´trica ao ponto C situado na outra margens do
rio. O fio a ser utilizado na a´gua custa R$ 5 o metro, e o que sera´ utilizado fora,
R$ 3 o metro. Como devera´ ser feita a ligac¸a˜o para que o gasto com os fios seja
o menor poss´ıvel? (Suponha as margens retil´ıneas e paralelas.)
Exerc´ıcio 2. Determine dois nu´meros positivos cuja soma seja 4 e tal que a
soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mı´nima.
Exerc´ıcio 3. Determine os extremos das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = x2 − 3x+ 2
b) f(x) =
lnx
x
, x > 0
c) f(x) = senx+ cosx, |x| ≤ pi
d) f(x) =
x2
x2 + 1
e) f(x) = x
√
x+ 3, x > −3
f) f(x) = lnx− arc tgx
Exerc´ıcio 4. Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a` concavidade e pontos de
inflexa˜o:
a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
b) f(x) = x · lnx, x > 0
c) f(x) = xe−2x
d) f(t) = t2 +
1
t
e) f(x) = senx− cosx, |x| ≤ pi
1
Exerc´ıcio 5. Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, a 6= 0. Mostre que f admite um
u´nico ponto de inflexa˜o.
Exerc´ıcio 6. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
b) f(x) =
√
4− x2
c) f(x) = e−x
2
d) f(x) =
x+ 1
x− 2
e) f(x) =
x3
x2 + 1
2